巧用仿射變換解決橢圓相關(guān)問題的調(diào)查與實踐

1、巧用仿射變換解決橢圓相關(guān)問題的調(diào)查與實踐本工程通過對其他專家及學(xué)者關(guān)于仿射變換在初等幾何中 的運用 這方面的研究作了綜合性的分析， 并對中學(xué)生對仿射變換 的知識理解 和運用情況進行了調(diào)查， 得出了仿射變換在初等幾何 中的應(yīng)用還沒有 得到廣泛的推廣， 同時還只是停留在原始的解題 方法根底上。 我們在 此， 為了將仿射變換能夠更好的推廣到中學(xué) 的初等幾何教學(xué)中去， 我 們認為有必要對這方面進行進一步的研 究。為了能讓中學(xué)教師和學(xué)生能 認識到仿射變換在中學(xué)教學(xué)中的 重要意義，我們進行了如下分析。1、 代數(shù)法當題型只涉及到關(guān)系式， 沒有圖形時， 可以采用代數(shù)法來解 決。 代數(shù)法也是我們數(shù)學(xué)當中常用的方

2、法。 我們對以下兩個例子 做了調(diào)查 和分析例 1：點 P x， y 在橢圓 上運動，求 的最大值 解： 令 ， ，那么 ， ，問題化為： Q x' ， y' 是單位圓 上 的點，求 的 最大值。設(shè)A 2, 0,那么u即為直線AQ的斜率K。設(shè)過點A的圓的切線為 AB AC B C為切點，當Q和C重合時K取最大值，此時?時 優(yōu)點：對于此題，通過與傳統(tǒng)的解題方法作比擬，它的優(yōu)點 在于比我們利用中學(xué)的傳統(tǒng)方法解決要簡單很多， 計算量也不 大。 調(diào)查方法： 我們對局部中學(xué)生作了抽樣調(diào)查， 將此題給中學(xué) 生 做，并將數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計。調(diào)查結(jié)果： 通過回收試題進行了總結(jié)， 發(fā)現(xiàn)只有極少數(shù)的同 學(xué)

3、 運用了仿射變換的方法來解決的， 而更多的是利用傳統(tǒng)的解題 方法。缺乏之處： 此方法在知識上的跳躍性比擬強， 讓中學(xué)生接受 起 來比擬困難。 假設(shè)要想此方法在中學(xué)中能得到廣泛的推廣， 此題 的解決 方法還得進行適當?shù)膬?yōu)化。 比方添加上圖形， 采用數(shù)與形 相結(jié)合，使 得更加形象化，學(xué)生也更容易理解。分析：此方法雖然比擬優(yōu)越， 但在中學(xué)的教學(xué)中并沒有得到 廣泛 的運用。現(xiàn)在所面臨的問題就是如何將此方法進行推廣。例2:：橢圓直線I : P是I上一點，射線0P交橢圓 于R,又點Q在0P上且滿足|0Q| ? |0P|=|0R|2 ，當點 P在I上 移動時，求：點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形故 Q

4、點的軌跡是以 1， 1為中心，長半軸長為 ，短半軸 長為 ， 且焦點在直線 y=1 上的橢圓除去原點 .優(yōu)點：此題是一道難度系數(shù)很高的高考試題， 當年利用傳統(tǒng) 的解 題方法根本沒有幾個人能在有限的時間里把它做出來，而且 計算量也比擬大。 如果利用仿射變換來解決此題， 就簡單的多了。 無論是計算量上，還是思維方法上都得到了簡化。調(diào)查方法： 我們同樣采用抽樣調(diào)查的形式， 將此題給中學(xué)生 做， 并將試題收回進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計。 對在統(tǒng)計中運用此方法的同學(xué) 進行回訪， 并調(diào)查他們是如果知道此方法的。調(diào)查結(jié)果： 經(jīng)過統(tǒng)計的數(shù)據(jù)分析顯示， 只有極少局部同學(xué)利 用經(jīng) 過回訪仿射變換來解決問題， 而更多的還是采用傳

