原子物理學楊福家16章課后習題答案

1、原子物理學楊福家1-6章-課后習題答案原子物理學課后前六章答案（第四版）楊福家著（高等教育出版社）第一章：原子的位形：盧瑟福模型第二章:原子的量子態(tài)：波爾模型第三章:量子力學導論27第四章：原子的精細結(jié)構(gòu)：電子的自旋第五章：多電子原子：泡利原理第六章：X射線第一章習題1、2解1.1速度為v的非相對論的a粒子與一靜止的自由電子相碰撞，試證明:粒子的最大偏離角約為10-4rad.要點分析：碰撞應考慮入射粒子和電子方向改變.并不是像教材中的入射粒子與靶核的碰撞（靶核不動）.注意這里電子要動.證明：設(shè)a粒子的質(zhì)量為Ma,碰撞前速度為V,沿X方向me表入射；碰撞后，速度為V',沿0方向散射。電子

2、質(zhì)量用示，碰撞前靜止在坐標原點o處，碰撞后以速度v沿6方向反沖。a粒子-電子系統(tǒng)在此過程中能量與動量均應守恒，有:LMaV2=-MV,2-my2222(1)MaV = M cos3 + mevcos(p(2)(3)0=MaVfsinOmevsin(pmevMaV作運算：(2)Xsine土Xcos。，得sin(e+e)(4)MaV'=MaVsin(Psin(e+夕)(5)再將(4)、(5)二式與(1)式聯(lián)立，消去V'與v,=MV*+竺廠2:sin-(6+0)mesirr(夕+cp)化簡上式，得(6)A33 若記 M°可將（6 ）式改寫為sin2(6+o) = /sin2

3、 ?+sin2 0視。為6的函數(shù)0 (小)，對(7)式求esin 20 - sin(8 + 0)=/-sin 2<p + sin 2(0 + (p)d(p絲=0令 d(p ，貝!I sin2 ( 0 + 4) -sin2 4)=02cos (8+26) sin 0 =0若 sin 9 =0,貝!| 9 =0 (極小)(2 )若 cos ( 0 +2 4) =0,則(7)的極值，有即(8) 0 =90° -2 4)(9)將（9）式代入（7）式,有/sin2(90° (p)/sin2(p + sm2 0sin，= =Ma 4x1836sin2(e+夕)=sin?°

4、;+"sin26me0-10-4弧度（極大）此題得證。1.2（1）動能為5.00MeV的a粒子被金核以90°散射時,它的瞄準距離（碰撞參數(shù)）為多大？（2）如果金箔厚1.0Um,則入射a粒子束以大于90。散射（稱為背散射）的粒子數(shù)是全部入射粒子的百分之幾？要點分析:第二問是90。180。范圍的積分.關(guān)鍵要知道n,注意推導出n值.n '總分子數(shù)_ molNAfl -= _L(E£Na)= A%V A A A a，其他值從書中參考列表中找.解:Z2=79(1)依7 a 0b 二 cot 22Z,Z2e2a 三一一 47r%E金的原子序數(shù)b=79x1,44cot4

5、50=22.752x10-15(/n)240E25.00答：散射角為90。所對所對應的瞄準距離為22.8fm.（2）解：第二問解的要點是注意將大于90°的散射全部積分出來.（問題不知道nA,但可從密度與原子量關(guān)系找出）從書后物質(zhì)密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197,pAu=1.888X104kg/m3a2dN'=ntN2萬sinOclO依:a4816sindN'27cr27rsn6d3fmz-J16sin4-22sine(10=2sin-cos-2J(-)=2sin-2J(sin-)222r2W*念”萬嘿）c.eo2sincos22pe16xsin42c

6、e2cos一16xsin3M e2 7 2Z=)-2ttx(Jy 4 EA . o zz. e、 4sin (sin)222,一.4夕 lox sin 2注意到:即單位體積2內(nèi)的粒子數(shù)為密度除以摩爾質(zhì)量數(shù)乘以阿伏加德羅常數(shù)。z e2、2 乃 /2Z、2ntW 4XV是常數(shù)其值為L0x10.6x1.88x10-x6.22x10-197=1(1.44x1015)2-x(r21Z2)2=9.648x1O-545.00e乃cosf2.!.36£sin22最后結(jié)果為：dN'/N=9.6X10-5,說明大角度散射幾率十分小。1-31-4練習參考答案（后面為褚圣麟1-31-4作業(yè)）1-3試

7、問4.5MeV的a粒子與金核對心碰撞時的最小距離是多少?若把金核改為7Li核,則結(jié)果如何？要點分析：計算簡單，重點考慮結(jié)果給我們什么啟示，影響靶核大小估計的因素。解：對心碰撞時"180。時,r = (1 + esc 90°) = a2 /離金核最小距離Z = 2X79XL44 = 5056fm4兀砧 4.5離7Li核最小距離4 兀/E4.5結(jié)果說明：靶原子序數(shù)越小，入射粒子能量越大，越容易估算準核的半徑.反之易反。1-4(1)假定金核半徑為7.0fm,試問入射質(zhì)子需要多少能量才能在對頭碰撞時剛好到達金核的表面？若金核改為鋁時質(zhì)子在對頭碰撞時剛好到達鋁核的表面，那么入射質(zhì)子的

