選修1-1選修2-1圓錐曲線與方程第一節(jié)橢圓定義與幾何性質(zhì)

1、橢圓及幾何性質(zhì)考向一：定義法、待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程【例】已知橢圓的兩個焦點為（-2，0），（2,0）且過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例】一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程【解析】設(shè)圓的半徑為，由題，故，即的軌跡是以為焦點的橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為【例】（1）焦點在軸上時（2）焦點在軸上時考向二：定義運用（拓展：焦點三角形）【例】橢圓的兩個焦點為 、，弦經(jīng)過，則的周長為（ ）A B C D【解析】的周長為【例】若點在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點，且，則的面積是（ ）A B C D【解析】由橢圓方程可知 由題意可得，故B正確思考：（1）改成，求 （2）若，求【思路點睛】橢圓焦點三角形的應(yīng)用思路：

2、橢圓上一點與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，主要考慮利用橢圓定義可求其周長；利用橢圓定義和余弦定理（勾股定理）可求，或通過整體代入可求其面積等【例】已知橢圓：，點與的焦點不重合，若關(guān)于的兩焦點的對稱點分別為，線段的中點在上，則 【解析】由橢圓方程得： 所以， 如圖所示，點分別是線段的中點，所以分別是的中位線，所以，因為點在橢圓上，所以所以，【練1】已知橢圓C：+=1（ab0）的兩個焦點分別為F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C 經(jīng)過點P（，）, 橢圓C的方程為 【練2】已知橢圓的焦點分別為，是橢圓上一點，若連接，三點恰好能構(gòu)成直角三角形，則點到軸的距離是（ ）A3 B C或

3、 D【練3】已知橢圓:，左右焦點分別為，過的直線交橢圓于 兩點，則的最大值為_【練4】已知點為橢圓上任意一點，、分別為橢圓的左、右焦點，為的內(nèi)心，若成立，則的值為 【解析1】由題意可知，由橢圓定義可知 ，橢圓方程為【解析2】當(dāng)或時，點的縱坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，解得，所以點到軸的距離為；當(dāng)時， 且 ，由，得設(shè)點到軸的距離為，則由三角形面積公式，得，即，所以不滿足條件，故選B【解析3】由橢圓方程知，又根據(jù)橢圓的定義知，即，所以當(dāng)最小時，即垂直軸時，最大，此時易知，所以最大值，以答案應(yīng)填：【解析4】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，為的內(nèi)心，所以 因為為橢圓上任意一點，、分別為橢圓的左、右焦點，由橢圓的定義得，

4、得.考向三：幾何性質(zhì)【例】已知橢圓，若焦距為，則等于（ ）A B C或 D或【解析】由題意得，當(dāng)時，即時，橢圓的焦點在軸上，此時，解得；當(dāng)時，即時，橢圓的焦點在軸上，此時，解得，所以實數(shù)的值為或【練】橢圓以軸和軸為對稱軸，經(jīng)過點，長軸長是短軸長的倍，則橢圓的方程為（ ）A B C或 D或【解析】當(dāng)為長軸端點時，由題意可知，此時橢圓焦點在軸，所以橢圓方程為；當(dāng)為短軸端點時，由題意可知，此時橢圓焦點在軸，所以橢圓方程為【例】如圖，橢圓（ab）的離心率，左焦點為F，A，B，C為其三個頂點，直線CF與AB交于D，則tanBDC的值為 【解析】因為，所以；因為，所以【一題多解】法二：法三：法四：考向四：

5、離心率及取值范圍求橢圓離心率的方法：（1）直接法：即根據(jù)條件直接求出的值，利用離心率公式直接求解；（2）比值法：即列出含有的齊次方程（或不等式），借助于間的關(guān)系消去，轉(zhuǎn)化為含有的方程（或不等式）求解【例】橢圓的左、右頂點分別是，左、右焦點分別是若是，的等比中項，則此橢圓的離心率為（ ）A B C D2【解析】由題意，得，即，即，所以，故選B【例】橢圓的左焦點為,過原點的直線與相交于兩點，連接，若，則的離心率 【解析】在中，由余弦定理得：，又，所以，設(shè)為橢圓的右焦點，連接，根據(jù)對稱性可得四邊形是矩形，所以，由，所以【例】如圖所示，分別是橢圓的右、上頂點，是的三等分點（靠近點），為橢圓的右焦點，的

