全等三角形難題集錦

1、1、1 如圖1 ,點O是線段AD的中點,分別以 AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形 OAB和等邊三角形OCD,連結AC和BD,相交于點 E,連結BC.求Z AEB的大小;2如圖2, OAE®定不動,保持 OCD勺形狀和大小不變,將 OC既著點O旋轉 OA前 OCM能重疊,求Z AEB的大小.2、1 如圖1 ,現(xiàn)有一正方形 ABCD,將三角尺的指直角頂點放在A點處,兩條直角邊也與CB的延長線、DC分別交于點E、F.請你通過觀察、測量,判斷AE與AF之間的數(shù)量關系,并說明理由.2將三角尺沿對角線平移到圖2的位置,PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關系,并說明理由.3如果將三角尺旋轉到圖

2、3的位置,PE、PF之間是否還具有2中的數(shù)量關系？如果有,請說明O453、E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點,且Z EAF,AH EF , H為垂足,求證：AH AB.4、C為線段AE上一動點不與點A, E重合,在AE同側分別作等邊ABC和等邊 CDE ,AD與BE交于點O, AD與BC交于點P, BE與CD交于點Q,連結PQ.以下五個結論: DE=DP ; PQ/AE;D AOB 60 CP=CQMPQ為等邊三角形.共有2對全等三角形CO平分 AOE CO平分 BCD恒成立的結論有把你認為正確的序號都填上5、D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點,DM ± DN, DM

3、, DN分別交BC, CA于點E, F.(1)當 MDN繞點D轉動時,求證:DE=DF .60.角,角的兩邊(2) 假設AB=2,求四邊形 DECF的面積.6、如圖, ABC是正三角形,ABDC是頂角 BDC 120的等腰三角形,以 D為頂點作一個分別交AB、AC邊于M、N兩點,連接 MN.探究：線段 BM、MN、NC之間的關系,并加以證實.7、點C為線段AB上一點,ZACM , 攵BN都是等邊三角形,線段 AN, MC交于點E, BM , CN交于點F.求證：(1 ) AN=MB .(2)將ZACM繞點C按逆時針方向旋轉一定角度,如圖所示,其他條件不變,(1)中的結論是否依然成立？(3)AN

4、與BM相交所夾銳角是否發(fā)生變化.圖圖8、復習“全等三角形的知識時,老師布置了一道作業(yè)題:“如圖,在ABC 中,AB=AC , P 是 ABC 內部任意一點,將 AP繞A順時針旋轉至 AQ,使 QAPBAC,連接 BQ、CP,貝U BQ=CP .小亮是個愛動腦筋的同學,他通過對圖的分析,證實了ZABQ逐SCP,從而證得 BQ=CP之后,將點P移到等腰三角形ABC之外,原題中的條件不變,發(fā)現(xiàn)“BQ=CP仍然成立,請你就圖給出證實.圖圖9、將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開,得到圖中的兩張三角形膠片ABC和DEF .且 ABC絲DEF.將這兩張三角形膠片的頂點 B與頂點E重合,把 DEF繞點B順

5、時針方向旋轉,這時 AC與DF相交于點O .當DEF旋轉至如圖位置,點B(E) , C ,D在同一直線上時, AFD與 DCA的數(shù)量關系是當10、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖 1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,B, C, E在同一DEF繼續(xù)旋轉至如圖位置時,1中的結論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由.條直線上,連結 DC.1請找出圖2中的全等三角形,并給予證實說明：結論中不得含有未標識的字母(2)證實：DC ±BE.11、兩個全等的含30 °、60角的三角板 ADE和三角板ABC放置在一起,DEA ACB 90 , DAE ABC 30 ,

6、E、A、C三點在一條直線上,連接 BD,取BD中點M,連接ME、MC,試判斷AEMC的形狀,并說明理由.12、如圖,AD/BC , AD=BC , AE± AD , AF ± AB,且 AE=AD , AF=AB ,求證：AC=EF13、如圖,AE± AB, AD ±AC, AB=AE , Z B= Z E,求證：(1) BD=CE ; (2) BD± CE.14、如圖,BF± AC 于點 F , CE±AB 于點 E,且 BD=CD.求證：(1) ABDEACDF ; (2)分線上15、如圖1 , A、E、F、C在同一條直

7、線上, AE=CF ,過E、F分別作 DE ±AC, BF±AC,(1 )假設AB=CD,試說明BD平分EF;(2)假設將ZXDEC的邊EC沿AC方向移動變?yōu)閳D2時,其余條件不變,BD是否還平分EF,請說明理由.16、如圖,OP是Z MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個作全等三角形的方法,解答以下問題:(1) 如圖,在 ABC中,/ ACB是直角,/ B=60 °, AD、CE分別是Z BAC、/ BCA的平分線,AD、CE相交 于點F.請你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關系；(2) 如圖,在 ABC中,如果Z A

