2018年全國高校自主招生數(shù)學模擬試卷12

1、精品 試卷2018 年全國高校自主招生數(shù)學模擬試卷十二、選擇題 (36 分)1已知數(shù)列 xn滿足 xn+1=xnxn1(n 2)，x1=a， x2=b， 記 Sn=x1+x2+ +xn，則下列結論 正確的是(A)x100 a， S100=2b a(B)x100 b， S100 2b a(C)x100 b， S100=b a(D)x100 a， S100 b aCD上，使得AEEB=FCDF= (0<<+D則m的2如圖，正四面體 ABCD中，E在棱 AB 上，F(xiàn)在棱 )，記 f ()=+其中 表示 EF與 AC所成的角， 表示 EF與 BD 所成的角， 則(A) f()在(0，+)單

2、調增加(B) f()在(0，+)單調減少(C) f() 在(0，1)單調增加，而在 (1，+單調減少(D) f()在(0，+)為常數(shù) 3設等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為972，則這樣的數(shù)列共有(A) 2 個 (B)3 個 (C)4 個 (D)5 個4在平面直角坐標系中， 若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x 2y+3)2 表示的曲線為橢圓， 取值范圍為(A) (0， 1)(B)(1，+)(C)(0，5)(D)(5，+ )5設 f(x)=x2 x，(A)f()>f()>f( )>f()(B) f()> f( )>f()>f()

3、(C) f( )>f()>f()>f()6如果空間三條直線a，b，c 都相交的直線有(D) f( )>f()>f()>f() a，b，c 兩兩成異面直線，那么與(A) 0條 (B) 1 條(C)多于 1 的有限條(D) 無窮多條二填空題 (每小題 9 分，共 54分)1設 x，y為實數(shù)，且滿足 (xy 5 1 5arcsin3， =arctan4，=arcos(3)， =arccot(4)，則1)33+11999977(xy11)=11，則 x+y.y22過雙曲線 x22=1的右焦點作直線 l交雙曲線于 A、B兩點，若實數(shù) 使得 |AB| 的直線 l 恰有

4、3 條，則 = .13已知復數(shù) z 滿足 2z+z =1，則 z 的幅角主值范圍是4已知三棱錐 S ABC的底面是以 AB 為斜邊的等腰直角三角形， SA=SB=SC2=，AB=2， 設 S、A、B、C四點均在以 O 為球心的某個球面上， 則點 O 到平面 ABC的距離為 5設 ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A 處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一若在 5 次之內(nèi)跳到 D 點，則停止跳動；若 5 次之內(nèi)不能到達 D 點，則跳完 5 次也 停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共 種6設 a logz+logx(yz) 1+1 ， b logx 1+log(xyz+1

5、)，c logy+log( xyz) 1+1 ，記 a，b，c 中 最大數(shù)為 M ，則 M 的最小值為 三、( 20 分)設 xyz12，且 x+y+z 2，求乘積 cosx siny cosz的最大值和最小值四、(20 分)設雙曲線 xy 1 的兩支為 C1， C2(如圖 )，正三角形 PQR的三頂點位于此雙曲線上(1)求證： P、Q、R 不能都在雙曲線的同一支上；(2)設 P( 1， 1)在 C2 上， Q、R在 C1上，求頂點 Q、R的坐標五、(20 分 )設非零復數(shù) a1，a2，a3，a4，a5 滿足a2 a3 a4 a5a1 a2 a3 a411111 a1+a2+a3+a4+a5=

6、4( + + + + )=Sa1 a2 a3 a4 a5 其中 S為實數(shù)且 |S| 2求證：復數(shù) a1，a2，a3，a4，a5 在復平面上所對應的點位于同一圓周上2018 年全國高校自主招生數(shù)學模擬試卷 十二參考答案一、選擇題 (每小題 6 分，共 36分)1已知數(shù)列 xn滿足 xn+1=xnxn1(n 2)，x1=a， x2=b， 記 Sn=x1+x2+ +xn，則下列結論 正確的是(A)x100 a， S100=2b a(B)x100 b， S100 2b a(C)x100 b， S100=b a(D)x100 a， S100 b a解： x1=a， x2=b， x3=b a，x4=a，

