圓錐曲線基本題型總結(jié)42132

1、圓錐曲線基此題型總結(jié):提綱:一、定義的應(yīng)用：1、定義法求標(biāo)準(zhǔn)方程：2、涉及到曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的問題:3、焦點(diǎn)三角形問題：二、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1、對(duì)方程的理解2、求圓錐曲線方程已經(jīng)性質(zhì)求方程3、各種圓錐曲線系的應(yīng)用：三、圓錐曲線的性質(zhì)：1、方程求性質(zhì)：2、求離心率的取值或取值范圍3、涉及性質(zhì)的問題：四、直線與圓錐曲線的關(guān)系：1、位置關(guān)系的判定：2、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用：3、弦的中點(diǎn)問題：4、韋達(dá)定理的應(yīng)用：一、定義的應(yīng)用：1. 定義法求標(biāo)準(zhǔn)方程：1由題目條件判斷是什么形狀,再由該形狀的特征求方程：注意細(xì)節(jié)的處理1. 設(shè)F1, F2為定點(diǎn),|F1Fa|= 6,動(dòng)點(diǎn) M滿足|MF1|+ |MF2|

2、= 6,那么動(dòng)點(diǎn) M的軌跡是A.橢圓B.直線C.圓D.線段【注：2a>|F1 F2|是橢圓,2a=|F1 F2|是線段】2. 設(shè)B 4,0, C4,0,且 ABC的周長(zhǎng)等于18,那么動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為22【注：檢驗(yàn)去點(diǎn)】C.* + 土T 戶 0)3. A 0, - 5)、B 0,5),|PA|-|PB|= 2a,當(dāng) a= 3 或 5 時(shí),P點(diǎn)的軌跡為A. 雙曲線或一條直線B. 雙曲線或兩條直線C. 雙曲線一支或一條直線D.雙曲線一支或一條射線【注：2a<|Fi F2|是雙曲線,2a=|Fi F2|是射線,注意一支與兩支的判斷】4.兩定點(diǎn)F 3,0, R3,0,在滿足以下條件的平面內(nèi)

3、動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中,是雙曲線的是A.|PF1|-|PF2|= 5B.|PFi|PF2|= 6C.|PF1|PF2|= 7D.|PF|-|PF2|= 0【注：2a<|Fi F2|是雙曲線】5.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn) Fi 5,0和F2 5,0,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF|PF2| = 6,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是2222一 x y_x y_A.- 9= 1 x<- 4)B° -希=1x<- 3)2222x yx yC.- 捉1 x>4)D.g 一 苻 1 xA 3)【汪：雙曲線的一支】6.如圖,P為圓B: x+ 2)2+ y2= 36上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) A坐標(biāo)為2,0),線段AP的垂直平分

4、線交直線BP于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程7.點(diǎn)A0,、/3和圓Oi： x2+ y+而=16,點(diǎn)M在圓Oi上運(yùn)動(dòng),點(diǎn) P在半徑 OiM上,且|PM| = |PA|,求動(dòng) 點(diǎn)P的軌跡方程.(2)涉及圓的相切問題中的圓錐曲線：8. 圓A： x+ 3)2 + y2 = 100,圓A內(nèi)一定點(diǎn) B3, 0),圓P過B且與圓A內(nèi)切,求圓心 P的軌跡方程動(dòng)圓M過定點(diǎn)B -4,0),且和定圓x 4)2 + y2= 16相切,那么動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程為)2222A.X - %= 1 x>0)B.X-二=1 x<0)4 12'4 1272222荏一y = 1d*一三=1【注：由題目判斷是雙曲線的一

5、支還是兩支】9. 假設(shè)動(dòng)圓P過點(diǎn)N 2,0),且與另一圓 M : x 2)2+ y2 = 8相外切,求動(dòng)圓 P的圓心的軌跡方程.【注：雙曲線的一支,注意與上題區(qū)分】10. 如圖,定圓Fi：x2+ y2 + 10x+ 24 = 0,定圓F2：x2+ y - 10x+ 9= 0,動(dòng)圓M與定圓Fi、R都外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.11. 假設(shè)動(dòng)圓與圓x-2)2+ y2= 1相外切,又與直線 x+ 1 = 0相切,那么動(dòng)圓圓心的軌跡是 )A.橢圓B.雙曲線C.雙曲線的一支D.拋物線12. 動(dòng)圓M經(jīng)過點(diǎn)A 3,0),且與直線l： x= 3相切,求動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程.【注：同上題做比擬,說法不一樣,