8、CB不是直角,而(1)中的其它條件不變,請問,你在(1)中所得結論是否仍然成立？假設成立,請證實；假設不成立,請說明理由.MBA圖17、如圖1,點M為銳角 ABC內任意一點,連接 AM、BM、CM .以AB為一邊向外作等邊 ABE,將BM繞 點B逆時針旋轉60 °得到BN,連接EN.(1) 求證：AAMB 空NB;(2 )假設AM+BM+CM 的值最小,那么稱點M為 ABC的費爾馬點.假設點M為 ABC的費爾馬點,試求此時 AMB、BMC、 CMA的度數(shù)；(3) 小翔受以上啟發(fā),得到一個作銳角三角形費爾馬點的簡便方法：如圖2,分別以 ABC的AB、AC為一邊向外作等邊ZABE和等邊Z

9、ACF,連接CE、BF ,設交點為M ,那么點M即為 ABC的費爾馬點.試說明這種作法的依據(jù).18、如圖1 ,四邊形ABCD是正方形,M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動(點E不與點A, B重合),另一條直角邊與 / CBM的平分線BF相交于點F.(1)如圖1,當點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE, EF的長度,猜測 DE與EF滿足的數(shù)量關系是 ; 連接點E與AD邊的中點N,猜測NE與BF滿足的數(shù)量關系是 請證實你的上述兩猜測(2) 如圖2,當點E在AB邊上的任意位置時,請你在AD邊上找到一點N,使得NE=BF,進而猜測此時DE與EF有怎樣的數(shù)

10、量關系并證實19、如圖1 ,在正方形ABCD中,點E、F分別為邊BC、CD的中點,AF、DE相交于點G,那么可得結論：AF=DE ;AF ±DE.(不需要證實)(1) 如圖2,假設點E、F不是正方形 ABCD的邊BC、CD的中點,但滿足 CE=DF .那么上面的結論、是否仍然成立？(請直接答復“成立或“不成立)(2) 如圖3,假設點E、F分別在正方形 ABCD的邊CB的延長線和 DC的延長線上,且 CE=DF ,此時上面的結論、是否仍然成立？假設成立,請寫出證實過程；假設不成立,請說明理由20、如圖1、圖2、圖3, 從OB, 8OD均是等腰直角三角形,ZAOB =ZCOD = 900

11、,(1)在圖1中,AC與BD相等嗎,有怎樣的位置關系？請說明理由.(2)假設 8OD繞點.順時針旋轉一定角度后,至IJ達圖2的位置,請問 AC與BD還相等嗎,還具有那種位置關系嗎？為什么?(3)假設 MOD繞點.順時針旋轉一定角度后,至IJ達圖3的位置,請問 AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關系嗎？為什么?21、如圖1 ,在ABC中,BC邊在直線l上,AC±BC,且AC = BC . FFP的邊FP也在直線l上,邊EF與邊AC重合,且EF=FP .(1)在圖1中,請你通過觀察、測量,猜測并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系;(2)將AFFP沿直線l向左平移到圖14-2的位

12、置時,EP交AC于點Q,連結AP, BQ .猜測并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系,請證實你的猜測;(3)將AFFP沿直線l向左平移到圖3的位置時,EP的延長線交 AC的延長線于點 Q,連結AP, BQ.你認為(2)中所猜測的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎？假設成立,給出證實；假設不成立,請說明理由.B C (F)P_IO3 fEB F C P 1 FP BC圖2圖322、如圖所示,在ABC 和 ADE 中,AB AC , AD AE ,BACDAE,且點B , A , D在一條直線上,N分別為BE, CD的中點.(1) 求證： BE CD ; AM AN .(2)在圖的根底上

13、,將ADE繞點A按順時針方向旋轉180 ,其他條件不變,得到圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結論是否仍然成立圖23、數(shù)學課上,張老師出示了問題：如圖1,四邊形 ABCD是正方形,點 E是邊BC的中點. AEF 90 ,且EF交正方形外角DCG的平分線 CF于點F,求證：AE=EF .經過思考,小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點 M,連接 ME,貝U AM=EC,易證 AME絲ECF ,所以 AE EF .在此根底上,同學們作了進一步的研究:(1)小穎提出：如圖 2,如果把“點E是邊BC的中點改為“點 E是邊BC上(除B, C夕卜)的任意一點其它條件不變,那么結論“ AE=EF 仍

