2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

1、all 試題2002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題 (本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15分，把答案填在題中橫線上 )2(4) 已知實(shí)二次型 f (x1,x2,x3) a(x12dx(1) e xln2 x(2) 已知函數(shù) y y(x)由方程 ey 6xy x2 1 0 確定，則 y''(0)(3) 微分方程 yy'' y'2 0 滿足初始條件 y1,y'11 的特解是x0x0222x2 x3 ) 4x1x2 4x1x3 4x2x3 經(jīng)正交變換 x Py可化成標(biāo)準(zhǔn)型 f 6 y12 ，則 a.2(5) 設(shè)隨機(jī)變量 X 服

2、從正態(tài)分布 N( , 2)(1率為 ，則20), 且二次方程 y2 4y X 0無實(shí)根的概夢想不會辜負(fù)每一個(gè)努力的人30二、選擇題 (本題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi) .)(1) 考慮二元函數(shù) f (x, y)的下面 4 條性質(zhì)： f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處連續(xù)， f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處可微， f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)， f (x,y)在點(diǎn) (x0, y0 )處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在若用"PQ "表示可由性質(zhì) P推出 Q，則有 ( )(A

3、) .(C) .(2) 設(shè) un0(nn1,2,3,.), 且 limn un(B) .(D) .n 1 1 11,則級數(shù)( 1)n 1(u u ) ( )n 1un un 1(A) 發(fā)散 . (C)條件收斂 .(B) 絕對收斂 .(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定(3) 設(shè)函數(shù) y f (x) 在 (0,) 內(nèi)有界且可導(dǎo)，則 ( )(A) 當(dāng) lim f(x) 0 時(shí)，必有 lim f '(x) 0.xx0.(C) 當(dāng) lim f (x)x00 時(shí)，必有 lim f '(x)x00.(D)當(dāng) lim f '(x) 存在時(shí)，必有 lim f '(x)x 0 x 0

4、0.(4) 設(shè)有三張不同平面的方程ai1x ai2y ai3z bi,i 1,2,3, 它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為 2，則這三張平面可能的位置關(guān)系為( )(B)當(dāng) lim f '(x) 存在時(shí)，必有 lim f '(x)xx四、 (本題滿分 7 分 ) 已知兩曲線 y f (x) 與 y2并求極限 lim nf ( ).narctan x0t2edt 在點(diǎn) (0,0) 處的切線相同，寫出此切線方程，(5) 設(shè) X1和 X 2是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為f1(x) 和f2(x)，分布函數(shù)分別為 F1(x)和 F2(x)，則 (

5、)(A) f1(x) f2(x) 必為某一隨機(jī)變量的概率密度 .(B) f1( x) f 2( x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度 .(C) F1(x) F2(x) 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) .(D) F1(x)F2(x) 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) .三、 (本題滿分 6 分 )0,f '(0) 0, 若設(shè)函數(shù) f(x) 在 x 0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f(0)af (h) bf(2h) f(0) 在h0時(shí)是比 h 高階的無窮小，試確定 a,b的值 .五、 (本題滿分 7 分 )22計(jì)算二重積分emaxx2,y2dxdy,其中 D (x,y)|0 x 1,0 y 1 .D六、

6、 (本題滿分 8 分 )設(shè)函數(shù) f (x) 在( , )內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， L是上半平面 (y 0)內(nèi)的有向分段光1x 滑曲線，其起點(diǎn)為 (a,b)，終點(diǎn)為 (c,d).記I1 y2f ( xy) dx2y2f(xy) 1dy,L yy2(1)證明曲線積分 I 與路徑 L無關(guān)；(2)當(dāng)ab cd時(shí)，求 I 的值.七、 (本題滿分 7 分 )9 3n)滿足微分方程3 x(1) 驗(yàn) 證 函 數(shù) y(x) 1 ！ 3！6x6！L+L( -9！(3n)!xy'' y' y ex;3n(2)利用 (1)的結(jié)果求冪級數(shù)x的和函數(shù) .n0 (3n)!八、 (本題滿分 7 分 )設(shè)有