6、延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為 【解析】設(shè)A ，B ，F(xiàn) ，橢圓方程為，令，可得，即有M ，由C是AB的三等分點（靠近點B），可得C ，由O，C，M共線，可得，即為，即有，則【例】如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足當(dāng)點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是橢圓，那么這個橢圓的離心率是（ ）A B C D【解析】設(shè)，由題意可得，又因為，所以，所以，所以【練1】設(shè)橢圓()的左、右焦點分別為，是上的點，則的離心率為（ ）A B C D【練2】設(shè)是橢圓的左右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則C的離心率為（ ）A、 B、 C、 D、【練3】如圖，點為橢圓：的右頂點，在橢圓上，若四

7、邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率為（ ）A B C D【練4】已知點是橢圓 上的一點，是橢圓的兩個焦點，若的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為 【練5】設(shè)為橢圓的兩個焦點，為橢圓上的點，且，則橢圓的離心率為（ ）A B C D【練6】在以為中心， 為焦點的橢圓上存在一點，滿足，則該橢圓的離心率為（ ）A B C D【解析1】設(shè)，因為，所以，又，所以，所以橢圓的離心率為【解析2】作出圖象，如圖所示，由題意，得在中，則在中，則，即，即橢圓的離心率為【解析3】由橢圓對稱性知，點在線段的垂直平分線上，所以點的橫坐標(biāo)為，代入橢圓議程得點的縱坐標(biāo)為，所以，則由，得，所以橢圓的離心率為，故選D【解析4】

8、一方面的面積為；另一方面的面積為，又，橢圓的離心率為.【解析5】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，由得中利用三角函數(shù)的定義算出，利用勾股定理算出，進而得到長軸，即可算出該橢圓的離心率， 【解析6】延長與橢圓交于，因為與互相平分，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，因為，所以，所以，所以離心率取值范圍問題：【例】橢圓的左右焦點為，橢圓上恰有個不同點，使為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是_【解析】6個不同的點有兩個為短軸的兩個端點，另外4個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱，不妨設(shè)點在第一象限，則，當(dāng)，所以，整理可得，又，當(dāng)時，所以，綜上可得離心率的范圍為【例】設(shè)A為橢圓（）上一點，點A關(guān)于

9、原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且AFBF若ABF，則該橢圓離心率的取值范圍為 【解析】B和A關(guān)于原點對稱B也在橢圓上，設(shè)左焦點為F，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF|=2a又|BF|=|AF|AF|+|BF|=2a O是RtABF的斜邊中點，|AB|=2c又|AF|=2csin |BF|=2ccos 代入2csin+2ccos=2a 【練1】已知、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，若，則該橢圓離心率的取值范圍為 【練2】設(shè)點，分別為橢圓：的左右頂點，若在橢圓上存在異于點，的點，使得，其中為坐標(biāo)原點，則橢圓的離心率的取值范圍是 【練3】已知橢圓M：+=1（ab0）的左、右焦點分別為F1（c，0

10、），F(xiàn)2（c，0），P為橢圓M上任意一點，且的最大值的取值范圍是c2，3c2，其中c=，則該橢圓的離心率的取值范圍為 【解析1】由已知得，又，故；故應(yīng)填.【解析2】由題意以為直徑的圓與橢圓有除以外的交點，圓方程為，由，得，此方程一根為，另一根為，則，所以【解析3】由題意，設(shè)點P為（x，y），+=1，x2=，=（cx，y），=（cx，y），=x2c2+y2=c2+y2=a2c2，當(dāng)y=0時，取到最大值a2c2，即c2a2c23c2，ca2c，e，橢圓m的離心率e的取值范圍是：，考向五：橢圓方程應(yīng)用拓展（補充：通徑，焦半徑）【例】設(shè)分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（ ）A. B. C. D

11、.【解析】【例】如圖，橢圓的中心為原點，長軸在軸上，離心率，過左焦點作軸的垂線交橢圓于、兩點，（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取垂直于軸的直線與橢圓相較于不同的兩點、，過、作圓心為的圓，使橢圓上的其余點均在圓外若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由橢圓的對稱性，可設(shè)Q(x0,0)設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx02(x2x0)2x028(x4,4)設(shè)P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點，因此，上式當(dāng)xx1時取最小值，又因x1(4,4)，所以上式當(dāng)x2x0時取最小值，從而x12x0，且|QP|28x02.因為PQPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，

