菲涅爾轉(zhuǎn)換的數(shù)值計(jì)算

1、菲涅爾轉(zhuǎn)換的數(shù)值計(jì)算在這篇論文中，我們通過均勻空間采樣所獲得的有限數(shù)值來處理計(jì)算菲涅爾轉(zhuǎn)換積分這一問題。通常簡單的數(shù)值采樣規(guī)則能夠讓使用者對(duì)于任何散射距離都能計(jì)算出他的分布。這些規(guī)則是如何被擴(kuò)展到利用基于快速傅里葉變換這一算法來提高計(jì)算效率的,在這篇論文中也有所解釋。這篇論文也把本方法與其他理論方法做了比較。1、 引言光的傳播和衍射是個(gè)經(jīng)典問題，在當(dāng)下仍十分重要。麥斯威爾等式為檢測光的行為提供了一個(gè)嚴(yán)格的框架，他把光描述成一種電磁波。電場和磁場組成部分的行為都應(yīng)該特別的考慮，例如，當(dāng)分析數(shù)值孔徑高的鏡頭，就如在顯微鏡中或者是為平面等離子體匹配模式時(shí)發(fā)現(xiàn)的。然而在許多場合，對(duì)于一個(gè)給定的物理問題

2、進(jìn)行模式匹配時(shí)，電磁場的全矢量描述是不需要的，一個(gè)簡單地標(biāo)量模型可以用在這里。用一個(gè)標(biāo)量模型去表示一個(gè)光學(xué)場是一個(gè)有用的近似表示。在光學(xué)制度中，它為光通過孔徑（在這里孔徑的大小遠(yuǎn)大于光波長）的衍射提供了一個(gè)高度準(zhǔn)確的預(yù)測，可參見【1】的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其他相關(guān)理論和數(shù)值計(jì)算在【2,3】中被提出來了。在這篇論文中我們假設(shè)一個(gè)標(biāo)量模型對(duì)于我們的目的是足夠精確的。在光傳輸?shù)臉?biāo)量描述中，區(qū)分以下兩個(gè)定義是非常有用的，即傍軸和非傍軸衍射積分。兩類衍射積分來自于麥斯威爾等式，參見【4,5】。然而在傍軸處理過程中，在推倒時(shí)應(yīng)做更多的近似處理。因此，傍軸模式更加脫離于真實(shí)的衍射基礎(chǔ)物理過程，伴隨著這個(gè)結(jié)論還有非傍軸

3、衍射積分被認(rèn)為是更加的準(zhǔn)確。我們參見在【4】的3、4章中寫的衍射處理，并且據(jù)此把基爾霍夫定律或瑞利-索末菲第一和第二定律歸類為非傍軸衍射積分。菲涅爾轉(zhuǎn)換是一個(gè)傍軸衍射積分。在這篇論文中我們用有限的采樣數(shù)值來研究菲涅爾轉(zhuǎn)換的數(shù)值計(jì)算問題。這是因?yàn)閿?shù)值模擬技術(shù)對(duì)模擬光傳輸和為沒有解析解的普通衍射問題計(jì)算解析解是相當(dāng)重要的。菲涅爾轉(zhuǎn)換在數(shù)字全息術(shù)【6-12】、迭代相位檢索【13-15】和估計(jì)相位分布的強(qiáng)度方式的傳輸中扮演著不可缺少的角色，估計(jì)相位分布的強(qiáng)度方式的傳輸在生物圖像應(yīng)用【16,17】中起著重要的作用。菲涅爾轉(zhuǎn)換也廣泛應(yīng)用于針對(duì)波束成形【18,19】的衍射光學(xué)元件的設(shè)計(jì)中，在計(jì)量應(yīng)用中衍射光

4、斑區(qū)域的去相關(guān)也被應(yīng)用于判定變形，例如，在測試時(shí)光學(xué)粗糙表面的壓力、應(yīng)變以及裂縫，【20,22】，或者是位移和傾斜的檢測【23,24】。在這所有的應(yīng)用當(dāng)中，菲涅爾轉(zhuǎn)換的數(shù)值計(jì)算是必要的，因此完全明白如何執(zhí)行運(yùn)算具有顯著的理論和實(shí)踐重要性。或許在理論計(jì)算過程中遇到的第一個(gè)問題會(huì)是如何選擇一個(gè)合適的均勻分布的抽樣值來代替輸入平面的復(fù)雜標(biāo)量波場。在文獻(xiàn)中有許多通過檢測需要多少抽樣值來處理這個(gè)問題的手稿，因此在檢測內(nèi)核或者是菲涅爾啁啾函數(shù)時(shí)尼奎斯特采樣率（或者是一個(gè)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)）被采用了，參見例子【25-31】。然而這個(gè)處理可以等效于準(zhǔn)確的理論計(jì)算，它往往可以是不必要的數(shù)值密集型【28】。用于計(jì)算輸入輸

