【解析】江蘇省南京師大附中2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

1、南京師大附中 2019-2020 學(xué)年度第 1 學(xué)期高一年級期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共 10 小題，每小題 2 分，共計 20分. 每小題給出的四個選項中，只有 項是符合題目要求的 .1.設(shè)集合 A 2,4,6,8,10 , B 4,8，貝U CAB().A. 4,8B. 2,6C. 2,6,10D.2,4,6,8,10【答案】 C【分析】cab表示A中不包含B的集合，容易選出答案?！驹斀狻緾AB表示A中不包含B集合，即CAB2,6,10 .- 1 -故選： C點睛】此題考查集合的補集，熟知補集概念容易做出題目，屬于簡單題目- 17 -3.函數(shù)y 1 2 ln(1 x)的定義域為()

2、4 xD. 2,1)A. (1,2)B. (1,2C. ( 2,1)【答案】C分析】根號里面大于等于零，分母不等于零，對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零，列出不等式即可求出定義域的取值范圍【詳解】由題意可得:4 X20，即 2 x 11 x 0c. f (x) x, g(【分析】故選：C【點睛】X)是同一個函數(shù)的是(4.下列各組的函數(shù),同一函數(shù)指定義域禾A f(x) x,g(之定義域，根據(jù)根號里面大于等于零，分母不等于零,交集較易求的定義域，屬于簡單題目B.D.f(x)f(x)這一標準即可進行判斷1,g(x)1,g(x)x0【詳解】A選項： f(x)x和g (x) Jx的定乂域都是R，且 g(x)即f (x)

3、和g(x)的對應(yīng)法則也一樣，所以是同一函數(shù)，所以A正確.B選項：f (x)1的定義域是R,而 g(x)x0的定義域是x0,所以B不正確.C選項：f (x)x的定義域是R,而 g(x)(一 X)2的定義域是x0,所以C不正確D選項：f (x)1的定義域是R,而 g(x)x的定義域是x0,所以D不正確.故選：A【點睛】此題考查同一函數(shù)概念，只有定義域和對應(yīng)法則都相同時才是同一函數(shù)，屬于簡單題目5.已知函數(shù)f(X) 2X，1 % 0，則下列圖像錯誤的是()x ,0 x 1a. y f (x 1)的圖像b. y f(x)的圖像C. y f ( x)的圖像d. y f (x)的圖像【答案】B【分析】先畫

4、出f(x)的圖像，再分析每個選項的函數(shù)對應(yīng)【詳解】先分段畫出 f(x)的圖像，f(x)是怎樣變化了即可較易選出答案。A選項：y f(x 1)的圖像由f(x)向右平移一個單位，可知 A選項正確。B選項：y f(X)的圖像由將0 x 1 , f(x)圖像關(guān)于y軸對稱翻折到 1 x 0得到的 圖像，可知B選項不正確。C選項：y f( x)的圖像由f(x)對稱區(qū)間圖像交換位置得到，可知C選項正確。故選：B【點睛】此題考查函數(shù)圖像的變化問題，關(guān)鍵點弄清楚常見的左右平移變化，關(guān)于y對稱變化，關(guān)于x軸對稱變化等的特點，屬于較易題目。6. 已知log2x 0，那么x的取值范圍是().A. (0,)B. (1,

5、)C. (0,1)D. (,1)【答案】B【分析】log2 x 0，即log2x logl，再由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可解出x的范圍?！驹斀狻縧og2 x 0，即 log2 x log21。由y log2X是增函數(shù)，可解出：x 1.故選：B【點睛】此題考查對數(shù)函數(shù)解不等式，關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解，屬于簡單題目。、 27. 若集合A x|(k 2)x 2kx 1 0有且僅有1個元素，則實數(shù)k的值是()A. 2 或-1B. -2 或-1C. 2 或-1D. -2【答案】A試題分析：當- -，解得.- ：，.-，得-，符合題意，當-1 =：時，怎宀良:-述一.亠，解得 =-或一丨，故答案為A

