大一高數(shù)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

1、第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)由于社會和科學(xué)發(fā)展的需要，到了17世紀(jì)，對物體運動的研究成為自然科學(xué)的中心問題.與之相適應(yīng)，數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了兩千多年的發(fā)展之后進入了一個被稱為“高等數(shù)學(xué)時期”的新時代，這一時代集中的特點是超越了希臘數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的觀點，認(rèn)識到“數(shù)”的研究比“形”更重要，以 積極的態(tài)度開展對“無限”的研究，由常量數(shù)學(xué)發(fā)展為變量數(shù)學(xué)，微積分的創(chuàng)立更是這一時期 最突出的成就之一.微積分研究的基本對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù)極限是研究函數(shù)的一種基本方法，而連續(xù)性則是函數(shù)白一種重要屬性.因此，本章內(nèi)容是整個微積分學(xué)的基礎(chǔ).本章將簡要地介紹高等數(shù)學(xué)的一些基本概念，其中重點介紹極限的概念、性質(zhì)和運算性質(zhì)，以及與

2、極限概念密切相關(guān)的，并且在微積分運算中起重要作用的無窮小量的概 念和性質(zhì).此外，還給出了兩個極其重要的極限 .隨后，運用極限的概念引入函數(shù)的連續(xù)性概念， 它是客觀世界中廣泛存在的連續(xù)變化這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述第一節(jié)變量與函數(shù)、變量及其變化范圍的常用表示法在自然現(xiàn)象或工程技術(shù)中，常常會遇到各種各樣的量.有一種量，在考察過程中是不斷變化 的，可以取得各種不同的數(shù)值，我們把這一類量叫做變量；另一類量在考察過程中保持不變， 它取同樣的數(shù)值，我們把這一類量叫做常量.變量的變?nèi)辗教S性的，如自然數(shù)由小到大變化、數(shù)列的變化等，而更多的則是在某個范圍內(nèi)變化，即該變量的取值可以是某個范圍內(nèi)的任何一 個數(shù).變量取值范

3、圍常用區(qū)間來表示 .滿足不等式a x b的實數(shù)的全體組成的集合叫做閉口!也： 記為a,b，即a,b x | a x b; 滿足不等式a x b的實數(shù)的全體組成的集合叫做開區(qū)回，記為(a,b),即(a,b) x |a x b;滿足不等式a x b(或a x b)的實數(shù)的全體組成的集合叫做左一(右)汪.在(左.).閉區(qū)文 記為 a,b (或 a,b ),即a,b x |a x b(或 a,b x |a x b), 左開右閉區(qū)間與右開左閉區(qū)間統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間，實數(shù)a, b稱為區(qū)間的端點.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)回.，.數(shù)b a稱為區(qū)間敢旨度.此外還有無限區(qū)間二 (,)x| x R,b x |x b

4、,(,b) x|x b,a, x |a x,(a,) x |a x,等等.這里記號"”與“”分別表示“負(fù)無窮大”與“正無窮大” 鄰地也是常用的一類區(qū)間.設(shè)x。是一個給定的實數(shù)，B是某一正數(shù)，稱數(shù)集：x |x0 8 x x0 8 為點 x0 的 R鄰域，記作 U (x0, 8) .即 U x0, 8 x |x08 x x0 8稱點X0為該鄰域的中心，B為該鄰域的半徑(見圖1-1).稱U(X0,8) X0為X0的去心B鄰o域，記作U(x0,8),即U(Xo, ) x |0 x Xo 8v MM % 耳,& 圖1-1下面兩個數(shù)集U Xo, 8x |Xo 8 x Xo ,U Xo,

5、8x |Xo x Xo 6 ,o分別稱為xo的左B鄰域和右B鄰域.當(dāng)不需要指出鄰域的半徑時，我們用 U(xo), U(Xo)分別表 o示Xo的某鄰域和Xo的某去心鄰域,.U Xo，S , U Xo, S分別表示Xo的某左鄰域和Xo的某右鄰 域.、函數(shù)的概念在高等數(shù)學(xué)中除了考察變量的取值范圍之外，我們還要研究在同一個過程中出現(xiàn)的各種彼 此相互依賴的變量，例如質(zhì)點的移動距離與移動時間 .曲線上點的縱坐標(biāo)與該點的橫坐標(biāo)，彈簧的恢復(fù)力與它的形變， 等等.我們關(guān)心的是變量與變量之間的相互依賴關(guān)系，最常見的一類依賴關(guān)系，稱為函數(shù)關(guān)系.定義1設(shè)A, B是兩個實數(shù)集，如果有某一法則f ,使得對于每個數(shù) x A

6、,均有一個確定的數(shù)y B與之對應(yīng)，則稱f是從A到B內(nèi)的函數(shù).習(xí)慣上，就說y是x的函數(shù)，記作y f x (x A) 其中，X稱為自變量，y稱為因變量，f x表示函數(shù)f在x處的函數(shù)值.數(shù)集A稱為函數(shù)f的 定義域，記為D f ;數(shù)集f (A) y |y f (x),x a b 稱為函數(shù)f的值域，記作R f .從上述概念可知， 通常函數(shù)是指對應(yīng)法則 f，但習(xí)慣上用“y f x , x A ”表示函數(shù)， 此時應(yīng)理解為“由對應(yīng)關(guān)系y f x所確定的函數(shù)f ” .確定一個函數(shù)有兩個基本要素，即定義域和對應(yīng)法則.如果沒有特別規(guī)定，我們約定：定義域表示使函數(shù)有意義的范圍，即自變量的 取值范圍.在實際問題中，定義