6、本質(zhì)相同】1113. 點(diǎn)A 3,2),點(diǎn)M到F, 0的距離比它到y(tǒng)軸的距離大(M的橫坐標(biāo)非負(fù))1) 求點(diǎn)M的軌跡方程；【注：表達(dá)拋物線定義的靈活應(yīng)用】2) 是否存在M,使|MA|+ |MF|取得最小值？假設(shè)存在,求此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.【注：拋物線定義的應(yīng)用,涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離】(3)其他問題中的圓錐曲線：14. A, B兩地相距2 000 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在 B地晚4 s,且聲速為340 m/s ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌【注：雙曲線的一支】2.15.如下圖,在正方體 ABCAAiBiCiDi中,P是側(cè)面BBCiC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),假設(shè) P到直線BC

7、與到直線CD的距離相等,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線【注：表達(dá)拋物線定義的靈活應(yīng)用】2. 涉及到曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的問題:2216. 設(shè)橢圓幸+ m七 廣i m>i上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3,至U右焦點(diǎn)的距離為i,那么橢圓的離心率為2“"a.2-22x y17. 橢圓 i+ - = iA. 32iB.2的左右焦點(diǎn)為Fi,F2, 一直線過Fi交橢圓于A、B兩點(diǎn),那么 ABF2的周長(zhǎng)為B. i622i8.雙曲線的方程為 02- j = i,ABF的周長(zhǎng)為為另一焦點(diǎn),那么A. 2a+2mC. 8D. 4點(diǎn)A, B在雙曲線的右支上,線段 AB經(jīng)過雙

8、曲線的右焦點(diǎn) F2, |AB| = m, F)B. 4a+2mC. a+ mD. 2a+4m19. 假設(shè)雙曲線x2 4y2 = 4的左、右焦點(diǎn)分別是 R、F2,過F2的直線交右支于 A、B兩點(diǎn),假設(shè)|AB| = 5,那么 ARB的 周長(zhǎng)為.22X y20. 設(shè)Fi、F2是橢圓 店+五=i的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),且P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為2,那么 PFiF2是A.鈍角三角形B.銳角三角形C.斜三角形D.直角三角形22X y2i .橢圓g+ - = i的焦點(diǎn)為Fi、F2,點(diǎn)P在橢圓上.假設(shè)|PFi| = 4,那么|PR| = / FiPF2的大小為 【注：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,最小是 a-c

9、,最大是a+c】22x y22. P是雙曲線"一3 = i上一點(diǎn),孔 R是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),假設(shè)|PF|= i7,那么|PR|的值為.c-a】【注：注意結(jié)果的取舍,雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小為2223. 雙曲線的方程是 土一菅=1,點(diǎn)P在雙曲線上,且到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為10,點(diǎn)N是PR的中點(diǎn),求|ON|的大小 O為坐標(biāo)原點(diǎn)【注：.是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn),注意中位線的表達(dá)】24.設(shè) F、F2分別是雙曲線A. 3).x2 y2uuuu uuuuuurn uuuu7-: = 1的左、右焦點(diǎn).假設(shè)點(diǎn) P在雙曲線上,且 PF1 PF2 = 0,貝U|PF1 + PF2|等于5 4B. 6C.

10、125.點(diǎn)P是拋物線2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn) P到點(diǎn)0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值B.3C. 5【注：拋物線定義的應(yīng)用,將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離】226.拋物線y = 4x上的點(diǎn)P到拋物線的傕線的距離為 如 到直線3x 4y+ 9 = 0的距離為d2,那么d + d2的取65b5c 2%【注：拋物線定義的應(yīng)用,將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化成到焦點(diǎn)的距離】,12小值是()氣C. 227.設(shè)點(diǎn)A為拋物線y2= 4x上一點(diǎn),點(diǎn)B(1,0),且|AB|= 1,貝U A的橫坐標(biāo)的值為()D. - 2 或 2A. -2B. 0 C. - 2 或 0【注：拋物線的

