中考數(shù)學(xué)十大解題思路之換元法

1、v1.0 可編輯可修改中學(xué)數(shù)學(xué)中換元法的應(yīng)用與常見錯(cuò)誤分析目錄第一章 引言 4第二章在因式分解中的應(yīng)用4第三章在化簡二次根式中的應(yīng)用5設(shè)元代數(shù)，化已知為未知5設(shè)元代式，無理變有理5第四章在解方程中的應(yīng)用6分式方程6一元二次方程7三角有理方程 7第五章在證明不等式中的應(yīng)用8三角換元法 8改變換元后中間變量的范圍 9第六章?lián)Q元法常見錯(cuò)誤分析9將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談9改變換元后中間變量的范圍10換元的選擇不恰當(dāng)11結(jié)論 12 參考文獻(xiàn) 1211v1.0 可編輯可修改第一章 引言換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。 所謂換元 法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中， 用新的變量來

2、代替原式的一部分或改造 原來的式子，使其簡化，問題便于解決。之所以說換元法重要，是因?yàn)閾Q元思想是中學(xué)教學(xué)中要求掌握并熟練應(yīng)用 的。在中考、高考的試卷也常出現(xiàn)運(yùn)用換元法的試題。之所以說換元法應(yīng)用廣泛，是因?yàn)樵谝蚴椒纸?、化簡二次根式、解方程、證 明不等式等許多題型中都會運(yùn)用到換元的思想。同時(shí)，由于學(xué)生概念不清， 在換元過程中往往會出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤， 因此 需要對常見錯(cuò)誤進(jìn)行分析，防止犯錯(cuò)。本文探討了換元法運(yùn)用的最為常見也是最為重要的幾個(gè)問題， 還指出了換元 法運(yùn)用中的常見錯(cuò)誤以及如何解決這些錯(cuò)誤的方法。第二章?lián)Q元法在因式分解中的應(yīng)用因式分解是初中代數(shù)課中一種重要的恒等變形， 它是分式通分、 約分

3、、解方 程以及三角函數(shù)的基礎(chǔ)。 學(xué)好因式分解，對以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。除教材上介紹的因式分解的方法外，換元法也是一種比較常用的方法。 例 1. 分解因式： x y 2 4 x y 4 （濟(jì)南市 2007 ） 分析：如果將原式變形，就會得到一個(gè)二次多項(xiàng)式，不利于因式分解。換個(gè)角度 考慮，可以將 x y 看成一個(gè)整體，則原式就變成這個(gè)整體為未知量的二次多項(xiàng) 式。解：設(shè) x y u原式 u 2 4u 422v1.0 可編輯可修改2例 2. 分解因式： 43x2 x 1 x2 2x 3 4x2 x 4換元法進(jìn)行因式分分析：本題如果展開，就會出現(xiàn)四次多項(xiàng)式，不利于因式分解。因此可以嘗試用。觀

4、察 原 式中各 個(gè)局部之間 的簡單 運(yùn)算關(guān)系， 有：224x2 x 43x22x3 ，將其中兩部分設(shè)為輔助元， 則可以表示34出第三部分。解：設(shè) 3x 2 x 1A，x22xB, 則4x2 x原式 4AB3x2x 1 x22x23222x2 3x222使用換元法的關(guān)鍵是選擇輔助元。在選擇輔助元時(shí)， 要反復(fù)比較式子中重復(fù)出現(xiàn)的整體結(jié)構(gòu)，以便尋找最恰當(dāng)?shù)妮o助元。第三章?lián)Q元法在化簡二次根式中的應(yīng)用在化簡二次根式的過程中，常常會因?yàn)楦较碌氖阶舆^于復(fù)雜而無從下手， 這時(shí)可以考慮通過換元將復(fù)雜的式子簡單化， 從而有助于二次根式的化簡， 下面 介紹兩種應(yīng)用換元法化簡二次根式的方法。設(shè)元代數(shù)，化已知為未知例

5、 3. 若 x 1 2002 1 ，求 x2 1 x 的值2 2002分析： 2002 是一個(gè)較大、 帶根號的無理數(shù)， 直接代入較復(fù)雜，因此可以嘗試用 字母換元代入。2解：設(shè) y2002 ，則 x1y12 1 1 1 ， x 1 y ，且 y 02y4 y y原式1 1 2 y1y11 1 1 1 yy4y2y2 y 2 yv1.0 可編輯可修改y 2002設(shè)元代式，無理變有理例 4. 化簡 a a b b （陜西省 2008 ） a ab分析：本題中的式子較復(fù)雜， 可以利用換元， 將無理式轉(zhuǎn)化為有理式， 便于計(jì)算 解：設(shè) a x， b y ，32原式x xy2x xy解題時(shí)，根據(jù)需要， 把較

