2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)文

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)文一.選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分1.若集合P=x|2x4，Q=x|x3，則PQ等于()A.x|3x4B.x|3x4C.x|2x3D.x|2x3解析：P=x|2x4，Q=x|x3，PQ=x|3x4.答案：A.2.復(fù)數(shù)(3+2i)i等于()A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i解析：(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.答案：B.3.以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A.2B.C.2D.1解析：邊長(zhǎng)為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱

2、，則所得幾何體的側(cè)面積為：1×2×1=2，答案：A.4.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的n的值為()A.1B.2C.3D.4解析：由程序框圖知：第一次循環(huán)n=1，211；第二次循環(huán)n=2，22=4.不滿足條件2nn2，跳出循環(huán)，輸出n=2.答案：B.5.命題“x0，+)，x3+x0”的否定是()A.x(-，0)，x3+x0B.x(-，0)，x3+x0C.x00，+)，x03+x00D.x00，+)，x03+x00解析：命題“x0，+)，x3+x0”是一個(gè)全稱命題.其否定命題為：x00，+)，x03+x00答案：C.6.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心

3、，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0解析：由題意可得所求直線l經(jīng)過點(diǎn)(0，3)，斜率為1，故l的方程是 y-3=x-0，即x-y+3=0，答案：D.7.將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=f(x)的函數(shù)圖象，則下列說法正確的是()A.y=f(x)是奇函數(shù)B.y=f(x)的周期為C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-，0)對(duì)稱解析：將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，得y=sin(x+)=cosx.即f(x)=cosx.f(x)是周期為2的偶函數(shù)，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；

4、cos=cos(-)=0，y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-，0)、(，0)成中心對(duì)稱.答案：D.8.若函數(shù)y=logax(a0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)正確的是()A.B.C.D.解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象知，此函數(shù)圖象過點(diǎn)(3，1)，故有y=loga3=1，解得a=3，對(duì)于A，由于y=a-x是一個(gè)減函數(shù)故圖象與函數(shù)不對(duì)應(yīng)，A錯(cuò)；對(duì)于B，由于冪函數(shù)y=xa是一個(gè)增函數(shù)，且是一個(gè)奇函數(shù)，圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象與函數(shù)的性質(zhì)對(duì)應(yīng)，故B正確；對(duì)于C，由于a=3，所以y=(-x)a是一個(gè)減函數(shù)，圖象與函數(shù)的性質(zhì)不對(duì)應(yīng)，C錯(cuò)；對(duì)于D，由于y=loga(-x)與y=logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

5、所給的圖象不滿足這一特征，故D錯(cuò).答案：B.9.要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器，已知該溶器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()A.80元B.120元C.160元D.240元解析：設(shè)池底長(zhǎng)和寬分別為a，b，成本為y，則長(zhǎng)方形容器的容器為4m3，高為1m，底面面積S=ab=4，y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80，a+b2=4，當(dāng)a=b=2時(shí)，y取最小值160，即該容器的最低總造價(jià)是160元，答案：C.10.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于()A.B.2C.3D.4解析

6、：O為任意一點(diǎn)，不妨把A點(diǎn)看成O點(diǎn)，則=，M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，=2=4答案：D.11.已知圓C：(x-a)2+(y-b)2=1，設(shè)平面區(qū)域=，若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2+b2的最大值為()A.5B.29C.37D.49解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：圓心為(a，b)，半徑為1圓心C，且圓C與x軸相切，b=1，則a2+b2=a2+1，要使a2+b2的取得最大值，則只需a最大即可，由圖象可知當(dāng)圓心C位于B點(diǎn)時(shí)，a取值最大，由，解得，即B(6，1)，當(dāng)a=6，b=1時(shí)，a2+b2=36+1=37，即最大值為37，答案：C12.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1，y1)

7、，P2(x2，y2)間的“L-距離”定義為|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡可以是()A.B.C.D.解析：設(shè)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，再設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于m(m2c0)，由題意可得：|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m，即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.當(dāng)x-c，y0時(shí)，方程化為2x-2y+m=0；當(dāng)x-c，y0時(shí)，方程化為2x+2y+m=0；當(dāng)-cxc，y0時(shí)，方程化為y=；當(dāng)-cxc，y0時(shí)，方程化為y=c-；當(dāng)xc，

8、y0時(shí)，方程化為2x+2y-m=0；當(dāng)xc，y0時(shí)，方程化為2x-2y-m=0.結(jié)合題目中給出的四個(gè)選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A中的圖象符合要求.答案：A.二、填空題:本大題共4小題，每小題4分，共16分13.(4分)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為 .解析：正方形的面積S=1，設(shè)陰影部分的面積為S，隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，幾何槪型的概率公式進(jìn)行估計(jì)得，即S=0.18，答案：0.1814.(4分)在ABC中，A=60°，AC=2，BC=，則AB等于 .解析：在ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=