8、能量應為多少？設(shè)鋁核的半徑為4.0fmo要點分析:注意對頭碰撞時,應考慮靶核質(zhì)量大小,靶核很重考慮靶核的反沖，用相對運動的質(zhì)心系來解.79AAu=19613AA1=27時，m« M可直接用公式計算;靶核較輕時,m « M不滿足,應解：若入射粒子的質(zhì)量與原子核的質(zhì)量滿足m«M,則入射粒子與原子核之間能達到的最近距離為1 + CSC，2"180。時,即1 x79E = 1.44fmMeV x= 16.25MeV7.0fm即:反沖在散射因子中，應把E理解為質(zhì)心系能EC若金核改為鋁核，m«M則不能滿足，必須考慮靶核的1mMI/2M廠Z,Z9e2m+M=

9、Ej/=2m+Mm+M4?。㎝Z.Ze2m+M.El=2=4.85MeV47rzMA/說明靶核越輕、Z越小，入射粒子達到靶核表面需要能量越小.核半徑估計值越準確.褚圣麟教材作業(yè)題解1.3若盧瑟福散射用的a粒子是放射性物質(zhì)鐳C，放射的,其動能為7.68X106電子伏特。散射物質(zhì)是原子序數(shù)Z=79的金箔，試問散射角9=150°所對應的瞄準距離b多大？aea=Z"解：依=*萬和3E72Z"32x79x(l.6xl0T9)2人，八一、b=7cot=可cot75=3.9664<10(?)嗎24x3.14x8.85x10-12xx1062答：散射角為150°所

10、對所對應的瞄準距離為3.9664X10-15m1.4缽放射的一種a粒子的速度為1.597X107米/秒,正面垂直入射厚度為10-7米,密度為1.932X104公斤/米3的金箔,試求所有散射在0290°的a粒子占全部入射粒子的百分比，己知金的原子量為179o解：此題解的要點是注意將大于90。的散射全部積分出來.依:dnNtdon0產(chǎn) cos一設(shè)散射入大于90。角的粒子數(shù)為dn，,入射的總粒子數(shù)為n,金箔的單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為N。j%ie = 2：.3 0£sin 注意到:夕、ncl(sin)J一新句T.30£sin22最后結(jié)果為：dn/n=3.89X10-7問答:如

11、果知道散射的總粒子數(shù)，如何計算散射入某一角度內(nèi)粒子的數(shù)量？如何求出其散射截面？如何算出散射幾率?散射入某一角內(nèi)的粒子數(shù)dN'=N-""QnAt=niN(16Asin41 ZjZ2e2 2 dQ4% 4E sin4 £2散射幾率（微分散射截面）2s(_L工4"2習題1-5、1-6解%271sin3d3si，補：求積分式解：積分式的積分結(jié)果2的積分結(jié)果% 2/rsin 3cl0sin 224”2寸sin o e2sin cos 220八 cos 44fsin 2.4。sin 結(jié)果:°角散射的質(zhì)子。計數(shù)器圓形輸入孔的面積為L5cm2,離金箔散

12、射區(qū)的距離為10cm,輸入孔對著且垂直于射到它上面的質(zhì)子，試問：散射到計數(shù)器輸入孔的質(zhì)子數(shù)與入射到金箔的質(zhì)子數(shù)之比為多少？（質(zhì)量厚度Pm定義為單位面積的質(zhì)量Pm=Pt,則P=Pm/t其中P為質(zhì)量密度，t為靶厚）。要點分析：沒給直接給nt。設(shè)置的難點是給出了質(zhì)量厚度,計算時需把它轉(zhuǎn)換成原子體密度n和厚度t。需推導其關(guān)系。解：輸入圓孔相對于金箔的立體角為dQ=-v=1.5xIO-AAu=197rIO2m,單位體積內(nèi)的粒。二60。（注意密度為單位體積的質(zhì)量”"子m1pzn=N=-N、數(shù)為依公式VAAAAA”dQUNntN-16.4,sin一=nt- = x6.022x1023xN 16 皿

13、4g 1972(79xl.44xl0-15)2 1.5x10-216= 8.9x101-6一束a粒子垂直射至一重金屬箔上，試求a粒子被金屬箔散射后，散射角大于60。的a粒子與散射角大于90。的粒子數(shù)之比。要點分析：此題無難點，只是簡單積分運算。解：依據(jù)散射公式7a?2萬sin比。ntN16sin"/e、,2d(sin)=N竺飛4今16瓜sin3g2因為0r180(JSin7)sin"2J60同理算出z.。(dsin)2.3®sin可知加雙二3/2_31/2一,補：求積分式2 l/rsmOdOsi，sin sin 習題1-7、8解rd2/rsin3dO寧.46sin

