選修1-1選修2-1圓錐曲線與方程第一節(jié)橢圓定義與幾何性質(zhì)

1、橢圓及幾何性質(zhì)考向一：定義法、待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程【例】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（-2，0），（2,0）且過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例】一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程【解析】設(shè)圓的半徑為，由題，故，即的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為【例】（1）焦點(diǎn)在軸上時(shí)（2）焦點(diǎn)在軸上時(shí)考向二：定義運(yùn)用（拓展：焦點(diǎn)三角形）【例】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 、，弦經(jīng)過(guò)，則的周長(zhǎng)為（ ）A B C D【解析】的周長(zhǎng)為【例】若點(diǎn)在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，則的面積是（ ）A B C D【解析】由橢圓方程可知 由題意可得，故B正確思考：（1）改成，求 （2）若，求【思路點(diǎn)睛】橢圓焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用思路：

2、橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，主要考慮利用橢圓定義可求其周長(zhǎng)；利用橢圓定義和余弦定理（勾股定理）可求，或通過(guò)整體代入可求其面積等【例】已知橢圓：，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的兩焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)在上，則 【解析】由橢圓方程得： 所以， 如圖所示，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，所以分別是的中位線，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以所以，【練1】已知橢圓C：+=1（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，）, 橢圓C的方程為 【練2】已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，若連接，三點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)到軸的距離是（ ）A3 B C或

3、 D【練3】已知橢圓:，左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)【練4】已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，則的值為 【解析1】由題意可知，由橢圓定義可知 ，橢圓方程為【解析2】當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，解得，所以點(diǎn)到軸的距離為；當(dāng)時(shí)， 且 ，由，得設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則由三角形面積公式，得，即，所以不滿足條件，故選B【解析3】由橢圓方程知，又根據(jù)橢圓的定義知，即，所以當(dāng)最小時(shí)，即垂直軸時(shí)，最大，此時(shí)易知，所以最大值，以答案應(yīng)填：【解析4】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，為的內(nèi)心，所以 因?yàn)闉闄E圓上任意一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓的定義得，

4、得.考向三：幾何性質(zhì)【例】已知橢圓，若焦距為，則等于（ ）A B C或 D或【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)，解得，所以實(shí)數(shù)的值為或【練】橢圓以軸和軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則橢圓的方程為（ ）A B C或 D或【解析】當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，由題意可知，此時(shí)橢圓焦點(diǎn)在軸，所以橢圓方程為；當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，由題意可知，此時(shí)橢圓焦點(diǎn)在軸，所以橢圓方程為【例】如圖，橢圓（ab）的離心率，左焦點(diǎn)為F，A，B，C為其三個(gè)頂點(diǎn)，直線CF與AB交于D，則tanBDC的值為 【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以【一題多解】法二：法三：法四：考向四：

5、離心率及取值范圍求橢圓離心率的方法：（1）直接法：即根據(jù)條件直接求出的值，利用離心率公式直接求解；（2）比值法：即列出含有的齊次方程（或不等式），借助于間的關(guān)系消去，轉(zhuǎn)化為含有的方程（或不等式）求解【例】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，左、右焦點(diǎn)分別是若是，的等比中項(xiàng)，則此橢圓的離心率為（ ）A B C D2【解析】由題意，得，即，即，所以，故選B【例】橢圓的左焦點(diǎn)為,過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，連接，若，則的離心率 【解析】在中，由余弦定理得：，又，所以，設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形是矩形，所以，由，所以【例】如圖所示，分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為橢圓的右焦點(diǎn)，的

6、延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 【解析】設(shè)A ，B ，F(xiàn) ，橢圓方程為，令，可得，即有M ，由C是AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），可得C ，由O，C，M共線，可得，即為，即有，則【例】如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么這個(gè)橢圓的離心率是（ ）A B C D【解析】設(shè)，由題意可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以【?】設(shè)橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為，是上的點(diǎn)，則的離心率為（ ）A B C D【練2】設(shè)是橢圓的左右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則C的離心率為（ ）A、 B、 C、 D、【練3】如圖，點(diǎn)為橢圓：的右頂點(diǎn)，在橢圓上，若四

7、邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率為（ ）A B C D【練4】已知點(diǎn)是橢圓 上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為 【練5】設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）A B C D【練6】在以為中心， 為焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)，滿足，則該橢圓的離心率為（ ）A B C D【解析1】設(shè)，因?yàn)?，所以，又，所以，所以橢圓的離心率為【解析2】作出圖象，如圖所示，由題意，得在中，則在中，則，即，即橢圓的離心率為【解析3】由橢圓對(duì)稱性知，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓議程得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，則由，得，所以橢圓的離心率為，故選D【解析4】

8、一方面的面積為；另一方面的面積為，又，橢圓的離心率為.【解析5】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，由得中利用三角函數(shù)的定義算出，利用勾股定理算出，進(jìn)而得到長(zhǎng)軸，即可算出該橢圓的離心率， 【解析6】延長(zhǎng)與橢圓交于，因?yàn)榕c互相平分，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，所以離心率取值范圍問(wèn)題：【例】橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上恰有個(gè)不同點(diǎn)，使為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是_【解析】6個(gè)不同的點(diǎn)有兩個(gè)為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，另外4個(gè)分別在第一、二、三、四象限，且上下對(duì)稱左右對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，當(dāng)，所以，整理可得，又，當(dāng)時(shí)，所以，綜上可得離心率的范圍為【例】設(shè)A為橢圓（）上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于