6、大的數(shù)字或復(fù)雜的式子用字母代換， 這樣會使得式子中的各種關(guān)系更加明朗，化簡或計(jì)算也會更加簡便。第四章?lián)Q元法在解方程中的應(yīng)用 除了課本中介紹的解方程的基本方法以外， 換元法也是解方程的一種常用的 方法。如果方程 F x 0的左端 F x 是一個(gè)復(fù)合函數(shù)： F x f u ， u x ， 而方程 f u 0和 u x 是比較簡單的方程，則可進(jìn)行換元。令 u x ，這樣 方程就轉(zhuǎn)化為 f u 0 ，方便運(yùn)算。但值得注意的是，換元后的方程定義域發(fā)生 了變化，應(yīng)考慮增根或失根的可能。 下面就列舉三種常見的用換元法可解的方程 類型及換元方法。分式方程形如 af x b c 0fx令 u f x ，原方程化

7、為 au b c 0 ，即 au2 bu c 0u22解得 u c c 4ab ，原方程化為兩個(gè)簡單方程 f x1c c 4ab ，2a 1 2a45v1.0 可編輯可修改f x2c 2ca 4ab ，注意檢驗(yàn)根。2 例5.解方程 x2x 1 x x 1 52分析：此分式方程左邊的兩個(gè)分式互為倒數(shù)，可采用換元法來解。解：設(shè) 2 xx2 1u ，則 x2 1x1 ，原方程化為u15 uu2解得 u1 1 ，2當(dāng)u1 1 時(shí)，2u2 212，即x2當(dāng)u2 2 時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)， x有 x2x 1x1有 x2x 1x11是原方程的解。2，即 2x2x0 ，解得 x10 ，無實(shí)數(shù)解x2 1一元二次方程形如

8、a f x 2 bf x c 0令ux ，原方程化為一元二次方程2axbx c 0解得 uc 2ca 4ab ，原方程化為兩個(gè)簡單方程f x1c c 2 4ab ，2a ，f x2c c2 4ab 2a是整式時(shí)，上述兩方程的根都是原方程的跟，是分式或無理式時(shí)，應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)根。2例 6. 解方程 6x2 7x 2 26x2 7x 3 （哈爾濱 2007 ）分析：則可以將 6x2 7x 看成整體進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解。解：設(shè) u 6x2 7x ，原方程化為 u2 2u 3 0，解之得 u1 3，u2 1當(dāng)u1 3時(shí)，即 6x2 7x 3 ，得 x1 3 ， x212355v1.0 可編輯可修

9、改當(dāng) u2 1時(shí)，即 6x2經(jīng)檢驗(yàn) x1 312三角有理方程x1x217x 1， x3 1， x4611 是原方程的根61， x3 1 ， x4 34形如 R sin x,cosx2運(yùn)用萬能代換 utan2x ，得代數(shù)有理方程 R12uu2 ,11 uu20。需要注意的是，因u tan x2的自變量允許值是 x 2n 1 ， n z ，縮小了未知量的范圍，因 此用萬能代換解三角有理方程時(shí)，應(yīng)注意有失根的可能。例 7. 解方程 sinx cosx 1分析：運(yùn)用萬能代換，將原方程化為代數(shù)有理方程，再求解。解：設(shè) u tanx ，22原方程化為 2u2 1 u2 1，解之得 u 11 u2 1 u

10、2因此 tanx 1， x2n n z22經(jīng)檢驗(yàn)， x12n ， x2 2n 1 是原方程的根從以上分析可以看出， 換元的方法是以所討論方程的特有性質(zhì)為依據(jù)的， 因 此不同的方程就有不同的換元方法。因此，這種方法靈活性大，技巧性強(qiáng)，適當(dāng) 的換元，可以將復(fù)雜的方程化簡，方便求解。第五章?lián)Q元法在證明不等式中的應(yīng)用不等式作為一個(gè)重要的分析工具和分析手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地 位。在不等式證明中， 有些問題直接證明較為困難， 但如果通過換元的思想與方 法去解決就方便多了。下面列舉兩種基本的換元方法。三角換元法三角換元是常用的一種換元方法， 多用于條件不等式的證明。 在解類似這些 67v1.0 可編

11、輯可修改問題時(shí)，選用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元， 把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題， 再充分利 用三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題。例 8. 已知 a,b R ，且 a2 b2 1 ，求證： a2 2ab b2 2分析：由條件不難想到公式 sin 2 cos 2 1，假設(shè) a r sin ， b r cos ，其 中 r 1，0,2 ，這樣就將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題了。證明：設(shè) a r sin ， b rcos ，其中 r 1， 0,2 ，則 a2 2ab b2 r 2cos 2 2r2sin cos r 2sin 2r 2 cos2 r 2 sin22r2 sin 2249當(dāng) r 1 ，或 9 時(shí)，等號成立。28