7、x5 = b ， x6=a b， x7=a， x8=b，易知此數(shù)列循環(huán)， xn+6=xn，于是 x100=x4= a，又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故 S100=2b a選 A2如圖，正四面體 ABCD中，E在棱 AB 上，F(xiàn)在棱 CD上，使得AEEB=FCDF= (0<<+)，記 f ()=+其中 表示 EF與 AC所成的角， 表示 EF與 BD 所成的角， 則(A) f()在(0，+)單調增加(B) f()在(0，+)單調減少(C) f() 在(0，1)單調增加，而在 (1，+單調減少(D) f()在(0，+)為常數(shù)故 GF BD故 GEF=，AE CG CF 解

8、：作 EGAC交 BC于 G，連 GF，則 EB=GB=FD，GFE=，但 ACBD，故 EGF=90 °故 f()為常數(shù)選 D 3設等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為 972，則這樣的數(shù)列共有(A)2 個 (B)3 個 (C)4 個(D)5 個1解：設首項為 a，公差為 d，項數(shù)為 n，則 na+2n(n1)d=972，n2a+(n 1)d=2×972， 即 n 為 2×972的大于 3 的約數(shù) n=972，2a+(9721)d=2，d=0，a=1；d1時a<0有一解； n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a

9、=a=49； d=2， a=1.有三解； n=2×97，n=2×972，無解 n=1，2時 n<3.選 C4在平面直角坐標系中， 若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x 2y+3)2表示的曲線為橢圓， 則m 的 取值范圍為(A)(0， 1)(B)(1，+)(C)(0，5)(D)(5，+)解：看成是軌跡上點到x2+(y+1)2= 5<1|x 2y+3| = m<112+(2)2(0， 1)的距離與到直線m>5，選 Dx2y+3=0 的距離的比：5設 f(x)=x2x，arcsin13， =arctan54，=arcos(31)， =arccot(45

10、)，則(A)f()>f()>f( )>f()(B) f()> f( )>f()>f()(C) f(i)>f()>f()>f()(D) f( )>f()>f()>f()二填空題 (每小題 9 分，共 54分) (x1)3+1997(x1)= 1， 1設 x，y 為實數(shù)，且滿足 (y 1)3+1997(y 1)=1 解：原方程組即 (x11y)3+11999977(1x1y)+11=00，(1 y)3+1997(1y)+1=0f(t)=t3+1997t+1， f (t)=3t2+1987>0則 x+y故 f(t) 單調增

11、，現(xiàn)x1=1 y， x+y=22的直線過雙曲線 x22=1 的右焦點作直線 l 恰有 3 條，則 = l 交雙曲線于 A、B 兩點，若實數(shù) 使得 |AB| 2b2 解：右支內(nèi)最短的焦點弦 =2b =4又 a 這樣的弦由對稱性有兩條故 =4 時2a=2，故與左、右兩支相交的焦點弦長2a=2，設 AB 的傾斜角為 ，則右支內(nèi)的焦點弦3已知復數(shù)與左支相交時，2ab242 2 2 = 2 4， a2 c2 cos2 13cos2= 2ab2 4=a2 c2cos2 = 1 3cos2 =4=當 =90°時，=4故 =4 z 滿足 2z+z =1 ，則 z 的幅角主值范圍是解： 2z+1z=1

12、 4r4+(4cos2 1)r2+1=0 ，這個等式成立等價于關于x 的二次方程解： f(x)的對稱軸為 x=2，易得， 2 3 5 0<<6<4<<3<2<< 3 < 4 <<66如果空間三條直線 a，b， c 兩兩成異面直線，那么與 a，b，c 都相交的 直線有(A) 0條(B) 1條(C)多于 1 的有限條 (D) 無窮多條解：在 a、b、c 上取三條線段 AB、CC、A D ，作一個平行六面體 ABCD ABCD，在 c上取線段 AD上一點 P，過 a、P作 一個平面，與 DD交于 Q、與 CC交于 R，則QRa，于是

13、PR不與 a平行，但PR與 a共面故PR與 a相交由 于可以取無窮多個點 P故選 D14x2+(4cos21)x+1=0 有正根 =(4cos2 1)2 160，由 x1x2=4>0，故必須 x1+x2= 4cos2 14>0 333 cos2 (2k+1) arccos 2(2k+1)+arccos 444(k=0，1) 1 3 1 3 k+22arccos4 k+2 +2arccos4，4已知三棱錐 S ABC的底面是以 AB 為斜邊的等腰直角三角形， SA=SB=SC2=，AB=2， 設 S、A、 B、C 四點均在以 O 為球心的某個球面上，則點 O 到平面 ABC 的距離

