《提優(yōu)教程》2012江蘇省高中數(shù)學(xué) 第63講 極限競(jìng)賽教案

1、極限及其運(yùn)算相關(guān)知識(shí)1.數(shù)列極限的定義： 一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)（即無(wú)限趨近于0），那么就說(shuō)數(shù)列以為極限，或者說(shuō)是數(shù)列的極限記作，讀作“當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，的極限等于”2.幾個(gè)重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)） （3）無(wú)窮等比數(shù)列（）的極限是0，即 3.函數(shù)極限的定義:(1)當(dāng)自變量x取正值并且無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.記作：f(x)=a，或者當(dāng)x+時(shí)，f(x)a.(2)當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x

2、)的極限是a.記作f(x)=a或者當(dāng)x時(shí)，f(x)a.(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就說(shuō)當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a，記作：f(x)=a或者當(dāng)x時(shí)，f(x)a.4 數(shù)列極限的運(yùn)算法則:與函數(shù)極限的運(yùn)算法則類(lèi)似, 如果那么5 對(duì)于函數(shù)極限有如下的運(yùn)算法則：如果，那么, 當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時(shí):,這些法則對(duì)于的情況仍然適用 6 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義: 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù).7.函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義：如果函數(shù)f(x)在某一開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)f(x

3、)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或f(x)是開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù).8 函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)的定義：如果f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，在左端點(diǎn)x=a處有f(x)=f(a)，在右端點(diǎn)x=b處有f(x)=f(b),就說(shuō)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù).9 最大值f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于任意xa，b，f(x1)f(x)，那么f(x)在點(diǎn)x1處有最大值f(x1).10 最小值f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于任意xa，b，f(x2)f(x)，那么f(x)在點(diǎn)x2處有最小值f(x2).11.最大值最小值定理如果f(x)是閉區(qū)

4、間a，b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間a，b上有最大值和最小值 . A類(lèi)例題例1 （1）等于( )A.1 B.0 C.1 D.不能確定分析 因?yàn)楫?dāng)|1即a時(shí)，=0，當(dāng)|1時(shí)，不存在.當(dāng)=1即a=時(shí)，=1當(dāng)=1時(shí)，也不存在.答案 D.例2 已知|a|b|，且 (nN*)，那么a的取值范圍是( )A.a1B.1a0C.a1D.a1或1a0分析 左邊=右邊=|a|b|，|1.()n=0不等式變?yōu)閍，解不等式得a1或1a0.答案：D.說(shuō)明 在數(shù)列極限中，極限qn=0要注意這里|q|1.這個(gè)極限很重要.例3 (1). (2)(1)分析 先因式分解法，然后約分代入即得結(jié)果。解：. (2)分析 分子、分

5、母同除x的最高次冪.解： 例4 . 分析 進(jìn)行分子有理化.解：.=鏈接有限個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限等于這些函數(shù)的和（或積）；兩個(gè)（或幾個(gè)）函數(shù)的極限至少有一個(gè)不存在時(shí)，他們的和、差、積、商的極限不一定不存在. 在求幾個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限時(shí)，一般要化簡(jiǎn)，再求極限 .求函數(shù)的極限要掌握幾種基本的方法.代入法；因式分解法；分子、分母同除x的最高次冪；分子有理化法.情景再現(xiàn)1 已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)（nN*）為等差數(shù)列，且a13，a25，則）=（ ）A2BC1D2 =8，試確定a，b的值.B類(lèi)習(xí)題例5已知下列極限，求a與b.(1)(2)(3)分析 此題屬于已知x趨向于x0(或無(wú)窮大)時(shí)，函數(shù)的

6、極限存在且等于某個(gè)常數(shù)，求函數(shù)關(guān)系式的類(lèi)型.上邊三個(gè)小題都不能簡(jiǎn)單地將x=x0直接代入函數(shù)的解析式中，因?yàn)?1)(2)中的x不趨于確定的常數(shù)，(3)雖然趨于1，但將x=1代入函數(shù)關(guān)系式中，分母為零.因此，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，是先要確定用哪種方法求極限，再將函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后根?jù)所給的條件進(jìn)行分析，進(jìn)而確定a，b的值.解 (1)1 如果1a0，不存在.2 如果 1a=0，=(a+b)=0 即a+b=0解：(2)要使極限存在1a2=0.即1+2ab=0，a+10.解：(3)當(dāng)x1時(shí)極限存在，則分子、分母必有公因式x1.ab2=1原式=鏈接我們求極限的一種方法是分子、分母同除x的最高次

7、冪，但像第(1)題，因?yàn)榉肿拥拇螖?shù)低于分母的次數(shù)，如果分子除以x2，則分子極限為0，不符合，所以通分后，應(yīng)除以分子分母中x的較低次冪.并且x的次數(shù)比分子x的最高次冪大的項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)該等于0，這樣極限才存在.例6已知f(x)=求a，使f(x)存在.解：要使f(x)存在，則f(x)與f(x)要存在且相等.f(x)= (2x23)=2223=5.f(x)= (3x2+a)=322+a=12+a.5=12+a.a=7例7設(shè)函數(shù)f(x)=，在x=0處連續(xù)，求a，b的值.分析：要使f(x)在x=0處連續(xù)，就要使f(x)在x=0處的左、右極限存在，并且相等，等于f(x)在x=0處的值a.解：f(x)=(1)f