5、出信號(hào)的范圍大小被發(fā)現(xiàn)也影響光學(xué)采樣率，然而在文獻(xiàn)中也出現(xiàn)了一些關(guān)于理想采樣率的意見分歧，例如【29-31】。通常也不是很清楚當(dāng)違反采樣規(guī)則時(shí)數(shù)值計(jì)算是為何變得不準(zhǔn)確的。因?yàn)檫@些因素，很有必要來重新審視這個(gè)問題，即為衍射積分運(yùn)算提供一個(gè)合適的采樣率。盡管我們的分析是針對(duì)于菲涅爾轉(zhuǎn)換，但是這一結(jié)果可以概括到在【29-31】中討論的傍軸積分中。在此，我們以一種完全不同的方式來處理采樣問題，即依靠一種對(duì)數(shù)值衍射過程的直觀的物理描述。這一描述對(duì)分析普遍的衍射問題和準(zhǔn)確的確定通過采樣所引進(jìn)的理想誤差都是有幫助的。和文獻(xiàn)中的其他手稿不同的是我們?cè)跊Q定合適的采樣率時(shí)不考慮菲涅爾內(nèi)核和啁啾函數(shù)在計(jì)算中的作用。

6、相反地，我們依靠輸入域的空間和空間頻率范圍并依靠衍射平面中重現(xiàn)波的位置來定義采樣率。這些重現(xiàn)波的出現(xiàn)是由于采樣操作（平面1中的復(fù)雜信號(hào)的離散化，看圖1和第3部分）。這些重現(xiàn)波和他們特性之間的離散化取決于菲涅爾轉(zhuǎn)換是如何運(yùn)算的。鑒于我們正在計(jì)算的信號(hào)的輸出范圍小于相鄰重現(xiàn)波之間的離散這一事實(shí)，我們認(rèn)為我們的信號(hào)是被合適采樣的。這篇論文的論據(jù)基于以下考慮：（1） 在空間和空間頻率域有一個(gè)有效的有限的支持的信號(hào)被定義為使用來自在【27,28,32-35】中描述的空間-帶寬產(chǎn)品的概念。這種信號(hào)包含定義的（或使用者選擇的）最大的空間頻率，和一個(gè)有限的輸入范圍。衍射的真正的物理過程使得這個(gè)信號(hào)在衍射平面中

7、有一個(gè)無限的輸出空間范圍，我們后邊會(huì)定義為SE。（2） 從一個(gè)有限的采樣值而不是從1中考慮的連續(xù)情形來計(jì)算衍射分布從根本上改變了這一問題的性質(zhì)。這一理論計(jì)算的信號(hào)將重新產(chǎn)生一個(gè)來自于能夠產(chǎn)生范圍為SE的輸出平面的點(diǎn)1的分析結(jié)果。然而除此之外，重現(xiàn)波的一個(gè)無限集產(chǎn)生于衍射平面。這些重現(xiàn)波的特性取決于這一運(yùn)算是如何運(yùn)行的。（3） 對(duì)于數(shù)值計(jì)算衍射積分考慮了兩種方法。直接計(jì)算衍射積分會(huì)產(chǎn)生彼此間隔為的復(fù)制平面，在此是波長，z是傳輸距離，是在輸入空間域的采樣間隔。通過運(yùn)算在輸入域中信號(hào)的空間頻率沒有發(fā)生相位移動(dòng)，并且不是通過尼奎斯特標(biāo)準(zhǔn)采樣獲得的空間頻率也將會(huì)傳播并會(huì)加強(qiáng)在衍射域中的場?；诠庾V的運(yùn)算

8、在衍射平面中產(chǎn)生了一個(gè)彼此間隔的重現(xiàn)波的無限集，在此是空間頻率域的采樣間隔。在光譜運(yùn)算過程中衍射信號(hào)的空間頻率成分經(jīng)常被限制在空間頻率域。圖1，衍射過程的圖示。一個(gè)無線平面波入射進(jìn)平面1中的孔徑中，該平面以空間變量X表示?？紤]到如何計(jì)算P(x,z)中的復(fù)振幅，僅僅是開放孔徑的光對(duì)P(x,z)中的復(fù)振幅有貢獻(xiàn)，我們把開放孔徑內(nèi)的光設(shè)想成由無窮多個(gè)點(diǎn)光源發(fā)光組成的，每一個(gè)點(diǎn)光源都帶有強(qiáng)度值和相位值（圖中只畫了一部分點(diǎn)光源）。因?yàn)檫@個(gè)孔徑是被理想平面波照明的，每一個(gè)第二級(jí)點(diǎn)光源都帶有相同的強(qiáng)度值和相位值，盡管當(dāng)考慮到距離l1和l4時(shí)，由于光的路徑不同每一點(diǎn)光源將積累不同的相位值。（4）我們建議的抽樣

9、規(guī)則遵從以上1-3點(diǎn)：SE比和都小。當(dāng)這一點(diǎn)確定后，這個(gè)衍射信號(hào)被認(rèn)為是被很好抽樣的。我們?cè)僖淮螛?biāo)注，以上所采取的方法不同于文獻(xiàn)中所提出來的方法，這是因?yàn)槲覀冊(cè)谒伎紩r(shí)沒有用到菲涅爾啁啾函數(shù)的特性。在2-5節(jié)中，我們得出了以上的點(diǎn)1-4。在第六節(jié)中，我們把注意力轉(zhuǎn)移到計(jì)算菲涅爾轉(zhuǎn)換的高效計(jì)算算法，對(duì)于這一點(diǎn)我們用到了快速傅里葉變換。兩種算法被明確的命名為：直接算法和光譜算法，其中光譜算法是我們?cè)诘?和5節(jié)中討論過的直接和光譜計(jì)算的快速實(shí)現(xiàn)（基于快速傅里葉變換）。我們的理論結(jié)果與文獻(xiàn)中的其他分析方法所得的結(jié)論做了對(duì)比。最后，在第七節(jié)中，我們考慮一個(gè)重要的案例在這個(gè)案例中我們?cè)诘?和5節(jié)中提出的抽樣