7、一小山，取它的底面所在的平面為xoy 坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)? 2 2 2D (x,y) x2 y2 xy 75 ，小山的高度函數(shù)為 h(x, y) 75 x2 y2 xy.(1)設(shè)M (x0,y0)為區(qū)域 D上的一點(diǎn)，問 h(x, y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此反向?qū)?shù)的最大值為 g( x0 , y0 ) ，試寫出 g(x0,y0)表達(dá)式 .(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登 的起點(diǎn) .也就是說，要在 D 的邊界線 x2 y2 xy 75上找出使 (1)中的 g(x, y)達(dá)到最大值 的點(diǎn) .試確定攀登起點(diǎn)的位置 .九、 (本

8、題滿分 6 分 )已知 4階方陣 A ( 1, 2, 3, 4), 1, 2, 3, 4均為 4維列向量，其中 2, 3, 4線性無關(guān)， 1 2 2 3.如果12 3 4 ，求線性方程組 Ax 的通解 .十、 (本題滿分 8分)設(shè) A,B 為同階方陣，(1)如果 A, B相似，試證 A,B 的特征多項(xiàng)式相等(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說明 (1)的逆命題不成立(3)當(dāng) A,B 均為實(shí)對稱矩陣時(shí)，試證(1) 的逆命題成立 .、 ( 本題滿分 8 分 )1xcos 0 x22設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為f (x)0, 其他3的次數(shù)，求 Y2的數(shù)學(xué)期望對 X 獨(dú)立地重復(fù)觀察 4 次，用 Y 表示觀察值

9、大于 十二、 (本題滿分 8 分)設(shè)總體 X 的概率分布為X0123P22 (1- )2(1-2)1其中 (0< < 21)是未知參數(shù)，利用總體 X 的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3,求 的矩陣估計(jì)值和最大似然函數(shù)估計(jì)值 .2002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(1) 【答案】1【詳解】先將其轉(zhuǎn)化為普通定積分，求其極限即得廣義積分dx e xln 2 xlim b dx2 b e xln 2 xblimbdln xe ln 2 xblim1 b lim ln x e blnb詳解】 方法 1：這是屬于缺 x 的 yf(y,y)類型. 命 y p,y

10、dp dp dy dx dy dxdpp dy .(2) 【答案】 -2【詳解】 y是由 ey 6xy x2 1 0 確定的 x的函數(shù)，兩邊對 x 求導(dǎo)，eyy 6xy 6y 2x 0,所以 y6yy 2x ,兩邊再對 x求導(dǎo)，得ey 6xy(ey 6x() 6y 2)- (6y 2x)(eyy 6),y (ey 6x)2,把 x 0代入，得 y(0) 0 ， y (0) 0，代入 y ，得 y (0)2.原方程 yy y 2 0 化為 ypdp p2 0 ，得dy11 ，棄之；所以 p02p 0或 yddpy p 00，即 dy 0 ，不滿足初始條件 y'dx x所以， ydpp0

11、，分離變量得dydp ，解之得 pC1. 即 dy C1.dyypy dx y由初始條件 y1,y'1，可將 C1 先定出來：1 C1 ,C1 . 于是得,C1. 于是得x0x022 1 1 2dy 1dx 2y解之得，2y x C2,yx C2 .以 y x 0 1代入，得 1C2 ，所以應(yīng)取 “ +號”且 C21. 于是特解是 y方法 2：將 yy0 改寫為(yy ) 0，從而得 yy C1. 以初始條件 y(0) 1,y (0) 121代入， 有1 12C1 ， 所 以 得 yy 1 . 即1222yy 1 ， 改 寫 為 (y2)1. 解 得yxC2, yx C2 .再以初值代