11、焦半徑,即定義的應(yīng)用】3.焦點(diǎn)三角形問題:橢圓的焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)CPF1F2 = PF1 + PF2 + 2C = 2a 2c橢圓的焦點(diǎn)三角形面積:推導(dǎo)過程:2PF1PF 2PF1PF 22-2PF1 PF2COS2a (2)24c 2 -得 2 PF Jpf 2 (1 cos )S PF1F22lPF1 PF2sin224a - 4c21 2bsin2 1 cos22bPF1PF21 costan 2雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積:S PF1F2btan 222,x y28.設(shè)P為橢圓茴+嘉=1Fi、F2是其焦點(diǎn),假設(shè)ZRPR=3,求 F1PF2的面積.32 一【汪：小題中可以直接套用公式.S=b t

12、an22x y 29.雙曲線-16'= 1的左、右焦點(diǎn)分別是15】Fi、R,假設(shè)雙曲線上一點(diǎn) P使得Z FPF2= 60.,求 FiPR的面積.【注：小題中可以直接套用公式.30.雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上,離心率為2, =12由,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.曰,F2為左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn), 且Z F1PF2 = 60 °, PF1F222x y_31.點(diǎn)P(3,4)是橢圓決+戶=1 (a>b>0)上的一點(diǎn),F1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn),假設(shè) PFLPE,試求:(1)橢圓的方程；(2) A PFF2的面積.、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:1. 對(duì)方程的理解22、x y 一一一32.

13、 萬(wàn)程百一T +二；=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù) a的取值范圍是()|a| I a十 3A. (- 3, - 1)B. ( 3, - 2)C. (1 , +8)D. ( 3,1)33. 假設(shè)k>1 ,那么關(guān)于x, y的方程1 k)x2+ y2= k21所表示的曲線是)A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線【注：先化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式】22x y34. 對(duì)于曲線 C：k+= 1,給出下面四個(gè)命題： 曲線C不可能表示橢圓； 當(dāng)1<k<4時(shí),曲線C表示橢圓； 假設(shè)曲線C表示雙曲線,那么k<1或k>4 ; ,.5

14、假設(shè)曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,貝U 1<k<35. 橢圓 3A. 71,兀42 一,x36. 雙曲線-x2sin a y2cosa= 1 (0 V a<2 的焦點(diǎn)在y軸上,那么B. 土:兀C. 土兀I4 42=1的一個(gè)焦點(diǎn)到中央的距離為3,2.求曲線方程(已經(jīng)性質(zhì)求方程)a的取值范圍是()3_兀4 兀D.2的值.【注：要根據(jù)焦點(diǎn)位置分情況討論】2237. 以x-一假設(shè)=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為2xB.宿+y1622x y誓+我=138. 根據(jù)以下條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(一4,0), (4,0),橢圓上任意一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和

15、等于10;一3 5(2) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0, 2), (0,2),并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)一2,-.【注：定義的應(yīng)用】39. 橢圓的中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為 g5,且過點(diǎn)P( 5,4),那么橢圓的方程為_5 -40.中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在22x y宮 + 72 =1x軸上,假設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22x y"9 =118,且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分,那么此橢圓的方程是()22x yc.確 + 45 =141.設(shè)橢圓2x22x 匕m+ n" = 12一 七,A. + " = 112 1621(m>0 , n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線 y = 8x的焦點(diǎn)相同,離心率為

16、 ；,貝U此橢圓的萬(wàn)程為(22x yB + s= 116 122xc+22x 匕D." + 48= 142.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中的一個(gè)橢圓,它的中央在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為Fi一寸3, 0,且右頂點(diǎn)為D2,0.設(shè)1點(diǎn)A的坐標(biāo)是1 ,方.1求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2假設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段 PA的中點(diǎn)M的軌跡方程.【注：相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程】43.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的22B.y - 7 = 14 4皿倍,且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2,那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22C.4-8 =122y=寸3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線2y = 24x的準(zhǔn)線上,那么44.雙曲線 §一,= 1

