有限元分析理論基礎(chǔ)

1、有限元分析概念有限元法：把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點(diǎn)處相互連接的單元（子域）所構(gòu)成，其模型給出基本方程的分片（子域）近似解，由于單 元（子域）可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地 適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件有限元模型：它是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。由一些簡(jiǎn)單形狀的 單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。有限元分析：是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷 工況）進(jìn)行模擬。并利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素，即單元，就可以用 有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。線彈性有限元是以理想彈性體為研究對(duì)象的，所考慮的變形建立在 小變形假設(shè)的基礎(chǔ)

2、上。在這類問(wèn)題中，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系， 滿足廣義胡克定律；應(yīng)力與應(yīng)變也是線性關(guān)系，線彈性問(wèn)題可歸結(jié)為求 解線性方程問(wèn)題，所以只需要較少的計(jì)算時(shí)間。如果采用高效的代數(shù)方 程組求解方法，也有助于降低有限元分析的時(shí)間。線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動(dòng)力學(xué)分析兩 方面。非線性問(wèn)題與線彈性問(wèn)題的區(qū)別：1）非線性問(wèn)題的方程是非線性的，一般需要迭代求解；2）非線性問(wèn)題不能采用疊加原理；3）非線性問(wèn)題不總有一致解，有時(shí)甚至沒(méi)有解。有限元求解非線性問(wèn)題可分為以下三類:1）材料非線性問(wèn)題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的，但應(yīng)力與應(yīng)變卻很微小，此時(shí)應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系，這類問(wèn)題屬于材料的非線性問(wèn)題。

3、由于從 理論上還不能提供能普遍接受的本構(gòu)關(guān)系，所以，一般材料的應(yīng)力 與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有時(shí)非線性材料特性可 用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實(shí) 際中較為重要的材料非線性問(wèn)題有：非線性彈性（包括分段線彈性） 彈塑性、粘塑性及蠕變等。2）幾何非線性問(wèn)題幾何非線性問(wèn)題是由于位移之間存在非線性關(guān)系引起的。當(dāng)物體的位移較大時(shí)，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系。研究 這類問(wèn)題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系。它包括大位 移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問(wèn)題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問(wèn)題屬于大位移 小應(yīng)變問(wèn)題，橡膠部件形成過(guò)程為大應(yīng)變問(wèn)題。3）非線性邊界問(wèn)題在加工、密封、撞擊等問(wèn)

4、題中，接觸和摩擦的作用不可忽視， 接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時(shí)遇到的一些接觸問(wèn)題，如齒輪傳動(dòng)、沖壓成型、軋制成型、 橡膠減振器、緊配合裝配等，當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界 相接觸時(shí)通常要考慮非線性邊界條件。實(shí)際的非線性可能同時(shí)出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問(wèn)題。有限元理論基礎(chǔ)有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其 導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同

5、的有限元方法。1.加權(quán)余量法：是指采用使余量的加權(quán)函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。(Weighted residual method WRM )是一種直接從所需 求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問(wèn)題近似解的數(shù)學(xué)方法。加權(quán)余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法。設(shè)問(wèn)題的控制微分方程為：在 V 域內(nèi)L(u) f 0(5.1.1)在 s 邊界上B(u) g 0(5.1.2)式中：L、B 分別為微分方程和邊界條件中的微分算子；f、g為與未知函數(shù)u無(wú)關(guān)的已知函數(shù)域值；u為問(wèn)題待求的未知函數(shù)當(dāng)才力口權(quán)余UK去求近1以游日寸. 宣先在美解城上延女一個(gè)試函W攵 一般兵布如下開(kāi)3式：H

6、<CM = NC(s i 3)r=i式中： C 玲定樂(lè)牧, 也可稱為廣義坐標(biāo)；N取白完價(jià)函數(shù)*的級(jí)1支無(wú)關(guān)的叢國(guó)效o由于A 一般只足傳求國(guó)學(xué)攵I1的近似解.因此將式(5 13)代入式(5 1 1)開(kāi)口式(52)后傳得不至！J滿尺. 若記：I Ri L(B- f在 V域內(nèi) c A3、6 14)0 = B3、- g在S及界上顯然 B 、&反映了試函數(shù)與總實(shí)解之間的偏差, 它們分現(xiàn)缽 做內(nèi)部和邊界余一，若在域.內(nèi) 引 入內(nèi)部權(quán)函數(shù) %，在邊界S上引 入邊界權(quán)函數(shù) WQ 則可於上n個(gè)消除余量的條件，一般可表示為:| WdV + | 叭)&dS = ° C = L2.L

