(完整版)實變函數(shù)題庫集答案

1、實變函數(shù)試題庫及參考答案 本科、題 1設(shè) A,B 為集合，則 A B UB A U B （用描述集合間關(guān)系的符號填寫）2設(shè) A是 B 的子集，則 A B （用描述集合間關(guān)系的符號填寫）3如果 E中聚點都屬于 E ，則稱 E是閉集4有限個開集的交是開集5設(shè) E1、 E2是可測集，則 m E1UE2mE1 mE2 （用描述集合間關(guān)系的符號填寫）n*6設(shè) E ? n 是可數(shù)集，則 m E = 07設(shè) f x 是定義在可測集 E上的實函數(shù)，如果 a ?1， E x f x a 是可測集，則稱 f x 在 E上可測 8可測函數(shù)列的上極限也是可測函數(shù)9設(shè) fn x f x ， gn x g x ，則 f

2、n x gn x f x g x10設(shè) f x 在 E上 L可積，則 f x 在 E上可積11設(shè) A,B 為集合，則 B A UA A （用描述集合間關(guān)系的符號填寫）12設(shè) A 2k 1k 1,2,L ，則 A=a（其中 a表示自然數(shù)集 N 的基數(shù)）13設(shè) E ? n，如果 E 中沒有不屬于 E，則稱 E 是閉集14任意個開集的并是開集15設(shè) E1、 E2是可測集，且 E1 E2 ，則 mE1 mE216設(shè) E 中只有孤立點，則 m*E =017設(shè) f x 是定義在可測集 E上的實函數(shù)，如果a ?1， E x f x a 是可測，則稱 f x 在 E上可測18可測函數(shù)列的下極限也是可測函數(shù)19

3、設(shè) f n x f x ， gn x g x ，則 f n x gn x f x g x20設(shè) n x 是 E上的單調(diào)增收斂于 f x 的非負簡單函數(shù)列，則 f x dx lim n x dxE n E21設(shè) A,B 為集合，則 A B UB B22設(shè) A為有理數(shù)集，則 A=a（其中 a表示自然數(shù)集 N 的基數(shù)）23設(shè) E ? n，如果 E 中的每個點都是內(nèi)點，則稱 E是開集24有限個閉集的交是閉集25設(shè) E ? n ，則 m*E 0 26設(shè) E是 ? n中的區(qū)間，則 m*E =E的體積27設(shè) f x 是定義在可測集 E上的實函數(shù)，如果a ?1， E x f x a 是可測集，則稱 f x 在

4、 E上可測28可測函數(shù)列的極限也是可測函數(shù)29設(shè) fn x f x ， gn x g x a.e. ，則 fn x g x30設(shè) fn x 是 E 上的非負可測函數(shù)列，且單調(diào)增收斂于 f x ，由勒維定理，有f x dx lim fn x dxE n E n31設(shè) A, B為集合，則 B AI B UA=AU B32設(shè) A為無理數(shù)集，則 A=c (其中 c 表示自然數(shù)集 0,1 的基數(shù))33設(shè) E ? n，如果 E 中沒有不是內(nèi)點的點，則稱 E是開集 34任意個閉集的交是閉集n n * * c35設(shè) E? n，稱 E是可測集，如果T ? n， m*Tm*T I E m*T I Ec36設(shè) E是

5、外測度為零的集合，且 F E，則 m*F=037設(shè) f x 是定義在可測集 E上的實函數(shù)， 如果 a ?1，E x a f x b 是可測，( a b)則稱 f x 在 E上 可測38可測函數(shù)列的上確界也是可測函數(shù)39設(shè) fn xf x ， gn x g x a.e. ，則 fn x gn x f x g x40設(shè) fn xf x ，那么由黎斯定理， fn x 有子列 fnk x ，使 fnk xf x a.e. 于 E41.設(shè) A, B為兩個集合 ,則 A B_ AI B c .(等于)42.設(shè) E R ,如果 E 滿足 E E (其中 E 表示 E 的導(dǎo)集 ), 則 E 是閉 .43.若開

