2013屆高三數(shù)學(xué)精華試題每天一練（43） 新課標(biāo)

1、2013 屆新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)精華試題每天一練（43） 已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0），（1,0），過垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3，（1） 求橢圓的方程；（2） 過的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，則MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【命題分析】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的相交問題等綜合問題. 考查學(xué)生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出曲線方程，然后借助條件進(jìn)一步確定求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個(gè)方面去思考?！岸ㄐ巍笔侵笇?duì)稱中心在

2、原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條對(duì)稱軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設(shè)出相應(yīng)的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和點(diǎn)在直線上得到兩個(gè)等式求解的值；在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點(diǎn)，如果過焦點(diǎn)，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時(shí)一定要注意判別式的

3、限制條件.本題的第二問利用直線和橢圓聯(lián)立，借助求根公式和面積公式確定MN的內(nèi)切圓的面積與k的函數(shù)關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)留影求導(dǎo)確定是否存在問題.解：（1） 設(shè)橢圓方程為=1（ab0）,由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1由PQ|=3，可得=3，解得a=2，b=，故橢圓方程為=1（2） 設(shè)M，N,不妨0, 0,設(shè)MN的內(nèi)切圓的徑R，則MN的周長=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，由得+6my-9=0，得，則AB（）=，令t=,則t1,則,令f（t）=3t+，則f(t) =3-，當(dāng)t1時(shí)，f(t)0,f(t)在1,+)上單調(diào)遞增，有f(t)f(1)=4, =3,即當(dāng)t=1,m=0時(shí)，=3,