第一章集合與函數(shù)概念單元測試卷(巔峰版)解析版-假期利器之暑假初升高數(shù)學(xué)銜接(人教A版必修一)

1、第一章 集合與函數(shù)單元測試卷（巔峰版）一、選擇題 共 12 小題，每小題 5分，共 60分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)。21設(shè) M x x2 1 ，則下列關(guān)系正確的是（ ）A 1 MB 1, 1 MC 1 MD M【答案】 C【解析】由題得 M 1,1 ，A. 元素“ 1和”集合 M 的關(guān)系只能用 ， 連接，不能用 ， 連接，所以該選項(xiàng)錯誤；B. 1, 1 和集合 M 只能用 ， 連接，不能用 ， 連接，所以該選項(xiàng)錯誤；C. 1 M 正確；D. M ，顯然錯誤 .故選： C2（ 2019 唐山一中高一期中）已知集合 A=x|x 22x3 1 ，則 ?BA=（）A 3，+

2、）B（ 3，+）C（，13，+）D（ ， 1）（ 3，+）【答案】 A【解析】因?yàn)锳 x|x2 2x 3 0 x|（x 1）（x 3） 0 （ 1,3） ， B x2x11 （ 1, ），所以 CB A 3, ） ；故選 A.3（ 2019 蒼南縣樹人中學(xué)高一期中）若對任意的實(shí)數(shù)xR ，不等式 x2mx 2m 30 恒成立，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是A 2,6?B6,2C (2,6)D(6,2)【答案】 A【解析】對任意實(shí)數(shù) xR ，不等式 x2 mx 2m30 恒成立，則 m2(4 2m 3)2m2 8m 12 0 ，B ，則 a 的取值范圍是 （解得 2 m 6 ，即實(shí)數(shù) m的取值范圍是 2，

3、6 ，故選 A.A (3, )B 3， )C1 ，)D (1, )【分析】先分別求出集合A ， B ，由 AB ，能求出a 的取值范圍【解答】解： Q 集合 Ax|2x2 5x 330 x| 32x 1 ，集合 B x|2x a 0x|xa ，4（ 5分）已知集合 A x|2x2 5x 30 ，集合 B x|2x a 0 ，若 A2A B ，a3, ，解得 a3 22a 的取值范圍是 3 ， ） 故選： B 點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集、子集、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題5已知函數(shù) y f（x）的定義域?yàn)?6， 1，則函數(shù) g（ x）f 2x

4、 1x2的定義域是（A（ 2）（ 2， 37C， 22【答案】 D【解析】B11，37D， 2)( 2， 027, 2 U 2,022x x2 4x ，則 f x 2 5的解集為（由題可知，對應(yīng)的 x應(yīng)滿足 2x 1 6,1 ，即x20故選： D6已知 f x 是定義域?yàn)?R的偶函數(shù)，當(dāng) x 0 時，A, 7 U 3,B, 3 U 3,C,7U1,D, 5 U 3,【答案】A解析】設(shè) x 0 ，則 x 0 ， 因?yàn)楫?dāng) x, 0時， f(x) x2 4x ， 所以 f ( x) x2 4x ， 因?yàn)?f (x)為偶函數(shù)，所以 f(x) f ( x) x2 4x，因?yàn)?f (x)為偶函數(shù)，所以 f

5、(| x 2|) f(x 2)，則 f(x 2) 3可化為 f (|x 2|) 5，即 |x 2|2 4|x 2| 5，(|x 2| 5)(|x 2| 1) 0，所以 |x 2| 5，解得： x 3或 x 7 ，所以不等式 f(x 2) 5的解集是 x|x3或 x 7即 , 7 U 3,故選： A 7定義域?yàn)?R的偶函數(shù) f x ，當(dāng) x 0 時， f5x25x ,016x2xx，若關(guān)于 x 的方程1x1,x22a的取值范圍為(2f x af xb 0 a,bR 有且僅有 6 個不等的實(shí)數(shù)根，則答案】 C解析】當(dāng) x 0 時， f x5x25x ,0x216x11,x 22x 為偶函數(shù)畫出函數(shù)

