(學(xué))高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題：用放縮法處理數(shù)列和不等問題

1、數(shù)列和不等問題（教師版）一先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）例1正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解：（1）由已知得，時(shí)，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以真題演練1：(06全國1卷理科22題)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和,，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：.解: ()由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2 再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)

2、×(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數(shù)列 an+2n是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()將an=4n2n代入得 Sn= ×(4n2n)×2n+1 + = ×(2n+11)(2n+12) = ×(2n+11)(2n1) Tn= = × = ×( )所以, = ) = ×( ) < 二先放縮再求和1放縮后成等比數(shù)列，再求和例2

3、等比數(shù)列中，前n項(xiàng)的和為，且成等差數(shù)列設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和為，證明：解：，公比 （利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的模擬公式猜想） 真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）證明：.（I）解：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 即（II）證法一：，得即，得即是等差數(shù)列 （III）證明：2放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因?yàn)?，所以與同號(hào)，又因?yàn)椋?，即，即所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得3放縮后成等差數(shù)列，再求和例4已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1) 求證

4、：；(2) 求證：解：（1）在條件中，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得 所以， ， 所以（2）因?yàn)椋?，所以；練?xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)，恒有且.對(duì)于正數(shù)列，其前n項(xiàng)和，.() 求實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較和的大小并證明之.解：() （利用函數(shù)值域夾逼性）；（II）；（），2.（04全國）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：， （1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有分析：由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：（n>1）化簡得：,故數(shù)列是以為首項(xiàng), 公比為

5、的等比數(shù)列.故 數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知：，因此，可將保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， （2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，所以對(duì)任意整數(shù)，有。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。3.（07武漢市模擬）定義數(shù)列如下：求證：（1）對(duì)于恒有成立； （2）當(dāng)，有成立； （3）分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。 （2）由得： 以上各式兩邊分別相

6、乘得： ，又 （3）要證不等式，可先設(shè)法求和：，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。又原不等式得證。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。數(shù)列和不等問題（學(xué)生版）一先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）例1正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：真題演練1：(06全國1卷理科22題)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和,，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：.二先放縮再求和1放縮后成等比數(shù)列，再求和例2等比數(shù)列中，前n項(xiàng)的和為，且成等差數(shù)列設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和為，證明：真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）證明：.2放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3已知數(shù)列滿足：，求證：3放縮后成等差數(shù)列，再求和例4已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1) 求證：；(2) 求證：練習(xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)，恒有且.對(duì)于正數(shù)列，其前n項(xiàng)和，.() 求實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較和的大小并證明之.2.（