北京市海淀區(qū)2019-2020學年度第一學期期中考試高三數(shù)學試題(含答案解析)

1、海淀區(qū)高三年級第一學期期中練習數(shù)學2019. 11本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分(選擇題共40分)一.選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。(1) 已知集合l = x|x + l<0B = x|x>«,若AJB=R,則實數(shù)a的值可以為(A) 2(B) 1(C) 0(D) -2(2) 下列函數(shù)中，在區(qū)間(0, + s)上不是單調(diào)函數(shù)的是(A) y = x(B) y = x2(C) y = x + 4x(D) y = |

2、x-l|(3) 已知等差數(shù)列的前n項和為S“，若$3=6,且山工0,則也=S358(A) 1(B) 一(C) 一(D) 333(4) 不等式丄>1成立的一個充分不必要條件是X(A) 0< X V 丄 (B) X > 1(C) 0 < X <1(D) KVO(5)如圖.角以6為始邊，它的始邊與單位圓。相交于點3(B)54(d62- sia(-+a)點P的橫坐標為5,則 2 的值為3(A)54(C) 5 3 I GO |(6)在四邊形ABCD中，AB/CD,設蟲C=入力£中JZ)氐RR),若X+p.= 則 二 2 AB(A) |(B) |(C)l(D)2az

3、 已知函數(shù)f (x) =x3+x3-21 x|-k.若存在實數(shù)X©使得f (-Xo)=-f(Xo)成立，則實數(shù)k的 取值范圍是(A) 一1,+8)(B) (一8, -1(0 0,+8)(D) (一8, 0(1, iEA(8) 設集合A是集合N*的子變，對于ieN*.定義®(A)=給出下列三個結論：0/ igA 存在N*的兩個不同子集A,B,使得任意iW N*都満足4>i(AnB)=0且4>i(AUB)=l; 任取N*的兩個不同子集A,B,使得任意iG N*都有(MACB)= 4>i(A).心； 任取N拿的兩個不同子集A，B,使得任意iGN啷有4>i(

4、AUB)=<t>i(A)4-(HB) 其中，所有正確結論的序號是(D)(A)®(B)第二部分(非選擇題共分)二填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9) 已知向量a = (1：2)$ = (3詁誘且a&,則(10) 函數(shù)f(x) = x-J7 6的零點個數(shù)為。(11) 己知數(shù)列qj 的前 n 項和 sn = log2 n，則 5二，a5+a6 + a7+a& =(12) 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，從A,B,C,D四點中任取兩個點作為向量b的始點和終點，則a小的最大值為。(13) 己知數(shù)列W的通頃公式為若存在卩已使得心“對任意的 2都成立，則p的取

5、值范圍為。(14) 已知函數(shù)= V2 sin g(x) = y2 cos 其中0>O, a,b,c是這兩個函數(shù)的交點，且不共線。 當Q = 1時，MBC面積的最小值為；® 若存在是等腰三角形，則Q的最小值為。三、解答題共6小題，共80分。解答應與出文字說明、演算步驟或證明過程。(15) (本小題滿分13分)己知數(shù)列"”為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，S”為其前n項和， a2 = 3 , “3 + 4 = 36(1)求數(shù)列an)的通項公式；若S力V 121 ,求n的最大值+2(16) (本小題滿分13分)己知函製/(x)= 2siiixcos x +4)求函數(shù)/()的最小止周

6、期;若/(x)+加蘭0對XV恒成立,求實數(shù)m的取值范國(17) (本小題滿分13分)己知函數(shù)/(x)= -X3 + x2 + Z>x + c,曲線y= /(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y=x+l(1) 求b, c的值；(2) 若函數(shù)/&)存在極大值，求a的取值范圍(18) (本小題滿分13分)在2XABC 中，8 = 7, b=5, c=&求sinA的值jp若點P為射線AB上的一個動點(與點A不重合)，設=k 求k的取值范；jp 直接寫出一個k的值，滿足:存在兩個不同位置的點P,使得=kPC(19) (本小題滿分14分)己知函數(shù)/(x)=J e(i)判斷函數(shù)/(