7、域可根據(jù)函數(shù)的實際意義來確定.例如，在時間t的函數(shù)f t中，t通常取非負(fù)實數(shù).在理論研究中，若函數(shù)關(guān)系由數(shù)學(xué)公式給出，函數(shù)的定義域就是使數(shù)學(xué)表達 式有意義的自變量x的所有可以取得的值構(gòu)成的數(shù)集.對應(yīng)法則是函數(shù)的具體表現(xiàn)，它表示兩個 變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系.例如，氣溫曲線給出了氣溫與時間的對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)表列出了角度與三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系.因此，氣溫曲線和三角函數(shù)表表示的都是函數(shù)關(guān)系.這種用曲線和列表給出函數(shù)的方法， 分別稱為圖示法和列表法.但在理論研究中， 所遇到的函數(shù)多數(shù)由數(shù)學(xué)公 式給出，稱為公式法.例如，初等數(shù)學(xué)中所學(xué)過的哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反 三角函數(shù)都是用公式法表示

8、的函數(shù).從幾何上看，在平面直角坐標(biāo)系中，點集(x,y)|y f x ,x D f 稱為函數(shù)y f x的圖像（如圖1-2所示）.函數(shù)y f x的圖像通常是一條曲線，y f x也相反，一些幾何問稱為這條曲線的方程.這樣，函數(shù)的一些特性常?？山柚趲缀沃庇^來發(fā)現(xiàn);題，有時也可借助于函數(shù)來作理論探討.現(xiàn)在我們舉一個具體函數(shù)的例子.例1求函數(shù)y “ x2解要使數(shù)學(xué)式子有意義,圖1-2的定義域.1必須滿足x2 0, 1>0 ,2,x>1.由此有1x2,精選資料，歡迎下載因此函數(shù)的定義域為 1,2 .有時一個函數(shù)在其定義域的不同子集上要用不同的表達式來表示對應(yīng)法則，稱這種函數(shù)為 分段函數(shù).下面給

9、出一些今后常用的分段函數(shù) .絕對值函數(shù)x ,x 0,x ,x <0.的定義域例3D f （符號函數(shù)），值域R f 0,）,如圖1-所示.sgnx1,x<0,0,x 0, 1,x >0R f 1,0,1,如圖 1 4 所示.-|圖1-4最大取整函數(shù)y x ,其中x表示不超過x的最大整數(shù).例如,31， 0°，7t3等等.函數(shù)y x的定義域D f ()，值域R f 整數(shù). 一般地,y x n , n x n 1 , n 0, 1, 2,L ,如圖 1-5 所示.,i y32 -l 口 123 1 -1 "-2圖1-5在函數(shù)的定義中，對每個 x D f ，對應(yīng)的函

10、數(shù)值y總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單 值函數(shù).若給定一個對應(yīng)法則 g ,對每個x D g ,總有確定的y值與之對應(yīng)，但這個 y不總 是唯一的，我們稱這種法則g確定了一個多值函數(shù).例如，設(shè)變量x與y之間的對應(yīng)法則由方程 x2 y2 25給出，顯然，對每個x 5,5,由方程x2 y2 25可確定出對應(yīng)的y值，當(dāng)x 5 或5時，對應(yīng)y 0 一個值；當(dāng)x ( 5,5)時，對應(yīng)的y有兩個值.所以這個方程確定了一個多 值函數(shù).對于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如，由方程x2 y2 25給出的對應(yīng)法則中，附加“ y 0”的條 件，即以“

11、x2 y2 25且y 0”作為對應(yīng)法則，就可以得到一個單值分支 y g x .25 x2 ; 附加“ y 0”的條件，即以“ x2 y2 25且y 0”作為對應(yīng)法則，就可以得到一個單值分支 y g2(x),25 x2 .在有些實際問題中，函數(shù)的自變量與因變量是通過另外一些變量才建立起它們之間的對應(yīng) 關(guān)系的，如高度為一定值的圓柱體的體積與其底面圓半徑r的關(guān)系，就是通過另外一個變量其底面圓面積S建立起來的對應(yīng)關(guān)系.這就得到復(fù)合函數(shù)的概念.定義2 設(shè)函數(shù)y f u的定義域為D f ,函數(shù)u g x在D上有定義，且g D D f 則由下式確定的函數(shù)y f g x , x D 稱為由函數(shù)y f u與函數(shù)

12、u g x構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，記作y f g x f g x , x D , 它的定義域為D ,變量u稱為中間變量.這里值得注意的是，D不一定是函數(shù)u g x的定義域Dg,但D Dg.D是Dg中 所有使得g x D f的實數(shù)x的全體的集合.例如，y f u u , u g x 1 x2 .顯然， u的定義域為， ，而D f (0,1因此，D= 1,1 ,而此時R(f g) 0,1 .兩個函數(shù)的復(fù)合也可推廣到多個函數(shù)復(fù)合的情形例如，y xu a"ogax a 0且a 1可看成由指數(shù)函數(shù)y au與u Uog ax復(fù)合而成.又形 如y u(x)v(x) av(x)logau(x) u x &g