6、區(qū)間 ( , )為直線上開集 G的一個構(gòu)成區(qū)間 ,則( , )滿(i) (a,b) G (ii) a G,b G44.設(shè)A為無限集 .則 A的基數(shù) A_a(其中 a表示自然數(shù)集 N 的基數(shù)) 答案：45.設(shè)E1,E2為可測集 , mE2,則m( E1 E2) _ mE1 mE2.答案：46.設(shè) f (x)是定義在可測集 E上的實函數(shù) ,若對任意實數(shù) a,都有 Ex f(x) a是可測集 E上的可測函數(shù) .47.設(shè)x0是E( R)的內(nèi)點 ,則m*E_0.答案48.設(shè) fn(x) 為可測集 E 上的可測函數(shù)列 ,且 fn(x)f(x),x E,則由 黎斯 _定理可知得 ,存在 fn(x) 的子列a

7、.efnk (x) ,使得 fnk (x) f (x) (x E).49.設(shè) f (x)為可測集 E( Rn )上的可測函數(shù) ,則 f(x)在E上的 L積分值不一定存在且 | f(x)|在E上不一定 L可積.50.若 f ( x)是 a, b上的絕對連續(xù)函數(shù) ,則 f (x)是a,b上的有界變差函數(shù)51設(shè) A, B為集合，則 A U B _(B A)U A 答案= 52設(shè) E Rn，如果 E滿足E0 E(其中 E0表示 E的內(nèi)部)，則 E是開集53設(shè) G為直線上的開集，若開區(qū)間 (a,b)滿足 (a,b) G且a G,b G，則 (a,b)必為 G的構(gòu)成區(qū)間54設(shè) A x|x 2n,n為自然數(shù)

8、 ，則 A的基數(shù)= a (其中 a表示自然數(shù)集 N的基數(shù))55設(shè) A, B為可測集， B A且mB，則 mA mB_m(A B) 答案 =56設(shè) f (x) 是可測集 E上的可測函數(shù)，則對任意實數(shù) a,b(a b)，都有 Ex a f(x) b是可測集57若 E( R)是可數(shù)集，則 mE_0 答案=a.e58設(shè) fn(x) 為可測集 E上的可測函數(shù)列， f(x) 為 E上的可測函數(shù)，如果 fn(x) f(x) (x E) ，則 fn(x)f(x) x E不一定成立59 設(shè) f (x)為可測集 E( Rn )上的非負可測函數(shù)，則 f(x)在E上的 L積分值一定存在60若 f (x) 是a,b上的

9、有界變差函數(shù)，則 f (x)必可表示成兩個遞增函數(shù)的差(或遞減函數(shù)的差) 多項選擇題(每題至少有兩個以上的正確答案)1設(shè) E0,1 中無理數(shù) ，則( ACD )A E 是不可數(shù)集B E 是閉集 C E 中沒有內(nèi)點D mE 12設(shè) E ? n 是無限集，則( AB )A E 可以和自身的某個真子集對等B E a(a 為自然數(shù)集的基數(shù))CED m*E 03設(shè) f x 是 E 上的可測函數(shù)，則( ABD )A 函數(shù) f x 在 E 上可測B f x 在 E 的可測子集上可測C f x 是有界的D f x 是簡單函數(shù)的極限4設(shè) f x 是 a,b 上的有界函數(shù)，且黎曼可積，則( ABC )A f x

10、在 a,b 上可測B f x 在 a,b 上L可積C f x 在 a,b 上幾乎處處連續(xù)D f x 在 a, b 上幾乎處處等于某個連續(xù)函數(shù)5設(shè) E ? n ，如果 E 至少有一個內(nèi)點，則（ BD ）m E 可以等于 0 B m E 0 C E 可能是可數(shù)集 D E 不可能是可數(shù)集6設(shè) E ? n 是無限集，則（ AB ）E 含有可數(shù)子集 B E 不一定有聚點 CE含有內(nèi)點 D E 是無界的7設(shè) f x 是 E 上的可測函數(shù)，則（BD )函數(shù) f x 在 E 上可測f x 是非負簡單函數(shù)列的極限f x 是有界的8設(shè)fx 是 a,b 上的連續(xù)函數(shù)，則（ABD )Afx在a,b上可測Bfx在a,b

11、b上 L 可積，且 R fx dxLf x dxaba ,bCfx在a,b上 L 可積，但 R fx dxLf x dxaa ,bDfx在a,b上有界f x 在 E 的可測子集上可測9設(shè) D x 是狄利克萊函數(shù)，即x為x為0,10,1中有理數(shù) ，則（ BCD ）中無理數(shù)10設(shè)x 幾乎處處等于 1x 是非負可測函數(shù)n*E ? n， m*E 0 ，Dx則（ ABD幾乎處處等于 0是 L 可積函數(shù)11E 是可測集 B E 的任何子集是可測集C E 是可數(shù)集 D E 不一定是可數(shù)集設(shè)En， E x 1 x Ec ，則( AB ) E 0 x E c當(dāng) E 是可測集時， E x 是可測函數(shù)E x 是可測