12、入，C2 所以應(yīng)取 " " 且 C21. 于是特解yx 1.(4)【答案】a詳解】 方法 1： 二次型 f 的對應(yīng)矩陣 A 222 ，經(jīng)正交變換 xPy，可化成標(biāo)準(zhǔn)2 型 f 6y12 ，故 P 為 正 交 矩 陣 ， 有PT且對實(shí)對稱矩 陣 A ， 有PTAP，故 PT AP P 1AP，即因?yàn)榫仃嚨膎個(gè)特征值之和等于它的主對角元素之和，3aiii13a3i ，相似矩陣i1具有相同的特征值，0 6 故有 3a6，得a2.i1方法 2：二次型 f 的對應(yīng)矩陣22 ，經(jīng)正交變換 x Py ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型 f 6y12 ，故 P 為正交矩陣，有 PT P 1，且對實(shí)對稱矩陣 A

13、 ，有 PTAP P 1AP0 ，即0600A : 0 0 0 000 相似矩陣具有相同的特征值，知0 是 A 的特征值，根據(jù)特征值的定義，有0E Aa22a4222a2把第2，3列加到第 1列a 4 a 222aa42a0A1 2 22行1行1 2 21 a 2(a 4)0 a 2 03行1行1 2 a0 0 a 2提取第 1列 的公因子 (a 4)(a 4)(a 2)2 0，a 4 或 a 2，(1)又 6 是 A 的特征值，根據(jù)特征值的定義，有6E A 0 ，由6a6E A6a(對應(yīng)元素相減 )6a兩邊取行列式，6a222a2226a2把第 2，3列加到第 1列2a6a2226a2a26

14、a6E A1221 2 22行1行16a2(2a)0 8 a 03行1行126a0 0 8 a提取第 1列 的公因子 (2 a)(2 a)(8 a)2 0(2)得 a 2 或 a 8因?yàn)?(1) ，(2)需同時(shí)成立，取它們的公共部分，得a 2.方法3： f 的對應(yīng)矩陣為 Aa222 a 2 ，經(jīng)正交變換 x Py ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型22a6y12， (a4)(a2)2其中單根為 a 4 ，二重根為a2 ，故 a 4 6 ，及 a 20 ，故知 a 2.a222方法 4： f 的對應(yīng)矩陣為A2a2 ，經(jīng)正交變換 x Py ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型 f 6y12 ，22a故 P 為正交矩陣，有PTP 1 ，且對

15、實(shí)對稱矩陣6 T1A，有 PT AP P 1AP0 ，即0a226A2a2 : 022a0故 P 為正交矩陣，有6PT P 1，且對實(shí)對稱矩陣 A，有PT AP P 1AP0 ，即0600A : 000000相似矩陣具有相同的特征值，知A的特征值，其中一個(gè)單根是0，直接求 A 的特征值，即由EAa22a222a22a2 ( 對應(yīng)元素相減 )22a22a6，一個(gè)二重根應(yīng)是兩邊取行列式，EAa22a22提取第 1列的公因子 (aaaa a444222a22a2行 1行3行 1行 (1a 4) 002(a 2)00(a 2)故 r(A) r( ) 1 ，a22a22交換第1和第uuu3u行uuu的u

16、u順uuu序uur2 a 2行 1行2 23行 1行 auuuuuuuuuuuuu2ra22a223uu行uuuuu2u行uur 0 a 2002a3uu行uuuuu2r 0a20a2a2(a2 2a 8)2 2 a0 a 2 2 a0 0 (a 2)(a 4)因 r(A) 1 ，故 a 20，且 (a 2)(a 4) 0 ，故應(yīng)取 a 2.(5)【答案】 4.y2 4y X 0的判別式b2 4ac 16 4X 0 ，也就有 X4.此事發(fā)生概率為11 ，即 P X2對于X2: N( , 2)(0), P X詳解】二次方程無實(shí)根，即41(x)21，2，關(guān)于 xf (x)2 exp22對稱；另一方

17、面， 由概率的計(jì)算公式，將面積平分為兩份 P X1，2，因?yàn)檎龖B(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)與 x軸所圍成的面積是 1，所以 x12 ，所以4.二、選擇題(1)【詳解】下述重要因果關(guān)系應(yīng)記住，其中 A 系，箭頭的逆向不成立 .B表示由 A可推出 B . 無箭頭者無因果關(guān)fx (x,y)與 fy (x,y)連續(xù)f (x, y)可微fx (x,y)與fy (x,y)存在f(x,y)連續(xù)其中均指在同一點(diǎn)處 . 記住上述關(guān)系，不難回答本選擇題，故應(yīng)選 (A).(2) 【詳解】首先要分清絕對收斂和條件收斂的定義，通過定義判定級數(shù)的斂散性n 1 1 1考察原級數(shù) ( 1)n 1() 的前 n 項(xiàng)部分和n 1u