7、,)0 15) v s不同的權(quán)函數(shù)V；和J展反映了不同的消除余蠶的也則U 從上 式可以得到求解存定系數(shù)矩即C的代數(shù)方程組)一經(jīng)解科待定 系數(shù).由式(5. 3)即可得所需求解邊值問(wèn)噩的近似解由于試函數(shù)，的不同.氽里耳和 / 可布如下三種餅況.依此加權(quán)余圣法可分為：1 .內(nèi)部法試函數(shù)滿足邊界條件. 也即 a 修-g-o 此時(shí)消除余量的條件成為: :阿R處- 0(J-L2.L ,«)(5.1.6)r r2 .邊界法試函數(shù)滿尺控制方程. 也即 R3-A 此時(shí)消除余量的條件為：j 嗚&&$ = 0 (/ = L2.L ./)(517)*3 .混合法試函數(shù)不滿又控制方程和邊界條件

8、.此時(shí)用式(51.5)來(lái)消除余量»混合法對(duì)于試函數(shù)的選取最方便， 但在相同精度條件下，工作量最 大。對(duì)內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿足一定條件，這對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu) 分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其工作量較小。無(wú)論采用何種方法，在建立試函數(shù)時(shí)均應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)試函數(shù)應(yīng)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。已被采用過(guò)的試函數(shù)有暮級(jí) 數(shù)、三角級(jí)數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等。(2)試函數(shù)應(yīng)具有直到比消除余量的加權(quán)積分表達(dá)式中最高階導(dǎo)數(shù)低一階的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性。(3)試函數(shù)應(yīng)與問(wèn)題的解析解或問(wèn)題的特解相關(guān)聯(lián)。若計(jì)算問(wèn)題具有 對(duì)稱性，應(yīng)充分利用它。顯然，任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以作

9、為權(quán)函數(shù)。按照對(duì)權(quán)函數(shù)的不同選擇得到不同的加權(quán)余量計(jì)算方法，主要有：配點(diǎn)法、子域法、最 小二乘法、力矩法和伽遼金法。其中伽遼金法的精度最高。下而以內(nèi)涉法為例. 介紹按權(quán)的數(shù)分類時(shí)加權(quán)余呈的五種基本 方法口對(duì)內(nèi)部法來(lái)說(shuō)，消除余量的筑一格式足二 0。= L2,L Ji)L 子域法(Subdonwiii Method)此法甘先將求解城丫劃分成ii個(gè)子域 匕, 在缶個(gè)吁 域內(nèi)令權(quán)函數(shù) 等于 L nr在子城之外;風(fēng)權(quán)畫數(shù)為 卷. 也即：11俏內(nèi)) 代外) 如果在各個(gè)子歧里分別造型試留效，那名它的水番在形式上將 再似于有限元法2.配點(diǎn)法(Collocation Method)子域法是令氽量在一個(gè)子域上的趨

10、和為變。而配點(diǎn)法足依余心在指定的n個(gè)點(diǎn)上等于皆，這些點(diǎn)稱為配點(diǎn)。此法的權(quán)函數(shù)為：%=MPP),to 0 0 0 Oso o o o它的定義為:0、= )= 'S A = X.，。15,. e a , bP、Pj分別代表求/翠城內(nèi)任一點(diǎn)和配點(diǎn)。由于此法只在百己點(diǎn)上保證余置一為等.因此不鏘要作積分計(jì)算.所以是最荷單的加權(quán)余位法3 .最小二乘法(Least Square Method)本法通過(guò)使在整個(gè)求解域上余過(guò)的平方和取極小來(lái)戲文消除余量的條件O沿記余,讓平方和為1(C), 即1(C) = f岑切=I R；RjdU Y則極值條件為：等 = 2,(祟)也” =0由此可見(jiàn)，本法權(quán)函數(shù)為:町=類

