221綜合法和分析法(12)-副本

1、演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程系的重要思維過程. .數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn), ,主要靠合主要靠合情推理情推理. .復(fù)習(xí)推 理合情推理（或然性推理）歸納(特殊到一般）類比（特殊到特殊）演繹推理（必然性推理）三段論（一般到特殊）2.2直接證明數(shù)學(xué)組數(shù)學(xué)組茂名市第十七中學(xué)茂名市第十七中學(xué) 韋文紅韋文紅直接證明直接證明1 1 概念概念 直接從原命題的條件逐步推得命題成立直接從原命題的條件逐步推得命題成立2 2 直接證明的一般形式：直接證明的一般形式：本題結(jié)論已知定理已知公理已知定義本題條件例例: :已知已知a0,b0,a0

2、,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因?yàn)橐驗(yàn)閎 b2 2+c+c2 2 2bc,a0 2bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏 c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) ) 4abc.4abc.證明證明: :2.2.12.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法(1)(1) 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)一般地，利用已

3、知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等定義、公理、定理等, ,經(jīng)過一系列的推經(jīng)過一系列的推理論證理論證, ,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立立, ,這種證明方法叫做這種證明方法叫做綜合法綜合法 用用P P表示已知條件、已有的定義、公表示已知條件、已有的定義、公理、定理等理、定理等,Q,Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論. .則綜則綜合法用框圖表示為合法用框圖表示為: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q2bac由由a,b,ca,b,c成等比數(shù)列，有成等比數(shù)列，有 3B由，得， ABC因?yàn)橐驗(yàn)锳,B,CA,B,C為為 ABC

4、ABC的內(nèi)角，所以的內(nèi)角，所以 2B=A+C 2B=A+C 證明：由證明：由A,B,CA,B,C成等差數(shù)列，有成等差數(shù)列，有例例1 1：在：在中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)應(yīng)的邊分別為應(yīng)的邊分別為a a、b b、c c，且、成等，且、成等差數(shù)列，差數(shù)列，a a、b b、c c成等比數(shù)列，求證成等比數(shù)列，求證為等邊三角形為等邊三角形由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得222222cosbacacBacac再由，得再由，得22,acacac即即2()0.ac因此因此 a=ca=c從而從而 A=C A=C 由由 ，得，得 3ABC所以所以ABCABC為等邊三角形為等邊三角形. .引例引例2 2：回

5、顧基本不等式：回顧基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的證明的證明. .a a + + b ba ab b2 2證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)? : 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2證明證明: :要證要證只需證只需證: :只需證只需證: :只需證只需證: :因?yàn)橐驗(yàn)? : 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b

6、 ba ab b2 2直接證明（數(shù)學(xué)理論）直接證明（數(shù)學(xué)理論）上述兩種證法有什么異同？上述兩種證法有什么異同？都是直接證明都是直接證明證法證法1 1 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止為止 綜合法綜合法相同相同不同不同 證法證法2 2 從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到找到一個(gè)明顯成立的條件條件，逐步上溯，直到找到一個(gè)明顯成立的條件為止為止. . 分析法分析法 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步一般地，從要證明的結(jié)

7、論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做方法叫做分析法分析法 特點(diǎn)：特點(diǎn)：執(zhí)果索因執(zhí)果索因. .用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn)用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn). .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的條件成立的條件例例2 2 求證求證372 5課本課本8989頁練習(xí)頁練習(xí)2.2.求證求證

8、672 25.直接證明直接證明小結(jié)：小結(jié)：綜合法綜合法已知條件已知條件結(jié)論結(jié)論分析法分析法結(jié)論結(jié)論 明顯成立的條件明顯成立的條件 分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。作業(yè)：金版學(xué)案作業(yè)：金版學(xué)案2.2.12.2.1的例題的例題和選擇填空題和選擇填空題. .2 22 22 22 22 2例例 . . 已已 知知 , , k k + +( (k kZ Z) ), ,且且2 2 s si in n + + c co os s = = 2 2s si in n s si in n c co os

9、 s = = s si in n 1 1 - - t ta an n 1 1 - - t ta an n 求求 = =. .1 1 + + t ta an n 2 2( (1 1 + + t ta an n ) )證證:1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的條件成立的條件也可以是經(jīng)過也可以是經(jīng)過證明的結(jié)論證明的結(jié)論例：設(shè)拋物線例：設(shè)拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且上，且x x軸（如圖），證明軸（如圖），證明直線經(jīng)過原點(diǎn)直線經(jīng)過原點(diǎn)42-2-4-65B BA AC CO OF F作業(yè)：作業(yè)：組，組組，組為數(shù)證例例: :. .已已知知a a、b b、c c不不全全相相等等的的正正，b b