12、函數(shù)時， E 是可測集D 當(dāng) E x 是不是可測函數(shù)時， E不一定是可測集12設(shè) f x 是 a,b 上的連續(xù)函數(shù)，則（ BD ）A f x 在 a,b 上有界B f x 在 a,b 上可測C f x 在 a,b 上 L可積D f x 在 a,b 上不一定 L 可積13設(shè) f x 在可測集 E上 L可積，則（ AC ）A f x ， f x 都是 E上的非負可積函數(shù)B f x 和 f x 有一個在 E上的非負可積C f x 在 E 上 L 可積D f x 在 E 上不一定 L 可積14設(shè) E ? n 是可測集，則（ AD ）A E c是可測集 B mE C E 的子集是可測集 D E的可數(shù)子集

13、是可測集15設(shè) fn x f x ，則（ CD ）A fn x 幾乎處處收斂于 f xB fn x 一致收斂于 f xC fn x 有子列 fn x ，使 fn x f x a.e. 于 ED fn x 可能幾乎處處收斂于 f x16設(shè) f x 是 a,b 上有界函數(shù)，且 L 可積，則（ BD ）A f x 在 a,b 上黎曼可積B f x 在 a,b 上可測C f x 在 a,b 上幾乎處處連續(xù)D f x 在 a,b 上不一定連續(xù)17. 設(shè) E 0,1 中的無理點 ,則 （CD）（A ） E是可數(shù)集 （B） E是閉集 （C） E中的每個點均是聚點（D）mE 018. 若 E（ R）至少有一個

14、內(nèi)點，則（ BD ）A) m* E可以等于(B)m*E 0 (C) E可能是可數(shù)集(D) E不可能是可數(shù)集19設(shè)Ea,b 是可測集，則E 的特征函數(shù) E (x) 是( ABC )A)a,b 上的符號函數(shù)C) E 上的連續(xù)函數(shù)B)a,b 上的可測函數(shù)D)a,b 上的連續(xù)函數(shù)2021A)C)設(shè)Ef (x) 是 a,b 上的有界變差函數(shù)f (x) 在a,b 上幾乎處處收斂0,1 中的有理點 ，則(ACB) f(x) 是a,b 上的絕對連續(xù)函數(shù)D) f(x) 在a,b 上幾乎處處可導(dǎo)A) E 是可數(shù)集C) mE 0B ) E 是閉集D ) E 中的每一點均為 E 的內(nèi)點22若 E( R) 的外測度為0

15、，則(AB )A) E 是可測集C) E 一定是可數(shù)集B) mE 0D) E 一定不是可數(shù)集23 設(shè) mE， fn (x) 為 E 上幾乎處處有限的可測函數(shù)列，f(x) 為 E 上幾乎處處有限的可測函數(shù)，如果設(shè) f (x) 是a,b 上的單調(diào)函數(shù)，則( ACD)fn(x)f ( x),( x E) ，則下列哪些結(jié)果不一定成立( ABCD(A) f (x)dx存在(B) f(x)在 E上L-可積a.e(C) fn(x) f (x) (x E)(D) limfn(x)dxf(x)dxn E E24若可測集 E上的可測函數(shù) f(x)在E上有 L積分值，則( AD )A)f (x)L(E) 與 f(x

16、)L (E)至少有一個成立B)f (x)L(E) 且 f(x)L(E)C)|f(x)|在 E上也有L - 積分值D)| f(x)|L(E)、單項選擇1下列集合關(guān)系成立的是(A)ABA I ABABIACAB UB ADBAUA B2若ERn 是開集，則(B)AEE B E0ECEE D E E4設(shè) fn x是 E 上一列非負可測函數(shù)，則（B）E lnim fnEndxlimnx dxE lim fnEndxlimnx dxE lnim fnEndxlimnx dxlim E fnnEdxE lim fnEn5列集合關(guān)系成立的是（I AcUAU AcI AcUA6若ERn 是閉集，則E07A9設(shè)