5、統(tǒng)的解題方法發(fā)現(xiàn)， 少局部運用此方法的同學(xué)都是在學(xué)習奧數(shù)的時候才 知道此方法 的的。缺乏之處：他們拿到此題首先所想到得就是利用傳統(tǒng)的方法 來解 決，就算給他們充足的時間，也沒有幾個人能準確做出來。 只有少局部 老師和同學(xué)想到利用仿射變換的方法來解決。 這說明 此方法在中學(xué)的 教學(xué)中還根本沒有得到運用， 在他們的心中還沒 有仿射變換這個概念。分析：現(xiàn)在關(guān)于這方面的研究很多， 但此方法并沒有得到廣 泛的 運用。對于出現(xiàn)以上問題， 其主要在于此方法沒有得到推廣。 現(xiàn)在要 解決的問題就是如何將此方法推廣到中學(xué)教學(xué)中去。2、 綜合法中學(xué)生更容易接受， 理解在解決復(fù)雜的橢圓問題， 而且也有圖形時， 我們可

6、以采用綜 合法來解決。在既有數(shù)式又有圖形的條件下，起來也比擬形象。例 3 ：設(shè)橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線>0 與 相交于點 ，與橢圓相交于 、 兩點。 1 假設(shè) ， 求 的值； 2 求四邊形 面積最大。如圖 1 解：依題可設(shè)橢圓的方程為 ，如圖 11，作仿射變換，令 ， 那么得 仿射坐標系 ，在此坐標系中上述橢圓變換為圓 ， 點 、 、 、 、 分別變換成點 、 、 、 、 ，且 為直徑的圓， =2， ，2 設(shè)四邊形 的面積為 ，四邊形 的面積為 ， 與 的夾 角為，那么= < 當時取“ =號，此時 . 由于橢圓的面積 為 ，圓的面積為 根據(jù)仿射變換保持兩封閉圖形面積

7、之比不變 有 ，故 =2 .所以 < ，當且僅當坐標為，即 =時取“ =號。 優(yōu)點：此題巧妙的應(yīng)用了仿射變換的性質(zhì)來解決問題， 將題 型由 難轉(zhuǎn)為易。并應(yīng)用綜合法，充分利用數(shù)與形相結(jié)合的特點。調(diào)查方法： 通過對中學(xué)生進行問卷和試卷形式的調(diào)查， 并收 回 試卷和問卷進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計。調(diào)查結(jié)果： 通過回收的試卷和問卷， 進行統(tǒng)計之后發(fā)現(xiàn)只有 極 少局部同學(xué)利用仿射變換的性質(zhì)來解決的。缺乏之處：但此解法站在中學(xué)生的角度看， 步驟上不夠詳細， 跨 度比擬大，學(xué)生理解起來比擬困難。分析：出現(xiàn)以上情況， 主要是此方法在中學(xué)教育中還沒有得 到廣 泛的推廣。對以上幾個例子的歸納總結(jié)： 對這類題型的研究還有很

8、多例子， 其 他們的共同點都是將復(fù) 雜難解的題型利用仿射變換的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成 簡單易懂的特殊題型。 但他們?nèi)狈χ幘褪嵌贾皇轻槍Φ湫偷睦?題， 而沒有針對所有的 題型做出明確的解釋。 用此方法是否所 有與橢圓有關(guān)的題型都能 利用仿射變換的性質(zhì)來解決。在這方面 還需進一步研究?，F(xiàn)在所面臨的問題就是是否所有涉及到橢圓的題型都適合 應(yīng)用仿 射變換的性質(zhì)來解決和如何將此方法推廣到中學(xué)中去。 在 此根底上， 我 們也做了進一步的研究。 關(guān)于涉及到橢圓的題型只 有通過坐標的伸縮 變換之后新問題與原問題等價才適合。在此我們歸納出有以下情況的不適合利用仿射變換：1、 對于大多數(shù)給定某一個角度的題目， 這個方法并不適用， 因 為角經(jīng)過對 y 軸或 x 軸的拉伸之后就變了， 失去了原來的集合 性質(zhì)， 不適合用這種方法。2、 對于求某一段距離的長的問題，如果用這種方法，就需要求出兩個點的坐標，因為距離經(jīng)過變換以后