17、a>0 , b>0的一條漸近線方程是雙曲線的方程為2222A.36 -盤=1B言-27=12245.求與雙曲線 命一當(dāng)=1有公共焦點(diǎn),且過點(diǎn)22C.10836 = 122略-9=13寸2, 2的雙曲線方程.2246. 雙曲線C與橢圓x + y = 1有相同的焦點(diǎn),直線 y=寸3x為C的一條漸近線.求雙曲線 C的方程.8 447. 根據(jù)以下條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1經(jīng)過點(diǎn)一3, 1;2焦點(diǎn)為直線3x 4y 12 = 0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)48. 拋物線y2= 2px p>0上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為一4彖,這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 6,那么拋物線方程為 【注：定義的應(yīng)用,焦半徑】三、圓錐曲線的性

18、質(zhì):1. 方程求性質(zhì)：49. 橢圓2x2+ 3y2= 1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是【注：焦點(diǎn)位置】A. 0, 學(xué)B. 0, 為C.坎0D. 逛,06 650. 橢圓25x2+ 9y2 = 225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是A. 5,3, 4B. 10,6, 4C. 5,3, 3D. 10,6, f555551. 設(shè)a乒0, a R,那么拋物線y= ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. ；, 0B. 0, 土C.乎,0D. 0, 土【注：先化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,此處最容易出錯(cuò)】2. 求離心率的取值或取值范圍2252. 直線x+ 2y 2= 0經(jīng)過橢圓奪+ 1 a>b>0的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn),那么該橢圓的離心率

19、等于53. 以等腰直角 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),并且經(jīng)過另一頂點(diǎn)的橢圓的離心率為54. 假設(shè)一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列,那么該橢圓的離心率是4 3AfB-5 5【注：尋找a,b,c的等量關(guān)系,遇b換成a、55.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F、R,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 心率為.21C.5D3c,整理成關(guān)于a、c的方程】A,且三角形F1AF2是頂角為120.的等腰三角形,那么此橢圓的離b_ F、線段F1F2被點(diǎn)-,0分成3 ： 1的兩段,那么此橢圓的離2256. 設(shè)橢圓§ + b = 1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是 心率為.57. 中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的

20、一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4, 2),那么它的離心率為A. 6B. 5C.-26D.52258. 雙曲線-y = 1的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率是3A.2B. 3C. 2D.22259. 雙曲線,一= 1 (a>0 , b>0)的右焦點(diǎn)為F,假設(shè)過點(diǎn)F且傾斜角為60.的直線與雙曲線的右支有且只有 個(gè)交點(diǎn),那么此雙曲線離心率的取值范圍是()A (1,2B. (1,2)C. 2, + 8)D . (2, + 8)四、直線與圓錐曲線的關(guān)系：1、位置關(guān)系的判定：2260. 拋物線的方程為 y = 4x,直線l過正點(diǎn)P 2,1),斜率為k.k為何值時(shí),直線l與拋物線y = 4x：只有一

21、個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？【注：雙曲線和拋物線中,都有相交只有一個(gè)交點(diǎn)的情況,這是二次項(xiàng)系數(shù)為0的時(shí)候,因此相離、相切、相交有兩個(gè)交點(diǎn),需要用刀判斷時(shí),必須要加上二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件】261. 拋物線y= 4x上一點(diǎn)到直線y= 4x- 5的距離取短,那么該點(diǎn)坐標(biāo)為)一 1.A. 1,2)B. 0,0) C. 1D. 1,4)2. 弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用：x63. 直線y= kx 2交拋物線y = 8x于A、B兩點(diǎn),假設(shè)線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于 2,求弦AB的長(zhǎng).262. 斜率為1的直線l過橢圓4 + y = 1的右焦點(diǎn)F父橢圓于A、B兩點(diǎn),求弦 AB的長(zhǎng).64. 頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x軸上的拋物線被直線 y= 2x+ 1截得的弦長(zhǎng)為寸75,求拋物線的方程.65. 橢圓C： X2+上=1 a>b>0)的離心率為Y6,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為J3.a b31) 求橢圓C的方程；2) 設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線l的距離為 手,求 AOB面積的最大值.66. 過拋物線y73. F1、F2為橢圓x2 + y2 = 1的上、下兩個(gè)焦點(diǎn), AB是過焦點(diǎn)F1的一條動(dòng)弦,求 ABF2面積的最大值.= 2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),且|AB|= 5p,求AB所在的直線方程.2、弦的