簡諧運動(于萬堂)

1、微積分在在物理學中的運用1.如圖32所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為.試求鐵鏈A端受的拉力T. 2.半徑為R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長為R，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖35所示，若平衡時彈性繩圈長為，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k.3.一質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度.4.一根質(zhì)量為M，長度為L的鐵鏈

2、條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖37所示，求鏈條下落了長度x時，鏈條對地面的壓力為多大？5.一根均勻柔軟的繩長為L，質(zhì)量為m，對折后兩端固定在一個釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點離釘子的距離為x時，釘子對繩子另一端的作用力是多大？6.圖39中，半徑為R的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動，細繩不可伸長但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M、m.設圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對繩的法向支持力線密度.7.粗細均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切.若在切點放一質(zhì)點m，恰使兩邊圓環(huán)對m的萬有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足

3、什么條件？8.一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動機的功率是多少？9一截面呈圓形的細管被彎成大圓環(huán)，并固定在豎直平面內(nèi)， 在環(huán)內(nèi)的環(huán)底A處有一質(zhì)量為m、直徑比管徑略小的小球，小球上連有一根穿過環(huán)頂B處管口的輕繩，在外力F作用下小球以恒定速度v沿管壁做半徑為R的勻速圓周運動，如圖323所示.已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè)部分的動摩擦因數(shù)為，而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑的.忽略大環(huán)內(nèi)、外側(cè)半徑的差別，認為均為R.試求小球從A點運動到B點過程中F做的功WF. 10.一物體放在斜面上，物體與斜面間的摩擦因數(shù)恰好滿足，為斜面的傾角。今使物體獲得一水平速

4、度而滑動，如圖一，求：物體在軌道上任意一點的速度V與的關系，設為速度與水平線的夾角。11.一條勻質(zhì)的金屬鏈條，質(zhì)量為m，掛在一個光滑的釘子上，一邊長度為，另一邊長度為而且，如圖一。試求：鏈條從靜止開始滑離釘子時的速度和所需要的時間。12.在密度為的液體上方有一懸掛的長為L,密度為的均勻直棒，棒的下端剛與液面接觸。今剪斷細繩，棒在重力和浮力的作用下下沉，若，求：棒下落過程中的最大速度。13.質(zhì)量為m的物體，以初速為，方向與地面成角拋出。如果空氣的阻力不能忽略，并設阻力與速度成正比，即，k為大于零的常數(shù)。求：物體的運動軌道。14.飛機以的水平速度觸地滑行著陸?；衅陂g受到空氣的阻力為，升力為，其中

5、V是飛機的滑行速度。設飛機與跑道間的摩擦系數(shù)為，試求：飛機從觸地到停止所滑行的距離。15.兩小球的質(zhì)量均為m，小球1從離地面高度為h處由靜止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速同時豎直上拋。設空氣阻力與小球的運動速率成正比，比例系數(shù)為k(常量)。試求：兩小球相遇的時間、地點以及相遇時兩小球的速度。16.一輕繩的兩端分別連接小球A和小環(huán)B，球與環(huán)的質(zhì)量相等，小環(huán)B可在拉緊的鋼絲上作無摩擦的滑動，如圖一?，F(xiàn)使小球在圖示的平面內(nèi)擺動。求：小球擺離鉛垂線的最大角度時小環(huán)和小球的加速度。簡諧運動一 機械振動的定義:在回復力作用下圍繞平衡位置的的往復運動；回復力：始終指向平衡位置的力。二 彈簧振子模型

6、OAB1.模型特點：2.其原長在O點，將其拉離平衡位置至A點，然后釋放，其將做什么運動， 3. 在運動過程中其受力有什么特點【對應練習】1.一木塊漂浮在水面上，已知水的密度為，木塊的密度為，橫截面積為S，將木塊稍微下按，釋放后，證明木塊的運動時簡單和諧的2.將一彈簧振子豎直懸掛，證明其振動是簡單和諧的。3.證明給水平方向彈簧振子施加一沿彈簧的恒力作用，其運動依然是簡諧的三簡諧運動是最簡單的振動形式，任何復雜的振動都可以分解成若干個簡諧振動，判斷一個振動是否是簡諧運動的依據(jù)，從受力上來看：滿足回復力。該條件是簡諧運動的充要條件。質(zhì)點以角速度沿著半徑為R的圓軌道做勻速圓周運動，試證明：質(zhì)點在某直徑

7、上的投影的運動是簡諧振動。（提示：從受力分析入手，從而可以分析速度、加速度、動能、勢能以及總能量）【練習】1一物體沿x軸在和的區(qū)間內(nèi)作簡諧振動，對此物體作隨機觀察。則該物體出現(xiàn)在微小間隔中的幾率是 2.如圖1-4所示，質(zhì)量可以忽略的彈簧上端固定，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，物體沿豎直方向做振幅較小的簡諧振動。取平衡位置O處為原點，位移x向下為正，則在圖1-5的A、B、C、D和E五個圖中-a0a0x-a0a0x-a0a0x-a0a0x-a0a0xABCDE（1）圖 是描述物體的速度隨x的變化關系。（2）圖 是描述加速度隨x的變化關系。（3）圖 是描述彈簧的彈性勢能隨x的變化關系。（4）圖 是描述總