18、n un 1Sn (1u1u2 u3)1) (unun 1)u11)n 1 1un 1由 lim nn un0 知，當(dāng) n 充分大時(shí)， un 0 且 lim nun. 所以 lim Snn1 ( 收斂 ) ， u1另一方面，nlim nu n1的啟發(fā)，11un 1ununun 1limnunun1112n11n(n 1)limnlimnnn考慮1) un 1(un 1 un )n(n 1)unun 1(2n 1)而級數(shù)nn(n lim(1n n11)1 n n 11)(nn (n 1) 2n 1 unun 1unn(n 1) un 1unn (n 1) n lim nunn是發(fā)散的，所以n1n

19、1un 1 2n 1 n1n 1 un11 ) 也發(fā)散，所以選 (C). un 11un 11 ) 為正項(xiàng)級數(shù)，用比較判別法的極限形式，由題設(shè)條件(3) 【詳解】 方法 1：排斥法 .2cos x2 ，1 2 1 2 令 f(x) sin x2 ，則 f(x)在(0, )有界， f (x) 2 sinx2xxlim f (x) 0， 但 lim f ( x)不存在，故 (A) 不成立； xxlim f (x)0 ，但 lim f (x) 1 x00， (C)和(D)不成立，故選 (B).f (x) 存在，記 limx用反證法，若 A 0，則對于A20 ，存在 X 0，使當(dāng) x X 時(shí)，f (x

20、) AAAAA 3A，即Af (x)A22222方法 2：證明 (B) 正確 . 設(shè) limxf (x)A ，證明 A 0.A由此可知， f ( x)有界且大于.在區(qū)間 x, X 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有Af(x) f (X) f ( )(x X) f (X) 2A(x X)從而 lim f(x) ，與題設(shè) f(x)有界矛盾 .類似可證當(dāng) A 0時(shí)亦有矛盾 . 故A 0. xa11xa12 ya13zb1公共點(diǎn)即判斷方程組 a21xa22 ya23zb2 有無公共解，且方程組有多少公共解平面就有a31xa32 ya33zb3詳解】三張不同平面的方程分別為ai1x ai2y ai3z bi ,

21、i(4) 【答案】 (B)1,2,3, 判斷三個(gè)平面有無多少公共點(diǎn)，由于方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是 2 3 (未知量的個(gè)數(shù) )，所以方程 組有解且有無窮多解，故三個(gè)平面有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，故應(yīng)排除(A) 三平面唯一交點(diǎn) (即方程組只有唯一解 )(C) 、 (D) 三平面沒有公共交點(diǎn) (即方程組無解 ).故應(yīng)選 (B) ，三個(gè)平面相交于一條直線，直線上所有的點(diǎn)均是平面的公共點(diǎn)，即有無窮 多個(gè)公共點(diǎn) .(5) 【答案】 D【分析】函數(shù) f(x) 成為概率密度的充要條件為： (1) f(x) 0; (2) f(x)dx 1.函數(shù) F(x) 成為分布函數(shù)的充要條件為： (1) F(x) 單調(diào)不減

22、；(2) lim F(x) x0,lim F(x) 1 ; (3) F (x)右連續(xù) .x我們可以用以上的充要條件去判斷各個(gè)選項(xiàng)，也可以用隨機(jī)變量的定義直接推導(dǎo) 詳解】 方法 1： f1(x) f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx 1 1 2 1(A)選項(xiàng)不可能，因?yàn)橐膊荒苓x (B) ，因?yàn)榭扇》蠢頵1(x)1,1x0,其他f2(x)1,0,其他顯然 f1(x)，f2(x) 均是均勻分布的概率密度 . 而f1(x)f2(x) 0 ，不滿足f1(x) f2(x)dx1條件 .(C)當(dāng)然也不正確，因?yàn)閘im F(x1) F(x2) 1 1 2 1 x根據(jù)排除法，答案應(yīng)選 (D).方法 2