12、增量換元法一般的，對稱式（任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如 a>b>c）的不等式，常用增量法進(jìn)行換元，換元的目的是通過減元，使問題化難 為易，化繁為簡。例 9. 已知 a>2, b>2, 求證： a b<ab分析：因?yàn)?a,b都在常量 2附近變化， 運(yùn)用增量換元法，設(shè) a 2 m，b 2 n，其中 m>0，n >0，再運(yùn)算證明。證明：設(shè) a2 m， b2 n ，其中 m>0，n>0則ab ab 2m2n 2 m 2n4mn4 2m 2nmnm n mn<0故 a b<ab不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)， 換元法

13、是常用的一種方法， 然而在具體解題時(shí)要根據(jù)不同的條件和結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的換元，技巧性很強(qiáng)。78v1.0 可編輯可修改第六章?lián)Q元法常見錯(cuò)誤分析雖然合理運(yùn)用換元法能夠做到化繁為簡， 化難為易的作用， 但在使用過程中 如果不注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，往往會出現(xiàn)不易察覺的錯(cuò)誤。錯(cuò)誤常表現(xiàn)為：將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談函數(shù) y F x經(jīng)過換元 x u 就變?yōu)?y F u 這種形式的復(fù)合函數(shù)。常常出現(xiàn)只考慮 yu 的單調(diào)性， 而不考慮 u 的單調(diào)性的情況，最終導(dǎo)致錯(cuò)88解。例 10. 試討論函數(shù)1axx2 （ a<0）的單調(diào)性錯(cuò)解：設(shè) x cosacos0, ，則 y acotsin因?yàn)?y cot在 0, 上是減

14、函數(shù)，且 a <0所以 y ax （a <0）是增函數(shù)1 x2分析：換元過后，只考慮了 y acot 的單調(diào)性，沒有考慮 x cos的單調(diào)性，導(dǎo)致了錯(cuò)解。正確的解答應(yīng)該在考慮 y acot 的單調(diào)性的同時(shí)，還考慮到x cos的單調(diào)性，兩者結(jié)合，最終得出結(jié)論。正確解：設(shè) x cos因?yàn)?yacotacos0, ，則 y acotsin在 0, 上是增函數(shù)，又因?yàn)?x cos 在 0, 上是減函所以 yax1 x 2a <0）是減函數(shù)對于 y Fu 這種形式的復(fù)合函數(shù)，在考慮 y F u 的單調(diào)性的同時(shí)， 還要考慮 u 的單調(diào)性，兩者結(jié)合，最終得出結(jié)論。改變換元后中間變量的范圍v

15、1.0 可編輯可修改換元后，根據(jù)原自變量的范圍錯(cuò)誤地確定中間變量的取值范圍的情況也常常 發(fā)生。例11.若log16 x log x 16 logx y 3，求 y的取值范圍錯(cuò)解：設(shè) x 16u ，則： u 3 log16 y 3，所以 y 16u2 3u3且u 0， uu3 2 3 uy 16 2 4 8 ，又 x >0 且 x 1 ，即 u 0 ， y 163所以 y 8,163 163 ,分析：在用 x 1推得 y 163時(shí)，還包含了 u 3的情況，這實(shí)際上是錯(cuò)解了 u 的 范圍，造成了非等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而縮小了 y 的范圍。正確解：設(shè) x 16u ，則： u 3 log16 y 3，所

16、以 y 16u2 3u3且u 0 uu3 2 9 uy 16 2 4 8所以 y 8, 通過原自變量的范圍求解中間變量范圍時(shí)一定要特別注意，既不能擴(kuò)大范 圍，也不能縮小范圍，在遇到比較難判斷的點(diǎn)時(shí)，可以代回原方程進(jìn)行檢驗(yàn)。 換元的選擇不恰當(dāng)換元的選擇不恰當(dāng)，不僅會使得計(jì)算變復(fù)雜，很多時(shí)候還會導(dǎo)致錯(cuò)解例 12. 設(shè) x 12 yy12 x1，求xy 的最值錯(cuò)解：因?yàn)?，y 1 ，所以設(shè) xcos，y sin ，0,2 ，即0, 2, ,32則 coscossinsin1，兩邊平方得：sin20，kkz2xycossin2sink42sinkz2499v1.0 可編輯可修改1011x y 的最大值為 1 ，最小值為 -1分析：事實(shí)上，由已知可得0 x 1， 0 y 1，而上題假設(shè)將原函數(shù)的定義域擴(kuò)大了，且條件中沒有 x2y2 1 ，就導(dǎo)致了錯(cuò)解。正確解法是重新?lián)Q元，再求x y 的最值。正確解：因?yàn)?x 1，所以 x0，同理 y0 ，即 0x 1， 0 y1設(shè)x