八年級數(shù)學(xué)上冊1.3《探索三角形全等的條件》運(yùn)用全等三角形證題的基本思路素材(新版)蘇科版

1、運(yùn)用全等三角形證題的基本思路運(yùn)用全等三角形能夠證明若干與線段或角有關(guān)的幾何問題.那么如何證明兩個(gè)三角形全等呢？ 一般來說，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合圖形尋求邊或角相等， 使之逐步逼近某一判定公理 或定理，其基本思路有：一、有兩邊對應(yīng)相等，則尋求夾角或第三邊對應(yīng)相等.例 1 已知：如圖 1 , AB= AC, AD= AE,/ 1 =Z2,求證：BD= CE1分析：要證明 B CE 只要證明厶 ABDAACE 因?yàn)橐阎獥l件已給出了有兩邊對應(yīng)相等，所以只需證明這兩邊的夾角也相等，即/BAD=/ CAE 而根據(jù)圖形和已知條件“/ 1 = / 2”，即可獲證.證明： / 1 = / 2,/1 + / BAC

2、=/ 2+/ BAC 即/ BAD=/ CAE在厶 ABD 和厶 ACE 中，AB=ACiAD=AS. ABDAACE( SAS，故 BD= CE例 2 已知：如圖 2, AB= DF, AC= DE, BE= FC,求證：AB/ DF.分析： 要證明 AB/ DF,只要證明/ B=ZF,由于/ B/F分別在 ABC 和厶 DFE 中， 這就要 證明 ABCA2DFE 因?yàn)橐阎獥l件給出了兩邊對應(yīng)相等，所以可證明兩個(gè)三角形的第三條邊對應(yīng)相等，即 BC= FE,而根據(jù)圖形和已知條件“ BE= FC,即可獲證.證明：/ BE= FC, BE+ EC= FC+ CE, 即卩 BC= FE.在厶 ABC

3、 和厶 DFE 中， K=DE、 ABCADFE( SSS,/ B=/ F,故 AB/ DF.二、有兩角對應(yīng)相等，則尋求夾邊或任一等角的對邊對應(yīng)相等.例 3 已知：如圖 3, AB/ CD AD/ BC 求證： AB= CD, AD= BC.分析：要證明 AB= CD, AD= BC,只要連結(jié) AC,證明 ABCACDA 因?yàn)橐阎獥l件告訴 AB/ CDAD/ BC 這就等于告訴/ 1 = / 2, / 3=/ 4,而 AC 又是它們的夾邊，則問題獲證.證明：連結(jié) AC / AB/ CD AD/ BC,/1= Z2,Z3=Z4,在厶 ABC 和厶 CDA 中，3，ACCA,Z3= Z4. ABC

4、ACDA( ASA，故 AB= CD AD- BC.例 4 已知：如圖 4，/ 1 =Z2,/ 3=/4,求證：BE= CD分析：要證明 BE= CD 只要證明厶 BCEACBD 在這兩個(gè)三角形中，/ 1 = / 2,/ 3=/ 4,而/I的對邊是 BC,/2的 對邊是 CB 且有 BC= CB 則問題獲證.證明：在厶 BCE 和厶 CBD 中,21 =為JZ3 = Z4,BCCB,IBCEACBD( AAS故 BE= CDA圖4三、有一邊和該邊的對角對應(yīng)相等，則尋求另一角對應(yīng)相等.EU 5例 5 已知：如圖 5,AABC 中，/ BAC= 90, AB= AC,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) A, BD

5、LMN CE!MN 垂足為D、E.求證：BD= AE分析：要證明 BD- AE 只要證明厶 ABDACAE 現(xiàn)有條件是一邊和該邊的對角對應(yīng)相等， 則還需再證明另一角對應(yīng)相等，而不難發(fā)現(xiàn)/ 1 +Z2= 90,/ 2+Z3= 90,所以/ 1 = / 3,則問題獲證.4證明： BDL MN CEL MN/ ADB=/ CEA= 90,而/ BAC= 90, / 1 + / 2= 90./ 2+/ 3= 90. / 1 = / 3.在厶 ADB 和厶 CEA 中，rZAPB=ZCEATJzi = Z3ZAB=CA,L ADBACEA( AAS，故 BD= AE四、有一邊和該邊的鄰角對應(yīng)相等，則尋求