23、：令 X max( X1, X 2 ) ，顯然 X 也是一個(gè)隨機(jī)變量 . X 的分布函數(shù)為F(x) PXxP max(X1, X 2 ) x P X1 x,X2 xPX1 x PX2 x F1(x)F2(x) .三【詳解】方法 1： 由題設(shè)條件知有l(wèi)him0 af (h)bf (2h)f(0) (a b 1) f (0) 0由于 f (0) 0 ，所以ab10. 又由洛必達(dá)法則，mli)由于 af (h) bf (2h) f (0) 在 hlim( af (h) 2bf (2h) (a 2b)f (0)0 時(shí)是比 h 高階的無窮小，由高階無窮小的定義知上式等于 0，又由 f '(0)

24、0, 得 a 2b 0.解 a b 1 0聯(lián)立方程組得， a 2,b1.a 2b 0由于 f (0) 0，所以 a b 1 0. 再將 a并湊成導(dǎo)數(shù)定義形式，有1 b代入 lim 1af(h) bf (2 h) h 0 hf (0) ，mlih)(2h)0)(mlib)f(0)mlif(0)f(h)f(0)(2方法 2：分別將 f (h), f (2h)按佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開到o(h)，有f(h)f (0) f (0)ho1(h)，f(2h)f (0)2f(0)ho2(h)從而af (h)bf (2h) f (0)(ab1)f (0)(a2b) f(0)ho3(h)由題設(shè)條件知，a b 1

25、0,a2b0,所以 a2,b1.方法 3： 由題設(shè)條件，有l(wèi)im af(h) bf (2h)f(0)(ab 1)f(0)0f (0) bf (0) 2bf (0) (1 b) f (0)從而 a 2,b1.四【詳解】由 y 0arctan xt2et dt知y(0)0 ，由變上限積分的求導(dǎo)公式得ye(arctan x)2(arctanx)2(arctan x)所以y(0)(arctan0) 21e (arctan0) g1 102因此，過點(diǎn)(0,0) 的切線方程為x. yf (x) 在點(diǎn) (0,0) 處與上述曲線有相同的切線方程，于是 f (0)0, f (0) 1.lim nf(2) nnl

26、imn(2) f(0) n12limnf (2) f (0) n22f (0)max x2 , y2五【詳解】應(yīng)先將 emax x , y 寫成分塊表達(dá)式 . 記(x,y) 0 x 1,0 y x ,D2(x, y) 0 x 1,x y 1x222 max x ,yeeey2D1(x,y) D1; (x, y) D2.從而22max x ,y edD于是22max x ,yedD122 max x ,y edD22xedD1D21 x x21 1 y20dx 0e dy 0dy 0e dx0ex xdxy2 e 0ydy1 x20exdxx2ex dx 01 de 0x2x2 1ex |10

27、(e 1)1六【詳解】 (1) 記 P(x,y) 1yy2 f (xy) ， Q(x,y)2y2f (xy) 1yx2( x2 y2 f (xy) 1) Qy xx(yx2)(y2f (xy)1)2(y2 f(xy) 1)x(y2f (xy) 1)y2 (f (xy)xf(xy)12x yf (xy)(xy)x12( 1 y2f (xy) 1 P yf (xy) xyf (xy) 2y y y(1)2y21(1 y2 f (xy)(1y2f (xy)yyyy12 (12y2f (xy)1(yy2) f(xy) 1y( f (xy) yyyyyyf (xy)12 f (xy)xyf (xy)yy

