2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程思想

1、2012 屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程思想 專題七：思想方法專題 第一講函數(shù)與方程思想 【思想方法詮釋】 函數(shù)與方程都是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的內(nèi)容。而函數(shù)與方程思想更是 中學(xué)數(shù)學(xué)的一種基本思想，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，在解題 中有著廣泛的應(yīng)用，是歷年來高考考查的重點。 1函數(shù)的思想 函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點， 分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系， 建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化 問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用 于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、 分析和解決問題。 經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值

2、、圖象 變換等。 2方程的思想 方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方 程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去 分析、 轉(zhuǎn)化問題， 使問題獲得解決。 方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì) 認識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題， 方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系。 3函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題 來龍去脈解決；方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程 f(x)=O,就是求函數(shù) y=f(x)的零點，解不等式 f(x)0(或 f(x)4.函數(shù)與方 程思想解決的相關(guān)問題 (

3、1) 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面： 借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程 以及討論參數(shù)的取值范圍等問題； 在問題研究中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)；把研究的問題 化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。 (2) 方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面： 解方程或解不等式； 帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識應(yīng)用； 需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系； 構(gòu)造方程或不等式求解問題。 【核心要點突破】 要點考向 1：運用函數(shù)與方程的思想解決字母或式子的求值或取值范圍 問題

4、例 1 若 a、b 是正數(shù)，且滿足 ab二a+b+3,求 ab 的取值范圍。 思路精析：用 a 表示 bi根據(jù) b0,求 a 的范圍宀把 ab 看作 a 的函數(shù) T求此函數(shù)的值域。 解析：方法一：（看成函數(shù)的值域） 即 a 1 或 av-3.又 a0,二 a 1,故 a-1 0。 當且僅當 a-1=,即 a=3 時取等號. 又 a 3 時,a-1+5 是關(guān)于 a 的單調(diào)增函數(shù)， 二 ab 的取值范圍是 9,+ 乂）. 方法二（看成不等式的解集 ） T a,b 為正數(shù)，二 a+b2 又 ab=a+b+3/. ab2+3. 即 解得 方法三:若設(shè) ab=t，則 a+b二t-3,. a,b 可看成方

5、程的兩個正根. 從而有,即 解得 t 即 ab 9. 注（1）求字母 （或式子 ）的值問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母 （式 子）為元的方程（組）,然后由方程（組）求得. （2） 求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識 中的重要問題。解決這類問題一般有兩條途徑，其一，充分挖掘題設(shè) 條件中的不等關(guān)系， 構(gòu)建以待求字母為元的不等式 （組）求解；其二， 充分應(yīng)用題設(shè)是的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然 后，應(yīng)用函數(shù)知識求值域 . （3） 當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信 號，構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決 . （4）當問題中出現(xiàn)

6、多個變量時 ,往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù) 如最后能把其中一個變量表示成關(guān)于另一個變量的表達式 ,那么就可用 研究函數(shù)的方法將問題解決 . 要點考向 2：運用函數(shù)與方程思想解決方程問題 例 2：已知函數(shù)或與的圖象在內(nèi)至少有一個公共點，試求的取值范圍。 思路精析：化簡的解析式 T令=7分離T求函數(shù)的值域T確定的范圍 解析： 與的圖象在內(nèi)至少有一個公共點，即有解，即令 =， 當且僅當，即 cosx=0 時“二成立。 當 a2時，與所組成的方程組在內(nèi)有解，即與的圖象至少有一個公 共點。 注：（1）本例中把兩函數(shù)圖象至少有一個公共點問題轉(zhuǎn)化為方程有解 問題即把函數(shù)問題用方程的思想去解決 （2）與

7、本例相反的一類問題是已知方程的解的情問題，求參數(shù)的取值 范圍研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜方程解的問題的， 通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求 函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程；進 而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式 （組）或構(gòu)造函數(shù)加以解決 要點考向 3：運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題 例 3：（ 1）已知且那么（） （2）設(shè)不等式對滿足 m -2, 2的一切實數(shù) m 都成立，求 x 的取值范 圍 思路精析：(1)先把它變成等價形式再構(gòu)造輔助函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性 比較 (2)此問題常因為思維定勢，易把它看成關(guān)于 x 的不等式討論，若