14、2的積分結(jié)果解：積分式的積分結(jié)果e21-7單能的窄a粒子束垂直地射到質(zhì)量厚度為2.0mg/cm2的留箔上，這時以散射角。0>20°散射的相對粒子數(shù)（散射粒子數(shù)與入射數(shù)之比）為4.0X10-3.試計算：散射角。=60。角相對應的微分散射截面源1要點分析：重點考慮質(zhì)量厚度與nt關(guān)系。解:ZTa=73P m= 2. Omg/cm2dN9一至2JL = 2,0x10-2NATa=1810=60°n = £nLN、tAnt - Na A八de cr 1依微分截面公式知該題重點要求出a2/16由公式x6.O22xlO23x xf 2,7S1H= 6.65x 1021 x

15、 x(-4) L- ' =4.3x1 O-318116 ”噌 '1乩2上 = 2.33x10261626.65xlO21xx(44)x(-22.13)=4.3xIO'3所以1-8(1)質(zhì)量為ml的入射粒子被質(zhì)量為m2(m2«ml)的靜止靶核彈性散射,試證明:入射粒子在實驗室坐標系中的最大可能偏轉(zhuǎn)角9由下式?jīng)Q定.a恤sin=-m1(2)假如粒子在原來靜止的氫核上散射，試問：它在實驗室坐標系中最大的散射角為多大？要點分析：同第一題結(jié)果類似。證明：1Tr71Yrf?10(1)mV=mV-+(2)222一0=inyrsin0一sincp(3)作運算：(2)Xsin。土

16、Xcos。，得- sin(，+ e)(4)廣w sin。sin(6 + e)再將再)、(5)(5)二式與(1)式聯(lián)立，消去V,與v,得.222八mVmy = m1Vz'cos9 + /%2ucos°=mV2Sm+V2Sm11sin2(+9)m2sin,(g+0)化簡上式，得sin2(<9+>)=sin20+竺sin29mx見/=-若記犯，可將(6)式改寫為/zsin2(9+e)=/sin2+sin20(6)(7)視。為。的函數(shù)6（6）,對（7）式求0的極值，有sin2 ( 0 +4>)-sin2 4> =0sin26-sin(6+(p)J=/-sin2

17、(p+sin2(6+(p)jd(p2cos(0+24>)sin0=0若sin。=0,則0=0(極小)(8)(2)若cos(。+26)=0,則0=90°-26(9)將式代入式，有sin2(90°-0)=/sin2+sin2()sin 9 = =m9由此可得sine="=1,9=90。若m2=ml則有町此題得證。第一章習題1-9、10題解1-9動能為1.0Mev的窄質(zhì)子束垂直地射到質(zhì)量厚度（Pt）為1.5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的銀，試求散射角大于30°的相對質(zhì)子數(shù)為多少？要點分析：此題靶為一個復合材料靶,關(guān)鍵找出靶的厚度t.然后計

18、算出金原子數(shù)和銀原子數(shù),即可積分計算，從書后表可知:ZAu=79,AAu=197,PAu=l.888X104kg/m3;ZAg=47,AAg=108,pAg=1.05X104kg/m3.解：先求金箔的厚度tPt=(0.7PAu+0.3PAg)t=1.5mg/cm2"5"=與空h>。.91加0.7/7b(+0.3夕收0.7x1.888x1+0.3x1.05x1(這種金箔中所含金原子數(shù)與銀原子數(shù)分別為四N金七AAA“A和再計算質(zhì)子被金原子與銀原子散射到6>30°范圍內(nèi)的相對數(shù)目。被金原子散射的相對數(shù)目為:180sZ7au = J飛叵的嚶=也I 16 sin

19、 2立;Z； 1.44?1 12 . 2d sin 一230°式中,N為入射質(zhì)子總數(shù),dNAif為被金原子散射到0>30°范圍內(nèi)的質(zhì)子數(shù)。同理可得質(zhì)子被銀原子散射的相對數(shù)目為:180°rdN；浮/2疫m閔6PAJ或;Z；L44?JN/16sm"3230。2被散射的相對質(zhì)子總數(shù)為1 1. ,30一 . 180sin- sin-22 J_P.JN芯;Z；(L44xlO-s)2p/<Z；(1.44xl(T5)2將已知數(shù)據(jù)代入：NA=6.02X1023,E=l.OMeV,t=0.916um,ZAu=79,AAu=197,PAu=18.88X103kg

20、/m3,ZAg=47,AAg=108,PAg=10.5X103kg/m3n=1.028X10-5結(jié)果討論：此題是一個公式活用問題.只要稍作變換，很容易解決.我們需要這樣靈活運用能力.1-10由加速器產(chǎn)生的能量為1.2MeV、束流為5.0nA的質(zhì)子束，垂直地射到厚為1.5Um的金箔上，試求5min內(nèi)被金箔散射到下列角間隔內(nèi)的質(zhì)子數(shù)。金的密度(P=l.888X104kg/m3)1 59° 61° ; 0>6 0=60°3e<eo=io°要點分析:解決粒子流強度和入射粒子數(shù)的關(guān)系.注意:第三問，因盧瑟福公式不適用于小角(如0°)散射，故可