10、規(guī)則是不合適的：也就是說，在衍射區(qū)被抽樣時(shí)我們希望對(duì)這個(gè)結(jié)果做菲涅爾逆變換，這后一種情況對(duì)數(shù)字全息照相術(shù)有重要的寓意，然后我們總結(jié)這篇論文的主要發(fā)現(xiàn)。2、 一個(gè)分析解決方案 在隨后的介紹中為了表述簡單，我們執(zhí)行一維分析。在圖1中，我們簡繪了問題的特性。平面1中的場我們以大寫字母U（x）表示，并假設(shè)它是已知的，我們的任務(wù)是推導(dǎo)出衍射場的表達(dá)式，即平面2的表示式。通過【4】中的分析，我們現(xiàn)在寫出菲涅爾轉(zhuǎn)換的定義式： = (1)在這里是單色相干光（在時(shí)間和空間上的）的波長，z是平面1和平面2的軸距離（參見圖1），j=，變量X和x分別代表在平面1和平面2上的空間坐標(biāo)。為了余下的分析我們將降低開始的相位

11、項(xiàng)，即。 在有些衍射問題中有可能能解出等式1的解析解。由于一些原因這些解決辦法非常重要：他們洞察了這個(gè)衍射過程，他們也可以作為一種評(píng)估數(shù)值方法準(zhǔn)確度的方法。這個(gè)可以通過將數(shù)值計(jì)算結(jié)果和通過對(duì)的分析方法而獲得的結(jié)果作比較而獲得。一些與菲涅爾轉(zhuǎn)換有關(guān)的特性在【27,36-41】中討論過了。我們用下面這個(gè)等式第一次檢驗(yàn)等式1的分析方法： U(x)=expcos(2X), (2)它也可以表述為下式： (3)在上式中，和U(x)的空間擴(kuò)展有關(guān)。然而嚴(yán)格的說，U（x）擴(kuò)展到一個(gè)無窮的區(qū)域，信號(hào)的超過99.9%的能量存在于以下的范圍中：-2【33】。U(x)也有空間頻率成分。將等式3帶入等式1就得到了如下結(jié)

12、果： (4)并且 （5） （6） （7） （8） （9）我們注意輸入的調(diào)制高斯函數(shù)已經(jīng)被轉(zhuǎn)換成帶有4的空間擴(kuò)展的高斯函數(shù)。高斯函數(shù)的中心位置在x= 存在于x=-。因此在菲涅爾轉(zhuǎn)換之后我們會(huì)看到U(x)在平面2將有一個(gè)大小為SE的空間擴(kuò)展。 SE=2(+2). (10)這代表了我們的第一個(gè)重要結(jié)論。它表示一個(gè)帶有有效有限支持并知道它的空間頻率成分的信號(hào)由于他的兩個(gè)獨(dú)立分量：和，所以它將隨著它的傳播程度而增強(qiáng)。由于結(jié)果相對(duì)簡單我們選擇了這個(gè)分析形勢，它使得人可以看到和特定空間頻率有關(guān)的能量是如何隨著傳播而遠(yuǎn)離光學(xué)軸的，然而仍然有部分處于高斯外殼以內(nèi)，參見【42】和【43】的18.6節(jié)?？臻g頻率越高

13、它隨著傳播偏離空間軸越遠(yuǎn)。盡管如此，對(duì)于相對(duì)簡單的衍射問題這也是一個(gè)解決辦法，它的結(jié)論可以被擴(kuò)展到其他更多的復(fù)雜案例中。 幾乎所有的我們希望去數(shù)值估計(jì)的衍射問題都在輸入平面內(nèi)有一個(gè)有限的擴(kuò)展，和等式2很相似?？偟膩碚f這些信號(hào)在輸入平面內(nèi)都有一些和他們相似的空間結(jié)構(gòu)。當(dāng)我們?cè)噲D去推廣等式10的結(jié)果到更多的普通信號(hào)時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)問題。這是因?yàn)榈仁?0的結(jié)果來自于等式2，等式2有一個(gè)明確的空間頻率成分。對(duì)于一般信號(hào)，我們?nèi)绾稳ミx擇一個(gè)合適的空間頻率值呢？這個(gè)問題更詳細(xì)的在第五節(jié)被檢驗(yàn)了，在那兒我們展示了通過研究信號(hào)在它的傅里葉區(qū)的能量是如何分布的去為選擇一個(gè)合適的值，也可以參看【27,34,42,44