8、變 換一個角度，以 m 為變量，使 f(m)二，貝卩問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常 函數(shù))f(m)的值在-2, 2內(nèi)恒負時，參數(shù) x 應(yīng)滿足的條件. 解析： (1)選 B.設(shè)因為均為 R 上的增函數(shù)， 所以是 R 上的增函數(shù).又 由， 即，即卩 x+y0. (2)設(shè) f(m)=，則不等式 2x-1 m 恒成立恒成立.二在時， 即 解得， 故 x 的取值范圍是. 注： 1.在解決值的大小比較問題時，通過構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù) 的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法； 2.在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當 的函數(shù)利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.同時要注意在一個含多個變 量的數(shù)學(xué)

9、問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系， 使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量而待求范圍的量 為參數(shù). 要點考向 3：運用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題 例 4：圖 1 是某種稱為 “凹槽”的機械部件的示意圖，圖 2 是凹槽的橫截 面(陰影部分)示意圖，其中四邊形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圓， 凹槽的橫截面的周長為 4.已知凹槽的強度與橫截面的面積成正比，比 例系數(shù)為 ,設(shè) AB=2x,BC=y. (I) 寫出 y關(guān)于 x 函數(shù)表達式，并指出 x 的取值范圍； (H)求當 x 取何值時，凹槽的強度最大. 解析：(I)易知半圓 CmD 的半徑為 x,故半圓 CmD

10、的弧長為. 所以， 得 - 4 分 依題意知：得 所以，() . - 6 分 (H)依題意，設(shè)凹槽的強度為 T,橫截面的面積為 S,則有 - 8 分 . - 11 分 因為 , 所以，當時，凹槽的強度最大 . 答:當時，凹槽的強度最大 . - 13 分 注：解析幾何、立體幾何及實際應(yīng)用問題中的最優(yōu)化問題，一般是利 用函數(shù)的思想解決，思路是先選擇恰當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù)，然后再 利用有關(guān)知識，求函數(shù)的最值。 【跟蹤模擬訓(xùn)練】 一、選擇題(每小題 6 分，共 36 分) 1已知正數(shù) x,y滿足 xy=x+9y+7,則 xy的最小值為() (A)32(B)43(C)49(D)60 2方程有解，則 m

11、的最大值為() (A)1(B)0(C)-1(D)-2 3個高為 hO,滿缸水量為 V0 的魚缸的 軸截面如圖所示，其底部有一個小洞， 滿缸水從洞中流出,當魚缸口高出水面 的高度為 h 時,魚缸內(nèi)剩余水的體積為 V, 則函數(shù) V=f(h)的大致圖象可能是() 4. 對任意 a -1,1,函數(shù) f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值總大于零，貝 S x 的 取值范圍是 () (A)1(B)x3 (C)1(D)x2 5. 若正實數(shù) a,b 滿足 ab二ba,且 a(A)ab(B)a(C)a=b(D 不能確定 a,b 的大 小 6. 已知圓上任意一點 P(x,y)都使不等式恒成立，則 m 的取值

12、范圍是() 二、填空題(每小題 6 分，共 18 分) 7 .的定義域和值域都是 1, k,則 k= 8. 已知數(shù)列中，若數(shù)列的前 30 項中最大項是，最小項是，則 m=,n= 9設(shè) f(x), g(x)分別是定義在 R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當 x0 且 g(-3)=0 則 不等式 f(x)g(x)三、解答題(10、11 題每題 15 分，12 題 16 分，共 46 分) 10.已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx(a,b 為常數(shù)，且滿足條件:f(x-1)=f(3-x) 且方程f(x)=2x 有相等實根. (1) 求函數(shù) f(x)的解析式； (2) 是否存在實數(shù) m,n(m11.某地區(qū)要在如

