高考數(shù)學(xué) 解析幾何在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用及解題方法 北師大版

1、高考專題：解析幾何常規(guī)題型及方法一、高考風(fēng)向分析：高考解析幾何試題一般共有3-4題(1-2個(gè)選擇題, 0-1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)20多分, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右，其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查。選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線中的基礎(chǔ)知識(shí)，大多概念性較強(qiáng)，小巧靈活，思維多于計(jì)算；而解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn)及其綜合運(yùn)用,重在考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程，以向量為載體，立意新穎，要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)代數(shù)、三角、幾何的知識(shí)分析問題，解決問題。二、本章節(jié)處理方法建議： 縱觀文、理高考試卷，普遍有一個(gè)規(guī)律：占解幾分值接近一半的填空、選擇題難度不

2、大，中等及偏上的學(xué)生能將對(duì)分?jǐn)?shù)收入囊中；而占解幾分值一半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，解析幾何的問題可以涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向量等知識(shí)，形成了軌跡、最值、對(duì)稱、范圍、參系數(shù)等多種問題，因而成為高中數(shù)學(xué)綜合能力要求最高的內(nèi)容之一（2）解析幾何的計(jì)算量相對(duì)偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大題的前三道成了兵家必爭(zhēng)之地，而排放位置比較尷尬的第21題或22題（有時(shí)20題）就成了很多人遺忘的角落，加之時(shí)間的限制，此題留白的現(xiàn)象比較普遍。 鑒于解幾的特點(diǎn)，建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個(gè)方面1由于高考中解幾內(nèi)容彈性很大。

3、有容易題，有中難題。因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓基礎(chǔ)。不能因?yàn)楦呖贾械慕鈳捉獯痤}較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態(tài)：不指望將所有的題攻下，將時(shí)間用在鞏固基礎(chǔ)、對(duì)付“跳一跳便可夠得到”的常規(guī)題上，這樣復(fù)習(xí)，高考時(shí)就能保證首先將選擇、填空題拿下，然后對(duì)于大題的第一個(gè)小問爭(zhēng)取得分，第二小題能拿幾分算幾分。三、高考核心考點(diǎn)1、準(zhǔn)確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等）2、熟練掌握基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角公式等）3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是

4、否為0等等）4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算5、了解線性規(guī)劃的意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用6、熟悉圓錐曲線中基本量的計(jì)算7、掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）8、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題四、常規(guī)題型及解題的技巧方法A:常規(guī)題型方面（1）中點(diǎn)弦問題 具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。 典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)

5、 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。 分析：設(shè)，代入方程得，。 兩式相減得 。 又設(shè)中點(diǎn)P（x,y），將，代入，當(dāng)時(shí)得 。 又， 代入得。當(dāng)弦斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)P（2，0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是 說明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。變式練習(xí)：給定雙曲線2x2 - y2 = 2 ，過點(diǎn)B(1,1)能否作直線L,使L與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1、Q2 兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？如果直線L存在，求出它的方程;如果不存在,說明理由.（2）焦點(diǎn)三角形問題 橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢

6、圓上任一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。 分析：（1）設(shè)，由正弦定理得。 得 ， （2）。 當(dāng)時(shí)，最小值是； 當(dāng)時(shí)，最大值是。變式練習(xí)：設(shè)、分別是雙曲線（a0,b0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，若P=,求證：S=bcot （3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn) （2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。（1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為 由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)（t，0）在準(zhǔn)線右

7、邊，得 故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。 （2）解：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2) 變式練習(xí)：直線y=ax+1與雙曲線3x2y2=1交于兩點(diǎn)A、B兩點(diǎn)(1)若A、B都位于雙曲線的左支上，求a的取值范圍(2)當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？（4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物

8、線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對(duì)于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于（2）首先要把NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。解：(1)直線L的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線L與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1,y1）,B(x2,y2)，則,又y1=x1-a,y2

9、=x2-a, 解得:(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為（x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：, 所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ為等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以SNAB=,即NAB面積的最大值為2。變式練習(xí)：雙曲線（a0,b0）的兩條準(zhǔn)線間的距離為3，右焦點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離為 （1）求雙曲線的方程（2）設(shè)直線y=kx+m(k且m)與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)C、D，若A(0,-1)且=，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)

