高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案之高階導(dǎo)數(shù)

1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel#167;2. 3 高階導(dǎo)數(shù)授課次序12教 學(xué) 基 本 指 標教學(xué)課題§2. 3 高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法當堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)難點n階導(dǎo)數(shù)參考教材同濟大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標準化作業(yè)雙語教學(xué)導(dǎo)數(shù)：derivative；連續(xù)性：continuity；連續(xù)函數(shù)：continuous function ；斜率：slope ；微分：differential calculus；階：order ；切線：tangent li

2、ne；切線方程：tangential equation；法線：normal line課堂教學(xué)目標1 掌握高階導(dǎo)數(shù)的一般求法2 掌握幾種基本函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)教學(xué)過程1前一節(jié)講解（20min） 2高階導(dǎo)數(shù)的定義（15min）；3高階導(dǎo)數(shù)的計算（20min）； 4n階導(dǎo)數(shù)（35min）教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容§2. 3 高階導(dǎo)數(shù)一般地, 函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y¢=f ¢(x)仍然是x 的函數(shù). 我們把y¢=f ¢(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù), 記作 y¢¢、f ¢¢(x)或, 即 y¢

3、62;=(y¢)¢, f ¢¢(x)=f ¢(x)¢ , . 相應(yīng)地, 把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f ¢(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù). 類似地, 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 叫做三階導(dǎo)數(shù), 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù), × × ×, 一般地, (n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n 階導(dǎo)數(shù), 分別記作 y¢¢¢, y (4), × × × , y (n) 或, , × × × , . 函數(shù)f(x)具有n 階導(dǎo)數(shù), 也常說成函

4、數(shù)f(x)為n 階可導(dǎo). 如果函數(shù)f(x)在點x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 那么函數(shù)f(x)在點x 的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n 階的導(dǎo)數(shù). 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù). y¢稱為一階導(dǎo)數(shù), y¢¢, y¢¢¢, y (4), × × ×, y(n)都稱為高階導(dǎo)數(shù). 例1y=ax +b , 求y¢¢. 解: y¢=a, y¢¢=0. 例2s=sin w t, 求s¢¢. 解: s¢=w cos w t , s¢&#

5、162;=-w 2sin w t . 例3證明: 函數(shù)滿足關(guān)系式y(tǒng) 3y¢¢+1=0. 證明: 因為, , 所以y 3y¢¢+1=0. 例4求函數(shù)y=ex 的n 階導(dǎo)數(shù). 解; y¢=ex , y¢¢=ex , y¢¢¢=ex , y( 4)=ex , 一般地, 可得 y( n)=ex , 即 (ex)(n)=ex . 例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù). 解: y=sin x, , , , , 一般地, 可得 , 即. 用類似方法, 可得. 例6求對函數(shù)ln(1+x)的n 階導(dǎo)數(shù) 解: y=

6、ln(1+x), y¢=(1+x)-1, y¢¢=-(1+x)-2, y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3, y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 一般地, 可得 y(n)=(-1)(-2)× × ×(-n+1)(1+x)-n, 即 . 例6求冪函數(shù)y=xm (m是任意常數(shù))的n 階導(dǎo)數(shù)公式. 解: y¢=mxm-1, y¢¢=m(m-1)xm-2, y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3, y ( 4)=m(m-1)(m-2

7、)(m-3)xm-4, 一般地, 可得 y (n)=m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n , 即 (xm )(n) =m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n . 當m=n時, 得到 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) × × × 3 × 2 × 1=n! . 而 (x n)( n+1)=0 . 如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 那么顯然函數(shù)u(x)±v(x)也在點x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 且 (u&

8、#177;v)(n)=u(n)+v(n) . (uv)¢=u¢v+uv¢ (uv)¢¢=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢, (uv)¢¢¢=u¢¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢ , 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 , 這一公式稱為萊布尼茨公式. 例8y=x2e2x , 求y(20). 解: 設(shè)u=e2x , v=x2, 則 (u)(k)=2k e2x (k=1, 2, × × × , 20), v¢=2x , v¢¢=2, (v)(k) =0 (k=3, 4, × × × , 20), 代入萊布尼茨公式, 得 y (20)=(u v)(20)=u(20)×v+C 201u(19)×v¢+C 202u(18