21、先計算質(zhì)子被散射到大角度范圍內(nèi)的粒子數(shù)，再用總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)去減，即為所得。解：設(shè)j為單位時間內(nèi)入射的粒子數(shù)，I為粒子流強度，因I=je,j=I/e,時間T=5min內(nèi)單位面積上入射的質(zhì)子的總數(shù)為N個：N = jT =IT 5.0x10-9x5x60e 1.602177x10199.36X1012再由盧瑟福公式，單位時間內(nèi)，被一個靶原子沿9方向,射到dQ立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為：za2dRdN'=N16Asin42單位時間內(nèi)，被所有靶原子沿e方向，射到dQ立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為, a2dQ(1N = N16Asin4 29nAt= ntN 16 . sindn = N -&nAt = jT1

22、6Asin4 2a2dCla2 27rsnOd 3-nt = jTnt-16sin4 16sin4 22式中，n為單位體積的粒子數(shù)，它與密度的關(guān)系為:n = NA A A所以，上式可寫為/4Qpa227rsin0dedn=N-nAt=jT-nt=jT16Asin416sin416sin4222CM”«22sin OdOIosin A A 16. 4。sin 22 6>1.88x104x6.02x1023：x1.5x1O-x9.36x吁x196x1()3=-5.719x109x-(0228)=1.3x109解：2仍然像上式一樣積分，積分區(qū)間為60。-180°,= 5.7

23、19xlO9x3 = 1.7151xlO,0然后用總數(shù)減去所積值。即9>00=60°的值。解：3由于0。的值為無窮大，無法計算,所以將作以變換.仍然像上式一樣積分，積分區(qū)間為10°-180°,然后用總數(shù)減去所積值，即8<。0=10°的值。= 5.719x109x32.16 = 1.84x1011總數(shù)為9.36X1012-7.56X1011=8.6X1012(個第二章習題解答2.1 葩的逸出功為L9eV,試求:(1)葩的光電效應閾頻率及閾值波長;(2)如果要得到能量為1.5eV的光電子，必須使用多少波長的光照射?解:光電效應方程"反(

24、1)由題意知"0即=0= 4.59x10" Hz.9ev一萬一4.136xl(T%-s351.9ev(2)-mv；n = .5ev 2個che1.24nm-Kev.A=652.072/7?c.5ev=/rv一=一一2che1.24?,Kev“4rA=364.7?.5ev+1.5v+1.9ev2.2 對于氫原子、一次電離的氫離子He+和兩次電離的鋰離子Li+,分別計算它們的:(1)第一、第二玻爾軌道半徑及電子在這些軌道上的速度；(2)電子在基態(tài)的結(jié)合能;(3)由基態(tài)帶第一激發(fā)態(tài)所需的激發(fā)能量及由第一激發(fā)態(tài)退激到基態(tài)所放光子的波長。解:(1)由波爾理論及電子的軌道半徑公式n為氫

25、原子第Z一波爾半徑(力C)2(197.3)2mee2jc2e2/47i£o0.51IxlO6xl.44nin%0.053/7/7/氫原子第二波爾半徑=4釬0.2可知:He+(Z=2)y=o。265？22,n=ax=0.1067777?212Li(Z=3)a=o.oi76？22r,=4=0.0705/z/h213電子在波爾軌道上的速率為于是有Hv.=ac=x3x10,次=2.19x10(>m-1137匕=LlxlO“ZS-l-2v,=2ac=4.38x106/h也=2.19x一2Li=3ac=6.57x10''八4a(*匕=3,28x1。6八5-122（2）電子在

26、基態(tài)的結(jié)合能Ek在數(shù)值上等于原子的基態(tài)能量。由波爾理論的能量公式可得Ek=|Ej=-intXacz)2=3.6z2ev2故有Ek=3.6ev=13.6x22=54.4evLi+'：Ek=13.6x32=122.4v（3）以電壓加速電子，使之于原子碰撞，把原子從基態(tài)激發(fā)到較高能態(tài)，用來加速電子的電勢差稱為激發(fā)電勢，從基態(tài)激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)得相應的電勢差稱為第一激發(fā)電勢o=1362(1-9,1匕、=13.6x(l-)=10.2v4He+:S<7=13.6x2 4運動質(zhì)子與一個處于靜止的基態(tài)氫原子作完全非彈性的對心碰撞，欲使鋰原子發(fā)射出光子，質(zhì)子至少應多大的速度運動?解：欲使基態(tài)氫原子發(fā)