6、夾等角的另一邊對應(yīng)相等，或另一角對應(yīng)相等.例 6 已知：如圖 6,AABC 中，/ ACB= 90,/ CBA= 45, E 是 AC 上一點(diǎn)，延長 BC 到 D, 使 CD=CE 求證：BF 丄 AD分析：要證明 BF 丄 AD 只要證明/ 1 +Z2= 90，這時(shí)/ AF9 90，又/ 3+Z4= 90,/ 2=73,那么只需證明/ 1 =74,這時(shí)只要證明 ACdABCE 在這兩個(gè)三角形中， 已知 有一邊和該邊的鄰角對應(yīng)相等，只要證明 CA= CB 此時(shí)條件中有7CBA= 45,可得到 CA =CB,則問題獲證.證明：T7AC=90,7CBA= 45, CA= CB5在厶 ACD 和厶

7、BCE 中，JZACD-ZBCE=9O3CD = GE.kACDABCE( SAS.71= 74.74+73=90,73=72.71 +72= 90，故 BF 丄 AD例 7 已知：如圖 7, AB= AC,7B=7C,71 =72,求證： AD= AE.6分析：要證明 A AE 只要證明厶 ACE 由已知條件知，有一邊和該邊的鄰角對應(yīng)相等，只要再證明另一角對應(yīng)相等，此時(shí)有/ 1 =Z2,可得/ BAD-ZCAE 則問題獲證.證明：/1 =Z2.Z1+ ZBAE=Z2+ZBAEZBAD-ZCAE在厶 ABD 和厶 ACE 中，rZB = ZC?AB=AC,ZBADZCAE,L ABDAACE(

8、 ASA，故 AD= AE五、對于直角三角形來講，則優(yōu)先考慮運(yùn)用“斜邊、直角邊公理”，當(dāng)此路不通時(shí)，再回 到上述思路中去.例 8 已知：如圖 8, ADLDB BCLCC AC= BD,求證：AD= BC.分析：要證明 AD- BC,只要證明厶 ADBABCA 而這兩個(gè)三角形是直角三角形，可考慮運(yùn)用“斜邊、直角邊公理”證明，此時(shí)由題設(shè)條件AC= BD,結(jié)合圖形 AB= BA,則問題獲證.證明： ADLDB BCLCA ADB 和厶 BCA 都是直角三角形，在 Rt ADB 和 Rt BCA 中,BD = ACt7AB=BA, Rt AD 畀 Rt BCA( HL),故 AD= BC六、對于運(yùn)用

9、全等三角形證明的結(jié)論一次不到位時(shí)，則可反復(fù)運(yùn)用上述思路進(jìn)行證明.例 9 已知：如圖 9，AB= DE AF= CD EF= BC, / A=ZD,求證：BF/ CE圖9分析：要證明 BF/ CE 只要考慮證明同位角相等”或內(nèi)錯(cuò)角相等”或同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，這需要根據(jù)已知條件和圖形特點(diǎn)，先進(jìn)行比較，再作選擇， 由于圖中沒有現(xiàn)成的“同位角”和“內(nèi)錯(cuò)角”，但添加輔助線后易得“內(nèi)錯(cuò)角”（連結(jié)BE 或 CF）;另一方面，若考慮“同旁內(nèi)角”，則要證“互補(bǔ)”，而由已知條件較易證得厶 ABFADEC 估計(jì)進(jìn)而證明角“相等”比證明角“互補(bǔ)”容易，所以可優(yōu)先考慮證明“內(nèi)錯(cuò)角相等”，即連結(jié)BE,設(shè)法證明/ FBE=ZCEB 這又需證明 BEFAEBC 這樣問題就解決了，請讀者完成這一證明.例 10 已知：如圖 10，在 ABC 和厶 DBC 中，/ 1 =72,73=74, P 是 BC 上任意一點(diǎn).求證：PA= PD分析：要證明 PA= PD 只要證明厶 ABPADBP 在這兩個(gè)三角形中，由條件才知道一邊和 該邊的鄰角對應(yīng)相等，由圖形知，還必須證明AB= BD,這