11、 。=1.21叱4 .伽遼金法(GzElkm Method)本法是使令-進(jìn)與每一個(gè)基函數(shù)正 交. 也即以基函數(shù)作為權(quán) 的數(shù)町=M ("LZL ,)當(dāng)試函數(shù) 少包含整個(gè)冗拓函數(shù)笫時(shí)，用本法必可求得精確解.5 .矩法（Method of Moment）本法與伽遼金法相似.也足用完備函數(shù)條作杈函數(shù)3 但本法的杈國(guó)數(shù)與伽遼金法又加 區(qū)別，它與試函數(shù)天關(guān)。 消除余-武的條件是從事開(kāi)始的各階交巨為先.因此對(duì)一維問(wèn)題叫=短 （：=L2, L對(duì)二維問(wèn)題 啊? =，“*,/ = L2,L，乃）其余類推這五種基本方法在付定系數(shù)足繆多（稱做離階近似）時(shí).其精 及彼此相近。但對(duì)1K階近似（114文小）情況下

12、，后三種的粉反 要高于前兩種°基本方法舉例為說(shuō)明上述基本板念. 以圖所示尋截面怨梵梁. 受涌涔均布荷 我作用，求懸筠8的豎向位移 品為例，說(shuō)明基本方法的莊用。 圖示梁的控制方程為嶗-”。其邊界條件為d 口 I 口 口 I 3 口 F(x-0)若雙試函數(shù)為：080(/+/4_4/2.1 + 26/312) ()(不難驗(yàn)證其滿足邊界條件，也即 瑪=°。而控制方程的內(nèi)部余量 %為:; = E/c(120.v+24/)-t7因 此本問(wèn)他屬內(nèi)部法。下面分別用 基本方法進(jìn)行求解c子城法解由于試函數(shù)僅一個(gè)待定游牧.因此只鏘取一個(gè)子域（孑于全城）即 可.消除余呈的條件為：I： E左(120

13、、+ 24/) 一= 0由此可解用：一 q 一 SEI】代回（木）式可得7/Av 二一"-42EI配點(diǎn)法解同上所還. 只需選一個(gè)配點(diǎn)來(lái)設(shè)2消賒余皆的條件。芍令: 町。可彳4：0=3-42）_空1 14EI1,575/若令：RiL=0則再：c=型 （*）144 £11R ” £7可見(jiàn)不同的配點(diǎn)結(jié)果是不一樣的°最小二乘法解L號(hào)此時(shí)消除余量的條件為：i：l 20x + 24 j )- g卜El (120x + 24/ )dx = 0可徨”.誓印普 儂遼金法解 此時(shí), 耳=/+ Zx4-14/2x3 + 26f3x2羽除余量的條件為：° NRdx =

14、0由此可得：G警霖二坐咨L1矩法解由于只個(gè)傳定常數(shù),因此消除余管條件只需等次矩即可.此時(shí)顯然與子域法完全相同0本 例各方法的 精度比較本問(wèn)儂的精確解由梁1 立核計(jì)算可得力：、_ / = 0.125" SEI EI由此可得，上述各方法對(duì)本例計(jì)鼻的誤差依次為：-333% ; 1.75% (22.2%) ; 13.9% ： 0.96%; -333%上面22.2 %為式竹村轉(zhuǎn)果2、虛功原理平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式虛功原理包含虛位移原理和虛應(yīng)力原理，是虛位移原理和虛應(yīng)力原理 的總稱。他們都可以認(rèn)為是與某些控制方程相等效的積分“弱”形式。虛 功原理：變形體中任意滿足平衡的力系在任意

15、滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上 作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分的“弱”形式；虛應(yīng)力原理是幾何方程和位移邊界條件的等效積分“弱”形式。虛位移原理的力學(xué)意義：如果力系是平衡的，則它們?cè)谔撐灰坪吞搼?yīng) 變上所作的功的總和為零。反之，如果力系在虛位移(及虛應(yīng)變)上所作 的功的和等于零，則它們一定滿足平衡方程。所以，虛位移原理表述了力 系平衡的必要而充分條件。一般而言，虛位移原理不僅可以適用于線彈性 問(wèn)題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問(wèn)題。虛應(yīng)力原理的力學(xué)意義：如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應(yīng)力和虛邊界約束反力在他們上面所作的功的總和為零。