12、y1)·(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y120.由橢圓方程及x12x0得，解得，.從而|QP|28x02.故這樣的圓有兩個，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，.【練1】已知是橢圓上任意一點，是圓的直徑，則的最大值為 【練2】已知橢圓左焦點為，、是該橢圓上不同的三點，若是的重心，則_【練3】若橢圓和橢圓的焦點相同且給出如下四個結(jié)論：橢圓和橢圓一定沒有公共點；其中所有正確結(jié)論的序號是_ _【解析1】【解析2】由題意可得，設(shè)三點的橫坐標(biāo)分別為：，因為是的重心，所以有，即，根據(jù)橢圓的焦半徑關(guān)系可得，故答案為【解析3】兩方程聯(lián)立求解，無解，即結(jié)論正確；可得，又因，所以，故結(jié)論不正確因兩橢圓共焦點，所以

13、，即，故結(jié)論正確由前面結(jié)論知，所以，則，即，故，因此所以結(jié)論正確綜上，正確結(jié)論的序號為考向六：直線與橢圓（一）：坐標(biāo)法、點差法【例】已知橢圓的右焦點為,過點的直線交橢圓于兩點若的中點坐標(biāo)為,則的方程為（ ）A B C D【解析】設(shè)，則，兩式相減可得，依題意，則，即，又，得，即橢圓方程為【例】已知橢圓：的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點若，則_【解析】由已知e，所以，所以，則橢圓方程1變?yōu)樵O(shè)A，又3，所以，所以，所以， ， 9×，得，所以，所以，所以，從而，所以A，B，故【例】直線與橢圓相交于兩點，該橢圓上點使得面積為2，這樣的點共有（ ）個A 1 B 2 C 3

14、D 4【解析】直線與橢圓聯(lián)立得：或設(shè)，根據(jù)條件，若點到直線的距離為那么，解得設(shè)與已知直線平行的直線為，并且與橢圓相切，這樣聯(lián)立橢圓方程，令，解得所以切線方程是和因為直線與已知直線的距離為，同理直線與已知直線的距離為這樣到直線的距離為的直線有兩條，這兩條直線與橢圓都相交，分別有兩個交點，共4個，故選D【例】已知點是橢圓上的動點，、為橢圓的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，若是的角平分線上的一點，且，則的取值范圍是 【解析】如圖，延長，交與N點，PM是平分線，且，|PN|=|PF1|，M為中點，連接OM，O為中點，M為中點在橢圓 中，設(shè)P點坐標(biāo)為則，P點在橢圓上，（0，a，又當(dāng)=a時，不成立，（0，a）|O

15、M|（0，c）【練1】橢圓=1中，以點M（1，2）為中點的弦所在的直線斜率為（ ）A B C D【練2】橢圓上的點到直線的最大距離是 【練3】已知橢圓的離心率是，過橢圓上一點作直線交橢圓于兩點，且斜率分別為，若點關(guān)于原點對稱，則的值為 【練4】線段是橢圓過的一動弦，且直線與直線交于點，則【練5】如圖平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，分別是橢圓的左、右兩個頂點， 圓的半徑為2，過點作圓的切線，切點為，在軸的上方交橢圓于點則 【練6】橢圓的左右焦點分別為，弦過，若的內(nèi)切圓周長為，兩點的坐標(biāo)分別為，則值為A B C D【解析1】設(shè)弦的兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓得，兩式相減得，即，即，弦所在的直線的斜率為，【解析2】設(shè)與直線平行的直線方程為,將其代入橢圓方程得，令,解得，或橢圓上點到直線的距離的最大值轉(zhuǎn)化為直線與直線的距離的最大值顯然其中當(dāng)時，距離最大，最大值為兩條平行線的距離【解析3】設(shè)，則由點差法得因此，因為離心率是，所以，從而【解析4】設(shè)直線的方程為，所以，設(shè)的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立，化簡得，所以，代入化簡得【解析5】由題意可知,在中,所以,所以直線的斜率.則直線的方程為.消去整理可得,解得或.可得.,在中, ,.【解析6】橢圓： a=5，b