13、t;0 a 0且a 1的函數(shù)稱為賽指函數(shù)工它可看成由y aw與w v(x)log a u(x)復(fù)合而成.而y5/siax2可看成由例5設(shè)f (x) X x2 一八一一u sin v , v x復(fù)合而成.是通過兩個中間變量w和u復(fù)所以3xxX 111x2-x2xnx1x2x1定義3設(shè)給定函數(shù).如果對于R f中的每一個y值，都有只從關(guān)系式y(tǒng)f x中唯一確定的x值與之對應(yīng),則得到一個定義在R f上的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)，稱為函數(shù)從幾何上看，函數(shù)y量，y表示因變量，因此反函數(shù)f x的反函數(shù)，記為x f 1 y .與其反函數(shù)x f 1 y有同一圖像11x f y常改寫成y f x.但人們習(xí)慣上

14、用x表示自變1.今后，我們稱y f x為y函數(shù)f x的反函數(shù).此時，由于對應(yīng)關(guān)系 f 1未變，只是自變量與因變量交換了記號，因此反1y f x與直接函數(shù)y2例如函數(shù)1 -6 所示.值得注意的是，并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù),域為，但0, 對每一個y 0,有兩個是y的函數(shù)，從而y x2不存在反函數(shù).事實上, 的映射，則f才存在反函數(shù)f 1 .由逆映射存在定理知,的定義域為.y若f是從D f因此x不解令y f w , 合而成的復(fù)合函數(shù)，因為精選資料，歡迎下載例6設(shè)函數(shù)f(x可看成由函數(shù)y f1 y f u1復(fù)合而成.所求的反函數(shù)y f1復(fù)合而成.因為即y u- u0,_ u 11 u11 y所以1

15、(x 1)因此三、函數(shù)的幾種特性1.函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f x在數(shù)集D上有定義，若存在某個常數(shù) L ,使得對任一 x D有 f x L （或 f x L ）, 則稱函數(shù)f x在D上有上量.（或有下丹常數(shù)L稱為f x在D上的一個上界（或下界）； 否則，稱f x在D上無上界（或無下界）若函數(shù)f x在D上既有上界又有下界， 則稱f x在D上有界；否則，稱f x在D上無 界.若f x在其定義域D （f）上有界，則稱f x為有界函數(shù).容易看出，函數(shù) f x在D上有 界的充要條件是：存在常數(shù) M0,使得對任一 x D,都有f x M .例如，函數(shù)y sin x在其定義域，內(nèi)是有界的，因為對任一x , 都有s

16、in x 1,函數(shù)y 1在0,1內(nèi)無上界，但有下界. x從幾何上看，有界函數(shù)的圖像界于直線 y M之間.2 .函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f x在數(shù)集D上有定義，若對 D中的任意兩數(shù)x1,x2 （x1 x2），恒有 f x1f x2 或 f x1 f x2 ,則稱函數(shù)f x在D上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.若上述不等式中的不等號為嚴(yán)格不等號，則稱為嚴(yán)格里謖增加一（或嚴(yán).格里.謖減少）.一的.在定義域上單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)例如，函數(shù) f x x3在其定義域，內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的；函數(shù) f x cosx在（0,城內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的.從幾何上看，若y f x是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則任意一條平行于x軸的直

17、線與它的圖像最多交于一點，因此y f x有反函數(shù).3 .函數(shù)的奇偶性.若對任意設(shè)函數(shù)f x的定義域D f關(guān)于原點對稱(即若 x D f ,則必有 x D ff x fx 或f x f x ,則稱f x是D f上的奇理數(shù)一(或偶理數(shù)).奇函數(shù)的圖像對稱于坐標(biāo)原點，偶函數(shù)的圖像對稱于y軸，如圖111所示.圖1-8例7 討論函數(shù)f x ln x J x2的奇偶性.解函數(shù)f x的定義域，是對稱區(qū)間，因為f x 1nx J x2In 1x 、1 x2In x 1 x2 f x所以，f x是 ，上的奇函數(shù).4 .函數(shù)的周期性D f ,有T稱為T T （如設(shè)函數(shù)f x的定義域為D f ,若存在一個不為零的常

18、數(shù)T ,使得對任意x (x T) D (f),且f(x T) f (x),則稱f x為周期函數(shù),.其中使上式成立的常數(shù) f x的周期，通常，函數(shù)的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正數(shù) 果存在的話).例如，函數(shù)f(x) sin x的周期為2n；f x tan x的周期是 兀.并不是所有函數(shù)都有最小正周期，例如，狄利克雷( Dirichlet )函數(shù)1, x為有理數(shù)，D(x)0, x為無理數(shù).任意正有理數(shù)都是它的周期，但此函數(shù)沒有最小正周期四、函數(shù)應(yīng)用舉例下面通過幾個具體的問題，說明如何建立函數(shù)關(guān)系式例8火車站收取行李費的規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過50千克時，按基本運費計算.如從上海到某地

19、每千克以 0.15元計算基本運費，當(dāng)超過 50千克時，超重部分按每千克 0.25元收費. 試求上海到該地的行李費 y (元)與重量x (千克)之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖像.解 當(dāng) 0 x 50 時，y 0.15x ;當(dāng) x 50 時，y 0.15 50 0.25(x 50).所以函數(shù)關(guān)系式為：0.15 x, 0x 50；y 7.5 0.25(x 50),x 50.這是一個分段函數(shù)，其圖像如圖 1 9所示.圖1-9.km H當(dāng)D位于A與C之間，即0f x當(dāng)D位于C與B之間，即3f x所以f (x)2 2x,0 x 3;10 2x,3 x 8.例9某人每天上午到培訓(xùn)基地A學(xué)習(xí)，下午到超市B工