6、.考點：集合中元素的個數(shù)8. 若函數(shù)f(x) (k 3)x2 2kx 1在(，0上為增函數(shù)，則k的取值范圍是()A. 0,3)B. 0,3C. (0,3D. 3,)【答案】B【分析】先討論二次項系數(shù)是否為零判斷是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，一次函數(shù)根據(jù)斜率為正是增函數(shù), 二次函數(shù)要在(，0上為增函數(shù)開口只能向下且對稱軸在零的右側(cè)?！驹斀狻慨攌 3 0時，即k 3時，f(x) 6x 1，顯然在(，0上為增函數(shù)，所以k 3 滿足條件。當k 30時，即k 3時，f(x)為一元二次函數(shù)。要在(，0上為增函數(shù)，此時只能開口向下，且對稱軸大于等于0,即k 3時，對稱軸綜上所述：0 k故選：B【點睛】此題考查二次

7、項系數(shù)含參單調(diào)性問題，特別注意如果二次項系數(shù)為零則為一次函數(shù)容易遺漏，屬于較易題目。2 彳x ax 1，若對任意x9.已知函數(shù)f (x)(1,)，不等式f(x) 1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(A. (, 1)B.,1C. ( 1,D. 1,)【答案】D【分析】分情況討論當任意(1,f(x)1恒成立，即 f(x) 1 0恒成立，即x2 ax 1-1(ax1)x 10恒成立，只需當任意x(1,)時，2 ,x (a1)x0即可,通過V和對稱軸進行討論即可。【詳解】當任意x (1,)時，f (x)1恒成立，即f(x) 120恒成立，即ax 1-1 0，x(a 1)x 1x0恒成立，只需當任意x (1

8、,)時,2x (a 1)x 10 即可。當 V=(a-1)2 40時，即1 a 3時，當任意x (1,)時，x2 (a 1)x 10恒成立顯然成立，所以 1 a 3時滿足條件;當 V= (a-1 )2 4 0時，即 a1或者a 3時，要使當任意x (1,)時,21 ax (a 1)x 10恒成立，對稱軸x 21，即a 1，且f(1)0，即1 a 0,a 1。所以a 3時滿足條件。綜上所述：1 a故選：D【點睛】此題考查二次函數(shù)通過 V和對稱軸范圍求最小值解恒成立問題，關(guān)鍵點注意分類討論的依據(jù)，屬于較易題目。10.若函數(shù)f(x)ax 4,x 1 4x2 2ax a2, x1在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)

9、a的取值范圍是(A. (1,4【答案】BB. 3,4C. (1,3D. 4,)【分析】 分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只需要每段函數(shù)單調(diào)遞增且在臨界點處的函數(shù)值左邊小于等于右邊，列出不等式即可?！驹斀狻亢瘮?shù)f(x)4x2a 4,x 21在R上單調(diào)遞增,2ax a ,x 1所以a對稱軸x2a2臨界點處a2aa2，即綜上所述: 故選：B【點睛】此題考查分段函數(shù)單調(diào)性問題，每段各自單調(diào)和臨界點處左右單調(diào)是解題的關(guān)鍵點， 屬于較易題目。二、多選題：本大題共 3小題，每小題3分，共計9分.每小題給出的四個選項中，不止一項 是符合題目要求的，每題全選對者得3分，其他情況不得分.511.若指數(shù)函數(shù)y ax在區(qū)間1

10、,1上的最大值和最小值的和為，則a的值可能是（）A. 21B.-2C. 31D.-3【答案】AB【分析】分別討論a1單增和0 a1單減兩種不同情況即可較易求解.【詳解】當a1時，指數(shù)函數(shù)ax單調(diào)遞增，所以在區(qū)間1,1上的最大值ymaxyx最小值ymin1yx 1 。所以a5，求得a 2或者a 1 （舍）；2當0 a 1時，指數(shù)函數(shù)yymin yx 1 a，所以所以綜上所述：a 2或者a故選：AB【點睛】此題考查指數(shù)函數(shù)的通過單調(diào)性求最值問題,單減兩種不同的情況，屬于較易題目。12.在一次社會實踐活動中，某數(shù)學(xué)調(diào)研小組根據(jù)車間持續(xù)品的總產(chǎn)量y （單位：千克）與時間 x （單位：小時）的|況的正確