14、】。我們假設(shè)如果信號(hào)的傅里葉轉(zhuǎn)換能量具有多余一個(gè)具體數(shù)值存在于某個(gè)空間頻率下，這上一個(gè)空間頻率值就變?yōu)?。通過計(jì)算輸入波在整個(gè)輸入面的卷積可以計(jì)算出這個(gè)信號(hào)在空間區(qū)的總能量。3、 數(shù)值計(jì)算的輸入在接下來的一節(jié)中，我們介紹可以用來計(jì)算菲涅爾轉(zhuǎn)換的兩種不同的方法。我們以直接計(jì)算和光譜計(jì)算來提出它們。這些方法不同于接下來將要在第6節(jié)中介紹的快速數(shù)值計(jì)算，因?yàn)樗鼈儧]有利用快速傅里葉轉(zhuǎn)換算法并且輸出空間的坐標(biāo)軸x可以被任意選取。這一節(jié)的目的是清楚的描述我們數(shù)值計(jì)算方法的輸入，這個(gè)輸入將采用兩個(gè)坐標(biāo)矢量的形式：一個(gè)空間矢量和一個(gè)代表我們輸入信號(hào)的復(fù)雜值。這些值一旦被選取，我們就可以比較每個(gè)計(jì)算方法的相關(guān)表現(xiàn)

15、。為了開始我們的數(shù)值分析，我們假設(shè)我們有一個(gè)復(fù)雜值矢量U，它對(duì)應(yīng)于函數(shù)U(x)在均勻空間采樣點(diǎn)上的值（采樣點(diǎn)以間隔分開）。并用空間矢量定義。,= （11）在此 （12）并且在此N是采樣總數(shù)。在這篇論文的其他地方，我們用黑體字符來表示一個(gè)矢量。這兩個(gè)矢量還有已經(jīng)給出的和z我們定義為是數(shù)值計(jì)算的輸入?yún)?shù)。4、 直接計(jì)算 因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在僅使用抽樣中的一個(gè)有限值來表示平面1中的輸入場，因此等式1的衍射積分推導(dǎo)得出一個(gè)有限和式= （13）在這里n是一個(gè)整數(shù)。注意到是一個(gè)關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)，并且它是通過一個(gè)有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)集計(jì)算出來的，我們用上標(biāo)S來表示它。因此等式13可以等同于以下描述：乘以一個(gè)啁啾函數(shù)，經(jīng)過一

16、個(gè)傅里葉的尺度變換，再乘以另一個(gè)啁啾函數(shù)。我們現(xiàn)在用一個(gè)具體例子來檢查一下 （14）在這里 （15）我們現(xiàn)在來抽樣U(x)，取N=100，變化區(qū)間是-L在此L=0.1mm，已知X為0.2m。其它數(shù)據(jù)取做z=1cm,=505.7nm,=30。在圖2和3中，我們分別表示出了在區(qū)間 mm和區(qū)間 mm上的計(jì)算結(jié)果。在圖2中我們表示震級(jí)分布，在圖3中表示相位分布。圖2.衍射計(jì)算的結(jié)果。重現(xiàn)波的出現(xiàn)在x=2.5mm處是清晰可見的。紅色虛線表示的位置，解釋衍射區(qū)域的范圍。以黑線畫出的分布已被空間濾波，不含有高于35的空間頻率。注意信號(hào)的有限范圍和藍(lán)線作比較。（報(bào)告，以藍(lán)色繪制的中央級(jí)重現(xiàn)波所畫的范圍不會(huì)超過

17、區(qū)間）圖3.衍射運(yùn)算的相位分布結(jié)果。兩條線都超出了范圍。左圖是零級(jí)重現(xiàn)波的相位。右圖是一級(jí)重現(xiàn)波的，在右圖中有一個(gè)大小為的恒定偏移量和一個(gè)斜率為的線性偏移量。對(duì)于這一數(shù)值例子計(jì)算SE是有指導(dǎo)意義的。對(duì)于這個(gè)計(jì)算，我們最初選擇=,隨后我們將會(huì)看到，等式14在空間頻率域包含的能量高于，這是由于矩形函數(shù)它限制了信號(hào)有限的空間擴(kuò)展。為了計(jì)算出的值，我們需要將和等式15確定的矩形函數(shù)的有限擴(kuò)展聯(lián)系起來，例如我們?cè)O(shè)定4=2L。結(jié)果畫在了圖2中。在圖2中我們看到在 mm處有一個(gè)波形的再現(xiàn)。比較一階重現(xiàn)和中心處的相位，我們可以發(fā)現(xiàn)一階相位分布有一個(gè)額外的線性相位和一個(gè)恒定相位。我們注意到由于運(yùn)算在平面2中的波

18、形重現(xiàn)中有一個(gè)無窮量，它可以通過在一個(gè)很廣的區(qū)間x上繪制的圖形而驗(yàn)證。接下來的關(guān)系能夠保持并能通過附錄A中的方法概論推導(dǎo)出來： （16）從這些分析中我們可以發(fā)現(xiàn)下面的采樣規(guī)則證明了它本身，例如： SE< （17）為了保證相鄰的重現(xiàn)波不發(fā)生相互重疊，我們?cè)跀?shù)值計(jì)算衍射分布時(shí)引入了誤差。當(dāng)DC被用作計(jì)算菲涅爾積分時(shí)，所有的空間頻率都通過媒介傳播并且對(duì)平面2中的復(fù)雜分布有貢獻(xiàn)，甚至是那些通過尼奎斯特采樣率獲得的空間頻率也這樣。從圖2中發(fā)現(xiàn)空間頻率成分在空間坐標(biāo)大于的地方出現(xiàn)是很明顯的，在這里一個(gè)振蕩信號(hào)在時(shí)向外擴(kuò)展。這個(gè)震蕩是由于輸入信號(hào)的空間頻率高于。對(duì)于這一不理想的取值，導(dǎo)致了在處沒能反映