20、作，晚飯后再到酒店 C服務(wù)，早、晚飯在宿舍吃，中午帶飯在學(xué)習(xí)或工作的地方吃.A, B, C位于一條平直的馬路一側(cè)，且酒店在基地與超市之間，基地與酒店相距3km,酒店與超市相距5km,問該打工者在這條馬路的 A與 B之間何處找一宿舍(設(shè)隨處可找到)，才能使每天往返的路程最短 .解 如圖1-10所示，設(shè)所找宿舍 D距基地A為x (knj),用f (x)表示每天往返的路程函3 kni f km IP C以 H tHt km二圖 1-10x 3時，易知x8 (8x)2 3 x22 2x,x 8時，則x8 (8x)2(x 3)10 2x.這是一個分段函數(shù)，如圖1-11所示，在 0,3上，f x是單調(diào)減少

21、，在 3,8上，f x是單調(diào)增加.從圖像可知，在x 3處，函數(shù)值最小.這說明，打工者在酒店C處找宿舍，每天走的 路程最短.五、基本初等函數(shù)初等數(shù)學(xué)里已詳細(xì)介紹了募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，以上我 們統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).它們是研究各種函數(shù)的基礎(chǔ).為了讀者學(xué)習(xí)的方便，下面我們再對這幾 類函數(shù)作一簡單介紹.1 .募函數(shù)函數(shù)y x 11 （ （1是常數(shù)）稱為募函數(shù).哥函數(shù)y x也的定義域隨的不同而異，但無論W為何值，函數(shù)在0,內(nèi)總是有定義的當(dāng)科。時，y X 11在0,上是單調(diào)增加的了科2,科1 ,科2時哥函數(shù)在第一象限的圖像當(dāng)科0時，y x11在0,上是單調(diào)減少的,科1,科2時哥

22、函數(shù)在第一象限的圖像 .其圖像過點（0,0）及點1,1 ,圖1-12列出.其圖像通過點1,1 ，圖1-13列出了科2 ：圖 1-132 .指數(shù)函數(shù)函數(shù)Xy a （ a是常數(shù)且a 0, a 1）稱為指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y當(dāng)時a 1,ax的定義域是圖像通過點y ax是單調(diào)增加的；當(dāng)01時,0,1 ,且總在X軸上方.ax是單調(diào)減少的，如圖1-14所示.以常數(shù)e 271828182為底的指數(shù)函數(shù)是科技中常用的指數(shù)函數(shù)yX3.對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y ax的反函數(shù)，記作y log ax （a 是常數(shù)且 a 0,a 1）, 稱為對數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)y log ax的定義域為 0,圖像過點1,0 .當(dāng)a 1時,當(dāng)0 a

23、 1時，y log ax單調(diào)減少，如圖1-15所示.科學(xué)技術(shù)中常用以e為底的對數(shù)函數(shù)log ax單調(diào)增加;y In x .y log 10x , I gx .它被稱為自然對數(shù)函數(shù)，簡記作另外以10為底的對數(shù)函數(shù)也是常用的對數(shù)函數(shù)，簡記作y4.三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù)y sin x ,余弦函數(shù)y cosx , rfVWWMWWIWM'VMWWh：正切函數(shù)y tanx ,余切函數(shù)y cotx ,其中自變量xlS祗應(yīng)松簞位來表示.它們的圖形如圖1-16,圖1- 7,圖1- 8和圖1-19所示，分別稱為正弦曲線，余弦曲線， ,一LL 1L“ - -J 1正切曲線和余切曲線.圖 1-17

24、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2n為周期的周期函數(shù)，它們的定義域都為WWWWWWWWIHWVW，值域都為1,1 .正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)由于cosx sin x j ,所以，把正弦曲線y sin x沿x軸向左移動 彳個單位，就獲得余 弦曲線y cosx .正切函數(shù)y tan x snK的定義域為 cosxD f x |x R, x (2n 1),n為整數(shù).余切函數(shù)y cotx cosx的定義域為 sin xD f x| x R, x nn為整數(shù).正切函數(shù)和余切函數(shù)的值域都是， ，且它們都是以兀為周期的函數(shù)，且都是奇函數(shù)另外，常用的三角函數(shù)還有正割函數(shù).y secx ；余割函數(shù)一.y cs

25、cx .它們都是以2n為周期的周期函數(shù)，且secx1cosx1 cscx sin x5.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)yarcsin x（如圖 1-20）;反余弦函數(shù)yarccos x（如圖 1-21）;反正切函數(shù).h ri ri.n.,. L13.yarctan x（如圖 1-22）;反余切函數(shù)yarccot x（如圖 1-23）.它們分別稱為三角函數(shù)y sin x ,y cosx , y tan x 和 y常用的反三角函數(shù)有cotx的反函數(shù).這四個函數(shù)都是多值函數(shù).嚴(yán)格來說，根據(jù)反函數(shù)的概念， 三角函數(shù)y sin x , y cosx , y tanx和y cot x在其定義域內(nèi)不存在反函數(shù)，因為對