7、x)在區(qū)間(0, 1)上的單調(diào)性，并說明理由;求證(20) (本小題滿分14分)已知集合M £ N* ,且M中的元素個數(shù)n大于等于5.若集合M中存在四個不同的元素a,b, c, d,使得a+b=c+d,則稱集合M是“關聯(lián)的"，并稱集合a, b, c, d是集合M的“關 聯(lián)子集”;若集合M不存在"關聯(lián)子集"，則稱集合M是"獨立的”，分別判斷集合(2, 4, 6, 8, 10和2, 3, 5, 8是"關聯(lián)的"還是"獨立的"?若是“關聯(lián)的"，寫出其所有的"關聯(lián)子集”；(II)已知集合

8、9;衛(wèi)2衛(wèi)3衛(wèi)4，。5是"關聯(lián)的"，且任取集合，總存在M的"關聯(lián)子集"A，使得A .若 d <。2 <。3<5，求證:5,02,6,04,05 是等差數(shù)列(III諾集合M是“獨立的"，求證;存在xeM,使得x>/? + 94海淀區(qū)高三年級第一學期期中練習參考答案數(shù)學2019.11閱卷須知：1. 評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應得的累加分數(shù)。2. 其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分。題號12345678答案DDCABBAA一、選擇題：本大題共8小莎 每小題5分，共40分.題號91011121314答案61

9、0； 13ln3 、-3/2z；-2二、填空題:本大題共6小題，母小題5分"共30分.說明:第11. 14題第一空3分.第二空2分三、解答題：本大題共6小題，共80分.13解：(I )在等比數(shù)列陽中，設陽公比為g因為 a2 = 3 f+ 幺4 = 36,所以® 2“二d/+4疋=36.所以 3q + 3q2 =36 .即 q2 +q-12 = 0. 貝 9 g = 3 或 q = 4.2分4分囚為g >0,所以q>0,所以g=3.因為 a2 = axq = 3y5分所以=1.所以數(shù)列的通項公式6=勺曠-】=3門.分AMfl* 8分(II)在等比數(shù)列你中,因為-(

10、E),10分所以呂冷&7-11分因為5 <12bn所以 5n=|(3,-l)<121.2所以3" <243.所以7? <5.12分所以n<4.即rz的最大值為4.13分16-解：(I )因為 /(x) = 2 sin x cos(x + y) + =2sinx(cosxcossiiixsiii) + -332=2sinx(cosx-siiix) + 2 2 2= sinxcosxsiii2x+2=丄 sin2r + cos2x2 2兀= sin(2x+).3一7分2兀所以/(x)的最小正周期為T = = n.-2iT(II)“/(x)+必0對xe

11、0,-恒成立”等價于“/(刃込+必0”.9分10分7T因為xe0?-,皿Mr 71r71r2x + -epy.11分當2x + -=-> HPx = Bl, 32127T/(X)的最大值為/() = 1.所以 l + 7?Z<0,所以實數(shù)加的取值范圍為（yO廠113分-2分17.解：(I) fx)=ax2 +2x+d ,因為/（x）在點（0,/（0）處的切線方程為y = x+l,所以丿廣(0)彳 /(0)二 1.4分b = 1.解得彳6分C = 1 (II ) /(兀)=丄+X2 +X+1 當。二0叭/ （r） = ?+x+l不療在極大值，不符合題意. -7分 當a>0時，f

12、x） = a2xil.令 ax2 + 2x + l = 0.（i）當A二4-4a<0,即all時，不符合題意.8分（ii）當A = 4-4cr>0,即0<o< 1時，方程ax2+2x + l = 0有兩個不相等的實數(shù)根.設方程兩個根為州，勺，且X,廠（X）, /（X）的變化如表所示：X（V,西）（西,切%血+cO）/'（X）+00十/（X）極大值極小值所以/（XJ為極大值.10分 當a<0時，A = 44a>0恒成立設方程兩個根為x2,且兀<勺X, /(X), /(X)的變化如表所示:X(7/1)X1(西內(nèi))2(X2,-KX>)/W0十0

13、/«、極小值極大值、所以/(七)為極大值.12分綜上，若函數(shù)/存在極大值，°的取值范圍為(YO,0)U(0J)13分1&解 < (I)在ZX/SC 中，a = l 9 b = 5, c = 8,»2 2 2 根據(jù)余眩定理cos A = +：2bc所以COSH 土三丄2x5x82因為 Ae (0,7i),所以 sui4=a/1-cos2 A 2(11)在 ABC中，根據(jù)正弦定理，得上 sin/ sin ZACPk_AP _ sinZJCP _ sinZJCP _ 2朽曲匕 PC sinA 兀 3 sin3囚為點p為射線曲上一動點，所以 zCPe(0,y