19、出衍射信號(hào)準(zhǔn)確的輸出擴(kuò)展。選擇一個(gè)合適的值應(yīng)該基于輸入信號(hào)的能量在傅里葉區(qū)的分布。在下一節(jié)中，我們將驗(yàn)證更多的基于信號(hào)產(chǎn)生的空間-帶寬概念來為選擇一個(gè)合適的值。然而，讓信號(hào)在傅里葉區(qū)通過一個(gè)空間濾波系統(tǒng)來限制的空間頻率擴(kuò)展并因此控制SE是很有可能的。在這里我們移動(dòng)所有的頻率到高于35處【連續(xù)的的采樣率非常高，這些樣本是使用了FFT操作的傅里葉轉(zhuǎn)換，并且這個(gè)結(jié)果的空間頻率分布被乘了一個(gè)矩形孔徑；這一濾波空間頻率分布后又經(jīng)過了快速傅里葉逆變換。】。在圖2中，經(jīng)過這樣一個(gè)濾波系統(tǒng)的結(jié)果可以通過檢測黑點(diǎn)來獲得。這一分布有一個(gè)非常清晰有限的空間擴(kuò)展并且它與等式10以 計(jì)算出的SE非常一致。這一分布（以黑

20、線畫出）有一個(gè)遵從于第2節(jié)中說過的結(jié)論的空間擴(kuò)展，然而這一分布當(dāng)與正確的分析方法做比較時(shí)并不是那么準(zhǔn)確。濾波系統(tǒng)非常明顯的移動(dòng)了位于mm處的重現(xiàn)波的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)的一部分。盡管如此，如果圖2所表示出的空間濾波結(jié)果（這一分布以黑線表示）被認(rèn)為是滿足于我們的要求的，那么我們要注意到可以通過減少抽樣數(shù)量來得出一個(gè)幾乎相同的結(jié)論。對(duì)于一個(gè)給定的輸入，減少抽樣數(shù)量就降低了重現(xiàn)波之間的間隔；空間頻率濾波系統(tǒng)控制SE。在第5節(jié)中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于的一個(gè)合理的取值是60 ，它在確保重現(xiàn)波之間有少許交叉時(shí)來保持高度準(zhǔn)確度提供了一個(gè)合理的平衡點(diǎn)。我們建議當(dāng)輸入信號(hào)的空間和空間頻率擴(kuò)展已經(jīng)知道時(shí)，等式17的關(guān)系式可以作為一個(gè)

21、抽樣規(guī)則來使用。對(duì)于等式14所討論的具體案例，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于z和的一系列不同取值，信號(hào)至少有98%的能量存在于上，當(dāng) 時(shí)，參見等式18。盡管SE的標(biāo)準(zhǔn)在等式14中已經(jīng)被具體驗(yàn)證了，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一系列不同的信號(hào)類型它仍然滿足，包括有限空間頻率擴(kuò)展的隨機(jī)信號(hào)。與第一抽樣規(guī)則有關(guān)的重要一點(diǎn)是當(dāng)z變小時(shí)，重現(xiàn)波彼此之間距離減小。這一效應(yīng)可以通過增加N（仍保持2L的輸入擴(kuò)展）來補(bǔ)償，因此降低了。然而當(dāng)過了某一確定點(diǎn)后，這一計(jì)算變得極其的數(shù)值密集，因此對(duì)于實(shí)際計(jì)算很難。在這一節(jié)的最后我們用下式來計(jì)算輸入信號(hào)的總能量，: (18)對(duì)于在這里出現(xiàn)的數(shù)值案例平面1的任意單元都達(dá)到了=0.0001。5、 光譜運(yùn)算

22、為了執(zhí)行菲涅爾轉(zhuǎn)換這個(gè)方法使用了傅里葉轉(zhuǎn)換。對(duì)于一些復(fù)雜信號(hào)在這里定義正向和逆向傅里葉變換是很合適的： （19） （20）在這里空間頻率坐標(biāo)，函數(shù)和是傅里葉轉(zhuǎn)換對(duì)兒。從【4】中等式1也可以寫成以下形式： （21）等式21和1是數(shù)學(xué)上的等價(jià)命題。在下面的小節(jié)中我們研究當(dāng)使用有限的抽樣數(shù)值來對(duì)等式21進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)出現(xiàn)的不同的步驟。為此介紹離散形式的傅里葉變換是有幫助的，在這里再一次聲明大寫的S表示這一連續(xù)函數(shù)來自于由復(fù)雜數(shù)據(jù)組成的有限集，在我們的案例中是來自于矢量U，在第三節(jié)中明確定義： （22）在這里是一個(gè)整數(shù)。我們注意到等式22描述的分布也包含了一個(gè)無窮數(shù)量的重現(xiàn)波，他們?cè)诟道锶~區(qū)是彼此分離