8、勢能（重力勢能與彈性勢能）隨x的變化關系（重力勢能取原點處為零）。3.如圖所示，假想在地球表面的A、B兩地之間開鑿一直通隧道，在A處放置一個小球，小球在地球引力的作用下從靜止開始在隧道內(nèi)運動，忽略一切摩擦阻力，試求小球的最大速度，以及小球從A運動到B所需要的時間，已知地球半徑為R， 地球半徑為R，A和B之間的直線距離為L,地球內(nèi)部質(zhì)量密度均勻，不考慮地球的自轉(zhuǎn).4.若沿地球兩極間的地軸鉆一個洞，當一物從北極無初速地落入這無底洞時，物體將如何運動？到達南極的時間是多少？5.有一粗細均勻的U型管中裝有一定質(zhì)量的水，水柱的總長度為L，受擾后水在管中振動，忽略管壁對水運動的阻力，求振動的周期 6.有人

9、提出了一種不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星的設想其設想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖所示在通道的兩個出口處和，分別將質(zhì)量為的物體和質(zhì)量為的待發(fā)射衛(wèi)星同時自由釋放，只要比足夠大，碰撞后，質(zhì)量為的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星就會從通道口沖出通道；設待發(fā)衛(wèi)星上有一種裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開出口時，立即把待發(fā)衛(wèi)星的速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯€的方向，但不改變速度的大小這樣待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運動，成為一個人造衛(wèi)星若人造衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運動，則地心到該通道的距離為多少？己知20，地球半徑6400 km假定地球是質(zhì)量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的m7.如圖所示，質(zhì)量為m的物塊放在彈簧

10、上，彈簧在豎直方向上做簡諧運動，當振幅為A時，物體對彈簧的最大壓力是物重的1.8倍，則物體對彈簧的最小壓力是物重的多少倍？欲使物體在彈簧振動中不離開彈簧，其振幅最大為多少？8.在光滑水平面上有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k，振子質(zhì)量為M，振動的最大速度為v0當振子在最大位移為A的時刻把質(zhì)量為m的物體輕放在其上，則(1)要保持物體和振子一起振動，二者間動摩擦因數(shù)至少多大？(2)一起振動時，二者經(jīng)過平衡位置的速度多大?二者的振幅又是多大？9.如圖所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動

11、摩擦因素為、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。10.如圖所示，三根長度均為L = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿AB是一導軌，一電動松鼠可在導軌上運動?，F(xiàn)觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。11.如圖所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一個質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動。試求這個系統(tǒng)的振動周期T 。12.兩個彈簧通過一個動滑輪（不計質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方

12、向上的振動周期又是多少？13.兩彈簧和鉤碼通過輕桿和轉(zhuǎn)軸，連成了圖12所示的系統(tǒng)，已知k1 、k2 、m 、a 、b ，再求鉤碼的振動周期T 。14.質(zhì)量為10g的物體做簡諧振動，振幅為24cm，周期為4s，當t=0時坐標為24cm。試求：（1）當t=0.5s時物體的位置。（2）當t=0.5s時作用在物體上力的大小和方向。（3）物體從初始位運動到處所需的時間。（4）當時物體的速度。15.一物體在水平面上做簡諧振動，振幅為10cm，當物體離開平衡位置6cm時，速度為24cm/s,(1)周期是多少？（2）當速度為時，位移是多少？（3）如果在振動的物體上加一小物體，當運動到路程的末端時，小物體相對于

13、物塊剛要開始滑動，求它們之間的摩擦系數(shù)。16質(zhì)量為M的小平板固定在勁度系數(shù)為k的輕彈簧上，彈簧的另一端固定在地上，有一質(zhì)量為m的小球沿入射角方向以速度射向小平板，并發(fā)生完全彈性碰撞，忽略一切摩擦，求碰撞后小平板的振動方程？17.某液體的密度隨深度線性增加，液體表面的密度為，深度為D處的密度為，一密度為的小球在深度為處從靜止釋放，忽略液體的阻力，試求小球的振動方程表達式。18.如圖所示，質(zhì)量分別為和的木塊用彈性系數(shù)為k的輕彈簧連接起來，用一根繩子拉緊兩物體，使彈簧壓縮，某時刻將繩子燒斷，求兩木塊的振動周期ABMm19.用細線將質(zhì)量為M的物體掛在天花板上，用非常輕的彈簧將質(zhì)量為m的物體連接在M物體