14、).所以&的取值范圍為(0,羊.答案不唯一.取值在區(qū)間(1,羊)上均正確.2分3_4分5分6分8分11分12分13分1分19. ( I )函數(shù)/(工)在區(qū)間(0,1) ±是單調(diào)遞増函數(shù).理由如下:1-111X由/(巧=孚，得戶丄.3分ee因為 XU (0,1),所以->l,lnx< 0.X因此-111 x > 0.X又因為ex>0,所以/'(x)>0恒成立.5分所以/(Q在區(qū)間(0.1)匕是單調(diào)遞増函數(shù).(II)由題意可得，XG(0?-K«).6分丄一 lnx因為廠二工, 令g(x) = l lnx,則gG)=_t丄<0.

15、所以g(x)在(0,5上單調(diào)遞減一7分因為 g(l) = 1 > 0,g(e) = -1<0,e所以存在唯一實數(shù)X。，使得g(x°) = 0,其中x0 g (l?e)9分fx)9 /(X)的變化如表所示:X(0,%)兀0/W十0/極大值所以7(0)為函燙/(工)的極大值因為函數(shù)/(工)在(0,+8)有唯一的極大值.所以/W=/(-o) = -因為=111 x0 fxo11分12分111XO1所以<1<1.14分因為x0 G(l.e),所以/w<|.20.解：(I ) 2,4,6,&10是“關聯(lián)的叭關聯(lián)子集有2,4,6,8), 4,6,8,10,

16、2,4,8,101,235闈是“獨立的”4分(II)記集合M的含有四亍元素的集合分別為：4 = 。2，偽衛(wèi)3心 9 4 = 山衛(wèi) 9蟲3 = 。1衛(wèi)2山4衛(wèi)5 9蟲4 = 知。2衛(wèi)3衛(wèi)5 9 冬=:勺皿”。4 所以，M至多有5個“關聯(lián)子集” 若厶二”宀宀為“關聯(lián)子集”則4=4434不是“關聯(lián)子集”，否則a =6；同理可得若 = al7a3,a47a5為“關聯(lián)子集”，則q，4不是“關聯(lián)子集” 所以集合M沒有同時含有元素勺，幺5的“關聯(lián)子集”，與已知矛盾.所以4 = 6，血.6，心一定不是“關聯(lián)子集”.同埋4 = ©嗎44一定不是“關聯(lián)子集” 6分所以集合M的“關聯(lián)子集”至多為厶，A3,

17、 4.若4不是“關聯(lián)子集”，則此時集合M 定不含有元素5 5的“關跌子集裂與己知矛盾;若4不是“關聯(lián)子集”，則此時集合M定不含有元素的“關聯(lián)子集”，與己知矛盾：若4不是“關聯(lián)子集”，則此時集合M 定不含有元素6,的“關聯(lián)子集”，與已知 矛盾.所以4, 4, &都是“關聯(lián)子集”.8分所以有a2+a3 =a3+a49 即a5-a4 =a3-a2:a+a5 =a2+a4t 即色一二勺一®； 4 + 為=口2 + 6，即 5 3 =。2 Q】，所以a5-a4 =a4-a3 = a3-a2 =a2 -a】.所以a17 a2,a3,a4,a5是等差數(shù)列.10分(III) 不妨設集合M =

18、 nn，an(乃>5 ) eN*, z =1, 2,w,且 V 勺< 。卄記丁 = r|r = +j <njj eN*因為集合M是“獨立的”的，所以容易知道T中恰好有侖=叢乎個無素2假設結論錯誤，即不存在XGA/,使得x>n n+9.4所以任瞰”心護因為"，所“呼1所以坷+a嚴亡也+亡也亠亡也14422所以任取心，r十3.任取/ez, f>l+2 = 3,所以丁匸3,4,，呂上+ 3,且T中含有侖=宅9個元素.(i)若3eT,則必有6=14 = 2成立.因為淪5,所以一定有on-anA >口2一。1成立所以比一勺_i、24?2-n + 8 小 n2-n2 =b 2 .2寸 KI m