27、射光子，至少應使氫原子從基態(tài)激發(fā)到第一激x(1-1)=40.8vLl:V12=13.6x3-x(l-)=91.8v共振線(即賴曼系第一條)的波長：AE12E2-EHec1.24/2777kev4)=121.6nmk10.2ev口+1.24八附ne羽=30440.8”，T4+】.24nm-kev1.4)=35i91.8次2.3欲使電子與處于基態(tài)的鋰離子Li+發(fā)生非彈性散射，試問電子至少具有多大的動能？解：Li-基態(tài)能量為E=_；/n,(acz)2=-122.4ev,從基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)所需能量為片2=13.6xZ2x(l-y)=122.4x-=91.8v2故電子必須具有91.8ev的動能.發(fā)態(tài)，因

28、此有:1、Ek=(1+/)"摟=2AE.2=20.4ev, _ l2x20.4evx3x 10s m/s = 6.26 x 104 m/s(質(zhì)子靜止能量叫/=938L)2.5(1)原子在熱平衡條件下處于不同能量狀態(tài)的數(shù)目是按波爾茲曼分布的，即處于能量為En的激發(fā)態(tài)的原子數(shù)為:N=N紅二與心磔"'gigl式中N|是能量為民狀態(tài)的原子數(shù)，k為玻爾茲曼常量，gn和為相應能量狀態(tài)的統(tǒng)計權(quán)重。試問：原子態(tài)的氫在一個大氣壓、20溫度的條件下，容器必須多大才能有一個原子處在第一激發(fā)態(tài)？已知氫原子處于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的統(tǒng)計權(quán)重分別為gl=2和g2=8o(2)電子與室溫下的氫原子氣體

29、相碰撞，要觀察到Ha線，試問電子的最小動能為多大?略。2.6在波長從95nm到125nm的光帶范圍內(nèi)，氫原子的吸收光譜中包含哪些譜線?解:對于專=95nm，有=二E=!95xlO-M,O973731xl(f=4g'以潑-1V95xlO-9xl.O973731xlO7-l-故=95,”"的波長的光子不足以將氫原子激發(fā)到n=5的激發(fā)態(tài)，但可以將氫原子激發(fā)到n=4的激發(fā)態(tài)ni=4同理有:端小_I125xlO-9xl.O973731xlCr-V125xlOxl.O973731xlO?-lV對應于n=l的輻射光子的波長應比125nm更長，在波段以外n2=2又氫原子的吸收譜對應于賴曼系，

30、在(95si25nm)波段內(nèi)只能觀察到3條即%("7=1,77=2)工。，=3)%("7=1,=4)2.7試問哪種類氫離子的巴耳末系和賴曼系主線的波長差等于133.7nm?解：賴曼系主線：=應2(1-5)=：應2巴耳末主線：班=RZ吟-()=怖RZ，2yJo二主線波長差:A/i=4“-2為=X(108一20)=88、=133.7，5RZ 9電子偶素是由一個正電子和一個電子所組成的一種束縛系統(tǒng)，試求出：（1）基態(tài)時兩電子之間的距離；（2）基態(tài)電子的電離能和由基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的激發(fā)能；（3）由第一激發(fā)態(tài)退激到基態(tài)所放光子的波長。3RZ2T5RZ25RZ2=488_8815x/?

31、x133.7nm-15x109737.31x10-7x133.7.Z=22.8一次電離的氫原子He,從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時所輻射的光子，能量處于基態(tài)的氫原子電離，從而放出電子，試求該電子的速度。解：He*從E2-E1躍遷輻射的光子的能量為hv=E?E=RcZ2（-V-1）=3Rhc2氫原子的電離能為E=Eg-E=O(Rhc)=Rhe電離的電子的能量為Ek=3Rhc-Rhc=2Rhc該電子的速度為_/4xl3.6xl.6xI0-19= 3.09xl06/n/5"0飛K飛9.11x10-77解:電子偶素可看作類氫體系，波爾理論同樣適用，但有關(guān)公式中的電子質(zhì)量必須采用體系的折合質(zhì)量代替，

32、對電子偶素，其折合質(zhì)量為：(1)rnMni卜i=mc+M2=4啊？=24%匕=2%=2x0,053?=0.106?（2）電離能為E,=EX-El=RAhc式中于是耳=1Rxhc=gx1.0973731xxL24x10'eu=6.80”，則電離電勢為匕=L=6.80v第一激發(fā)電勢為A£R/cZ(-T-T)3RheL=%=1一2_=二三”=5.10vee2e(3)共振線波長為he1.24xlO37?/?(?v=243.1加5.10匹2.10-子是一種基本粒子，除靜止質(zhì)量為電子質(zhì)量為電子質(zhì)量的207倍外，其余性質(zhì)與電子都一樣。當它運動速度較慢時，被質(zhì)子俘獲形成“子原子，試計算：（1

33、）P子原子的第一波爾軌道半徑；（2）口子原子的最低能量；（3）R子原子賴曼線系中的最短波長。解：(1) 口子原子可看作類氫體系，應用波爾理論，其軌道半徑為4嗚科f式中207m M N ='207/ne+M207x1836207 + 1836me = 186.0“其第一波爾半徑為186.0”£2ax_O.O53n/?z186.0186.0=2.85x1O'4/?/?(2) 口子原子的能量公式為En=-p(ac)2=-x186.0/?zr(ac)22n2n最低能量=1E)=-x186.0/«f(ac)2=-186.0x13.6v=-2.53x103ev(3)由波