17、 E 為無理數(shù)集， E 為閉集 B 下列集合關(guān)系成立的是（C ）E 是不可測集B ）則（mEI AcAcUAAcU Ac10設(shè)Rn，則( A )AEEEDED mE 0P為康托集，則( B B mP11設(shè)A P 是可數(shù)集13下列集合關(guān)系成立的是（）0A）P 是不可數(shù)集D P 是開集B則 BcAcB則 AcBcB則 AIBBB則 AUB14設(shè) ERn ，則AEE0CEED15設(shè) Ex,00x則（ B ）A mEmE2C E是 R2中閉集2E是 R2中完備集16設(shè) f x ， g x 是 E 上的可測函數(shù)，則（ B ）AExf x g x不一定是可測集BExf x g x是可測集CExf x g

18、x是不可測集DExf x g x不一定是可測集7下列集合關(guān)系成立的是( A )(A)(A B)UBAUB(B) (A B)U B A(C)(B A)U AA(D ) B A A18.若ERn 是開集，則( B )(A)E的導(dǎo)集E(B) E 的開核 E(C)EE(D) E 的導(dǎo)集 E19.設(shè) P 的康托集，則(C)(A)P為可數(shù)集(B) P 為開集(C)mP 0( D) mP 1設(shè)20、E是 R1中的可測集， (x)是 E上的簡單函數(shù)，則A)(x)是 E上的連續(xù)函數(shù)B)(x) 是E上的單調(diào)函數(shù)C)(x)在 E上一定不 L 可積D)(x) 是 E 上的可測函數(shù)21下列集合關(guān)系成立的是( A )A)

19、 AI(BUC) (AI B)U (AI C)B)(A B)I AC)(BA)I AD)AUBAI B22. 若 ERn 是閉集，則B)D)A ) mQ 0B)Q 為閉集C) mQ 0D)Q 為不可測集24.設(shè) E是 Rn中的可測集，f(x)為 E上的可測函數(shù)，若 f (x)dxE0 ，則A)在 E上， f ( x)不一定恒為零B)在 E上， f (x)C)在 E 上， f(x) 0D)在 E 上， f (x)A)E0C) E23. 設(shè) Q 的有理數(shù)集，則(四、判斷題1. 可數(shù)個閉集的并是閉集 .2. 可數(shù)個可測集的并是可測集 .3. 相等的集合是對等的 .4. 稱 f x ,g x 在 E

20、上幾乎處處相等是指使（ × ）（ ）（ ）g x 的x全體是可測集 . （ ）5. 可數(shù)個 F 集的交是 F 集 .6. 可數(shù)個可測函數(shù)的和使可測函數(shù) .7. 對等的集合是相等的 .8. 稱 f x ,g x 在 E 上幾乎處處相等是指使（ × ）（）（× ）x g x 的 x 全體是零測集 . （ × ）9. 可數(shù)個 G 集的并是 G 集 .10. 零測集上的函數(shù)是可測函數(shù) .11. 對等的集合不一定相等 .12. 稱 f x ,g x 在 E 上幾乎處處相等是指使 f13. 可數(shù)個開集的交是開集14. 可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù) .15. 對等的集合有

21、相同的基數(shù) .16. 稱 f x ,g x 在 E 上幾乎處處相等是指使 f17. 可列個閉集的并集仍為閉集18. 任何無限集均含有一個可列子集19. 設(shè) E為可測集，則一定存在 G 集 G ，使 E）（ ）（ ）xgx的 x 全體是零測集 . （）（ × ）xgx（ ）（ ）0（ × ）的 x 全體的測度大于（×）（）G，且mG E 0.(）20. 設(shè) E 為零測集，x 為 E 上的實函數(shù)，則21. 設(shè) f x 為可測集 E 上的非負可測函數(shù)，則22. 可列個開集的交集仍為開集23. 任何無限集均是可列集24. 設(shè) E 為可測集，則一定存在 F 集 F ，使 F

22、x L E（ × ）（× ）（ × ）E ，且 m E F 0.（ ）x 不一 定是 E上的可測函數(shù)（×）是可測集25. 設(shè) E 為 零 測 集 ， 則 f x 為 E 上 的 可 測 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 ： 實 數(shù) a 都 有 E x f （x） a×）26. 設(shè) f x 為可測集 E 上的可測函數(shù)，則 f x dx 一定存在 . E五、簡答題1. 簡述無限集中有基數(shù)最小的集合，但沒有最大的集合 . 答：因為任何無限集均含有可數(shù)集，所以可數(shù)集是無限集中基數(shù)最小的，但無限集沒有基數(shù)最大的，這是由于任何集 合 A， A的冪集 2A的基

