考點(diǎn)30空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

1、考點(diǎn)30 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.(2015·浙江高考理科·T2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8 cm3 B.12 cm3 C. D. 【解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構(gòu)成,再求解.【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐的組合,所以體積V=23+×22×2=(cm3).2.(2015·浙江高考文科·T2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3【

2、解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構(gòu)成,再求解.【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐的組合,所以體積 (cm3).3. （2015·安徽高考文科·T9）一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是 ( )（A） （B） （C） （D）【解題指南】根據(jù)三視圖做出幾何體的直觀圖進(jìn)行計(jì)算?！窘馕觥窟xC。由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示：其中側(cè)面PAC底面ABC，且，由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知PA=PC=AB=BC=，取AC中點(diǎn)O連接PO,BO，則在中，PO=BO=1，可得PB=，所以，故選C。4. （2015·安徽高考理科·

3、T7）一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（ ）A、 B、 C、 D、【解題指南】根據(jù)三視圖做出幾何體的直觀圖進(jìn)行計(jì)算。【解析】選B。由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示：其中側(cè)面PAC底面ABC，且，由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知PA=PC=AB=BC=，取AC中點(diǎn)O連接PO,BO，則在中，PO=BO=1，可得PB=，所以，故選B.5. (2015·北京高考理科·T5)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是()2111正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖A.     B. C. D.5【解題指南】還原幾何體,分別計(jì)算各面的面

4、積,然后求和.ABCDE【解析】選C.還原幾何體如圖所示,SBCD=BC·DE=×2×2=2,SACD=SABD=××1SABC=BC·AE=×2×=,所以表面積為2+2.6. (2015·北京高考文科·T7)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長(zhǎng)棱棱長(zhǎng)為()111正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖A.1B.C.D.2【解題指南】作出直觀圖,計(jì)算出各棱長(zhǎng)比較大小.ABCDE【解析】選C.由三視圖可知AD=BC=CD=DE=EB=1,AE=AC=,AB=.所以最長(zhǎng)棱棱長(zhǎng)為.7.(2015·天

5、津高考理科·T10) (2015·天津高考文科·T10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.【解析】由三視圖可知,該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱,兩端是底面半徑為1,高為1的圓錐,所以該幾何體的體積答案:8.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷理科·T6)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛

6、米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解題指南】利用錐體底面的弧長(zhǎng),確定圓錐底面半徑,求出米堆的體積,然后合成斛.【解析】選B.設(shè)圓錐底面半徑為r,則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62229.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷理科·T11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與

7、球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為×4r2+r×2r+r2+2r×2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.10.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷文科·T6)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解題指南】利用

8、錐體底面的弧長(zhǎng),確定圓錐底面半徑,求出米堆的體積,然后合成斛.【解析】選B.設(shè)圓錐底面半徑為r,則×2×3r=8,所以r=,所以米堆的體積為=,故堆放的米約為÷1.6222.11.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷文科·T11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為×4r2+r×2r

9、+r2+2r×2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.12.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷理科·T6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.B.C.D.【解析】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截去四面體A-A1B1D1,如圖所示,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則,故剩余幾何體體積為a3-a3=a3,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為.13.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷理科·T9)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC

10、體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256【解題指南】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出關(guān)于半徑R的方程,求出球的半徑,然后求出球的表面積.【解析】選C.如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4R2=144.14.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷文科·T6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體

11、積與剩余部分體積的比值為()A.B.C.D.【解析】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截去四面體A-A1B1D1,如圖所示,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為15.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷文科·T10)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256【解題指南】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出關(guān)于半徑R的方程,求出球的半

12、徑,然后求出球的表面積.【解析】選C.如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4R2=144.16.(2015·山東高考理科·T7)在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D. 【解題指南】因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD的兩底邊分別為1,2,高AB=1,則以AD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱挖去同底的圓錐(高是一

13、半).【解析】選C.如圖,所得幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)小圓錐,其體積17.(2015·山東高考文科·T9)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2,將該三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D. 【解題指南】所求幾何體是同底等高的兩個(gè)圓錐.【解析】選B.旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐,其底面半徑為直角三角形斜邊的高,高半徑,故所得幾何體的體積18. （2015·重慶高考理科·5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是利用三視圖還原幾何體，然后再進(jìn)行計(jì)算，該幾何體為

14、三棱錐和半個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體.【解析】選A.由三視圖可知，該幾何體為三棱錐和半個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體.由圖中數(shù)據(jù)可知，三棱錐的體積為，半個(gè)圓柱的體積為，所以幾何體的體積為.19. （2015·重慶高考文科·5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是利用三視圖還原幾何體，然后再進(jìn)行計(jì)算，該幾何體為半個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體.【解析】選B.由三視圖可知，該幾何體為半個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體.由圖中數(shù)據(jù)可知，半個(gè)圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以幾何體的體積為.20.(2015·福建高考文科·T

15、9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解題指南】根據(jù)三視圖確定每個(gè)面的面積.【解析】選B.由三視圖可知,該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.21. (2015·陜西高考理科·T5)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3 B.4 C.2+4 D.3+4【解題指南】將三視圖復(fù)原,此幾何體為半個(gè)圓柱體,根據(jù)三視圖所給的數(shù)據(jù),求出表面積.【解析】選D.該幾何體為圓

16、柱體的一半,可得上下兩個(gè)半圓的表面積S1=r2=,側(cè)面積S2=2×2+·2r·2=2+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=+2+4=3+4.22. (2015·陜西高考文科·T5)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3B.4C.2+4 D.3+4【解題指南】將三視圖復(fù)原,此幾何體為半個(gè)圓柱體,根據(jù)三視圖所給的數(shù)據(jù),求出表面積.【解析】選D.該幾何體為圓柱體的一半,可得上下兩個(gè)半圓的表面積S1=r2=,側(cè)面積S2=2×2+·2r·2=2+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=+2+4=3+4.二、填空題23.（2015·四川高考文科·T14)在三棱柱中，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是, , 的中點(diǎn)，則三棱錐的體積是_【解題指南】利用三視圖與直觀圖量度關(guān)系求解?！窘馕觥康捏w積是答案：24. (2015·