名師指點(diǎn)解題技巧二面角的計(jì)算方法選講

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載AB_ A D=A B_L平面VA D名師指點(diǎn)解題技巧：二面角的計(jì)算方法選講二面角是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，是每年高考數(shù)學(xué)的一個(gè)必考內(nèi)容，本文主要通過(guò)一些典型的例子說(shuō)明二面角的基本計(jì)算方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。一、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知識(shí)求解之。通常作二面角的平面角的途徑有：定義法：在二面角的棱上取一個(gè)特殊點(diǎn)，由此點(diǎn)出發(fā)在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線;三垂線法：如圖1, C是二面角a AB P的面P內(nèi) / J一1一 / 4的一個(gè)點(diǎn)，CO_L平面a于O,只需作 ODLAB圖1于D,連接CD,用三垂線定理可證明/ CDO就是所求二面角的平面角。垂面法：即在

2、二面角的棱上取一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作平面 不，使尸垂直于二面角的棱，則 ? 與二面角的兩個(gè)面的交線所成的角就是該二面角的平面角。例1如圖2,在四棱錐 V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面 VAD是正三角形, 平面 VAD，底面 ABCD .(1)證明AB，平面VAD ;(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小.V解：(1)證明：平面VAD_L平面 ABCD AB二平面 ABCDAD=平面VAD平面 ABC D(2)解：取 VD的中點(diǎn)E,連結(jié)AF, BE,.VAD是正三形，四邊形 ABCD為正方形,由勾股定理可知，BD =、. AB2 AD2 =；/AB2 VA2 =VB, AEXVD , B

3、EXVD ,/ AEB就是所求二面角的平面角學(xué)習(xí)必備歡迎下載又在 RtAABE 中，/ BAE=90 , AE=費(fèi) AD= AB 22因此，tan / AEB= AB =空3 . AE 3即得所求二面角的大小為 arctan 2-.3例2 如圖3, AB，平面 BCD, DCXCB, AD與平面BCD 成 30 的角，且 AB=BC.(1)求AD與平面ABC所成的角的大?。?2)求二面角 C-AD-B的大??；(3)若AB=2 ,求點(diǎn)B到平面ACD的距離。解：(1) AB，平面 BCD , / ADB 就是 AD與平面 BCD所成的角，即/ ADB=30 0,且CDXAB ,又. DCLBC,

4、ABBC=B,CD，平面 ABC , AD與平面ABC所成的角為/ DAC ,設(shè) AB=BC=a,則 AC= T2a , BD=acot30 0= a ,AD=2a, CD=%；BD2BC2 =j2a,tan/ DAC= AC _、2a _1/DAC =45, ,CD 2a即，AD與平面ABC所成的角為45.(2)作CEXBD于E,取AD的中點(diǎn)F,連CF,AB，面 BCD, ABU面ABD,面 ABD，面 BCD,又二 面 ABDA 面 BCD=BD, CE 仁面 BCD, CEL BD ,CEM ABD ,又. AC=BC= ,2a, AF=FD , ，AD，EF,有三垂線定理的逆定理可知，

5、/ CFE就是所求二面角的平面角.計(jì)算可知，CE =BC CD =a ， AD = J AC2 4 CD2 = 2a, CF=1AD=a,BD 32學(xué)習(xí)必備歡迎下載CE 66sin/CFE =,，/ CFE=arcsin CF 33故，所求的二面角為.6arcsin33.略例3如圖4, P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形 ABCDEF所在平 面外一點(diǎn)，PA=1, P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O.(1)證明 PA BF ；(2)求面APB與面DPB所成二面角的大小。解：(1)在正六邊形 ABCDEF中，AABF為等腰三角 形，P在平面ABC內(nèi)的射影為 O,POL平面 ABF,AO為PA在平面ABF內(nèi)的

6、射影；又。為BF中點(diǎn)， MBF為等腰三角形，AO BF ,有三垂線定理可知,PABF.(2) :。為BF中點(diǎn)，ABCDEF是正六邊形 ，A、O、D共線，且直線 AD BF,POL平面 ABF, BFu 面ABF,由三垂線定理可知，ADXPB,過(guò)O在平面 PBF內(nèi)作 OHLPB于H,連 AH、DH , 則 PBL平面 AHD,所以/AHD為 所求二面角平面角。又.正六邊形 ABCDEF的邊長(zhǎng)為1, AODOBOo21也=_2_ 7_OH . 212% 217，.一 ，一,2?一在 MHO 中，OH =,tan/AHO-_ DO 2 421 在 &DHO 中，tan/DHO =、OH212學(xué)習(xí)必備

7、歡迎下載從而，tan . AHD =tan(. AHO . DHO )=7212 . 212_7. 211=-2 21216. 219故，所求的二面角為，16.21二-arctan -.二、面積射影法：如圖5,二面角aP為銳二面角，ABC在半 平面a內(nèi)，ABC在平面p內(nèi)的射影為 A1B1C1,那么二面角a_l _p的大小日應(yīng)滿足cose = *.例4如圖6,矩形ABCD中,AB=6,BC= 2，3,沿對(duì)角線BD將AABC折起，使點(diǎn)A移至點(diǎn)P且P在平面BCD內(nèi)的射影為。，且O在DC上.(1)求證:PDPC;(2)求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；(3)求CD與平面PBD所成的角的正弦值.解：