23、數(shù)大于 A的基數(shù) .2. 簡述點集的邊界點，聚點和內(nèi)點的關(guān)系 .答 : 內(nèi)點一定是聚點，邊界點不一定是聚點，點集的邊界點或為孤立點或為聚點 .3. 簡單函數(shù)、可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系？ 答：連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)可表示成簡單函數(shù)或連續(xù)函數(shù)的極限4. a,b 上單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關(guān)系？ 答：單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)之差 .5. 簡述集合對等的基本性質(zhì) .答： A: A；若 A: B，則 B: A；若 A: B，且 B : C，則 A: C.6. 簡述點集的內(nèi)點、聚點、邊界點和孤立點之間關(guān)系 . 答：內(nèi)點一定是聚點，

24、內(nèi)點不是孤立點，邊界點由點集的孤立點和聚點組成 .7. 可測集與開集、 G 集有什么關(guān)系？答：設(shè) E是可測集，則 0， 開集 G，使G E，使m G E ，或 G 集G，使G E，且m G E 0.8. a,b 上單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系？ 答：絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù)，反之不然；有界變差函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù) .9. 簡述證明集合對等的伯恩斯坦定理 .答：若 A: B B ，又 B: A A，則 A: B10. 簡述 R1 中開集的結(jié)構(gòu) .答: 設(shè)G為 R1中開集，則 G可表示成 R1中至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并 .11. 可測集與閉集、

25、F 集有什么關(guān)系？答：設(shè) E是可測集，則0， 閉集 F E ，使 m E F 或 F 集F E ，使 m E F 0.12. 為什么說絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微？ 答：因為絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差，由若當(dāng)分解定理，它可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限 的導(dǎo)數(shù)，所以絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微 .13. 簡述連續(xù)集的基數(shù)大于可數(shù)集的基數(shù)的理由 .答 :連續(xù)集是無限集，因而包含可數(shù)子集，又連續(xù)集是不可數(shù)集，所以連續(xù)集的基數(shù)大于可數(shù)集的基數(shù).14. 簡述 Rn 中開集的結(jié)構(gòu) .答： Rn 中開集可表示成可數(shù)個互不相交的半開半閉區(qū)間的并15. 可測函數(shù)列幾乎處處收斂、依測度收斂和近一致收斂的

26、關(guān)系？答：設(shè) fn x , f x 是可測集 E 上的一列可測函數(shù)，那當(dāng) mE 時， fn xf x ,a.e 于 E ，必有fnx f x .反之不成立，但不論 mE還是 mE ，fnx 存在子列 fnkx ，使 fnx f x ,a.e于 E .當(dāng) mE 時， fn x f x ,a.e 于 E ，由 Egoroff 定理可得 fn x 近一致收斂于 f x ，反之，無需條件 mE ，結(jié)論也成立 .16. 為什么說有界變差函數(shù)幾乎處處可微？ 答：由若當(dāng)分解定理，有界變差函數(shù)可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)幾乎處處可微，所以有界變差函數(shù)幾 乎處處可微 .17. 簡述無窮多個開集的交集是

27、否必為開集？11答：不一定，如 I 1 1, 1 1 1,1 n 1 n n18. 可測集 E 上的可測函數(shù)與簡單函數(shù)有什么關(guān)系？ 答：簡單函數(shù)必是可測函數(shù)但可測函數(shù)不一定是簡單函數(shù)，可測函數(shù)一定可表示成簡單函數(shù)列的極限形式19. a,b 上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有什么關(guān)系？答：單調(diào)函數(shù)必為有界變差函數(shù)但有界變差函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成單調(diào)函數(shù)之差20. 簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集？11 答：不一定 如 U 1 , 1 1,1 n 1 n n21. 可測集 E 上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系？連續(xù)的函數(shù)答： E上連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)但 E上的可測函數(shù)不一定時連續(xù)函

28、數(shù)， E 上可測函數(shù)在 E 上是“基本上”22. a,b 上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關(guān)系？答：絕對連續(xù)函數(shù)必為有界變差函數(shù)但有界變差函數(shù)不一定為絕對連續(xù)函數(shù)六、計算題2 xxE，其中 E 為 0,1中有理數(shù)集，求 f1. 設(shè) f x3 xx dxx 0,1E0,1解：因為 mE0，所以 f xx3,a.e于 0,1 ，于是 f x dxx3dx ，0,1 0,1而 x3 在 0,1 上連續(xù)，從而黎曼可積，故由黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系，313x3dxRx3dx00,1因此 fx dx10,14.4x44|102. 設(shè) rn 為 0,1 中全體有理數(shù)，fn x1 x r1,r2,L r