11、判斷是（）.A.在前三小時內(nèi)，每小時的產(chǎn)量逐步增加B.在前三小時內(nèi)，每小時的產(chǎn)量逐步減少C.最后一小時內(nèi)的產(chǎn)量與第三小時內(nèi)的產(chǎn)量相同D.最后兩小時內(nèi)，該車間沒有生產(chǎn)該產(chǎn)品1,121單增和5個小時的ymaxax單調(diào)遞減，所以在區(qū)間15，求得 a 2 （舍a情況畫出了某種產(chǎn)該產(chǎn)品生產(chǎn)狀【答案】BD【分析】根據(jù)車間持續(xù)5個小時的生產(chǎn)總產(chǎn)量 y （單位：千克）與時間 x （單位：小時）的函數(shù)圖像， 分別進行判斷即可。【詳解】由該車間持續(xù) 5個小時的生產(chǎn)總產(chǎn)量 y （單位：千克）與時間 x （單位：小時）的函 數(shù)圖像，得：前3小時的產(chǎn)量逐步減少，故 A錯，B正確；后2小時均沒有生產(chǎn)，故 C錯，D正確。故

12、選：BD【點睛】此題考查函數(shù)圖像的實際應(yīng)用，關(guān)鍵點是將函數(shù)圖像和實際問題聯(lián)系起來，屬于較易問題。13.下列四個說法中，錯誤的選項有（）A. 若函數(shù)f（x）在（，0上是單調(diào)增函數(shù)，在（0,）上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù) f（x）在R 上是單調(diào)增函數(shù)B. 已知函數(shù)的解+析式為y = x2，它的值域為1,4，這樣的函數(shù)有無數(shù)個C. 把函數(shù)y 22x的圖像向右平移2個單位長度，就得到了函數(shù) y 22x 2的圖像D. 若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則一定有 f（0）0【答案】ACD【分析】逐個分析每個選項較易選出答案?！驹斀狻緼選項：分段函數(shù)單調(diào)條件兩個：每個區(qū)間單調(diào)和臨界點處左右單調(diào)。所以A不正確。B選項：函數(shù)

13、的解+析式為y = x2，它的值域為1,4，滿足此條件的定義域有無窮個，比如當3定義域是1, 2刁上時滿足條件，所以函數(shù)有無數(shù)個。B正確；C選項：函數(shù)圖像左右平移是針對x進行平移，所以函數(shù) y 22x的圖像向右平移2個單位長度，得到的是函數(shù)y 22（x 2）22x 4的圖像，C不正確；D選項：奇函數(shù)必須在零處有定義才有f(0) 0 , D不正確。故選： ACD 【點睛】此題考查函數(shù)的一些性質(zhì)，特別注意分段函數(shù)單調(diào)性的條件，相同函數(shù)的概念，左 右平移變化是針對 x 進行平移， 奇函數(shù)在零處等于零的前提條件是在零處首先要有定義，屬于較易題目。三、填空題：本大題共 4小題 5 個空，共計 15分，每

14、空填對得 3 分，其他情況不得分 .x 2,x 114. 若 f (x)，則 f ( f(0) log2 x,x 1【答案】 1【分析】先算 f(0) 等于多少，再代入到相應(yīng)的分段函數(shù)表達式中即可 .【詳解】因為 f(0) 2，所以 f( f(0)f(2) log2 2 1故答案為： 1【點睛】此題考查分段函數(shù)求值，關(guān)鍵點值在那個區(qū)間就代那個區(qū)間表達式，屬于簡單題目.15. 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當 x 0時，f(x) x(2x 1).則當x 0時，函數(shù)f (x) 【答案】 x(2 x 1)【分析】設(shè)x 0，則-x 0，那么f( x)可以代入小于零時的表達式，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)即