6、圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：當(dāng)m5 時：4f(x)m 無解；當(dāng)m5時：4f (x)m有 2個根；當(dāng)15 m4時： f （x） m 有 4 個根；當(dāng)0m 1時： f （x） m有 2 個根；當(dāng)m0時：f (x)m有 1個根；當(dāng)m0時：f (x)m 無解；2f x af x b 0 a,b R 有且僅有 6 個不等的實(shí)數(shù)根f (x) m1和 f (x)51 m15141 m2或45m20 m1124m2 m1 m2 滿足：51 m1149559則滿足：m1 m2aa5412224m241 m20 m154 則滿足：11 m1 m29a1459綜上所述： a25, 9494,1故選： C8（5 分）

7、（2018 秋?會寧縣校級期中）已知 f（ x）則不等式 x+（ x+2）?f（x+2）5的解集是A2，1B（ ， 2CD【思路分析】由題意可得，當(dāng)x+20時， f （ x+2 ） 1，代入所求不等式可求 x，當(dāng) x+20 即 x2時， f（ x+2） 1，代入所求不等式可求 x，從而可得原不等式的解集【答案】解：當(dāng) x+20時，即 x2，f（x+2） 1由 x+（ x+2） ?f（ x+2 ）5可得 x+x+25 x即 2x當(dāng) x+20即 x 2時， f（ x+2） 1由 x+（ x+2）?f（x+2）5可得 x（ x+2）5 即 25 x 1B1a3CDa3思路分析】可根據(jù)對任意實(shí)數(shù)x1x

8、2 ，都有成立，得出f（ x）在 R 上單調(diào)遞增，從而得出，解出 a 的范圍即可答案】解：對任意實(shí)數(shù) x1x2，都有成立； f （x）在 R 上是增函數(shù)；解得 故選： C【點(diǎn)睛】考查增函數(shù)的定義，以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)的單調(diào)性10 德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中 R為實(shí)數(shù)集， Q 為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)x 有如下四個命題： f f x 0 ；函數(shù) f x 是偶函數(shù)；任取一個不為零的有理數(shù)T, f xT f x 對任意的xR恒成立；存在三個點(diǎn) A x1, f x1、 B x2 ,fx2 、C x3 , f x3，使得ABC 為等邊三角形其

9、中真命題的個數(shù)是（）A1B2C3D4【答案】 C【解析】對于，當(dāng) x 為有理數(shù)時，fx1 ， f f x f1 1 ，故是假命題 .對于，若 x Q，則 x Q；若 x eUQ，則 x eUQ ，所以，無論 x是有理數(shù)或者無理數(shù)，都有f x f x ，也即函數(shù) f x 為偶函數(shù)，故是真命題 .對于，當(dāng) x為有理數(shù)時， x T為有理數(shù)，滿足 f x T f x 1；當(dāng) x為無理數(shù)時， x T 為無理數(shù)，滿足 f x T f x 0 ，故是真命題對于，3,0 ,B 0,1 ,C33,03，使三角形 ABC 為等邊三角形，故是真命題綜上所述，真命題的個數(shù)是 3 個.故選： C11（ 2014 北京）

10、 加工爆米花時， 爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為 “可食用率 ”在特定條件下， 可食用率 p 與加工時間 t （單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p at2 bt c（a、 b 、 c是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的20.2(t 3.75) 2 0.8125 ，當(dāng)12（2017 天津）已知函數(shù) f（x）x2,xx數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（ ）A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00 分鐘D4.25分鐘答案】B解析】由題意可知pat2btc 過點(diǎn)（ 3， 0.7），（ 4，0.8）（5，0.5），代入pat2 btc中可解得a0.2,b1.5,c 2 ，p 0.2t2 1.5t

11、2t 3.75 分鐘時，可食用率最大3,x 1,x設(shè)a R，若關(guān)于 x的不等式 f（x）|x a|在 R上恒成立，1.2則 a 的取值范圍是（A 1467,2B47,16 1639C 2 3,2D 2 3,136916答案】解析】解法一 根據(jù)題意，作出f （x） 的大致圖象，如圖所示yy=f(x)當(dāng) x 1 時，若要f(x)|2xa| 恒成立， 結(jié)合圖象， 只需 x2 x12()2 4(3 a)0 ，2f (x)| x a |恒成立，結(jié)合圖象，只需 x 2 x a ，即 x 2 2x 2 2 x故對 于 方程 x2x2 3 a0，3 (a） ，即2解 得 a4716x2 a ，又x 1時 ，當(dāng)

