知識(shí)講解-簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題-基礎(chǔ)(共9頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解線性規(guī)劃的意義，了解線性規(guī)劃的基本概念；2. 掌握線性規(guī)劃問題的圖解法.3. 能用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線性規(guī)劃的有關(guān)概念： 線性約束條件：如果兩個(gè)變量、滿足一組一次不等式組，則稱不等式組是變量、的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于、的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于、的一次式是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量、的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：在

2、線性規(guī)劃問題中，滿足線性約束條件的解叫可行解；由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.要點(diǎn)詮釋：線性規(guī)劃問題，就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題.要點(diǎn)二、線性規(guī)劃的應(yīng)用1.線性規(guī)劃也是求值的一種,是求在某種限制范圍之下的最大值或最小值的問題,其關(guān)鍵是列出所有的限制條件,不能有遺漏的部分,如有時(shí)變量要求為正實(shí)數(shù)或自然數(shù),其次是準(zhǔn)確找到目標(biāo)函數(shù),如果數(shù)量關(guān)系多而雜,可以用列表等方法把關(guān)系理清.2.線性規(guī)劃的理論和方法經(jīng)常被用于兩類問題中:一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用其完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如

3、何合理安排和規(guī)劃，能用最少的人力、物力、資金等資源來完成這項(xiàng)任務(wù).要點(diǎn)詮釋：在生產(chǎn)和生活中，常用于下料問題；優(yōu)化安排活動(dòng)問題；優(yōu)化運(yùn)營(yíng)問題等. 要點(diǎn)三、確定線性規(guī)劃中的最優(yōu)解對(duì)于只有兩個(gè)變量的線性規(guī)劃(即簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃)問題，可以用圖解法求解其基本的解決步驟是： 設(shè)變量，建立線性約束條件及線性目標(biāo)函數(shù)； 畫出可行域； 求出線性目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值(即最優(yōu)解)； 作答要點(diǎn)詮釋：確定最優(yōu)解的思維過程：線性目標(biāo)函數(shù)（A,B不全為0）中，當(dāng)時(shí)，這樣線性目標(biāo)函數(shù)可看成斜率為，且隨變化的一組平行線，則把求的最大值和最小值的問題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點(diǎn)，直線在軸上的截距的最大值最小值的問題.因此只需先

4、作出直線，再平行移動(dòng)這條直線，最先通過或最后通過的可行域的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解.特別注意，當(dāng)B>0時(shí)，的值隨著直線在y軸上的截距的增大而增大；當(dāng)B<0時(shí)，的值隨著直線在y軸上的截距的增大而減小.通常情況可以利用可行域邊界直線的斜率來判斷.對(duì)于求整點(diǎn)最優(yōu)解，如果作圖非常準(zhǔn)確可用平移求解法，也可以取出目標(biāo)函數(shù)可能取得最值的可行域內(nèi)的所有整點(diǎn)，依次代入目標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證，從而選出最優(yōu)解，最優(yōu)解一般在可行域的定點(diǎn)處取得，若要求最優(yōu)整解，則必須滿足x，y均為整數(shù)，一般在不是整解的最優(yōu)解的附近找出所有可能取得最值的整點(diǎn)，然后將整點(diǎn)分別代入目標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證選出最優(yōu)整解.上述求整點(diǎn)最優(yōu)解的方法可歸納為三步：找整點(diǎn)

5、-驗(yàn)證- 選最優(yōu)解【典型例題】類型一：求目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值.例1. 若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn()A5B6C7D8【答案】B【思路點(diǎn)撥】 首先根據(jù)題意所給的約束條件畫出其表示的平面區(qū)域如下圖所示，然后根據(jù)圖像可得: 目標(biāo)函數(shù)z=2x+y過點(diǎn)B（2，-1）時(shí)取得最大值，過點(diǎn)A（-1，-1）時(shí)取得最小值.【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z2xy，得y2xz，平移直線y2xz，由圖象可知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A，直線y2xz的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即A(1，1)，此時(shí)z213，此時(shí)n3，平移直線y2xz，由圖象可知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過

6、點(diǎn)，B，直線y2xz的截距最大，此時(shí)z最大，由，解得，即B(2，1)，此時(shí)z2×213，即m3，則mn3(3)6，故選：B【總結(jié)升華】1.本題的切入點(diǎn)是賦予“”恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x：縱截距或橫截距；2.線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得；3.線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的圖象一定與區(qū)域中的一條邊界直線平行舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的、滿足約束條件.【答案】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過點(diǎn)的直線所對(duì)應(yīng)的最小，以經(jīng)過點(diǎn)的直