28、dx xdy2yL f ( xy)( ydx xdy)xLd(xy) L f(xy)d(xy)所以， QxPP(當(dāng)y 0). 故在上半平面 ( y 0)，該曲線積分與路徑無關(guān) . y(2) 方法 1：由該曲線積分與路徑無關(guān)而只與端點(diǎn)有關(guān)所以用折線把兩個(gè)端點(diǎn)連接起來. 先從c1I a 1b2 f (bx) dxd c 2b 2y2f (cy) 1dyabb y2cacd c cbbf (bx)dx ab cf (cy)dyb d b經(jīng)積分變量變換后，c a cd If (t)dt. 當(dāng) ab cd時(shí)，推得 Icad b abdb方法 2: 原函數(shù)法 .12x2I L 1y2 f (xy)dx2y

29、2f (xy) 1dyLyy點(diǎn) (a,b) 到點(diǎn) (c,b),再到點(diǎn) (c,d) . 有由原函數(shù)法計(jì)算第二型曲線積分的公式(與定積分的牛頓 萊布尼茨公式類似 )，有Ld(x) x (c,d) L y y (a,b) dL f ( xy)d( xy) F(xy)(c,d)(a,b)F(cd) F(ab) 0,其中 F(u)為 f (u)的一個(gè)原函數(shù)，即設(shè) F (u) f (u) .由此有 I c a. db方法 3：由于與路徑無關(guān)，又由 ab cd 的啟發(fā)，取路徑 xy k ，其中 k ab. 點(diǎn) (a,b) 與k點(diǎn) (c,d) 都在此路徑上 . 于是將 x 代入之后， yd 1 2I a 1y

30、(1 y2f(k)(k k 22) 2 (y2f (k) 1)dy ydb(2yk3)dydkkcdabcabd2b2d2b2dby3nk2 y2七【解】 (1) y(x) 13x3！6x6！9x9！x +L (3n)!3n x， n 1 (3n)!由收斂半徑的求法知收斂半徑為故由冪級數(shù)在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)可導(dǎo)公式得同理得從而這說明，y(x)(1n3n1(3xn3n)!)3nx(3n)!3nx3n 1n1(3n)!1 (3nx3n 1 ，1)!3nx(3n2)!y (x)y(x)y(x)n1y(x)y(0)x3n 2(3n 2)!)x3n1 (3n 1)!)(13n1(3xn3n)!)n xx(由

31、 ex 的麥克勞林展開式 ) n!3nx0 (3n)! 是微分方程 y(2) 微分方程 yxex的解，并且滿足初始條件03n1 (3n)!1， y (0)n 1(30n3n 11)!0.ye對應(yīng)的齊次線性方程為 y y其特征方程為1 0 ，其特征根為 123 i ，所以其通解為22x3y e 2C1 cosx C2 sin23x.另外，該非齊次方程的特解形式為y cex ，代入原非齊次方程得x cex x xce ce e ，1所以 c 31.故微分方程 y y yex 的通解為x2C1cos 3 xcos x23C2 sinx21xe.32C1 cos 3x C2sin 3x22xe 2C1

32、cosxsin 3x21xe3由初始條件解得x2(C22C1 3)sin12x2(C12C23)cos 3 x221xe3y(0)1, y (0)0得231 e 2C1cos1202(C230 C2 sin233)sin222C10C10e 2(C12C2)cos 2310e32C1C2C12C1C21313于是得到惟一的一組解：22C10. 從而得到滿足微分方程 yxy y e 及初始條件 y(0) 1,y (0) 0 的解，只有一個(gè)，為y 2e 2cos 3 x 1ex3 2 3另一方 面，由 (1)已知 y(x)3nxn 0 (3n)!也是微分方程yy y ex 及 初 始 條 件y(0

33、) 1, y (0) 0 的解，由微分方程解的唯一性，知3n x n 1 (3n)!2e x2cos 3x 1ex(3 2 3).八【詳解】 (1)根據(jù)方向?qū)?shù)和梯度的定義，知方向?qū)?shù)的最大值是梯度的模長，gradh(x,y) x0,y0xh |(y ,x ) (y0,x0) y 0 0y0 2x0,x0 2y0max ul x0,y0 gradh(x, y) x0,y0(y0 2x0)2 (x0 2y0)25x02 5y02 8x0y0 記 g(x0,y0).(2) 命 f (x,y) g2(x,y) =5x2 5y2 8xy，求 f 在約束條件 75 x2 y2 xy 0下 的最大值點(diǎn) .