9、a=，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即3=4+c2-2c，解得：c=1，則AB=c=1，答案：115.(4分)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 .解析：當(dāng)x0時(shí)，由f(x)=0得x2-2=0，解得x=或x=(舍去)，當(dāng)x0時(shí)，由f(x)=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x，作出函數(shù)y=lnx和y=6-2x在同一坐標(biāo)系圖象，由圖象可知此時(shí)兩個(gè)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，答案：216.(4分)已知集合a，b，c=0，1，2，且下列三個(gè)關(guān)系：a2；b=2；c0有且只有一個(gè)正確，則100a+10b+c等于 .解析：由a，b，c=0，1，2得，a、b、c的取值有

10、以下情況：當(dāng)a=0時(shí)，b=1、c=2或b=2、c=1，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)a=1時(shí)，b=0、c=2或b=2、c=0，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)a=2時(shí)，b=1、c=0，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)a=2時(shí)，b=0、c=1，此時(shí)滿足條件；綜上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，答案：201.三.解答題：本大題共6小題，共74分.17.(12分)在等比數(shù)列an中，a2=3，a5=81.()求an；()設(shè)bn=log3an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解析：()設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由已知列式求解首項(xiàng)和公比，則其通項(xiàng)公式可求；()把()中求得的an代入bn=log3an，得到數(shù)列bn的通項(xiàng)公

11、式，由此得到數(shù)列bn是以0為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得答案.答案：()設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2=3，a5=81，得，解得.；()，bn=log3an，.則數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1=0，由bn-bn-1=n-(n-1)=1，可知數(shù)列bn是以1為公差的等差數(shù)列.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx).()求f()的值；()求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解析：()利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f(x)=sin(2x+)+1，從而求得f()的值.()根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(2x+)+1，求得它的最小正周期.令2k-2x+2k

12、+，kZ，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.答案：()函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+1，f()=sin(+)+1=sin+1=+1=2.()函數(shù)f(x)=sin(2x+)+1，故它的最小正周期為=.令2k-2x+2k+，kZ，求得k-xk+，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-，k+，kZ.19.(12分)如圖，三棱錐A-BCD中，AB平面BCD，CDBD.()求證：CD平面ABD；()若AB=BD=CD=1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A-MBC的體積.解析：()證明CD平面ABD，只需證明ABCD；()利用轉(zhuǎn)換底面，VA-MBC=VC-A

13、BM=SABMCD，即可求出三棱錐A-MBC的體積.答案：()AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，CDBD，ABBD=B，CD平面ABD；()AB平面BCD，BD平面BCD，ABBD.AB=BD=1，SABD=，M為AD中點(diǎn)，SABM=SABD=，CD平面ABD，VA-MBC=VC-ABM=SABMCD=.20.(12分)根據(jù)世行2020年新標(biāo)準(zhǔn)，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為1035-4085美元為中等偏下收入國家；人均GDP為4085-12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于12616美元為高收入國家.某城市有5個(gè)行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均

14、GDP如下表：()判斷該城市人均GDP是否達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)；()現(xiàn)從該城市5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率.解析：()利用所給數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市人均GDP，即可得出結(jié)論；()利用古典概型概率公式，即可得出結(jié)論.答案：()設(shè)該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為=6400該城市人均GDP達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)；()從該城市5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，共有=10種情況，抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)，共有=3種情況，抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率.21.(12分)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0

15、，1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.()求曲線的方程；()曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A.直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N，以MN為直徑作圓C，過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B，試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.解析：()設(shè)S(x，y)曲線上的任意一點(diǎn)，利用拋物線的定義，判斷S滿足配額我想的定義，即可求曲線的方程；()通過拋物線方程利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線方程，求出A、M的坐標(biāo)，N的坐標(biāo)，以MN為直徑作圓C，求出圓心坐標(biāo)，半徑是常數(shù)，即可證明當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.答案：()設(shè)S(x，y

16、)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得：點(diǎn)S到F(0，1)的距離與它到直線y=-1的距離相等，曲線是以F為焦點(diǎn)直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，曲線的方程為：x2=4y.()當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：由()可知拋物線的方程為y=，設(shè)P(x0，y0)(x00)則y0=，由y得切線l的斜率k=切線l的方程為：，即.由得，由得，又N(0，3)，所以圓心C()，半徑r=點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.22.(14分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，+)時(shí)，恒有x2cex.解析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值；(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x2，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論；(3)利用(2)的結(jié)論，令x0=，則exx2x，即x2cex.即得結(jié)論成立.答案：(1)由f(x)=ex-ax得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1，a=2，f(x)=ex-2x，f(x)=ex-2.由f(x)=0得x=ln2，當(dāng)xln2時(shí)