高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性習(xí)題及詳解

1、高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性習(xí)題及詳解一、選擇題1(文)下列函數(shù)，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )Ayxx3(xR)By3x(xR)Cylog2x(x>0，xR)Dy(xR，x0)答案 A解析 首先函數(shù)為奇函數(shù)、定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C，若x0在定義域內(nèi)，則應(yīng)有f(0)0，排除B；又函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，排除D，故選A.(理)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減的是( )Af(x)sinx Bf(x)|x1|Cf(x)(axax) Df(x)ln答案 D解析 ysinx與yln為奇函數(shù)，而y(axax)為偶函數(shù)，y|x1|是非奇非偶函數(shù)ysinx在1,1上為增

2、函數(shù)故選D.2(2010·安徽理，4)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)1，f(2)2，則f(3)f(4)( )A1 B1C2 D2答案 A解析 f(3)f(4)f(2)f(1)f(2)f(1)211，故選A.3(2010·河北唐山)已知f(x)與g(x)分別是定義在R上奇函數(shù)與偶函數(shù)，若f(x)g(x)log2(x2x2)，則f(1)等于( )A B.C1 D.答案 B解析 由條件知，f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，f(1).4(文)(2010·北京崇文區(qū))已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f(x2)，當(dāng)1x2時(shí)，f(x)x2，則f(6.

3、5)( )A4.5 B4.5C0.5 D0.5答案 D解析 f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)，f(x)周期為4，f(6.5)f(6.58)f(1.5)f(1.5)1.520.5.(理)(2010·山東日照)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f(x2)f(x)，若f(x)在1,0上是減函數(shù)，則f(x)在2,3上是( )A增函數(shù) B減函數(shù)C先增后減的函數(shù) D先減后增的函數(shù)答案 A解析 由f(x2)f(x)得出周期T2，f(x)在1,0上為減函數(shù)，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)在0,1上為增函數(shù)，從而f(x)在2,3上為增函數(shù)5(2010·遼寧錦州)已知函數(shù)f(x)

4、是定義在區(qū)間a，a(a>0)上的奇函數(shù)，且存有最大值與最小值若g(x)f(x)2，則g(x)的最大值與最小值之和為( )A0 B2C4 D不能確定答案 C解析 f(x)是定義在a，a上的奇函數(shù)，f(x)的最大值與最小值之和為0，又g(x)f(x)2是將f(x)的圖象向上平移2個(gè)單位得到的，故g(x)的最大值與最小值比f(x)的最大值與最小值都大2，故其和為4.6定義兩種運(yùn)算:ab，ab|ab|，則函數(shù)f(x)( )A是偶函數(shù)B是奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)答案 B解析 f(x)，x24，2x2，又x0，x2,0)(0,2則f(x)，f(x)f(x)0，故選B.7

5、已知f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，設(shè)af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，則a、b、c的大小關(guān)系是( )Ac<b<a Bb<c<aCb<a<c Da<b<c答案C解析由題意知f(x)f(|x|)log47log2>1，|log3|log23>log2，0<0.20.6<1，|log3|>|log47|>|0.20.6|.又f(x)在(，0上是增函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù)，f(x)在0，)上是減函數(shù)b<a<c.故選C.8已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)2，f

6、(x1)，則f(2011)等于()A2B3CD.答案C解析由條件知，f(2)3，f(3)，f(4)，f(5)f(1)2，故f(x4)f(x)(xN*)f(x)的周期為4，故f(2011)f(3).點(diǎn)評嚴(yán)格推證如下：f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)即f(x)周期為4.故f(4kx)f(x)，(xN*，kN*)，9設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析f(x)為奇函數(shù)，f(0)0，a1.f(x)lg，由f(x)<0得0<<1，1<x<0，故選A.10(文)(09&#

7、183;全國)函數(shù)ylog2的圖象()A關(guān)于原點(diǎn)對稱B關(guān)于直線yx對稱C關(guān)于y軸對稱D關(guān)于直線yx對稱答案A解析首先由>0得，2<x<2，其次令f(x)log2，則f(x)f(x)log2log2log210.故f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選A.(理)函數(shù)y，x(，0)(0，)的圖象可能是下列圖象中的()答案C解析y是偶函數(shù)，排除A，當(dāng)x2時(shí)，y>2，排除D，當(dāng)x時(shí)，y>1，排除B，故選C.二、填空題11(文)已知f(x)，則ff的值為_答案2解析ff1f2sin2，fsinsin，原式2.(理)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且yf(x)的圖象關(guān)于直

8、線x對稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.答案0解析f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，ff，對任意xR都成立，f(x)f(1x)，又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)f(1x)f(1x)f(2x)，周期T2f(0)f(2)f(4)0又f(1)與f(0)關(guān)于x對稱f(1)0f(3)f(5)0填0.12(2010·深圳中學(xué))已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，yg(x)是奇函數(shù)，它們的定義域都是，且它們在x0，上的圖象如圖所示，則不等式<0的解集是_答案解析依據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，先補(bǔ)全f(x)、g(x)的圖象，<0，或，觀察兩函數(shù)的圖象，其