10、在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0)設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為A/、B/，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：A/（），B（）。因?yàn)锳、B均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.變式練習(xí)：在面積為1的PMN中，tanM=,tanN=-2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標(biāo)

11、平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)（0）,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識(shí)可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng)1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。變式練習(xí)：過拋物線y=4x的焦點(diǎn)F作斜率為k的弦AB，且8，此外，直線AB和橢圓3x+2y=2交于不同的兩點(diǎn)。（1）求直線AB的斜率k的取值范圍（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、

12、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題 在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。 分析：橢圓上兩點(diǎn)，代入方程，相減得。 又，代入得。 又由解得交點(diǎn)。 交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有，得。變式練習(xí)：為了使拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求m的取值范圍。（7）兩線段垂直問題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。典型例題 已知直線的斜率為，且過點(diǎn)，

13、拋物線，直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖）。 （1）求的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。分析：（1）直線代入拋物線方程得， 由，得。 （2）由上面方程得， ，焦點(diǎn)為。由，得，或變式練習(xí)：經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓左焦點(diǎn)F，求直線的傾斜角。B:解題的技巧方面 在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾

14、何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。 典型例題 設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值。 解： 圓過原點(diǎn)，并且， 是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為 又在直線上， 即為所求。 評(píng)注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點(diǎn)并且，PQ是圓的直徑，圓心在直線上，而是設(shè)再由和韋達(dá)定理求，將會(huì)增大運(yùn)算量。變式練習(xí)：已知點(diǎn)P（5，0）和圓O：，過P作直線與圓O交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程。 評(píng)注：此題若不能挖掘利用幾何條件，點(diǎn)M是在以O(shè)P為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計(jì)算量將很大，并且比較麻煩。二. 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不

15、求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題 已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點(diǎn)，且，求此橢圓方程。 解：設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓相交于P、兩點(diǎn)。 由方程組消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直線上， 把（1）代入，得， 即 化簡(jiǎn)后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求橢圓方程為 評(píng)注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡(jiǎn)化了計(jì)算。變式練習(xí)：若雙曲線方程為，AB為不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB中點(diǎn)，設(shè)AB、OM的斜率分別為，則 三. 充分

16、利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題 求經(jīng)過兩已知圓和0的交點(diǎn)，且圓心在直線：上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為： 即， 其圓心為C（） 又C在直線上，解得，代入所設(shè)圓的方程得為所求。 評(píng)注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡(jiǎn)化了計(jì)算。變式練習(xí)：某直線l過直線L1：x-y-12=0和L2：7x-y+28=0的交點(diǎn)，且傾斜角為直線L1的傾斜角的一半，求此直線l的方程四、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題 P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為

17、短軸的上端點(diǎn)，求四邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。變式練習(xí)：已知P(x，y)是橢圓x24y2=1上任一點(diǎn)，試求P到直線x + y 2 = 0的最小值及此時(shí)P的坐標(biāo)。五、線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程 一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，判別式為，則，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。 例 求直線被橢圓所截得的線段AB的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。 例 、是橢圓的兩個(gè)焦

18、點(diǎn)，AB是經(jīng)過的弦，若，求值 利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離 例 點(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，若取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。五、高考試題選編1. 過拋物線的焦點(diǎn)F，作弦軸于A、B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)等于（ ） A. 6 B. 18 C. D. 362. 若直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A. （0，5） B. （1，5） C. D. 3. 直線被橢圓所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 4. 過點(diǎn)A引拋物線的一條弦，使該弦被A點(diǎn)平分，則該弦所在直線方程為（ ） A. B. C. D. 5. 設(shè)且，則的最大值與最小值分別是（ ） A. B. C. 4，3 D. 8，66. P是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)P到F與P到A的距離之和的最小值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7.已知圓的弦長(zhǎng)為時(shí)，則a=（ ）A B C D8(03全國(guó))已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則此雙曲線的方程是（ ）A BC D9(03江蘇)已知長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中