7、線所對(duì)應(yīng)的最大.所以，.【變式2】（2015 天津）設(shè)變量滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】如圖所示，陰影部分即為線性規(guī)劃的可行域，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）時(shí)，z取得最大值18.故選: C。 【變式3】（2016 新課標(biāo)文）若x，y滿足約束條件，則的最小值為_【答案】由得，點(diǎn)，由得，點(diǎn)，由得，點(diǎn)，分別將，代入得：，所以的最小值為類型二：已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù).【高清課堂：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 訓(xùn)練2】例2.已知變量x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)zaxy(其中a0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D

8、【解析】畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)zaxy僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線yaxz的斜率應(yīng)小于直線x2y30的斜率，即，.【總結(jié)升華】這是線性規(guī)劃的逆向思維問題，解答此類問題必須明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)或邊界取得，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.同時(shí)注意邊界直線斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率的關(guān)系.舉一反三：【變式1】若滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則的取值范圍（ ）A.(-1,2) B.(-4,2) C(-4,0) D.(-2,4)【答案】B【解析】可行域?yàn)锳BC，如圖當(dāng)a0時(shí)，顯然成立當(dāng)a0時(shí)，直線ax2yz0的斜率kkAC1，a2.當(dāng)a0時(shí)，

9、kkAB2，a4. 綜合得4a2.【變式2】已知實(shí)數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為-1，則實(shí)數(shù)m等于A.7 B.5 C.4 D.3【答案】B類型三：實(shí)際問題中的線性規(guī)劃.【高清課堂：一元二次不等式及其解法 例4】例3. 某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力和煤、電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動(dòng)力（個(gè)）煤（噸）電（千瓦）A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤(rùn)是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少噸，才能獲得最大利潤(rùn)？【解析】設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各x、y噸，利潤(rùn)為

10、z萬元?jiǎng)t，目標(biāo)函數(shù)作出可行域，如圖所示， 作出在一組平行直線7x+12y=t（t為參數(shù)）中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線，此直線經(jīng)過點(diǎn)M（20，24）故z的最優(yōu)解為（20，24），z的最大值為7×20+12×24=428（萬元）.【總結(jié)升華】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解舉一反三：【變式】家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個(gè)小

11、時(shí)做一把椅子，八個(gè)小時(shí)做一張書桌，該公司每星期木工最多有8000個(gè)工作時(shí)；漆工平均兩小時(shí)漆一把椅子、一小時(shí)漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1300個(gè)工作時(shí)，又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤(rùn)分別是15元和20元，試根據(jù)以上條件，問怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)?【答案】設(shè)制作x把椅子，y張桌子約束條件：， 目標(biāo)函數(shù)：z=15x+20y.如圖：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值 即A(200, 900) 當(dāng)x=200, y=900時(shí)，zmax=15×200+20×900=21000(元)答：安排生產(chǎn)200把椅子，900張桌子時(shí)，利潤(rùn)最大為21000元.例4.某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品

12、，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用勞動(dòng)力3個(gè)，獲利7000元：生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動(dòng)力10個(gè)，獲利12000元.有一個(gè)生產(chǎn)日，這個(gè)廠可動(dòng)用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動(dòng)力是300個(gè)，問應(yīng)該如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使工廠在當(dāng)日的獲利最大，并問該廠當(dāng)日的最大獲利是多少?【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件 約束條件：， 目標(biāo)函數(shù)：z=7000x+12000y如圖：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值 ， 即A（20，24） 當(dāng)x=20, y=24時(shí)，zmax=7000×20+12000×24=（元）.答：安排甲產(chǎn)品20件，乙產(chǎn)品24件時(shí)，利潤(rùn)最大為元.【總結(jié)升華】注意本例中變量的取值限制.舉一反三：【變式】某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6 t的A型卡車與4輛載重量為10 t的B型卡車，9名駕駛員，在建筑某段高速公路中，此公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)360 t瀝青的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型卡車160元，B型卡車252元，每天派出A型車與B型車各多少輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？【答案】設(shè)派出A型車x輛，B型車y輛，所花成本費(fèi)為z=160x+252y，且x、y滿足給條件如：，即如圖所示，作出不等式表示的區(qū)域，作直線，即，作直線的平行線：當(dāng)直線經(jīng)過可行