9、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AFBF若ABF，則該橢圓離心率的取值范圍為 【解析】B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為F，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF|=2a又|BF|=|AF|AF|+|BF|=2a O是RtABF的斜邊中點(diǎn)，|AB|=2c又|AF|=2csin |BF|=2ccos 代入2csin+2ccos=2a 【練1】已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，則該橢圓離心率的取值范圍為 【練2】設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓：的左右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在異于點(diǎn)，的點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是 【練3】已知橢圓M：+=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（c，0

10、），F(xiàn)2（c，0），P為橢圓M上任意一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是c2，3c2，其中c=，則該橢圓的離心率的取值范圍為 【解析1】由已知得，又，故；故應(yīng)填.【解析2】由題意以為直徑的圓與橢圓有除以外的交點(diǎn)，圓方程為，由，得，此方程一根為，另一根為，則，所以【解析3】由題意，設(shè)點(diǎn)P為（x，y），+=1，x2=，=（cx，y），=（cx，y），=x2c2+y2=c2+y2=a2c2，當(dāng)y=0時(shí)，取到最大值a2c2，即c2a2c23c2，ca2c，e，橢圓m的離心率e的取值范圍是：，考向五：橢圓方程應(yīng)用拓展（補(bǔ)充：通徑，焦半徑）【例】設(shè)分別為和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是（ ）A. B. C. D

11、.【解析】【例】如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取垂直于軸的直線與橢圓相較于不同的兩點(diǎn)、，過(guò)、作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)Q(x0,0)設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx02(x2x0)2x028(x4,4)設(shè)P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)xx1時(shí)取最小值，又因x1(4,4)，所以上式當(dāng)x2x0時(shí)取最小值，從而x12x0，且|QP|28x02.因?yàn)镻QPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，

12、y1)·(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y120.由橢圓方程及x12x0得，解得，.從而|QP|28x02.故這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，.【練1】已知是橢圓上任意一點(diǎn)，是圓的直徑，則的最大值為 【練2】已知橢圓左焦點(diǎn)為，、是該橢圓上不同的三點(diǎn)，若是的重心，則_【練3】若橢圓和橢圓的焦點(diǎn)相同且給出如下四個(gè)結(jié)論：橢圓和橢圓一定沒(méi)有公共點(diǎn)；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_ _【解析1】【解析2】由題意可得，設(shè)三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：，因?yàn)槭堑闹匦?，所以有，即，根?jù)橢圓的焦半徑關(guān)系可得，故答案為【解析3】?jī)煞匠搪?lián)立求解，無(wú)解，即結(jié)論正確；可得，又因，所以，故結(jié)論不正確因兩橢圓共焦點(diǎn)，所以

13、，即，故結(jié)論正確由前面結(jié)論知，所以，則，即，故，因此所以結(jié)論正確綜上，正確結(jié)論的序號(hào)為考向六：直線與橢圓（一）：坐標(biāo)法、點(diǎn)差法【例】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)若的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的方程為（ ）A B C D【解析】設(shè)，則，兩式相減可得，依題意，則，即，又，得，即橢圓方程為【例】已知橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)若，則_【解析】由已知e，所以，所以，則橢圓方程1變?yōu)樵O(shè)A，又3，所以，所以，所以， ， 9×，得，所以，所以，所以，從而，所以A，B，故【例】直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)使得面積為2，這樣的點(diǎn)共有（ ）個(gè)A 1 B 2 C 3

14、D 4【解析】直線與橢圓聯(lián)立得：或設(shè)，根據(jù)條件，若點(diǎn)到直線的距離為那么，解得設(shè)與已知直線平行的直線為，并且與橢圓相切，這樣聯(lián)立橢圓方程，令，解得所以切線方程是和因?yàn)橹本€與已知直線的距離為，同理直線與已知直線的距離為這樣到直線的距離為的直線有兩條，這兩條直線與橢圓都相交，分別有兩個(gè)交點(diǎn)，共4個(gè)，故選D【例】已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是 【解析】如圖，延長(zhǎng)，交與N點(diǎn)，PM是平分線，且，|PN|=|PF1|，M為中點(diǎn)，連接OM，O為中點(diǎn)，M為中點(diǎn)在橢圓 中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為則，P點(diǎn)在橢圓上，（0，a，又當(dāng)=a時(shí)，不成立，（0，a）|O

15、M|（0，c）【練1】橢圓=1中，以點(diǎn)M（1，2）為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為（ ）A B C D【練2】橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是 【練3】已知橢圓的離心率是，過(guò)橢圓上一點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且斜率分別為，若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值為 【練4】線段是橢圓過(guò)的一動(dòng)弦，且直線與直線交于點(diǎn)，則【練5】如圖平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)， 圓的半徑為2，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，在軸的上方交橢圓于點(diǎn)則 【練6】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，弦過(guò)，若的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則值為A B C D【解析1】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓得，兩式相減得，即，即，弦所在的直線的斜率為，【解析2】設(shè)與直線平行的直線方程為,將其代入橢圓方程得，令,解得，或橢圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值轉(zhuǎn)化為直線與直線的距離的最大值顯然其中當(dāng)時(shí)，距離最大，最大值為兩條平行線的距離【解析3】設(shè)，則由點(diǎn)差法得因此，因?yàn)殡x心率是，所以，從而【解析4】設(shè)直線的方程為，所以，設(shè)的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，所以，代入化簡(jiǎn)得【解析5】由題意可知,在中,所以,所以直線的斜率.則直線的方程為.消去整理可得,解得或.可得.,在中, ,.【解析6】橢圓： a=5，b