12、2x2x2 3 ax2 ，當(dāng)且僅當(dāng) x20，若要2，x即x 2時等號成立，所以 a 2，綜上， a的取值范圍是 47,2 選 A 16解法11由題意 f （x） 的最小值為 11 ，此時 x412 不等式 f(x)|2xa| 在 R 上恒成立等價于|2xa| 11在 R 上恒成立4當(dāng)a2 3 時，令 x1，| x 2 3| |8 3 1| 11 ，不符合，排除2 2 4 8C、D；391 x 39時，令 x ， |162 2 16、填空題 共 4 小題，每小題當(dāng)a，|43 11| | | ，不符合，排除 B選 A 16 85 分，共 20 分。13設(shè) fx 是 R 上的偶函數(shù)， f 10，且在

13、 0,上是增函數(shù)，則 xf x 0 的解集是 【答案】-1，0 1，【解析】由于 f x是 R 上的偶函數(shù)， f 10，且在 0, 上是增函數(shù)，故 f 1 0，且在,0上單調(diào)遞減 .畫出 fx 的大致圖像如下圖所示，由圖可知， 使 xf x 0 ，也即自變量與對應(yīng)的函數(shù)值同號的x 的取值范圍是-1，0 1， .故答案為：-1，0 1，14某新能源汽車公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2018 年（記為第 1 年）全年投入研發(fā)資金 5300 萬元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長8% ，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過 7000萬元的年份是 年（參考數(shù)據(jù)： lg1

14、.08 0.03， lg5.3 0.72 ，lg7 0.85）【答案】 2023【解析】n1設(shè)從第 n 年開始超過 7000 萬元，則 5300 1 8% n 1 7000，即 n 1 lg1.08 lg7 lg5.3，lg7 lg5.3 0.85 0.72n 14.3，lg 1.08 0.03取 n 1 5 ，又 2018 5 2023 ，所以開始超過 7000萬元的年份是 2023 年15( 2014福建)要制作一個容器為 4m3，高為 1m的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米 20 元，側(cè)面造價是每平方米 10 元，則該容器的最低總造價是 (單位：元)【答案】 160解析】

15、設(shè)該容器的總造價為y 元，長方體的底面矩形的長 x m ，因?yàn)闊o蓋長方體的容積為4m3 ，高為 1m ，所以長方體的底面矩形的寬為24y 20 4 10(2x )x4m ，依題意，得x4480 20(x ) 80 20 2 x 160xx16以 A 表示值域?yàn)?R的函數(shù)組成的集合， B 表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)( x)組成的集合：對于函數(shù) (x)，存在一個正數(shù) M ，使得函數(shù) ( x)的值域包含于區(qū)間 M,M 例如，當(dāng) 1(x) x3，2(x) sinx 時， 1(x) A， 2(x) B 現(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù) f ( x)的定義域?yàn)?D，則“ f (x) A ”的充要條件是“ b R， a D

16、， f(a) b”；函數(shù) f(x) B的充要條件是 f (x)有最大值和最小值；若函數(shù) f(x)， g( x)的定義域相同，且 f(x) A， g(x) B，則 f (x) g(x) B；x若函數(shù) f(x) aln(x 2)2x (x 2，a R )有最大值，則 f (x) Bx2 1其中的真命題有 (寫出所有真命題的序號)【答案】【解析】對于，根據(jù)題中定義， f(x) A 函數(shù) y f (x)，x D的值域?yàn)?R，由函數(shù)值域的概念知，函數(shù) y f(x)， x D 的值域?yàn)?R b R, a D1 |x|f (a) b ，所以正確；對于，例如函數(shù) f(x) ( )|x|的值域 (0,1包含于區(qū)

17、間 1,1，所以 f (x) B，2但 f (x) 有最大值 l，沒有最小值，所以錯誤；對于，若f(x) g(x) B ，則存在一個正數(shù) M 1 ，使得函數(shù) f (x) g(x) B的值域包含于區(qū)間 M1,M1，所 以 M1 f(x) g(x) M1，由 g(x) B知，存在一個正數(shù) M 2 ，使得函數(shù) g (x)的值域包含于區(qū)間 M2,M2，所以 M2 g(x)M2，亦有M 2 - g(x) M 2 ，兩式相加得 (M1 M2) f(x)M1 M2，于是 f(x) B，與已知. f（x） A ”矛盾，故 f （x） g（x） B ，即正確；對于，如果 a 0，那么 x, f (x)，如果 a