23、的，彼此間隔為。為了把它們和在第4節(jié)討論的重現(xiàn)波區(qū)別開來我們這些重現(xiàn)波為傅里葉重現(xiàn)波。A. 傅里葉逆變換操作用等式22來替換等式21中的函數(shù)，我們得到下式： （23）在等式23中我們已經(jīng)明確包含了傅里葉逆變換積分來強(qiáng)調(diào)積分是發(fā)生在整個(gè)傅里葉平面，因此這個(gè)積分就包含了來自這個(gè)平面的所有傅里葉重現(xiàn)波的貢獻(xiàn)。這一沿著整個(gè)傅里葉平面的分布乘以一個(gè)有無限擴(kuò)展和有效焦距為的透鏡或啁啾函數(shù)，更多細(xì)節(jié)參見【40】。 然而實(shí)際上，在等式23中的傅里葉逆變換的積分被限制在一個(gè)傅里葉區(qū)的有限范圍內(nèi)和有限的抽樣數(shù)值上。通常當(dāng)計(jì)算基于SM運(yùn)算的快速傅里葉變換時(shí)在計(jì)算積分時(shí)所采用的有限擴(kuò)展是，它包含了N個(gè)采樣值。正是這種

24、限制的程度和傅立葉二次采樣過程發(fā)生在這里，使基于快速傅里葉變換的DM和SM計(jì)算對(duì)于輸出幅度具有根本不同的性質(zhì)。我們建議讀者參見下面的介紹，在這里對(duì)傅里葉重現(xiàn)波對(duì)于菲涅爾轉(zhuǎn)換的輸出的影響做了詳細(xì)的研究【45】。B. 選擇傅里葉范圍：功率因素因?yàn)閷?shí)際是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，我們可以隨意選擇一個(gè)抽樣間距和傅里葉域范圍。根據(jù)Parseval定理，傅里葉轉(zhuǎn)換節(jié)省功率并且我們應(yīng)該希望在整個(gè)傅里葉域的總功率等于。采樣操作的特征是功率包含在每個(gè)重現(xiàn)波窗口，例如在變化區(qū)間上。我們現(xiàn)在觀察到這個(gè)說法是另一個(gè)說法，這個(gè)誤差是通過采樣操作引進(jìn)的。信號(hào)在一個(gè)域中有一個(gè)有限范圍，參見【36】。因?yàn)閁(X)是有邊界的，因此它的傅里

25、葉轉(zhuǎn)換對(duì)必須分布到整個(gè)傅里葉域。這意味著當(dāng)一個(gè)有限程度的信號(hào)被采樣時(shí)，相鄰重現(xiàn)波（在傅里葉域）的功率相互滲透是不可避免的。以這樣的方式傳播每一個(gè)重現(xiàn)波的總功率是。這個(gè)功率泄露實(shí)際上是混疊效應(yīng)，并且它可以通過增加（對(duì)于一個(gè)恒定的輸入范圍可以增加抽樣數(shù)量N）來任意縮小。以這種形式定義空間范圍和空間頻率范圍就產(chǎn)生了一個(gè)空間-帶寬生產(chǎn)理念。這個(gè)概念已經(jīng)被其他作者經(jīng)過了一些細(xì)節(jié)的討論，參見【27,28,34,35,44】，在傅里葉域的一個(gè)區(qū)可以這樣定義,在此： （24）并且在這兒R是某個(gè)比值，或許是0.9。當(dāng)?shù)仁?4中的FR增長和R接近1時(shí)，和的分布在區(qū)間上變得越來越相似，這就表示由交叉引起的誤差的降低

26、。從這些考察中，我們可以定義在傅里葉域的一個(gè)區(qū)它包含信號(hào)的功率。我們可以通過回歸到第4節(jié)討論的數(shù)值案例來更詳細(xì)的研究這個(gè)問題。從這些模擬值中我們發(fā)現(xiàn)在傅里葉域中的相鄰重現(xiàn)波之間的距離是 。當(dāng)我們用等式24來研究信號(hào)的功率在傅里葉域是如何分布時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)信號(hào)的功率存在于區(qū)間內(nèi)。這就表示我們僅利用位于區(qū)間內(nèi)的信號(hào)就可以獲得合理的計(jì)算準(zhǔn)確度。執(zhí)行這個(gè)運(yùn)算并將他的結(jié)果與在圖2和3中描繪的DC的結(jié)果作比較是具有指導(dǎo)意義的。降低影響的空間頻率分布可以用來降低計(jì)算量，正如我們將在6.3節(jié)中看到的，可以通過去除高空間頻率來降低混疊效應(yīng)和相鄰重現(xiàn)波的交叉并因此降低SE。C. 光譜計(jì)算：抽樣規(guī)則在前幾小節(jié)中，我們