14、為解： SA=SB=SC2=， S在面 ABC上的射影為 AB 中點 H， SH平面 ABC SH上任意一點到 A、B、C 的距離相等 SH= 3 ，CH=1 ，在面 SHC內(nèi)作 SC的垂直平分線 的外接球球心 SM=1， SO=2 3 3， OH= 33，即為 33OA1H2MMO 與 SH交于 O，則 O 為 SABCO 與平面 ABC 的距離5設 ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A 處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一若在 5 次之內(nèi)跳到 D 點，則停止跳動；若 5 次之內(nèi)不能到達 D 點，則跳完 5 次也 停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共 種解：青蛙跳

15、 5 次，只可能跳到 B、D、 F三點 (染色可證 )青蛙順時針跳 1次算+1，逆時針跳 1次算 1，寫 5個“ 1”，在中填 “+”號或“” 號：1 11112 個中繼續(xù)填規(guī)則可解釋為：前三個中如果同號，則停止填寫；若不同號，則后 寫符號前三同號的方法有 2 種；前三個不同號的方法有 23 2=6 種，后兩個中填號的方 法有 22 種 共有 2+6×4=26 種方法6設 a logz+logx(yz) 1+1 ， b logx 1+log(xyz+1)，c logy+log( xyz) 1+1 ，記 a，b，c 中 最大數(shù)為 M ，則 M 的最小值為設 x y z 12，且 x+y

16、+z=2，求乘積cosx siny cosz 的最大值和最小值x 1 1 解： a=log（y+z），b=log（yz+x）， c=log（yz+y） a+c=log(yz+x+yz+x)2log2于是 a、c 中必有一個 log2即 M log2，于是 M 的最 小值 log2但取 x=y=z=1，得 a=b=c=log2即此時 M= log2于是 M 的最小值 log2 所求值 =log2 三、(本題滿分 20 分)解：由于 xyz12，故 6x2 12×2=3cosx siny cosz=cosx×112sin（y+z）+sin（yz）=22 1 1 2 cos2x+

17、2cosxsin（yz） 2cos23即最小值cosx siny cosz= 8（由于 6 x3 ，yz，故 cosxsin（yz）0），當 y=z=12 ， x=3 時，1 1 2 1cosx siny cosz=cosz× 2sin（x+y） sin（x y）=2cos2z2coszsin（xy）1 2 1 2 1 2+由于 sin(x y) 0， cosz>0，故 cosx siny cosz2cos P（1， 1），設 Q（x2，x ），點 P在直線 y=x上以 P為圓心， | PQ|為半徑作圓，此 圓與雙曲線第一象限內(nèi)的另一交點R滿足| PQ| =| PR| ，由圓與

18、雙曲線都是 y=x對稱，知 Q 與1z=2cos212 =2(1+cos6)= 8 5當 x= y=12 ， z=12 時取得最大值 最大值 2+ R關于 y=x 對稱且在第一象限內(nèi)此二曲線沒有其他交點（二次曲線的交點個數(shù) ）于是 R（x2，最小值 1 88四、（ 本題滿分 20 分 ）設雙曲線 xy 1 的兩支為 C1， C2（如圖 ），正三角形 PQR的三頂點位于此雙曲線上 （1）求證： P、Q、R 不能都在雙曲線的同一支上；（2）設 P（ 1， 1）在 C2 上， Q、R在 C1上，求頂點 Q、R的坐標 11解：設某個正三角形的三個頂點都在同一支上此三點的坐標為P（x1，x1），Q（x2

19、，x1），x1x21R（x3， x ）不妨設0<x1<x2<x3，則 x1 >x1 >x1 >0x1 x2 x3形y2 y11kPQ=x2 x1x1x21kQR=；x2x3tan PQR=x1x211+x2x3<0 ，從而 PQR為鈍角即 PQR不可能是正三角x1x3x22PQ與 y=x的夾角 =30°， PQ所在直線的傾斜角=75°tan75 °=1+33133=2+ 3PQ 所在直線方程為 y+1=（2+ 3）（x+1），代入 xy=1，解得 Q（2 3，2+ 3），于是 R（2+ 3， 2 3）五、（本題滿分 20 分）設非零復數(shù) a1，a2，a3，a4，a5 滿足a2 a3 a4 a5a1 a2 a3 a411111a1+a2+a3+a4+a5=4(a1+a2+a3+a4+a5)=S其中 S為實數(shù)且 |S| 2 求證：復數(shù) a1，a2，a3，a4，a5 在復平面上所對應的點位于同一圓周上a2 a3 a4 a54證明：設 a1=a2=a3=a4=q，則由下式得 a1(1+q+q 1 5 此時，由 |( q+q+2)2