14、然成立,你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確,寫出證實過程；如果不正確,請說明理由；(2)小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上(除 C點外)的任意一點,其他條件不變,結論AE=EF仍然成立.你認為小華的觀點正確嗎？如果正確,寫出證實過程；如果不正確,請說明理由.24、問題背景,如下命題:如圖1 ,在正三角形 ABC中,N為BC邊上任一點,CM為正三角形外角Z ACK的平分線,假設ANM 60 ,貝U AN=NM . 如圖2,在正方形 ABCD中,N為BC邊上任一點,CM為正方形外角/ DCK的平分線,假設AN=NM . 如圖3 ,在正五邊形 ABCDE中,N為BC邊上任一點,CM為正五邊形外角

15、Z DCK的平分線,假設ANM180 ,貝U AN=NM .任務要求:(1 )請你證實以上三個命題;(2) 請你繼續(xù)完成下面的探索:如圖4,在正n ( n >3)邊形ABCDEF中,N為BC邊上任一點,CM為正n邊形外角z DCK的平分線,問當Z ANM等于多少度時,結論AN=NM成立(不要求證實) 如圖5,在梯形 ABCD中,AD II BC, AB=BC=CD , N為BC延長線上一點,CM為/DCN的平分線,假設ZANM= Z ABC,請問AN=NM是否還成立？假設成立,請給予證實；假設不成立,請說明理由FE25、Z AOB=90 °, Z AOB的平分線 OM上有一點C

16、,將一個三角板的直角頂點與點 C重合,它的兩條直角邊分別與OA、OB或它們的反向延長線相交于D、E.假設不成立,請寫出你的猜測,不需證實.26、AB=CD=AE=BC+DE=2 , ABC= Z AED=90,求五邊形 ABCDE 的面積O D27、AE ±AB, AF ±AC, AE=AB ,AF=AC.求證：(1 ) EC=BF ; (2) EC± BF1 ),易證：CD=CE(1 )當三角形繞點 C旋轉到CD與OA垂直時(如圖(2)當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時,在圖2圖3這兩種情況下,上述結論是否成立, 請給予證實,28、BE, CF是 ABC的高

17、,且BP=AC, CQ=AB ,試確定AP與AQ的數(shù)量關系和位置關系AF AD CF29、E是正方形 ABCD的邊CD的中點,點 F在BC上,且Z DAE= Z FAE.求證:AD30、PA=抵,PB=4,以AB為一邊作正方形 ABCD,使P、D兩點落在直線 AB的兩側.(1)如圖,當Z APB=45時,求AB及PD的長;(2)當Z APB變化,且其它條件不變時,求 PD的最大值,及相應 Z APB的大小.31、點E是正方形 ABCD的邊CD上一點,點 F是CB的延長線上一點,且 EA AF . 求證：DE BF .32、以 ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形 ABDE和正方形ACFG

18、,連結EG ,試判斷 ABC與 AEG面積之間的關系,并說明理由.33、用兩個全等的等邊 ABC和ZACD拼成菱形ABCD ,把一個含60角的三角尺與這個菱形疊合,使三角尺的60角的頂點與點A重合,兩邊分別與 AB, AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.(1) 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC, CD相交于點E, F時,(如圖13 1 ),通過觀察或測量BE, CF的長 度,你能得出什么結論？并證實你的結論；(2) 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC, CD的延長線相交于點E, F時(如圖13 2),你在(1)中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由34、在等邊 ABC的兩邊AB, AC所在

19、直線上分別有兩點 M , N , D為 ABC外一點,且 MDN 60 ,BDC 120 , BD CD ,探究：當點 M , N分別愛直線AB , AC上移動時,BM , NC , MN之間的數(shù)量關系及AMN的周長與等邊 ABC的周長L的關系.(1 )如圖,當點M、N在邊AB、AC上,且DM=DN時,BM、NC, MN之間的數(shù)量關系式：此時Q =L(2) 如圖,當點 M , N在邊AB, AC上,且DM DN時,猜測(1)問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證實；(3) 如圖,當點 M , N分別在邊AB, CA的延長線上時,假設 AN=x,那么Q=(用x, L表示)圖圖圖APE , E

20、C延長線交 BP于M ,連接 AM.35、在等邊 ABC中,P在AC延長線上一點,以 PA為邊作等邊求證：(1 ) BP=CE ; (2 ) EM PM=AM .EB36、在等邊 ABC中,點D為直線BC上的一動點(點D不與B、C重合),以AD為邊作菱形 ADEF (A、D、E、F按逆時針排列),使/ DAF=60°,連接CF.(1)如圖1,當點 D在邊BC上時,求證： BD=CF ;AC=CF+CD ;(2)如圖2,當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時,結論 AC=CF+CD是否成立？假設不成立,請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系,并說明理由;(3) 如圖3,當點D在邊B