14、上，彈簧的彈性系數(shù)為k，燒斷線，兩物體開始在均勻的重力場中下落，求兩彈簧的最大長度和最小長度之差？線燒斷之后經(jīng)過多長時間彈簧的伸長量第一次變?yōu)榱?。可以認為發(fā)生上述情況的時間內(nèi)物體沒有落地。20.在光滑的水平桌面上有質(zhì)量均為M的三輛同樣的小車，中間車B用輕繩與左邊車C連接，用彈性系數(shù)為k的彈簧與右邊車相連，開始維持系統(tǒng)使彈簧不形變，繩子不拉近但實際上中間也不下垂，推一下使“處在彈簧作用下的”A車具有速度v0，其方向沿連接B、A兩車的直線背離B車，求當繩長為最短為多少時B車與C車發(fā)生最強的碰撞，三車總是沿直線運動。ABC21.用彈簧連接的質(zhì)量均為m的小球，靜放在光滑的水平面上，質(zhì)量為M的小球從左邊

15、向該系統(tǒng)撞來，發(fā)生正面的完全彈性碰撞，求當質(zhì)量之比近似為多少時將再次放生碰撞？123m1m222.如圖所示的裝置中滑輪的質(zhì)量不計，物體的大小不計，質(zhì)量分別為和，下端通過彈性系數(shù)為k的輕彈簧與地面相連，讓偏離平衡位置一小段距離后放手，求系統(tǒng)的振動周期。23.如圖所示，物體A、B用細繩相連懸掛于定滑輪O上，物體C用彈性系數(shù)為，原長為l的彈簧懸掛于B下，已知它們的質(zhì)量關系為，開始時系統(tǒng)靜止，且使彈簧保持原長釋放，若不計滑輪和繩的質(zhì)量和摩擦，試求C相對于B的運動規(guī)律ABCm1m2ABO24.如圖所示，質(zhì)量為m，彈性系數(shù)為k的彈簧振子放在光滑的水平面上，其平衡位置在O點，其圓頻率，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點放在

16、光滑的曲面上的A點，AB間的高度差h=0.2m，質(zhì)點由A滑到B點所需時間，OB間的距離，現(xiàn)將彈簧振子向左壓縮后自由釋放，同時釋放處于A點的質(zhì)點m，兩個質(zhì)點相遇作完全非彈性碰撞后粘在一起，發(fā)生碰撞時彈簧的作用力可忽略。若從碰撞開始計時，求系統(tǒng)振動的數(shù)學表達式？（g=10m/s2）圖9-925.圖9-9中A是某種材料制成的小球，B為某種材料制成的均勻剛性薄球殼。假設A與B的碰撞是完全彈性的，B與桌面的碰撞是完全非彈性的。已知球殼B的質(zhì)量為m，內(nèi)半徑為a，放置在水平的、無彈性的桌面上。小球A的質(zhì)量亦為m，通過一自然長度為a的柔軟的彈性輕繩懸掛在球殼內(nèi)壁的最高處，如圖所示。彈性輕繩被拉長時相當于倔強系

17、數(shù)為k的彈簧，且ka=9mg/2。起初將小球A拉到球殼內(nèi)的最低處，然后輕輕釋放。試詳細的、定量的討論小球以后的運動。ABkxOl26如圖所示，在一個勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì)彈簧兩端分別拴著一個質(zhì)量為 m 的小球A和質(zhì)量為 2m的小球BA用細線拴住懸掛起來，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，此時彈簧長度為現(xiàn)將細線燒斷，并以此時為計時零點，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標軸Ox，原點O與此時A球的位置重合如圖試求任意時刻兩球的坐標27.一個大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和（）?，F(xiàn)讓一長為、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為，由靜止開始下落。試計算木棍到達

18、最低處所需的時間。假定由于木棍運動而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運動，未露出液面，也未與容器相碰。28.設有一湖水足夠深的咸水湖，湖面寬闊而平靜，初始時將一體積很小的勻質(zhì)正立方體物塊在湖面上由靜止開始釋放，釋放時物塊的下底面和湖水表面恰好相接觸。已知湖水密度為；物塊邊長為，密度為，且。在只考慮物塊受重力和液體浮力作用的情況下，求物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時間。三.單擺模型1.單擺的構(gòu)成2.單擺的動力學分析3.單擺振動的周期推導 4. 等效重力加速度確定等效重力加速度的方法：確定擺球振動的平衡位置確定此時擺線的拉力F等效重力加速度例1、在一節(jié)車廂中懸掛一個擺長為的單擺，車廂以加速度a在水平地面上運動，如果擺球的質(zhì)量為，那么該單擺的簡諧振動的周期為多大？例5、擺線長為的單擺置于架子上，架子固定在小車上，使小車沿著傾角為的斜面以加速度a做勻加速運動，求此時單擺振動的周期？2、等效擺長在有多個可等效的懸點、擺長時，首選等效擺長及擺長的操作是： 連接兩懸點的直線為轉(zhuǎn)軸 擺球所收的重力作用線反向延長與轉(zhuǎn)軸的交點為首選等效懸點 取首選等效懸點與擺球間的距離為等效擺長例6