8、(1)證明： PC在面BCD內(nèi)的射影為 OC,且OCLBC,由三垂線定理可知，BCXPC,又 PB=6, BC= 2V3 ,PC= 2 J6,而 PD= 2/3 , DC= 6學(xué)習(xí)必備歡迎下載222PD +PC =36=DC2, PDXPC.1(2) ZPBD在面BCD內(nèi)的射影為 AOBD,且5衣叱父6父2曲=63,222_2設(shè) OC=x,貝U OD=6-x , BD2 -DO2 =BC2 -CO2,一 2一 224x =12-(6-x) , x = 4.S bod =6.3-43 =2、3,設(shè)二面角P-DB-C的大小為0 ,則cose = 坐 =-.6.3 31故，所求一面角為 arccos

9、-.3三、空間向量法：I、先用傳統(tǒng)方法作出二面角的平面角，再利用向量的夾角公式進(jìn)行計(jì)算。例5 如圖7,直二面角D-AB-E中，四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE = EB ,F為CE上的點(diǎn)，且BFL平面ACE.(1)求證：AEL平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的大??；(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離。解：(1) 二面角D-AB-E為直二面角，AB為棱，CBXAB ,CBL平面EAB ,進(jìn)而可得，CBXAE ,又 BFL平面 ACE, AE XBF,而 BCU 平面 BCE, BFU 平面 BCE,且 BCD BF=F,，AE，平面 BCE.(2)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)OF,由于A

10、BCD為正方形，所以 OBLAC,又因?yàn)锽FL平面ACE,由三垂線定理的逆定理可知，OFLAC,/ BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE內(nèi)作Ax LAB,以A為原點(diǎn)，分別以 Ax、AB、AD為x軸、y軸、z軸，建 立 如圖7的空間直角坐標(biāo)系，易知 AEB為等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1),B(0, 2, 0),C(0,2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 )，設(shè) F ( m, n, t ), C、E、F 三點(diǎn)共線,學(xué)習(xí)必備歡迎下載 CF= CE,即 m, n-2, t-2 = - 1,-1,-2 ,m =九，n =2 九，t =2 2九，即點(diǎn)

11、F坐標(biāo)為（兒,又 BFXAC ,B?AC= 0 ,即(入“ 2-2入 0,2,2 = 0,九=2,故，點(diǎn)f的坐標(biāo)為3爛 3 3 J，2 11 )OF = I 一，一，一一 ,(3 33)OB = 0,1,-1 .OF OB cos ZBOF =OB一 3故，所求的二面角為arccos 33I, II、直接求出平面a和B的法向量n、n2 ,利用向量的夾角公式求T Tnpn2的夾角，再根據(jù)法T T向量n、n2分別相對(duì)于二面角 aP的方向確定出二面角otlP的大小。一般地，當(dāng)法向T T量n、n2都是從二面角a -l -P的內(nèi)部向外部（或外部向內(nèi)部）穿行時(shí)，二面角a -l -P的大小就是叫、出的夾角的

12、補(bǔ)角；當(dāng)法向量 小、叫一個(gè)從二面角a-l-P的內(nèi)部向外部穿行，另TT個(gè)從二面角 汽_p的外部向內(nèi)部穿行時(shí)，二面角ot -l -P的大小就是n1、n2的夾角。例6 （2006年四川卷）如圖8,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1c1D1 中,E, P 分別是 BC,AA 的中點(diǎn)，M ,N分別是AE,CDi的中點(diǎn)， AD = AA1=a, AB = 2 a(I )求證：MN 面 ADD 1Al ;（n）求二面角 p-AE - D的大小。（m）求三棱錐p-DEN 的體積。解：以D為原點(diǎn),A a,0,0DA , DC , DD 1所在直線分別為X軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系,B a,2a,0 ,C 0,2a,0

13、 , A a,0, a , D1 0,0, a E,P,M,N 分別是 BC,AD1, AE,CD1 的中點(diǎn)學(xué)習(xí)必備歡迎下載3a,a,0 , N l 0, a, a2必aa , E ,2a,0 ,P , 0, a , M I22-3a,0,a42取n = (0,1,0),顯然n 上面 ADDe而MN迎面ADDiAMN 面 ADDiA(2)顯然,mi =(0,0,1)是平面 abcd的一個(gè)法向量；設(shè) m2=(x,y,z)是平面pae的一個(gè)法向量,則 m2，AE=0且 m2，AP=0.而AP=/0,W,2a”x az = 0,i可取 m2 =|2,i22a-x 2ay = 0.,2cos ： m1 ,m2jJi21又法向量色=(0,0,1 )是從二面角P AE - D的外部向內(nèi)部穿行的，法向量一 1m2 =, 2,-,1 是從一面角 P - AE2-D的內(nèi)部向外部穿行的2 、. 21故，所求一面角為 arccos.21(3)設(shè) ni =(xi,yi,zi )為平面 DEN 的法向量，則 ni _LDE