26、每一個值域中的數(shù)y ,有多個x與之對應(yīng).但這些函數(shù)在其定義域的每一個單調(diào)增加（或減少）的子區(qū)間上存在反函數(shù).例如,y sin x在閉區(qū)間 工,工 上單調(diào)增加,2 2主值，記作 y arcsin x.通常我們稱 y從而存在反函數(shù)，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)arcsin x的arcsin x為反正弦函數(shù).其定義域為 1,1，值域為.反正弦函數(shù) y arcsin x 在 2 21,1上是單調(diào)增加的，它的圖像如圖1-20中實線部分所示.類似地，可以定義其他三個反三角函數(shù)的主值y arccosx, y arctan x和y arccot x ,它們分別簡稱為反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)和反余切函數(shù)反余弦函數(shù)y a

27、rccos x的定義域為1,1 ，值域為 0,兀，在 1,1上是單調(diào)減少的，其圖像如圖1-21中實線部分所示.反正切函數(shù)y arctan x的定義域為加的，其圖像如圖1-22中實線部分所示 反余切函數(shù)y arccot x的定義域為的，其圖像如圖1-23中實線部分所示.，值域為 1，在 ， 上是單調(diào)增，值域為（0,同，在 ，上是單調(diào)減少六、初等函數(shù)圖 1-23由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和復(fù)合運算得到并且能用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例如，y 3x2 sin4 x , y In x Ji x2 , y arctan2 x3 ,/lg(X_1)sin xx2 1等等都是初等函數(shù).分

28、段函數(shù)是按照定義域的不同子集用不同表達式來表示對應(yīng)關(guān)系的，有些分段函數(shù)也可以不分段而表示出來，分段只是為了更加明確函數(shù)關(guān)系而已.例如，絕對值函數(shù)也可以表示成y x7x-2 ；函數(shù)f (x)，也可表示成 f (x) - 1.這兩個函0, x a2 x a數(shù)也是初等函數(shù).七、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)是工程和物理問題中很有用的一類初等函數(shù).定義如下:雙曲正姓.雙曲余弦雙膽正切一其圖像如圖,e ezchx (xx xthx shx chx ex ex圖 1-24圖 1-25雙曲正弦函數(shù)白定義域為 （ x ）,它是奇函數(shù)，其圖像通過原點 0,0且關(guān)于原點對 稱.在（ x）內(nèi)單調(diào)增加.雙曲

29、余弦函數(shù)白定義域為 （x）,它是偶函數(shù)，其圖像通過點 0,1且關(guān)于y軸對稱,在 ,0內(nèi)單調(diào)減少；在0,內(nèi)單調(diào)增加.雙曲正切函數(shù)白定義域為 （x）,它是奇函數(shù)，其圖像通過原點 0,0且關(guān)于原點對稱.在（ x）內(nèi)是單調(diào)增加的.由雙曲函數(shù)的定義，容易驗證下列基本公式成立sh x y shx chy chxshy ,ch x y chxchy shxshy , sh2x 2shx chx , ch2x ch2x sh2x 1 2sh2x 2ch2x 1 , 22ch x sh x 1 .2.反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙皿困數(shù)，y反雙曲正弦函數(shù)yarshx,反雙曲余弦函數(shù)yarchx,反雙曲正切函

30、數(shù)yarthx.反雙曲正弦函數(shù)y arshx的定義域為 由y shx的圖像，根據(jù)反函數(shù)作圖法，可得 的方法，不難得到y(tǒng) arsh x lnshx , y chx和y th x的反函數(shù)，依次記為,，它是奇函數(shù)，在 ， 內(nèi)單調(diào)增加，y arshx的圖像，如圖1-26所示.利用求反函數(shù)x x2 1 .反雙曲余弦函數(shù) y arch x的定義域為1, ，在1, 利用求反函數(shù)的方法，不難得到y(tǒng) arch x ln x x2 1上單調(diào)增加，如圖 1-27所示,圖 1-26y artanh x的定義域為（1圖 1-27反雙曲正切函數(shù),1）,它在（1,1）內(nèi)是單調(diào)增加的.它是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點（0,0）對稱

31、，如圖1-28所示.容易求得1 xy arth x In 1 xo第二節(jié)數(shù)列的極限、數(shù)列極限的定義定義1如果函數(shù)f的定義域DfN 1,2,3,L ,則函數(shù)f的值域精選資料，歡迎下載f N f n |n N 中的元素按自變量增大的次序依次排列出來，就稱之為一個無窮數(shù)列簡稱數(shù)列,.即f 1 ,f 2 ,L ,f n ,L .通常數(shù)列也寫成 列中的每個數(shù)稱為一項一而 Xn f n稱為:般項.對于一個數(shù)列，我們感興趣的是當(dāng)n無限增大時,我們看下列例子：數(shù)列 1,2,L ,一,L2 3 n 1的項隨n增大時，其值越來越接近1;數(shù)列 2,4,6,L ,2n,L的項隨n增大時，其值越來越大，且無限增大；數(shù)列

32、1,0,1,L ,1(-),Ln的各項值交替地取1與0;X1, X2, L ,Xn,L ,并簡記為Xn ,其中數(shù)Xn的變化趨勢.(12 1)(1(1-2-2) 23)n 1數(shù)列 1, 1,1,L , ,L2 3 n的各項值在數(shù)0的兩邊跳動，且越來越接近0;數(shù)列 2,2,2,L ,2,L各項的值均相同.在中學(xué)教材中，我們已知道極限的描述性定義, 的一般項Xn無限地趨近于某一個常數(shù)a (即Xn(1(1一 2 一 4) 25)即“如果當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列Xna無限地接近于0),那么就說a是數(shù)列Xn的極限”.于是我們用觀察法可以判斷數(shù)列=n(1)n 1n2都有極限，其極限分別為1,0,2.但什