9、中一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方的，即滿足要求，<x<0或<x<.13(文)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x2對稱，且當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)x21.則f(5)_.答案0解析由題意知f(5)f(5)f(23)f(23)f(1)(1)210.(理)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)a，當(dāng)x1時(shí)，f(x)(xb)2，則f(3)f(5)_.答案12解析f(x)是R上的奇函數(shù)，f(0)0，1x1時(shí)，f(x)a，a0.f(1)(1b)20，b1.當(dāng)x1時(shí)，x1，f(x)(x1)2(x1)2，f(x)為奇函數(shù)，f(x)(x1)2，f(x)f

10、(3)f(5)(31)2(51)212.點(diǎn)評求得b1后，可直接由奇函數(shù)的性質(zhì)得f(3)f(5)f(3)f(5)(31)2(51)212.14(文)(2010·山東棗莊模擬)若f(x)lg(aR)是奇函數(shù)，則a_.答案1解析f(x)lg是奇函數(shù)，f(x)f(x)0恒成立，即lglglg0.1，(a24a3)x2(a21)0，上式對定義內(nèi)的任意x都成立，a1.點(diǎn)評可以先將真數(shù)通分，再利用f(x)f(x)恒成立求解，運(yùn)算過程稍簡單些如果利用奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)考慮，則問題變得比較簡單f(x)lg為奇函數(shù)，顯然x1不在f(x)的定義域內(nèi)，故x1也不在f(x)的定義域內(nèi)，令x1，得a1.故平時(shí)解

11、題中要多思少算，培養(yǎng)觀察、分析、捕捉信息的能力(理)(2010·吉林長春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)lg為奇函數(shù)，則使不等式f(x)<1成立的x的取值范圍是_答案<x<2解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)0恒成立，lglglg0，1，a0，0，a4，f(x)lglg，由f(x)<1得，lg<1，0<<，由>0得，2<x<2，由<得，x<2或x>，<x<2.三、解答題15(2010·杭州外國語學(xué)校)已知f(x)x2bxc為偶函數(shù)，曲線yf(x)過點(diǎn)(2,5)，g(x)(xa)f(x)(1)

12、若曲線yg(x)有斜率為0的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若當(dāng)x1時(shí)函數(shù)yg(x)取得極值，且方程g(x)b0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解析(1)由f(x)為偶函數(shù)知b0，又f(2)5，得c1，f(x)x21.g(x)(xa)(x21)x3ax2xa，因?yàn)榍€yg(x)有斜率為0的切線，所以g(x)3x22ax10有實(shí)數(shù)解4a2120，解得a或a.(2)由題意得g(1)0，得a2.g(x)x32x2x2，g(x)3x24x1(3x1)(x1)令g(x)0，得x11，x2.當(dāng)x(，1)時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x(，)時(shí)，g(x)>0，g(

13、x)在x1處取得極大值，在x處取得極小值又g(1)2，g()，且方程g(x)b0即g(x)b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，<b<2，解得2<b<.16(2010·揭陽模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2011)分析由f(x2)f(x)可得f(x4)與f(x)關(guān)系，由f(x)為奇函數(shù)及在(0,2上解析式可求f(x)在2,0上的解析式，進(jìn)而可得f(x)在2,4上的解析式解析(1)f(x2)f(

14、x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當(dāng)x2,0時(shí)，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當(dāng)x2,4時(shí)，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)x26x8.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)x26x8.從而求得x2,4時(shí)，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(

15、2)f(2011)0.17(文)已知函數(shù)f(x)1(a>0且a1)是定義在(，)上的奇函數(shù)(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的值域；(3)當(dāng)x(0,1時(shí)，tf(x)2x2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解析(1)f(x)是定義在(，)上的奇函數(shù)，即f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即10，解得a2.(2)y，2x，由2x>0知>0，1<y<1，即f(x)的值域?yàn)?1,1)(3)不等式tf(x)2x2即為2x2.即：(2x)2(t1)·2xt20.設(shè)2xu，x(0,1，u(1,2u(1,2時(shí)u2(t1)·ut20恒成立，解得t0.(理)設(shè)函數(shù)f(x

16、)ax2bxc(a、b、c為實(shí)數(shù)，且a0)，F(xiàn)(x).(1)若f(1)0，曲線yf(x)通過點(diǎn)(0,2a3)，且在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，求F(x)的表達(dá)式；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)kxf(x)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)設(shè)mn<0，mn>0，a>0，且f(x)為偶函數(shù)，證明F(m)F(n)>0.解析(1)因?yàn)閒(x)ax2bxc，所以f (x)2axb.又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，故f (1)0，即2ab0，因此b2a.因?yàn)閒(1)0，所以bac.又因?yàn)榍€yf(x)通過點(diǎn)(0,2a3)，所以c2a3.解由，組成的方程組得，a3，b6，c3.從