34、長公式T今hehe八口4nin=：=0.49/7/72A£maxEE10-(-2.53x1034)2. 11已知氫和重氫的里德伯常量之比為0.999728,而它們的核質(zhì)量之比為叱/111產(chǎn)0.50020,試計算質(zhì)子質(zhì)量與電子質(zhì)量之比。解:由&=*可知1+-監(jiān)1+"配=一以=0.999728%1+反%,又:0.50020，見1+M邑=0.9997281+"MMh0.499528=1836.5q1,8x10me0.0002722.12當靜止的氫原子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷放出一個光子時，（1）試求這個氫原子所獲得的反沖速率為多大？（2）試估計氫原子的反沖能量與所

35、發(fā)光子的能量之比。解：（1）所發(fā)光子的能量113/?v=E2_Ei=R/?c（r"）=1乂13.6。）=10.2tv光子的動量"=3XCC氫原子的反沖動量等于光子動量的大小，即竺Chv叱癡7% = 3.26%10.2x1.602xl0T91.67x10-27x3x1(/（2）氫原子的反沖能量為Ek=-mH=lxl.67xIO-27x(3.26)2J=8.87x1O-27J22= 5.4x10"Ek_8.87x10-27/7r-10.2x1.602x10-192. 13鈉原子的基態(tài)為3s,試問鈉原子從4P激發(fā)態(tài)向低能級躍遷時，可產(chǎn)生幾條譜線（不考慮精細結(jié)構(gòu)）？解：不

36、考慮能級的精細結(jié)構(gòu)，鈉原子的能級圖如下:根據(jù)輻射的選擇定則&=可知，當鈉原子從4P態(tài)向低能級躍遷時可產(chǎn)生6條光譜。2.14鈉原子光譜的共振線（主線系第一條）的波長等于人=589.3nm,輔線系線限的波長等于%=408.6nm,試求（1）3S、3P對應的光譜項和能量；（2）鈉原子基態(tài)電子的電離能和由基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的激發(fā)能。解：(1)由Na的能級圖可知，3P能級的光譜項和能級分別為:= 2.447x1()6尸%=一%=1.24/?/?/ Kev4086=一3.O3a3S能級的光譜項和能級可通過下式求出:T3-3P=區(qū)/1T3.=r+=2.447x106+!-=4.144x1063”458

37、93x10'E3s=-hcTix=-1.24x103nm-x4.144x106m-l=-5.i4ev(2)Na原子的電離能為Et=ExE3s=0-(5.14ev)=5.14ev故電離電勢為匕=5.14ve第一激發(fā)電勢為v_AE.一片3/,七九_3.0%i，一(5.142)_h，第三章題解3-1電子的能量分別為10eV,100eV,1000eV時，試計算相應的德布羅意波長。解：依計算電子能量和電子波長對應的公式電子的能量：Ek一p=由德布羅意波長公式:PJ2”號九二用加4e1.226Vionm = 0.388 nm1,226 Twotun = 0A226tuniwaz=nm=0.03Si

38、m.V10003-2設(shè)光子和電子的波長均為0.4nm,試問：(1)光子的動量與電子的動量之比是多少？(2)光子的動能與電子的動能之比是多少？解：(1)由入，可知光子的動量等于電子的動量，即p光子:p電產(chǎn)1:1P(2)由光子動能與波長的對應的關(guān)系.1.24入#字=nmnE(KeV)電子動能與波長的關(guān)系則知口 J226、2E電子二（）nm人電子E光子 _ 1.24xl()3x04E電子 一1.226?329.963-3若一個電子的動能等于它的靜止能量，試求：（1）該電子的速度為多大？其相應的德布羅意波長是多少?解./VT （1）依題意，相對論給出的運動物體的動能表達式是:E m c2 E Ek+

39、mc1m（? 2moc2 m 2m02g)所以3 v2一ZZ 4 c2(2)0.866c根據(jù)電子波長的計算公式:= 0.001715nm1.226nm_1.226nm再(eV)V511xlO3eV3-4把熱中子窄束射到晶體上，由布喇格衍射圖樣可以求得熱中子的能量.若晶體的兩相鄰布喇格面間距為0.18nm,-級布喇格掠射角（入射束與布喇格面之間的夾角）為30。，試求這些熱中子的能量.解：根據(jù)布喇格衍射公式nl=dsm02=Jsin，=0.18Xsin30°nm=0.09nm幾_1.226nm一向eV）Ek=（J，226nm）2=136222eV=185.56eVA3-5電子顯微鏡中所用