18、 0 ，那么 x2, f （x），所以 f （ x）有最大值，必須 a0，此時 f (x)x112x 在區(qū)間 ( 2, )上，有 1 f(x) 1 ，x2 122所以 f (x)B ，即正確，故填三、解答題共 6 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17已知集合 A2x ax2 3x 2 0,x R,aR.1）若A 是空集，求 a 的取值范圍；2）若A 中只有一個元素，求 a 的值，并求集合A；3）若A 中至多有一個元素，求 a 的取值范圍答案】1） 9,；（2）當(dāng) a 0時，8a 9 時， A84 ；( 3) 039,8,解析】1）若A 是空集，則方程 ax2 3x+

19、2 0 無解此時 a 0, 9 8a1） （2）80 10 （2 x ） 4160 80 10 25x41601600 41605760.5 當(dāng)且僅當(dāng) 2 x ，即 x 2.5 時，等號成立，此時 a 40， ax 100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計為長 100 米，寬 40米21某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時，某地上 原創(chuàng)精品資源獨(dú)家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！ 13班族 S中的成員僅以自駕或公交方式通勤， 分析顯示： 當(dāng) S中x%(0 x 100)的成員自駕時， 自駕群體的30, 0 x 30,人均通勤時間為 f ( x)1800

20、 (單位：分鐘) ，2x 90,30 x 100 x而公交群體的人均通勤時間不受 x影響，恒為 40 分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：(1)當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？(2)求該地上班族 S的人均通勤時間 g(x) 的表達(dá)式；討論 g(x) 的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義解析】 (1)當(dāng) 0 x 30 時， f (x) 30 40 恒成立，公交群體的人均通勤時間不可能少于自駕群體的人1800均通勤時間；當(dāng) 30 x 100時，若 40 f (x) ，即 2x 90 40，解得 x 20 (舍)或 x 45； x當(dāng) 45 x 100 時，公交群體的

21、人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；(2)設(shè)該地上班族總?cè)藬?shù)為 n ，則自駕人數(shù)為 n x% ，乘公交人數(shù)為 n (1 x%) 因此人均通勤時間g(x)30 n x% 40 n (1 x%)x 3040 g(x)x101510 (x 32.5)n1800(2 x90) n x% 40 n (1 x%)x ,300 x 3036.875,30 x 100，整理得：100則當(dāng) x (0,30 U (30,32.5 ，即 x (0,32.5時， g(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x (32.5,100) 時， g(x) 單調(diào)遞增實(shí)際意義：當(dāng)有 32.5%的上班族采用自駕方式時，上班族整體的人均通勤時間最短適

22、當(dāng)?shù)脑黾幼择{比例，可以充分的利用道路交通，實(shí)現(xiàn)整體效率提升；但自駕人數(shù)過多，則容易導(dǎo)致交通 擁堵，使得整體效率下降22(2018北京)設(shè) n為正整數(shù)，集合 A= |(t1,t2,L ,tn),tk 0,1, k 1,2,L , n 對于集合 A中的任意元素(x1,x2,L ,xn)和(y1,y2,L ,yn)，記 M ( , )12(x1y1|x1y1|)(x2y2|x2y2|) L(xnyn|xnyn|) (1)當(dāng)n 3時，若(1,1,0)，(0,1,1)，求 M( , )和 M( , )的值；（2）當(dāng)n 4時，設(shè) B是 A的子集，且滿足：對于 B中的任意元素 , ，當(dāng) , 相同時， M（ , ）是奇不同時， M （ , ） 是偶數(shù)求集合 B中元素個數(shù)的最大值；（3）給定不小于 2的n ，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于 B中的任意兩個不同的元素 , ，M（ , ） 0寫 出一個集合 B ，使其元素個數(shù)最多，并說明理由【解析】（1）因?yàn)?1,1,0) ，(0,1,1) ，所以M ( ,1) (121 |11|) (1 1|1 1|)(0 0) | 00|)2，M ( ,1) (120 |10 |) (1 1|1 1|)(