29、n0 x 0,1 r1,r2,L，求 limfn x dx.n0,1解：顯然 fn x 在 0,1 上可測，另外由 fn x 定義知，fn x0,a.e 于 0,1 n 1所以fn x dx0,10dx 00,1因此 limfn x dx 0.n0,13. 設(shè) f xsinxxPx 0,1 PP 為康托集，求x dx.解：因為 mP 0 ，所以 f x x2, a.e于 0,1于是 f x dxx2dx0,1 0,12而 x2在 0,1 上連續(xù)，所以x2dx0,1x2dx|10因此0,1x dx4. 設(shè) fn xnxsin nx2 2 ,x1 n x0,1 ，求 limfn x dx.n0,1

30、解：因為 fn x 在 0,1 上連續(xù)，所以可測 n 1,2,L又 fn xnxsin nx22nxnx nx 11 n2x2 2nx 2,x 0,1 ,n 1,2,L而 lim 2 2 0 ，所以 lim fn x 0. n 1 n2 x2n于是f x dxcos xdx因此由有界控制收斂定理limfn x dxlimfnx dx0dx 0n0,10,1n0,13 xxE5. 設(shè) fx， E 為 0, 中有理數(shù)集，求 fx dxcosxx0,E220,2解：因為 mE 0 ，所以x cosx,a.e 于 0,10,20,2而 cosx 在 0, 上連續(xù)，所以黎曼可積，由牛頓萊布尼公式2cos

31、 xdx0,1R2 cos xdx0sin x|021因此fx dx10,26. 設(shè) fnxnxcos nx0,1 ，求 lim fn x dx n0,112 2 ,x nx解：因為 fn x 在 0,1 上連續(xù)，所以可測 n 1,2,L又 fnnxcos nx22 nxnx221 n x因此由有界控制收斂定理而 limn0，所以limn0,1nxdx0,1limn7. 設(shè) f x3 sin x解：因為 mP0，所以 fnx221 n xlim fn x nx dx0,1nx 12nx 2,x0.0dx 00,1P 為康托集，x, a.e于 0,1而 x 在 0,1 上連續(xù)，所以1 2 x2

32、1 1xdx Rx dx|00,10 2 0 2因此f x dx 1.0,12lnx n x8. 求 lime cos xdx .n0,nnln x n解：令 fn x0,n xn顯然fn x在0, 上可測，且ln x ne cos xdxfn0,nn0,ln x n x因為fn xe cosxn于是 f x dx xdx0,1 0,1xe cosxx dx0,1 ,n0,11,2,Lx dx .ln x n, x 0, ,n 1,2,L nln x n不難驗證 gn x ，當(dāng) n 足夠大時，是單調(diào)遞減非負函數(shù)，且 nlim gn x 0 ，所以 nlimnln x ndxnlimngn x

33、dxlnim gn x0, n0dx 0由勒貝格控制收斂定理lim fn x dx 0 n0,ln x n x故 lim e cos xdx 0. nn0,n9. 設(shè) D x1 x為 0，1 上的有理點0 x為 0，1 上的無理點，求 D x dx .0，1證明記 E1 是 0,1 中有理數(shù)集， E2 是0,1 中無理數(shù)集，則0,1E1 U E2, E1 I E2， mE1 0,mE2 1，且E2所以D x dx 1mE1 0mE20,10.10 求 lnim 0ln x n xe cos xdx .n證明易知limnln x n xe cosx 0n對任意0,n1，ln x ne nxcos

34、xln x nf(y)ln xy 0 ，則f (y)y lnxy2yxyy 3 時，yxyln x y， f (y) 0.f (n)lnxn是單調(diào)減函數(shù)且非負（ n 3 ）；ln lim nlimn再由limnxnlimn0，由 Levi 單調(diào)收斂定理得xnln x n0dx n0 lnimln x ndx n0 0dx 0 ，ln x nL(E)，Lebsgue 控制收斂定理得ln x n xe cos xdx0nln x lim nnnxe cos xdx0dx2x11. 設(shè) f x 3x3 x 0,1xP，其中 P 為康托集，求dx.解：因為 P 為康托集，故 mP 0，m 0,1 P