40、加速電壓一般都很高，電子被加速后的速度很大，因而必須考慮相對論修正.試證明：電子的德布羅意波長與加速電壓的關(guān)系應為:式中V產(chǎn)V(1+0.978X10-，)，稱為相對論修正電壓，其中電子加速電壓V的單位是伏特.分析:考慮德布羅意波長,考慮相對論情況質(zhì)量能量修正,聯(lián)系德布羅意關(guān)系式和相對論能量關(guān)系式,求出相對論下P即可解.證明：根據(jù)相對論質(zhì)量公式將其平方整理乘c2,得其能量動量關(guān)系式zn2l-（-）2c2=m02c2cE2-p2c2+m02c4EEk-mcEk=EE°p=-y/E2-m02c4=：J（&+尸一=：加卜區(qū)+2moe2）1.226.（4+27tle2）,（馬+2網(wǎng)02

41、）區(qū)區(qū)+2?展？）V1.226+1）2mAe1.2261.22681+0.9785x10,花36題意得證.試證明：一個粒子的康普頓波長與其德布羅意波長之比等于/IF式中反和石分別是粒子的靜止能量和運動粒子的總能量.（康普頓波長九斗加嗚如）為粒子靜止質(zhì)量，其意義在第六章中討論）當電子的動能為何值時，它的德布羅意波長等于它的康普頓波長?證明：根據(jù)相對論能量公式理乘C2222)2)mL=外一廠Ek=E-E0將其平方整m2l-(-)2c2=m02c2cE2=pc+m02c4E=Ek+mc1/r-,9741。L八224P=7E_m(:c+60。-)-一帆(c=：5(+2"?“2)p=ylE2-

42、mc4+w0c2)2-/n02c4=Ek(Ek+2/woc2)=1(E-E0)(E+E0)(1)相對論下粒子的德布羅意波長為：_h_he_heP7(E-E0)(E+Eo)E1-El粒子的康普頓波長為m°cm()cE()he.兒.一瓦.段-以)_rr-2heE。NE0/e2-e20)(2)若粒子的德布羅意波長等于它的康頓波長(二月=2,E=應E0E。E=啦E。=x511=722.55KeVE.=E-E。=722.55-511=211.55(KeV)KU則電子的動能為211.55KeV.則電子的動能為211.55KeV注意變換：1.AP轉(zhuǎn)化為A2表示；2. AE轉(zhuǎn)化為秘表示；3-7原子的

43、激發(fā)態(tài)發(fā)射波長為600nm的光譜線，測得波長的精度為芋=1。1試問該原子態(tài)的壽命為多長？人I解：依AEAt>h求AtAtAE>2= 1.6x10-9s600x10-9x1。2AE2hcAX4mAX4x3.14x3xl083-8一個電子被禁閉在線度為10fm的區(qū)域中，這正是原子核線度的數(shù)量級，試計算它的最小動能.解：以刈耳粒子被束縛在線度為r的范圍內(nèi)，即Ax=r那么粒子的動量必定有一個不確定度，它至少為：Mx之事NZAA.=&Px-Px)2氏=0，(夕*)2平均="(")平均，電子的最小平均動能為Ek=2.848x1()8/3-9已知粒子波函數(shù)=限4詈募一

44、號，試求：歸一化常數(shù).N乙UNLjN；(2)粒子的x坐標在。到之間的幾率；(3)粒子的y坐標和Z坐標分別在-T+%和-cT+c.之間的幾率.解：(1)因粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率必定是一,所以歸一化條件是：£>|dv=1一上，尸-2過尸一2昆1一 2目即：J JL M 八二解1e -adx e 2hdy e 2cdz.所以N=T8abe區(qū)域內(nèi)幾率(2)粒子的x坐標在。-2H_2bll_2且為：2adxje2bdye2cdz小4人(/-1)=1(1-1)(3)粒子的ye(b,b),Ze(c,c)區(qū)域內(nèi)的幾率為:9r+x-2姓十-2以廣4-219171)Ne2adxedye入dz=N

45、-8abc(1)-=(_)-j-8j-b”j-cec3-10若一個體系由一個質(zhì)子和一個電子組成，設(shè)它的歸一化空間波函數(shù)為"3,Ji,zux2,九z2),其中足標1,2分別代表質(zhì)子和電子，試寫出：(1)在同一時刻發(fā)現(xiàn)質(zhì)子處于(1,0,0)處，電子處于(0,1,1)處的幾率密度；(2)發(fā)現(xiàn)電子處于(0,0,0),而不管質(zhì)子在何處的幾率密度;發(fā)現(xiàn)兩粒子都處于半徑為1、中心在坐標原點的球內(nèi)的幾率大小3-11對于在阱寬為a的一維無限深阱中運動的粒子，計算在,并證明：當8時，上述任意本征態(tài)中的平均值了及(1有結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果相一致.3-12求氫原子1s態(tài)和2P態(tài)徑向電荷密度的最大位置.第三章習題1