33、么叫做“ Xn無限地接近a”呢？在中學(xué)教材中沒有進行理論上的說明我們知道，兩個數(shù) a與b之間的接近程度可以用這兩個數(shù)之差的絕對值|b a來度量.在數(shù)軸上b a|表示點a與點b之間的距離，|b a越小，則 因為就數(shù)列（1-2-1）來說,Xn 1我們知道，當(dāng)n越來越大時，1越來越小，從而xn越來越接近1.因為只要 nn足夠大，Xn就可以小于任意給定的正數(shù)，如現(xiàn)在給出一個很小的正數(shù)100即可得Xn 1100，n 101,102,L如果給定 1一，則從10001項起，都有下面不等式 10000Xn110000成立.這就是數(shù)列Xn一般地,定義2 數(shù)N ,當(dāng)n對數(shù)列設(shè)XnN時，（n 1,2,L ）,當(dāng) n

34、Xn有以下定義.為一數(shù)列，若存在常數(shù)有不等式時無限接近于1的實質(zhì).a對任意給定的正數(shù)“無論多么?。?，總存在正整即XnU （a,九則稱數(shù)列 XnXn a收斂，a稱為數(shù)列l(wèi)im Xn a或 Xn nXn當(dāng)n-8時的極限d記為若數(shù)列Xn不收斂，則稱該數(shù)列發(fā)散定義中的正整數(shù)N與e有關(guān), 顯然，如果已經(jīng)證明了符合要求的般說來， N將隨e減小而增大，這樣的 N也不是唯一的.N存在，則比這個N大的任何正整數(shù)均符合要求,關(guān)數(shù)列極限的敘述中，如無特殊聲明，N均表示正整數(shù).此外，由鄰域的定義可知,在以后有X n U a, £等價于Xn a£.我們給“數(shù)列Xn的極限為a” 一個幾何解釋：將常數(shù)a

35、及數(shù)列X1,X2,X3,L ,Xn,L在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的e鄰域，即開區(qū)間（a ,a ,如圖1-29所示a-E因兩個不等式圖 1-29|Xn a| e, a e xn a &等價，所以當(dāng)n N時，所有的點Xn都落在開區(qū)間（a ,a 9內(nèi)，而只有有限個點（至多只有N個點）在這區(qū)間以外.為了以后敘述的方便，我們這里介紹幾個符號，符號”表示“對于任意的”、“對于所有的”或“對于每一個“；符號“ "表示存在"；符號“ RBX X ”表示數(shù)集X中的最大數(shù)；符號"min X "表示數(shù)集X中的最小數(shù).數(shù)列極限lim Xn a的定義

36、可表達為: nlim Xn a £ 0,正整數(shù)N ,當(dāng)n N時，有Xn a &法.例1 證明lim -1n 2n0.£ 0(不防設(shè)£ 1),要使去0 最£,只要 2n 1 ,即 n (ln 1) /ln2£ £因此， £ 0,取Nln 1 /ln2£例 2 證明 lim 1cosn- 0.n n 4證 由于工cos” 0 1 cos” n 4 n 4因此,0,取N1，則當(dāng)n £，則當(dāng)n N時，有 0&由極限定義可知limn2n0.I故*。，要彳*o嚀0。，只要TN時，有3 cos竽0.由極

37、限定義可知.i n 兀 c lim 一 cos 0.n n 4用極限的定義來求極限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，將逐步介紹其他求極限的方、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1 (惟一性)若數(shù)列收斂，則其極限惟證 設(shè)數(shù)列Xn收斂，反設(shè)極限不推即 lim xn a , lim xnnn由極限定義，取N1>0,當(dāng) n N1 時，Xn a <92且，即3a2b-<xn<£,即(1-2-6 )N2 0 ,當(dāng) n N2 時，Xn b <ba ,即1KI(1-2-7)取 N max N1 ,N2，則當(dāng) n N 時，(1-3-6)(1-3-7)兩式應(yīng)同時成立，顯然矛盾 .該矛盾證精

38、選資料，歡迎下載明了收斂數(shù)列 xn的極限必惟一.使對一切n 1,2,L，有xn M ,則稱數(shù)列xn1,2,L，有xn M ,則稱數(shù)列 xn有上界；若定義3設(shè)有數(shù)列xn ,若存在正數(shù)M 是有界的，否則稱它是無界的 .對于數(shù)列xn ,若存在常數(shù) M ,使對n存在常數(shù)M ,使對n 1,2,L，有xn M ,則稱數(shù)列 x0有工界顯然，數(shù)列xn有界的充要條件是 xn既有上界又有下界.例3 數(shù)列21 有界；數(shù)列 n2有下界而無上界；數(shù)列 n2有上界而無下界；數(shù)列 n2 1(1)nn 1既無上界又無下界.定理2 （有界性）若數(shù)列Xn收斂，則數(shù)列 Xn有界.證設(shè)1imXn a ,由極限定義，£ 0,

39、且£n從而Xn<1 a.取 M max 1 a , x1 , x2 , ,|xN | ,則有 Xn1 , N 0 ,當(dāng) n N 時，|Xn a| £ 1 ,M ,對一切n 1,2,3,L ,成立，即Xn有定理2的逆命題不成立，例如數(shù)列（1）n有界，但它不收斂定理3 （保號性）若 nim xn a , a 0 （或 a 0 ）,則 N0,當(dāng)n N時，Xn 0 （或界.Xn °）證由極限定義，對e a2n N 時，Xn a 0.類似可證a 0的情形.推論設(shè)有數(shù)列xn , Na 0 （或 a 0 ）.在推論中，我彳門只能推出 a0, N 0,當(dāng) n N 時，Xn0