35、1所以 f xx320,1 P x P所以0,1x dx23x mP x m0,1 P12. 求 fnnxE0,1，求 limnnxdx.解：易知：令 fn xnxlim 2 2 n 1 n2x2 nx2 2 ,gx0,11nnxnx1 n2x22 2 3 n x nx nx 22 2 gx1 n x21 nx n x0nx 22 gxxn2所以 0nxgxx 0,1,n 1又因為 g x 在0,1 上 Lebesgue 可積，所以由控制收斂定理，得limn1 nnx2x2dxE 1 n x0dxE七、證明題1證明集合等式： (A B)U BAUB證明c(A B)U B (AI Bc)U Bc

36、(AI Bc)U(AI B)UBcAI (BUBc)U B AUB2設(shè) E 是 0,1 中的無理數(shù)集，則E 是可測集，且 mE 1證明 設(shè) F 是 0,1 中的有 理數(shù)集 ，則 F 是可數(shù) 集，從 而 m*F 0 ，因此 F 是 可測集，從而 Fc可 測，E 0,1 F 0,1 I F c ，故 E 是可測集 .由于 EI F，所以1 m0,1 m(E UF) mE mF 0mF ，故 mF 13設(shè) f (x),g(x)是 E上的可測函數(shù)，則Ex| f (x) g( x)是可測集證明 設(shè)rn 為全體有理數(shù)所成之集，則Ex| f(x) g(x) UEx| f (x) rn n1g(x) U Ex

37、| f (x) rnI Ex|g(x) rn n1因為 f (x),g(x)是 E上的可測函數(shù)，所以 Ex| f (x) rn， Ex|g(x) rn是可測集， n 1,2,L ，于是由可測集性質(zhì)知 Ex|f(x) g(x) 是可測集4設(shè)f (x)是E上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù) a 0，有 mEx |f (x)| a1a1 E| f ( x) |dx證明因為 f (x)在E上可測，所以 | f (x) |在E上非負可測，由非負可測函數(shù)積分性質(zhì)，Ex|f(x)| aadx Ex|f(x)| a| f(x)|dx E|f(x)|dxEx|f(x)| aadx a mEx |f (x)| a，所以5

38、設(shè)limnmEx | f(x)|f ( x) 是 E 上的L 可積函數(shù)，f ( x)dx 0En證明 因為 lim mEn n0，所以對連續(xù)性，0,0,當(dāng)e于是當(dāng) n N時，mEn6證明集合等式：( A B)證明A (A B )7設(shè)證明1a a1 E| f(x)|dxEn是 E的一列可測子集，且 lim mEn 0，則0, NE, me因此 | EA I (AI Bc)c A I(AI Ac)U (A IA1,A2 是0,1 的可測子集，且 mA1因為 A1 0,1, A2 0,1 ，所以另一方面，1 ，當(dāng) n N 時， mEn，又 f ( x) 在 E 上 L時| f (x)dx| ef (

39、 x)dx |，即lim f ( x)dx 0 nEn可積，所以由積分的絕(AcU(Bc)c)B) A I BmA2 1 ，則AI(AcUB)m(A1 I A2) 0A1UA2 0,1 ，于是 m( A1 U A2 ) m0,1 1A1U A2 A1 (A1I A2) U A2 ，所以m(A1 U A2 )m A1(A1IA2)UA2mA1(A1IA2)mA2mA1m(A1IA2)mA2于是m(A1I A2) mA1 mA2 m(A1U A2) 08設(shè) f (x)是定義在可測集 E Rn上的實函數(shù)， En為 E的可測子集n 1,2,L )，且 E U En ，則 f (x) 在 E 上n1可測

40、的充要條件是 f (x) 在每個 En 上可測 證明 對任何實數(shù) a ，因為Ex| f(x) a UEnx| f(x) a U(EnI Ex| f(x) a)所以 f (x)在E上可測的充要條件是對每個 n 1,2,L ， f ( x)在每個 En上可測9設(shè) f (x)是 E上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù) a 0，有 mEx| f (x) a e a Eef(x)dx證 明 因 為 f (x) 在 E 上 可 測 ， 所 以ef(x) 是 非 負 可 測 函數(shù)，于是由非負可測函數(shù)積分性質(zhì)，af (x)f (x)e dx e dx e dx Ex|f(x) a Ex|f (x) a Eaa而 Ex|