8、(x)=(2x+1)=20+1=1鏈接這類(lèi)連續(xù)的題目，關(guān)鍵是求在一點(diǎn)處的左、右極限存在并都等于在這點(diǎn)的函數(shù)值，與函數(shù)在這點(diǎn)的極限存在的方法是相同的 情景再現(xiàn)3 求下列函數(shù)在X0處的極限（1）（2）（3）4 求 C類(lèi)習(xí)題例8 設(shè)數(shù)列a1,a2,an,的前n項(xiàng)的和Sn和an的關(guān)系是Sn=1ban,其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且b1 (1)求an和an1的關(guān)系式；(2)寫(xiě)出用n和b表示an的表達(dá)式；(3)當(dāng)0b1時(shí)，求極限Sn 解 (1)an=SnSn1=b(anan1)=b(anan1)+ (n2)解得an= (n2)說(shuō)明 歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和Sn等有緊密的聯(lián)系 有時(shí)題目

9、是先依條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再求極限，或先求出前n項(xiàng)和Sn再求極限，本題考查學(xué)生的綜合能力 解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)是分析透題目中的條件間的相互關(guān)系 技巧與方法是 抓住第一步的遞推關(guān)系式，去尋找規(guī)律 例9 已知數(shù)列an滿(mǎn)足條件：a1=1，a2=r（r0）且anan+1是公比為q（q0）的等比數(shù)列，設(shè)bn=a2n1+a2n（n=1，2，）（）求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+2（nN*）成立的q的取值范圍；（）求bn和，其中Sn=b1+b2+bn；（）設(shè)r=21921，q=，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.解：（）由題意得rqn1+rqnrqn+1由題設(shè)r0，q0，故上式q2q10所以

10、，由于q0，故0q（）因?yàn)樗?q0b1=1+r0，所以bn是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而bn=（1+r）qn1當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n（1+r）當(dāng)0q1時(shí)，Sn=當(dāng)q1時(shí)，Sn= 綜上所述 （）由（）知bn=（1+r）qn1從上式可知當(dāng)n20.20時(shí)n21（nN）時(shí)，cn隨n的增大而減小，故1cnc21=1+=2.25當(dāng)n20.20，即n20（nN）時(shí)，cn也隨著n的增大而減小，故1cnc20=1+綜合、兩式知對(duì)任意的自然數(shù)n有c20cnc21故cn的最大項(xiàng)c21=2.25，最小項(xiàng)c204例10 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （）求的表達(dá)式，并求出f（1）、f（2）的值； （）數(shù)列a

11、n，bn，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足，其中是定義在實(shí)數(shù)R上的一個(gè)函數(shù)，求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式； （）設(shè)圓，若圓Cn與圓Cn+1外切，rn是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn是前n個(gè)圓的面積之和，求.解：（I）由已知得 （II） 由得（III），設(shè)數(shù)列rn的公比為q，則 情景再現(xiàn)5在數(shù)列an中，已知a1=,a2=,且數(shù)列an+1an是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列l(wèi)g(an+1an是公差為1的等差數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)Sn=a1+a2+an(n1),求Sn 6 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，d0且a1=0,bn=2 (nN*),Sn是bn的前n項(xiàng)和，Tn= (nN*) (1)求Tn的通

12、項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d0時(shí)，求Tn 本章習(xí)題1已知數(shù)列的值為（ ）ABC1D22設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為,它們的前項(xiàng)和依次為,則( ) 3 =_ 4 若=1,則ab的值是_5 67 (m，n為自然數(shù))8求9.計(jì)算(r0)10 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且、等差中項(xiàng)為1（1）寫(xiě)出、；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）設(shè)，求的值 11 設(shè)f(x)是x的三次多項(xiàng)式，已知=1,試求的值 (a為非零常數(shù)) 12已知數(shù)列an,bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公式分別為p、q,其中pq,且p1,q1,設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求的值 參考答案 情景再現(xiàn)答案1解 由題意得：,求得d=1, 則又

13、由所以=所以 故選C。2 解：由題意3 解：（1）（2）不存在（3）4 5 解 (1)由an+1an是公比為的等比數(shù)列，且a1=,a2=,an+1an=(a2a1)()n-1=()()n-1=,an+1=an+又由數(shù)列l(wèi)g(an+1an)是公差為1的等差數(shù)列，且首項(xiàng)lg(a2a1)=lg()=2,其通項(xiàng)lg(an+1an)=2+(n1)(1)=(n+1),an+1an=10(n+1),即an+1=an+10(n+1)聯(lián)立解得an=()n+1()n+1(2)Sn=6 解 (1)an=(n1)d,bn=2=2(n1)dSn=b1+b2+b3+bn=20+2d+22d+2(n1)d由d0,2d1,Sn=Tn=(2)當(dāng)d0時(shí)，2d1本章習(xí)題答案1（C） 2（A）3 解 答案 4 解 原式=ab=8 5解：6解：7 解：當(dāng)nm0時(shí)，即nm =0當(dāng)nm=0時(shí)，即n=m =1當(dāng)nm0時(shí)，即nm 不存在.當(dāng)nm時(shí)，=0；當(dāng)n=m時(shí)，=1；當(dāng)nm時(shí)，不存在.8解：9.解：1 0r1，rx=0，.2 r=1，rx=1，3 r1，01，. 10 解：（1）依題意：，計(jì)算得，（2）猜想以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，猜想成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，兩式相減得即，當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立，綜上所述，對(duì)時(shí)，（3），11 解 由于=1，可知