40、 ,當(dāng) n N 時，Xn 0 （或x0 （或a 0）,而不能由xn 0a 即a xn,故當(dāng)'0），若nimxn a，則必有（或Xn 0）推出其極限（若存在）也大于0（或小于0）.例如Xn1一 .一1一0,但lim Xn lim 0.nn n n卜面我們給出數(shù)列的子列的概念定義4 在數(shù)列Xn中保持原有的次序自左向右任意選取無窮多個項構(gòu)成一個新的數(shù)列, 稱它為Xn的一個子列.在選出的子列中，記第 1項為Xn1 ,第2項為Xn2 ,，第k項為Xnk,，則數(shù)列 Xn的子列可記為 Xnk .k表示Xnk在子列Xnk中是第k項，L表示Xnk在原數(shù)列X。中是第1項.顯然，對每一個k ,有nk k ;

41、對任意正整數(shù)h , k ,如果h k ,則nh nk;若nh nk ,則h k由于在子列Xnk中的下標(biāo)是k而不是1,因此Xnk收斂于a的定義是： £ 0 , K 0, 當(dāng)k K時，有xn a e.這時，記為lim xn a .n kknk定理4 lim xn a的充要條件是：xn的任何子列乂口卜都收斂，且都以a為極限.kk證 先證充分性.由于Xn本身也可看成是它的一個子列，故由條件得證 下面證明必要性.由lim Xn a,£ 0 , N 0 ,當(dāng)n N時，有kXn a < £.今取K N ,則當(dāng)k K時，有nk nK nN N ,于是Xnk a &

42、故有l(wèi)im Xna.k nk定理4用來判別數(shù)列 Xn發(fā)散有時是很方便的.如果在數(shù)列Xn中有一個子列發(fā)散，或者 有兩個子列不收斂于同一極限值，則可斷言Xn是發(fā)散的.o精選資料，歡迎下載例4判別數(shù)列Xn sin萼,n N的收斂性.8解在Xn中選取兩個子列：sin8k, k N8sin 等，；816k 4 sin87t-,kN;即加等16k 4 兀sin8顯然，第一個子列收斂于0,而第二個子列收斂于因此原數(shù)列sin皆發(fā)散.三、收斂準(zhǔn)則定義5 數(shù)列Xn的項若滿足X1 X2 LXn 1 L，則稱數(shù)列Xn為單,調(diào)增加數(shù)列;若滿足X1 X2 立時，則分別稱 收斂準(zhǔn)則Xn 1 L，則稱數(shù)列Xn為單遁I減少數(shù)列

43、.當(dāng)上述不等式中等號都不成是嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列.單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限該準(zhǔn)則的證明涉及較多的基礎(chǔ)理論，在此略去證明n例5證明數(shù)列 1 1 收斂.n證根據(jù)收斂準(zhǔn)則，只需證明n單調(diào)增加且有上界（或單調(diào)減少且有下界）由二項式定理，我們知道Xn(1 3n 1n11 1 (12!C：2 1 'n(1 n2 n1)(1-(1 2!1n 1(n 1)!逐項比較)(1(1 -4n 1Cnn11n2) nC21nnL-1(1n!1(n 1)212 .-)(1 -)L (1Cn1/ n n 1(n 1)1)-(113!)(1Xn與Xn 1的每一項,這說明數(shù)列

44、Xn單調(diào)增加，又12)(1 看)1)L1)Xn(1(11,2,L .12!1213!1221 n!±2n12n3.n1 - 收斂.nn即數(shù)列 11 有界，由收斂準(zhǔn)則可知 nn我們將 11的極限記為e,即n n lim 1 1 e. n第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)概念反映了客觀事物相互依賴的關(guān)系.它是從數(shù)量方面來描述這種關(guān)系，但在某些實際問題中，僅僅知道函數(shù)關(guān)系是不夠的，還必須考慮在自變量按照某種方式變化時，相應(yīng)的函數(shù) 值的變化趨勢，即所謂的函數(shù)極P才能使問題得到解決.正如我們對數(shù)列極限的定義，數(shù)列Xn可看做自變量為正整數(shù) n的函數(shù)：*xn f n , nN,所以，數(shù)列的極限可視為函數(shù)極限的

45、特殊類型.下面介紹函數(shù)極限的一般類型 .、x 時函數(shù)的極限當(dāng)自變量x的絕對值無限增大時，函數(shù)值無限地接近一個常數(shù)的情形與數(shù)列極限類似，所 不同的只是自變量的變化可以是連續(xù)的.定義1設(shè)函數(shù)f X在區(qū)間a,)上有定義，如果存在常數(shù) A,對于任意給定的正數(shù) £(無 論它多么小)，總存在正數(shù)X ,使得當(dāng)x滿足不等式x X時，對應(yīng)的函數(shù)值f x都滿足不等 式f X A e,那么，稱函數(shù)f x當(dāng)x趨于+8時極限存在并以 a為極限，記作pm f (x) A 或 f (x) A (x ).在定義中正數(shù)X的作用與數(shù)列極限定義中的正整數(shù) N類似，說明x足夠大的程度，所不同 的是，這里考慮的是比X大的所有