41、f(x) aeadx ea mEx| f (x) a，所以mEx| f (x) ae aef (x )dxE10設(shè) f (x) 是 E上的可積函數(shù)， En 為 E 的一列可測子集， mE，如果 lim mEn mE n則 limnE f ( x)dxEnE f ( x)dx證明因 f ( x) 在E 上 L 可積，由積分的絕對連續(xù)性知，對任意0 ，存在0，對任何 A E ，當(dāng) mA有|A f (x)dx |， 由 于 lim mEn mE n，故對上述的0，存在k0 ，當(dāng) n k0 時 EnE，且有mEmEnm( E En )| E f ( x)dx Ef (x)dx| | E E f (x)

42、dx|E Enlimf ( x)dxnEnE f (x)dx11證明集合等式： (AU B)C (A C) U(B C)證明 (AUB) C (AU B)I Cc (AI Cc)U(BI Cc)(AC)U (B C)12設(shè) E Rn是零測集，則 E的任何子集 F 是可測集，且mF證明 設(shè) FE ， m*E 0，由外測度的單調(diào)性和非負性，m F mE 0 ，所以m*F 0 ，于是由卡氏條件易知 F 是可測集13 設(shè) fn(x),gn(x), f (x), g( x) 是 E 上 幾 乎 處 處 有 限 的可 測 函 數(shù) ， 且 fn(x)f (x) ， gn (x)g(x)，則fn(x) gn(

43、x)f (x) g(x).證明 對任何正數(shù)0 ，由于|( fn(x) gn(x) ( f (x) g(x)| | fn(x) f (x)| |gn(x) g(x)|所以 Ex |(fn(x) gn(x) (f (x) g(x)| Ex | fn(x) f (x)| 2U Ex |gn(x) g(x)| 2于是 mEx |(fn(x) gn(x) (f (x) g(x)| mEx | fn(x) f (x)| mEx |gn(x) g(x) | 0(n )22故 fn(x) gn(x)f (x) g(x)14設(shè) f(x),g(x)是E上L 可積函數(shù)，則 f2(x) g2(x)在 E上也是 L 可

44、積的 證明 因 f(x),g(x)是E上 L 可積，所以 |f(x)|,|g(x)|在E上L 可積，從而| f(x)| |g(x)| L 可積，又 f2(x) g2(x)(| f(x)| |g(x)|)2 | f(x)| |g(x)|故 f 2(x) g2 (x) 在 E 上 L 可積15設(shè) f (x)是可測集 E上的非負可測函數(shù)，如果f (x)dx 0，則 f(x) 0a.e于 E證明 反證，令 A Ex| f(x) 0，則由 f (x)的可測性知， A是可測集 .下證 mA 0，若不然，則 mA 01由于 A Ex| f(x) 0 UEx| f(x) ，所以存在 N 1，使n1n1mEx|

45、 f (x) Nd0于是E f ( x)dx1 f ( x)dxEx|f (x) 1NEx|f(x) N1 N1dxN1 mEx| f(x) N1 Nd 0因此f ( x)dx E0 ，矛盾，故 f (x)0a.e 于 E16證明等式： A (B UC) (A B)I (A C)證明c c c c cA (BUC) AI (BUC)c AI (Bc I Cc) (AI Bc)I (AI Cc) (A B)I (A C)17設(shè) E Rn是有界集，則 m* E.證明 因為 E是有界集，所以存在開區(qū)間 I ，使 E I其中 |I | 表示 區(qū)間 I 的體 積)， 所以由外 測 度 的單 調(diào)性， m*

46、E m*I ， 而 m*I |I |m*E118 R1上的實值連續(xù)函數(shù) f (x) 是可測函數(shù) 證明 因為 f ( x)連續(xù)，所以對任何實數(shù) a，x| f(x) a是開集，而開集為可測集，因此 f(x)是可測函數(shù)19設(shè)mE，函數(shù) f (x)在E上有界可測，則 f(x)在E上 L 可積，從而 a,b上的連續(xù)函數(shù)是 L 可積的證明 因為 f (x)在E上有界可測，所以存在 M 0，使| f(x)| M ，x E，| f ( x) |是非負可測函數(shù)，由非負可測 函數(shù)的積分單調(diào)性，| f(x)|dx Mdx M mE故|f (x)|在E上L 可積，從而 f(x)在E上L 可積因為a,b 上的連續(xù)函數(shù)是有界可測函數(shù)，所以 L 可積的20設(shè) fn(x)(n 1,2,L )是 E上的 L 可積函數(shù)，如果 lim | fn( x) |dx 0，則 fn(x) 0 n En證明 對任何常數(shù)0， mEx | fn(x)| Ex|f (x)| | fn(x)|dx1所以 mEx | fn(x)| 1 Ex|fn(x)| |