21、C的延長線上且其他條件不變時,補全圖形,并直接寫出AC、CF、CD之間存在的里天條37、在等邊 ABC中,過AB邊上的點D作DG /BC,交AC于點G ,在GD的延長線上取點 E ,使DE DB , 連接AE , CD (1)求證： AGE DAC ；(2)過點E作EF/DC,交BC于點F ,請你連接AF,并判斷 AEF是怎樣的三角形,試證實你的結論.AF .求證:38、在等腰 ABC中,AB AC , D是BC的中點,過 A作AE DE , AF DF ,且 AEEDB FDC .F.39、在等腰Rt ABC中,Z ACB = 90 °, AD是BC邊上的中線, 過C作AD的垂線,

22、交AB于點E,交AD于點 求證：Z ADC = Z BDE.DA40、在等腰Rt ABC中,Z ACB=90 °, F是AB的中點,直線l經過點C,分別過點A、B作l的垂線,即AD CE ,BE CE ,(1) 如圖1,當CE位于點F的右側時,求證：AADC空CEB;(2) 如圖2,當CE位于點F的左側時,求證： ED=BE-AD ;ED、AD、BE之間的數(shù)量關系,并證實你的猜測.41、四邊形 ABCD中,AB=BC , BF是Z ABC的平分線,AF II DC,連接 AC、CF.求證：CA是Z DCF的平分線.42、在四邊形 ABCD中,AC平分 BAD, CE AB于E,且 B

23、+ D=180,求證：AE=AD+BE(3)如圖3,當CE在 ABC的外部時,試猜測43、在正方形 ABCD中,E為BC上的一點,F為CD上的一點,BE+DF=EF,求Z EAF的度數(shù).44、在正方形ABCD中,FAD FAE .求證：BE DF AE .45、在 ABC 中,AB BC120,將ABC繞點B順時針旋轉角0于點E , AiCi分別交AC、BC 于 D、兩點.如圖AD90 得 AiBCi, AiB 交 AC1,觀察并猜測,在旋轉過程中,線段EAi與FC有怎樣的數(shù)量關系？并證實你的結論.46、在 Rt ABC 中,AC BC , C 90,D為AB邊的中點,EDF90 , EDF繞

24、D點旋轉,它的兩邊分別交AC、BC 或它們的延長線于 E、F.當 EDF繞D點旋轉到AC DE于E時如圖1,易證, DEF 當EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結論是否成立？假設成立,請給予證實；假設不成立, def、Sa CEF、, ABC又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜測,不需證實.F圖1A47、在 ABC 中,ZA=90 °, D 是 AC 上的一點,BD=DC , P 是 BC 上的任一點,PE ± BD , PF ± AC, E、F 為垂足.求證：PE+PF=AB .48、在 ABC 中,Z ABC=45 CD 

25、7;AB 于 D , BE 平分 ZABC,且 BE±AC 于 E,與 CD 相交于點 F , H 是 BC邊的中點,連結 DH與BE相交于點Go(1) 求證：BF=AC ;(2) 求證：CE= 1BF;2(3) CE與BC的大小關系如何？試證實你的結論.49、在 ABC 中,ZACB = 90 °, AC = BC, AE是BC邊上的中線,過 C作CF ± AE,垂足為F,過B作BD ± BC交CF的延長線于D.求證：(1) AE= CD; (2)假設 AC = 12 cm,求 BD 的長.50、在 ABC 中,ZACB為銳角,點D為射線BC上一動點,

26、連接 AD,以AD為一邊且在 AD的左側作等腰直角 麟DE,解答以下各題：如果 AB=AC , Z BAC=90(1)當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖甲,猜測并證實線段 BD , CE之間的位置關系.(2)當點D在線段BC的延長線上時,如圖乙,(1)中的結論是否還成立？為什么?匡耳51、在 ABC 中,Z BAC=60 °, Z C=40 °, AP 平分 Z BAC 交 BC 于 P, BQ 平分 Z ABC 交 AC 于 Q.求證:AB BP BQ AQ .52、在 ABC 中,AB=AC , D 是 CB 延長線上一點,/ ADB=60 °, E

27、是 AD 上一點,且 DE=DB,求證：AD BC 2BE53、在 ABC 中,AB=AC=6cm , Z B= Z C, BC=4cm,點 D 為 AB 的中點.(1) 如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動,同時,點 Q在線段CA上由點C向點A運動. 假設點Q的運動速度與點 P的運動速度相等,經過 1秒后,ABPD與MQP是否全等,請說明理由； 假設點Q的運動速度與點 P的運動速度不相等,當點 Q的運動速度為多少時,能夠使 ABPD與攵QP全等？(2) 假設點Q以中的運動速度從點 C出發(fā),點P以原來的運動速度從點 B同時出發(fā),都逆時針沿 ABC三邊運動,那么經過 后,點P與點Q第一次在 ABC的 邊上相遇？(在橫線上直接寫出答案,不必書寫解題過程)54、在 ABC 中,AB >AC, BAD CAD , P 為 AD 上任意一