27、考慮了在傅里葉域如何基于功率因素來定義范圍。我們現(xiàn)在定義一個(gè)在傅里葉平面描述我們信號(hào)的復(fù)雜值的矢量。保持N=100，我們可以定義一個(gè)空間頻率步長和空間頻率矢量 （25）并且我們用這個(gè)矢量來抽樣連續(xù)場（26）將這些矢量帶入等式23中，并用有限求和來替換這些積分我們可以得到以下結(jié)果： （27）在這里我們?cè)僖淮温暶魇且粋€(gè)連續(xù)函數(shù)，它是經(jīng)過一個(gè)有限的數(shù)字點(diǎn)集計(jì)算出來的。這個(gè)函數(shù)是我們光譜運(yùn)算的數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，并且我們用上標(biāo)來標(biāo)記。和相似，一個(gè)無窮多個(gè)重現(xiàn)波的點(diǎn)集也在平面2上產(chǎn)生。然而，這里有兩個(gè)不同點(diǎn)：（1）在等式27中重現(xiàn)波的間隔是，（2）高階重現(xiàn)波沒有任何和他們有關(guān)的線性或常數(shù)相位，參見等式16。

28、比較等式13和27括號(hào)里的形式，我們可以觀察到他們是一些相似的數(shù)學(xué)操作：（1）都采用采樣的有限矢量，（2）都乘以一個(gè)啁啾函數(shù)，（3）對(duì)結(jié)果都做了菲涅爾轉(zhuǎn)換操作。這一特別研究使得我們可以對(duì)SC方法總結(jié)一個(gè)和采用直接計(jì)算方法所總結(jié)的一個(gè)相似的采樣規(guī)則，這一規(guī)則可總結(jié)為以下公式： （28）在這里SE通過公式10已經(jīng)給出。這一結(jié)論表明在由SC和DC方法計(jì)算所產(chǎn)生的重復(fù)波之間有根本的不同。最重要的是他們的間距不同，DC和SC的間距分別為和。6、 快速傅里葉變換算法在這一節(jié)中，我們描述在先前幾節(jié)中討論過的DC和SC方法在利用基于快速傅里葉算法時(shí)是如何運(yùn)行的。執(zhí)行DC和SC運(yùn)算意味著我們可以保持控制真?zhèn)€的輸

29、出空間變量并能夠?qū)o出的任意值計(jì)算連續(xù)函數(shù)的值。對(duì)于靈活性的不利方面是運(yùn)算所需的時(shí)間長度，因此我們希望以某種方式來使用FFT算法。我們提前聲明我們的重點(diǎn)是勾勒出一個(gè)對(duì)這個(gè)問題的特殊的解決辦法。我們希望為達(dá)到相同的目標(biāo)而執(zhí)行更加數(shù)字高效的計(jì)算方法是可能的。A. 零補(bǔ)充：在輸出窗口增加抽樣數(shù)量快速傅里葉變換采用帶有N個(gè)復(fù)雜值的矢量，返回一個(gè)N值矢量。在這篇論文的第3節(jié)，我們討論了對(duì)于手邊的數(shù)值計(jì)算問題給定輸入，定義空間矢量X和與之聯(lián)系的復(fù)雜值U的集。每個(gè)抽樣彼此之間的物理距離已經(jīng)給出是，因此空間頻率范圍，即理想的重現(xiàn)波在空間頻率域的間隔，已經(jīng)給出是。我們?cè)俅温暶髟诳臻g頻率域，每次抽樣之間的空間間隔

30、是。現(xiàn)在我們對(duì)矢量U進(jìn)行零補(bǔ)充，因此有了一個(gè)新的矢量： （29）在這里下標(biāo)ZP代表零補(bǔ)充。矢量現(xiàn)在有M個(gè)抽樣值，在這里。零補(bǔ)充操作不改變的值，因此空間頻率范圍仍是一個(gè)常量。我們?cè)俅温暶骺焖俑道锶~算法從M抽樣值映射到M抽樣值，帶有的影響是我們?cè)诳臻g頻率域相同的范圍上增加了采樣數(shù)量。在空間頻率域現(xiàn)在的采樣值之間的距離變?yōu)?，并且。B. 插零：增大輸出窗口的范圍在這里我們規(guī)定一個(gè)不同的計(jì)算，在這個(gè)計(jì)算中我們可以通過在我們的輸入復(fù)雜坐標(biāo)中插零來增大快速傅里葉算法的輸出范圍。這個(gè)方法已經(jīng)在【9,46】中被討論過了，對(duì)于該方法的更多細(xì)節(jié)我們建議讀者參閱附錄B中的【9】。我只想說定義一個(gè)以下矢量是可能的： （

31、30）在這里下標(biāo)“iz”代表插零，復(fù)雜值是矢量U的個(gè)別元素。隨著我們?cè)赨中插零，我們?cè)龃罅丝焖俑道锶~變換的輸出范圍，然而在任何形式上都沒有改變傅里葉分布。然而正如我們將要在下面的數(shù)值例子中看到的，在更大的空間頻率范圍上研究分布和研究輸出重現(xiàn)波的特性是有可能的。C. 另外一個(gè)數(shù)值例子在這一節(jié)中，我們計(jì)算二級(jí)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果。我們重復(fù)被Voelz和Roggemann在文獻(xiàn)【30】中的2.D節(jié)提出的計(jì)算過程，并建議讀者參閱他們出版物中的圖3（a）-3（h）。這些作者驗(yàn)證了當(dāng)一平面波入射到一一維狹縫時(shí)所發(fā)生的衍射模式形成過程。在論文【30】的這一節(jié)中，兩種不同的方法做了比較，作者們對(duì)這兩種方法的術(shù)語是沖