15、可求出當當 x 0 時函數(shù)表達式?！驹斀狻吭O(shè)x 0，則-x 0，那么f( x) x(2 x 1)。又f( x) f(x)，所以 f(x) x(2 x 1)故答案為： f (x)x(2 x 1)【點睛】此題考查奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間函數(shù)解+析式求法，熟記解題步驟能很輕易求解，屬于簡單題目。16. 某新能源汽車公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2018年全年投入研發(fā)資金100萬元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長8%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過1000萬元的年份是 年(參考數(shù)據(jù)：lg1.08 0.033)【答案】2049【分析】先根據(jù)實際問題列出函數(shù)表達式，令函數(shù)

16、值等于1000時求解自變量即可?！驹斀狻扛鶕?jù)題意設(shè)每年的研發(fā)費用為y，年份為x，貝y y100(1 8%)x 2018即 y 100(1.08)x 2018，所以當 y 1000100(1.08)x 2018兩邊同時取對數(shù) log1.08 10 x 2018即 x log1.081020181g1.08 201810.0332018 2049故答案為：2049【點睛】此題是指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵點在于能讀懂題意將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達式，屬于較易題目。1 X17. 已知關(guān)于x的方程()2 t 0有兩個不等的實數(shù)根 為和x2，且為X2. 實數(shù)t的取值范圍是; 2x2 x1的取值范圍是【答案

17、】(1).0,2(2).1,【分析】1 1關(guān)于x的方程(？)x 2t有兩個不等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為y (彳x 2y t有兩個根，即1y (-)x 2和y t有兩個不同的交點，畫出圖像即可解決。根據(jù)圖像進行分析21 x 1 x【詳解】關(guān)于 x的方程(？) 2 t有兩個不等的實數(shù)根，即y (?) 2y t有兩個根，2和y t（t 0）有兩個不同的交點，畫出圖像即2x2 Xi的取值范圍，由圖可知當t趨近2時，X2趨近，Xi趨近一個負數(shù)，所以此時2X2為趨近 。1當t趨近與0時，此時（-）x 2 0，解出X 1，即此時Xi，X2趨近于 1,所以2X2 Xi趨近于 1。所以X （ 1,）故答案為：0,2，（

18、1,）【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖像解方程問題，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點，屬于較難題目。四、解答題：本大題共 6小題，共計56分.18. 求下列各式的值：（1）0 （ 2） 2 4 256（23）2 ；（2）3log9 4（lg5） 2 lg 2 lg50 .【答案】、3 ； (2)3【分析】 分別進行計算即可?！驹斀狻?1)0( 2) 214 4(2 3)3, log 3 4(2)因為 log94log3 9log3 42，所以log。423g9(lg5) lg2 lg50log 3 43h (lg5)2 lg2 (lg10 lg5)1(3log34)2lg5(lg5 lg 2) lg 2

19、2 lg5 lg2 2 13【點睛】此題考查指對數(shù)函數(shù)的計算問題，關(guān)鍵記住對指數(shù)運算法則，對數(shù)函數(shù)中的換底公式的使用，屬于較易題目。19. 解關(guān)于x的不等式(x a)(x 1) 0(a R).【答案】若a 1，解集為a,1 ;若a 1，解集為1 ；若a 1，解集為1,a【分析】找到不等式兩個根 x a和x 1，通過討論a和1的大小解不等式即可?！驹斀狻坎坏仁絻蓚€根為 x a和x 1。當 a 1 時，a x 1；當a 1時，x 1 ；當 a 1 時，1 x a ；綜上所述：若a 1，解集為a,1 ；若a 1，解集為1 ；若a 1，解集為1,a【點睛】此題考查二次函數(shù)解不等式，關(guān)鍵點比較兩個根的大

20、小就能較易寫出解集，屬于簡 單題目。20.已知集合 Ax x2 2x 8 0 , B x 0 ,C x a 1 x 2a .x 1（1 求 Al B ;（2）若A C A，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）2, 10,4（ 2） a 3,2【分析】分別解出A和B, C的解集，Al B即求出A, B相同部分即可， A C A表示C的范圍小于 等于A?！驹斀狻浚?）Ax（x 4）（ x 2） 0，即 A x 2 x 4，B x x（x 1） 0，即 B x x 1 或x） 0 ，所以 Al B 2, 10,42 a 1（2）A C A表示C的范圍小于等于 A。所以2a 4即3 a 2a 3,2【點睛