46、實數(shù)x，而不僅僅是自然數(shù) n,因此，當(dāng)x時，函數(shù)f x以A為極限意味著：A的任何鄰域必含有f在某個區(qū)間 X, 的所有函數(shù)值.定義1的幾何意義如圖1-30所示，作直線y A e和y A e,則總有一個正數(shù) X存在， 使得當(dāng)x X時，函數(shù)y f x圖形位于這兩條直線之間.時函數(shù)的極限的概念,類似于定義1,我們定義x趨于我們簡述如下：設(shè)函數(shù)區(qū)間(,a上有定義，如果存在常數(shù)使得當(dāng)x X時，總有則稱f時極限存在并以f x AA為極限，記作證明limx由于要使xlim f (x)cosx cx 0.cosx 0cosxxf (x) A ( x£> 0,).cosx cx 01只要x

47、3;,即x因此， £0,可取則當(dāng)時,cosxe,limxcosxx證明即有10x0<lim 10x x要使10x故由定義10xe, 只要x lg s.因此可取X|l g e| 1 ,當(dāng) x X 時,定義設(shè)函數(shù)f x論它多么小)那么，常數(shù)由定義定理1limx10x 0當(dāng)x |充分大時有定義，如果存在常數(shù)總存在正數(shù)X ,使得當(dāng)x滿足不等式A就稱為函數(shù)f xf (x) A肘的極.限21、x > X 時,e,記作xim f(x) A 或 f(x)定義2及絕對值性質(zhì)可得下面的定理lim f (x) A的充要條件是lim f (x ) xx對于任意給定的正數(shù) e (不對應(yīng)的函數(shù)值f

48、x都滿足不等).xim f (x) A例3證日iximy 1.證 £ 0 ,要使-1x 1即 x >1 3.£31 X 1，故只需X 1>-,£精選資料，歡迎下載£,故由定義2得lim 21 .x x 1因此,£ 0 ,可取X 1 -,則當(dāng)x >X時，有1ex 1、xxo時函數(shù)的極限對一般函數(shù)而言，除了考察自變量x的絕對值無限增大時，函數(shù)值的變化趨勢問題，還可研究x無限接近xo時，函數(shù)值f x的變化趨勢問題.它與x時函數(shù)的極限類似， 只是x的趨向不同，因此只需對 x無限接近x0時f x的情形作出確切的描述即可.定義3設(shè)函數(shù)f

49、x在點xo的某個去心鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)e (無論它多么小)，總存在正數(shù)使得當(dāng)x滿足不等式0 x xo8時，對應(yīng)的函數(shù)值f x都滿足f(x) A £, 則稱函數(shù)f x當(dāng)xxo時的極限存在并以 A為極限？記作TTnirBi-rvi-B-mm-B-lim f (x) A ,或 f x A ( x xo 時). X xo上述定義稱為x xo時函數(shù)極限的分析定義或 x xo時函數(shù)極限的"£ B”定義.研究f x當(dāng) X Xo的極限時，我們關(guān)心的是X無限趨近xo時f X的變化趨勢，而不關(guān)心f X在X xo處 有無定義、其值的大小如何，因此定義中使用了去

50、心鄰域.這就是說f X在X xo處有無極限與函數(shù)在該點有沒有定義無關(guān) .函數(shù)f x當(dāng)X Xo時的極限為A的幾何解釋如下：任意給定一正數(shù)3作平行于x軸的兩條直線y A e和y A e,介于這兩條直線之間是一橫條區(qū)域.根據(jù)定義，對于給定的 £, 存在著點xo的一個B鄰域(xo 8, xo 8),當(dāng)y f x的圖形上的點的橫坐標(biāo) x在鄰域 (xo 8, xo 8)內(nèi)，但x xo時，這些點的縱坐標(biāo) f(x)滿足不等式f (x) A e,或 A £ f (x) A £.亦即這些點落在上面所作的橫條區(qū)域內(nèi)，如圖 1-31所示.2證函數(shù)f(x) x1在x 1處無定義.x 111

51、 2因此， £ 0,據(jù)上可取6 £,則當(dāng)0 x由定義1得lim x一1 2 .x 1 x 1例 5 證明 lim sin x sin x0.x x00證 因為x00時，由于 sin x x , cosxx2 1e成立,|sin xsin x0|o x2 cos 一x0 .-sin 2x x。x x0因此， e 0,取B e,則當(dāng)0 x x08時，|sin x sin x 01 e成立，由定義3得lim sin x sin x0. X x0在考察函數(shù)f x當(dāng)x x0的極限時，應(yīng)注意 x趨于點x0的方式是任意的，動點 x在x軸 上既可以從x0的左側(cè)趨于x°,也可以從x

52、0的右側(cè)趨于x°,甚至可以跳躍式地時左時右地從左 右兩側(cè)趨于x0.但在有些實際問題中，有時只能或只需考慮x從點x0的一側(cè)(x x0或x x°)趨于x0,這時函數(shù)的極限，即所謂的單側(cè)極限定義4設(shè)函數(shù)y f x在x0的某個右(左)鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù) A,對于任意給 定的正數(shù)£ (無論它多么小)，總存在著正數(shù)使得當(dāng)x滿足不等式0 x x08(0 x0 x 8)時，對應(yīng)的函數(shù)值 f x都滿足不等式f(x) A £則稱A為f x當(dāng)x x0時的右(左)極限，記作lim f (x)x x0lim f (x ) AX x0f (x0)左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.由定義3和定義4可得下面的結(jié)論.定理2 lim f (x) a的充要