32、動(dòng)響應(yīng)法（IR）和傳遞函數(shù)(TF)法。TF方法和這里討論的SM方法是一樣的。然而他們的IR方法概念上不同于我們的DM方法，因?yàn)镮R的輸出和SM有一個(gè)相同的輸出范圍。我們現(xiàn)在考慮【30】中的圖3.（h），在這個(gè)圖中SM被顯示用來產(chǎn)生不正確的結(jié)果以重現(xiàn)圖4.（a）的細(xì)節(jié)。在這個(gè)分布中有及其高頻的尖峰出現(xiàn)。圖4.（a）的細(xì)節(jié)比【30】中的圖2.（h）有更大的輸出窗口。為了在我們的計(jì)算中增大輸出窗口的大小，我們已經(jīng)在傅里葉平面分布中進(jìn)行了插零，我們現(xiàn)在可以看到相鄰的重現(xiàn)波。模擬值表示出，因此對(duì)于SM方法的一維重現(xiàn)波應(yīng)該位于這個(gè)空間位置。正如可以從圖4（a）中觀察到的這確實(shí)是這個(gè)案例?，F(xiàn)在使用在6.1節(jié)

33、討論過的零補(bǔ)充法，對(duì)傅里葉分布進(jìn)行零補(bǔ)充（在保持零插入的出現(xiàn)）?，F(xiàn)在在相鄰抽樣之間有精細(xì)步長的條件下，我們可以認(rèn)識(shí)到事實(shí)上更高的頻率成分在信號(hào)中也是會(huì)出現(xiàn)的，正如可以通過比較圖4（a）和圖4（b）可以發(fā)現(xiàn)的一樣。我們希望去按著這篇論文的第4和第5節(jié)中介紹的抽樣規(guī)則去解釋這一數(shù)值結(jié)果。在這篇論文中我們第一次聲明DM為SM運(yùn)算產(chǎn)生正確的結(jié)果并展示于圖4（a）和圖4（b）。如果我們?cè)诘仁?0中設(shè)定為，也就是尼奎斯特采樣頻率，我們從等式10中發(fā)現(xiàn)SE=5.2，因此信號(hào)的物理范圍主要存在于輸出采樣窗口。這和SM方法的運(yùn)算結(jié)果相反，在這里，因此相鄰的重現(xiàn)波將會(huì)重疊引起錯(cuò)誤的人造誤差正如我們可以在圖4（a）

34、和圖4（b）中觀察到的一樣。我們現(xiàn)在希望研究我們是如何控制SM計(jì)算的因此正確的衍射分布可以計(jì)算出來。我們可以先考慮如何降低值并因此增加SM重現(xiàn)波的間隔。這可以通過零補(bǔ)充輸入復(fù)雜矢量U以得到（我們已向讀者指出零補(bǔ)充操作發(fā)生在空間域）。在圖4（c）中，我們已將值減半并使得相鄰重現(xiàn)波變化使它們?cè)诖翱谥胁豢梢?。在重現(xiàn)波中仍有部分重疊，因此在分布中仍有殘余變形。通過進(jìn)一步降低的大小，重現(xiàn)波之間的距離可以拉大，這些變形可以變得任意小。或者，我們可以通過消除高空間頻率部分來改變每一個(gè)重現(xiàn)波的物理分布。這就是我們?cè)趫D4（d）中展示的，在圖中我們使得傅里葉分布被一個(gè)矩形孔濾波因此取得最大值。我們把值返回到圖4（

35、a）和圖4（b）的選擇值中，重現(xiàn)波再次出現(xiàn)并位于。然而，我們聲明通過移動(dòng)高空間頻率，相鄰重現(xiàn)波之間的交叉或者混疊已經(jīng)明顯降低正如我們從等式10中所希望得到的。7、 結(jié)論在這篇論文中，我們已經(jīng)討論了如何通過使用有限的抽樣值來計(jì)算菲涅爾變換的。這個(gè)話題已經(jīng)被幾個(gè)其他作者【25-31】驗(yàn)證了，在這篇論文中抽樣規(guī)則衍生于二次相位因子和啁啾函數(shù)在衍射積分的菲涅爾內(nèi)核的作用。在這里，對(duì)于這個(gè)問題我們采用了一個(gè)不同的方法。我們所做的第一個(gè)觀察就是在輸入平面的有限范圍的解析信號(hào)，它還包含具體的空間頻率，這一空間頻率隨著信號(hào)的傳播還會(huì)在一定程度上增長。在第2節(jié)中我們研究了具體的函數(shù)即等式2，當(dāng)把等式插入到菲涅爾衍射積分時(shí)可以積分獲得一個(gè)已知的解析解。根據(jù)這個(gè)解析解我們推導(dǎo)出了衍射信號(hào)的空間范圍，它的有限的空間范圍，與在輸入平面的空間頻率成分之間的關(guān)系。然后我們嘗試將這些特性擴(kuò)展到其他信號(hào)中。在第3節(jié)中我們規(guī)定了數(shù)值