21、】此題考查集合的交集和并集，熟知交集和并集的概念較易解題，屬于簡單題目。21. 暑假期間，某旅行社為吸引游客去某風(fēng)景區(qū)旅游，推出如下收費標準：若旅行團人數(shù)不超過30,則每位游客需交費用 600元；若旅行團人數(shù)超過 30,則游客每多1人，每人交費額減 少10元，直到達到70人為止.（1） 寫出旅行團每人需交費用y （單位：元）與旅行團人數(shù) x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）旅行團人數(shù)為多少時，旅行社可以從該旅行團獲得最大收入？最大收入是多少？【答案】（1）y600,1 x 30,x N10x 900,30 x 70，x N（2） 45人，最大收入為 20250元【分析】（1）利用已知條件，通過分段函數(shù)列

22、出每人需要交費y關(guān)于旅行社人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式。（2）利用分段函數(shù)列出收入關(guān)系式，然后求解函數(shù)的最值?！驹斀狻浚?）由題意可知每人需交費 y關(guān)于旅行社團人數(shù) x的函數(shù)：600,1 x 30, x N10x 900,30 x 70, x N(2)旅行社收入為f (x)，則 f (x) xy600x,1x 30,x N*即 f (x)*10x2900x,30 x 70，x N當1 x30, x N*時，f(x)為增函數(shù)，所以f (x)maxf(30)600 30 18000當30 x70，xN時，f (x)為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸x 45，所以在對稱軸處取得最大值，f ( x)maxf (45)

23、20250。綜上所述：當人數(shù)為45人時，最大收入為 20250元。【點睛】此題考查函數(shù)的實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵點在于把實際問題的函數(shù)模型化，屬于較易題 目。22. 已知函數(shù)f (x)1 m 為奇函數(shù).3x 1(1) 求實數(shù)m的值；(2) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；2 1(3) 求不等式f(x2 x 1)0的解集【答案】(1)-2 ；( 2) f (x)在R上單增(3)(0，1)【分析】(1) 在x 0處有定義，且f(x)為奇函數(shù)，所以有 f(0)0，即可求出m值。(2) 可以根據(jù)改變函數(shù)單調(diào)性兩個因素求解。2 1(3) 根據(jù)(2)單調(diào)性為單調(diào)遞增，將不等式轉(zhuǎn)化為f(x x 1)- f( 1)，通過

24、單調(diào)性即可求解?！驹斀狻?1)因為定義域為 R,在在x 0處有定義，且f(x)為奇函數(shù)，所以有 f(0) 0。23x 1為增函數(shù)，所以即f(0)1齊0，所以m(2) f(x) 1，因為3x 1為增函數(shù)，為減函數(shù),3x 13x 12f(X)1 飛一為增函數(shù)。3X 12 1 2 1(3) f (x x 1)0，即 f (x x 1) f( 1)2又f (x) 1 x為增函數(shù)，所以x2 x 1，即0x13 1所以 x (0,1)?！军c睛】此題考查奇函數(shù)性質(zhì)，改變函數(shù)單調(diào)性兩個因素，利用單調(diào)性解不等式等基本知識點，屬于較易題目。123. 已知函數(shù) f (x) log2k 4x (k 1)2x k -(1) 當k 0時，求函數(shù)的值域；(2) 若函數(shù)f(x)的最大值是 1，求k的值；(3) 已知0 k 1，若存在兩個不同的正數(shù) a,b，當函數(shù)f(x)的定義域為a,b時，f(x)的 值域為a 1,b 1，求實數(shù)k的取值范圍.1【答案】(1)1,( 2)k 1( 3) k 12【分析】(1) k 0時寫出函數(shù)表達式，根據(jù)真數(shù)范圍求解函數(shù)值域即可。(2)設(shè)t 2x換元真數(shù)部分為