13、圖所示的一塊不規(guī)則用地規(guī)劃 建成一個矩形商業(yè)樓區(qū)，余下的作為休閑區(qū)，已知 AB 丄 BC,OA/ BC, 且AB二BC=2OA=4km曲線OC段是以O(shè)為頂點且開口向上的拋物線的 一段，如果矩形的兩邊分別落在 AB BC 上，且一個頂點在曲線 OC 段 上，應(yīng)當如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大？并求出最大 的用地面積. 12設(shè)的極小值為 -8，其導(dǎo)數(shù)的圖象經(jīng)過( -2， 0)，兩點，如圖所示 (1) 求 f(x)的解析式； (2) 若對 x -3, 3,都有恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍. 參考答案 1. 2. 3 . 【解析】 選 A.設(shè)魚缸底面積為 S 則 V=f(h)二Sh0-Sh

14、 故 V=f(h)是一次函 數(shù)且是減函數(shù) . 4.【解析】選 B.由 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a0 得 a(x-2)+x2-4x+40， 令 g(a)=a(x-2)+x2-4x+4， 由不等式 f(x)0 恒成立， 即 g(a)0 在-1,1上恒成立. 5 6 7 8 9. 【解析】令 F(x)=f(x)g(x,由 f(x), g(x)分別是定義在 R 上的奇函數(shù)和 偶函數(shù)，得 F(x)是奇函數(shù). 又當 x0， 二 x 又 F(x)為奇函數(shù)，故 F(x)在: 0, +乂)也是增函數(shù). - F(-3)=f(-3)g(-3) =0=-F(3), -F(x)3,-3)U (0,3), 如

15、圖. 答案：(-3)U( 0, 3) 10. 【解析】(1)丁方程 ax2+bx-2x=0 有相等實根， 二 =(b2)2=0 得 b=2,由 f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對稱軸 方程為 x=1, 得 a=-1 故 f(x)=-x2+2x. 11. 【解析】以點 O 為原點，OA 所在的直線為 x 軸，建立直角坐標系， 設(shè)拋物線的方程為 x2=2py, 由 C(2,4)弋入得:p=, 所以曲線段 0C 的方程為:y=x2(x 0,2). A(-2,0), B(-2,4)設(shè) P(x,x2)(x 0,2), 過 P 作 PQ 丄 AB 于 Q, PN 丄 BC 于 N, 故 PQ=2+

16、x,PN=4-x，2 則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積 S=(2+x)(4-x2)(xE 0,2). S=-x3-2x2+4x+8， 12 【備課資源】 1已知拋物線 y2=4x 上一點 A(x0,y0), F 是其焦點，若 y0 1,2,則 |AF|的范圍是() (A),1 (B),2 (C)1,2 (D)2, 3 【解析】選 B 拋物線準線方程為 x=-1 則|AF|=x0+1, 4.已知命題 p：對 x R, m R,使 4x+2xm+1=0”若命題 p 是假命題， 則實數(shù) m 的取值范圍是 () (A)-2 m2 (C)m 電(D)m 2 【解析】選 C 由已知：命題 p 為真命題, 即方程 4x

17、+2xm+1=0 有解， -m=2x+2-x2 即 mC-2. 6.已知函數(shù) f(x)=ln(2x)和 g(x)=2ln(2x+m-2,m R的圖象在 x=2處的切線 互相平行. (1)求 m 的值； (2)設(shè) F(x)二g(x)-f(x)當 x 1,4時,F(x) 2tl恒 4 成立，求 t 的取值范圍. 所以當 1$當 20. 故 G(x)在: 1,2)是單調(diào)減函數(shù)，在(2,4是單調(diào)增函數(shù). 所以 G(x)min=G(2)=16，G(x)max=G(1)=G(4)=18. 因為當 x 1,4時，F(xiàn)(x) 2tln 恒成立， 所以 F(x)min 2tln4. 即 ln16 2tln4 解得 t 1. 綜上所述，滿足條件的 t 的取值范圍是(-=,1