34、 為此，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x, y, )5x25y28xy(75 x2 y2 xy)則Fx10x8y(y2x)令0，F(xiàn)y10y8x(x2y)令0，F(xiàn)7522 xyxy令0.由第 1、第 2 兩式相加可得 (x y)(2 ) 0. 從而得 y x或 2 ，再分別討論之若 2，則解得 (x,y)1 (5 3,5 3) 或 (x,y)2 ( 5 3, 5 3)若 y x，則解得 (x,y)3 (5, 5) 或 (x, y)4 ( 5,5)于是得到如上 4個(gè)可能極值點(diǎn) . 將（x,y）i記為 Mi（i 1,2,3, 4） . 由于f (M 1)f (M 2) 150, f (M 3)f (M 4)

35、450故點(diǎn) M3 （5， 5）, M 4 （ 5，5）可作為攀登起點(diǎn) .九【詳解】 方法 1：記 A, , , ，1 2 3 4 ，由 2, 3, 4線性無關(guān)， 及 1 2 23 0 4,即 1 可以由2, 3, 4 線性表出，故 12, 3, 4 線性相關(guān)，及 1 23 4 即可由 1, 23, 4 線性表出，知r AM r 1, 2, 3, 4,r 1, 2, 3, 4 r(A) r 1,2, 3 3系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，故 Ax 有解 .對應(yīng)齊次方程組 Ax 0 ，其系數(shù)矩陣的秩為 3，故其基礎(chǔ)解系中含有 4-3（未知量的 個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩 ）個(gè)線性無關(guān)的解向量，故其通解可以

36、寫成k ， 是 Ax 的一個(gè)特解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理， 知 Ax 的通解為 k ，其中 k 是對應(yīng)齊次方程組 Ax 0的通解， 是 Ax 的一個(gè)特解，因all 試題12，1 2 2 3 0 4,故 1 2 2 3 0 41, 2, 3, 4 0 ，101, 2,1,0 T是 Ax 0的一個(gè)非零解向量，因?yàn)?Ax 0 的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，故1, 2,1,0 T是 Ax 0的基礎(chǔ)解系又11111 2 3 4 1, 2, 3, 41，即 A111故故1,1,1,1T是Ax的一個(gè)特解， 根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理， 方程夢想不會辜負(fù)每一個(gè)努力的人31組的通解為 k 1

37、, 2,1,0 T 1,1,1,1T .（其中 k是任意常數(shù) ）方法 2：令 x x1,x2,x3,x4 ，則線性非齊次方程為k2 2 k3 3k40 ，上式成立當(dāng)且僅當(dāng)x1Ax 1, 2, 3, 4 xx23x34x41, 2, 3, 4x3x41x12x2已知1 2 3 4，故1x12x23x34x41234將 1 2 23代入上式，得(2 23)x12x23x34x4 (2 2 3) 2 3 42 2x13x12x23x34x4 2 2 3 2 3 4 3 24(2x1x2) 23x13x34x4 3 2 4 0(2x1x2 3)2(x1 x3)3 (x4 1) 4 0由已知 2, 3,

38、 4 線性無關(guān)，根據(jù)線性無關(guān)的定義，不存在不全為零的常數(shù)使得all 試題2x1x23x1x30x4102100其系數(shù)矩陣為1010 ，因?yàn)?3 階子式0001線性方程組的基礎(chǔ)解系中存在1000 1 0 1 0，其秩為 3，故其齊次0011 個(gè)(4-3)線性無關(guān)的解向量， 取自由未知量 x3 k ，則方程組有解x4 1,x3 k,x1x3k,x22k 3夢想不會辜負(fù)每一個(gè)努力的人36故方程組 Ax 有通解十【詳解】x1x2x3x4k102k 323k.( 其中 k 是任意常數(shù) )k10101(1) 因 A:B，由定義知，存在可逆陣 P ，使得P 1AP B ，故1APP 1P1AP1(E A)PAPP1故 A,B 有相同的特征