46、3,143-13設(shè)氫原子處在波函數(shù)為公。的基態(tài)，處為第一 九九玻爾半徑，試求勢能U(r)=-!的平均值.呷r3-14證明下列對易關(guān)系：y/=1£,py=ox,Zx=0£,£=訪J區(qū),4=。M,£y=i花第三章習題15解3-15設(shè)質(zhì)量為m的粒子在半壁無限高的一維方阱中運動，此方阱的表達式為：y (x)=8X<000<x<aV)x>a試求：(1)粒子能級表達式；(2)證明在此阱內(nèi)至少存在一個束縛態(tài)的條件是,阱深匕和阱寬a之間滿足關(guān)系式:解：(1)在x<0時,由薛定調(diào)方程可得:2m因為V(x) = 十% W = Ew所以 火(幻=

47、0。二人,V(x)=0,體系滿足的薛定蹲方程為：-浮>整理后得：學+誓%=。令八疝而貝IJ:等+攵初=。drTr4r因為憶(。)=。所以波函數(shù)的正弦函數(shù)：2 "sin的x>a ,(4)整理后得：貝IJ：心)叫薛定得方程為dM (匕E)dx2dx2方2 k'2 憶=0夕3 = 0k = y2m(V0 - E) / ti方程的解為：憶=8產(chǎn)(3)J-半1+匕河3 =七獷32m dx：式中A, B為待定系數(shù),根據(jù)標準化條件卷的連續(xù)性,有將(3),式代人得：kctgak = k, ：1JE 明：令 U ="i v = k'a (7)(5)*2 (a) _

48、 83 (a) “2 (a)-3 (a)(6)則(6)式可改為：=-v同時，U和V還必須滿足下列關(guān)系式：it2+v2=(k2+k,2)(r=2"?%/j2(8)聯(lián)立(7)(8)可得粒子的能級的值.用圖解法求解:在以V為縱軸為橫軸的直角坐標系中(7)(8)兩式分別表示超越曲線和圓,其交點即為解.因A右都不是負數(shù),故和獨不能取負值,因此只能取第一象限.由圖可知(7)(8)兩式至少有一解得條件為:即匕心工32?4-1一束電子進入1.2T的均勻磁場時，試問電子自旋平行于和反平行于磁場的電子的能量差為多大？分析要點：恤=1/2,&=2;4二士叫二土8解：已知：電子自旋磁矩在磁場方向的投

49、影=土機二依磁矩與磁場的作用能量E=juB=jLiBcos0自旋與磁場平行時E=&B=4s5cos0。=坊8自旋與磁場反平行時芻=&,月=/SBcos180°=-/jbB貝ijAE=E2-Ej=2AB=2x1.2x0.5788X10"eV=1.389xlOeV4-2試計算原子處于2%2狀態(tài)的磁矩"及投影"Z的可能值.解：已知：7=3/2,2/仁2盧1/2,1=2依據(jù)磁矩計算公式依據(jù)磁矩投影公式”二一利那卅8嗎知=±£,土（J4-3試證實：原子在6G3/2狀態(tài)的磁矩等于零，并根據(jù)原子矢量模型對這一事實作出解釋.解：因為2

50、3+1=65=5/2J=3/21=4叼=3/2,1/2,T/2,-3/23 13 1g 1 =一十一(一) = -+-7 2 2J2 2 2| +卜(4 + 1)汨+ 1=0gjmj=Q這是一個多電子耦合系統(tǒng),相互作用產(chǎn)生的總效果為零.說明多電子作用有互相抵消的情況.4-4在史特恩-蓋拉赫實驗中，處于基態(tài)的窄的銀原子束通過極不均勻的橫向磁場，并射到屏上，磁極的縱向范圍=10cm,磁極中心到屏的距離0=25cm.如果銀原子的速率為400m/s,線束在屏上的分裂間距為2.0mm,試問磁場強度的梯度值應為多大?銀原子的基態(tài)為2S1/2,質(zhì)量為107.87u.解：原子束在屏上偏離中心的距離可用下式表示

51、:對原子態(tài)2sL=Q5=1/2片1/2故朗德g因子為:g=2對于上屏邊緣的線束取M=-J,對于下屏邊緣的線束取M=J所以也=2的也貯=叫=監(jiān)工(1)“口2Ek&JGnBDdWAZ=2xio-»J=g=2z/O.SVSSxlOeV-T-1Z>=25xlO-2md=10x10-2代入上式得：=1.24xlO2T/m4-5在史特恩-蓋拉赫實驗中（圖19.1）,不均勻橫向磁場梯度為-=5.0T / cm,磁極的縱向范圍tZ=10cm,磁極中心到屏的距離P=30cm,使用的原子束是處于基態(tài)竽的鋼原子，原子的動能解：對于多個電子3 1 g'=”(2S+1=4S=3/2J2-12)-3+】(4 _2)-2+2(nr 54L=3, J=3/2311372 2 2 2依公式rdB dDZo = -m / & z r2B 次 341 ?-mV2 =5OMeV2SB dD法,而3kT=mVQ. 1eV3 2i x x 5 >0 x"25Z210x30 =±0.52092cm50dB dD-m Z £