16、反之，如果上述虛力系在他們上面 所作的功的和為零，則它們一定是滿足協(xié)調(diào)的。所以，虛應(yīng)力原理表述了 位移協(xié)調(diào)的必要而充分條件。虛應(yīng)力原理可以應(yīng)用于線彈性以及非線性彈性等不同的力學(xué)問(wèn)題。但是必須指出，無(wú)論是虛位移原理還是虛應(yīng)力原理，他們所依賴的幾何方程 和平衡方程都是基于小變形理論的，他們不能直接應(yīng)用于基于大變形理論 的力學(xué)問(wèn)題。3、最小總勢(shì)能法應(yīng)變能：作用在物體上的外載荷會(huì)引起物體變形， 變形期間外力所做的功以彈性能的形式儲(chǔ)存在物體中，即為應(yīng)變能。由n個(gè)單元和m個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的物體的總勢(shì)能為總應(yīng)變能和外力所做功的差：nm（e） FUie 1i 1最小勢(shì)能原理：對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，相對(duì)于平衡位置發(fā)生的

17、位移總會(huì)使系統(tǒng)的總勢(shì)能最小，即:nm （e） Fi0, i=1,2,3,nUjU| e 1Ui i 1有限元法的收斂性有限元法是一種數(shù)值分析方法，因此應(yīng)考慮收斂性問(wèn)題。有限元法的收斂性是指：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限 元的解答就越趨近于精確解。有限元的收斂條件 包括如下四個(gè)方面：1）單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)。多項(xiàng)式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選 擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。2）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。每個(gè)單元的應(yīng)變狀態(tài) 總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點(diǎn)位置的常應(yīng)變和由各點(diǎn)位置決定的 變量應(yīng)變。當(dāng)單元的

18、尺寸足夠小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，單元 的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。 為反映單元的應(yīng) 變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。3）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。一般情況下，單元 內(nèi)任一點(diǎn)的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應(yīng)變；剛體位移只改變物體位置，不改 變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移?？臻g一個(gè)物體 包括三個(gè)平動(dòng)位移和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移，共有六個(gè)剛體位移分量。由于一個(gè)單元牽連在另一些單元上，其他單元發(fā)生變形時(shí)必將帶動(dòng) 單元做剛體位移，由此可見(jiàn)，為模擬一個(gè)單元的真實(shí)位移，假定的單元 位移函數(shù)必須包括剛體位

19、移項(xiàng)。4）位移函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。 對(duì)一般單元而言, 協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處有相同的位移， 而且沿單元邊界也有 相同的位移，也就是說(shuō)，要保證不發(fā)生單元的相互脫離開(kāi)裂和相互侵入重疊。要做到這一點(diǎn)，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值 唯一確定。對(duì)一般單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只有 這樣，才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量?？偟恼f(shuō)來(lái)，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。前三條又叫完備性條件，滿足完備條件的單元叫完備單元； 第四條 是協(xié)調(diào)性要求，滿足協(xié)調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元；否則稱為非協(xié)調(diào)單元。

20、 完備性要求是收斂的必要條件，四條全部滿足，構(gòu)成收斂的充分必要條 件。在實(shí)際應(yīng)用中，要使選擇的位移函數(shù)全部滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求 是比較困難的，在某些情況下可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求。需要指出的是，有時(shí)非協(xié)調(diào)單元比與它對(duì)應(yīng)的協(xié)調(diào)單元還要好，其 原因在于近似解的性質(zhì)。假定位移函數(shù)就相當(dāng)于給單元施加了約束條 件，使單元變形服從所加約束，這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實(shí)結(jié)構(gòu)更剛一些。 但是，這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了， 或者形成了（例如板單元在單元之間的繞度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不連續(xù)時(shí)，剛 節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩^接點(diǎn)）對(duì)于非協(xié)調(diào)單元，上述兩種影響有誤差相消的可能， 因此利用非協(xié)調(diào)單元有時(shí)也會(huì)得到很好的結(jié)果。

21、在工程實(shí)踐中，非協(xié)調(diào) 元必須通過(guò)小片試驗(yàn)后”才能使用。應(yīng)力的單元平均或節(jié)點(diǎn)平均處理方法最簡(jiǎn)單的處理應(yīng)力結(jié)果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng) 力的平均值。? 1.取相鄰單元應(yīng)力的平均值這種方法最常用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元中。這種最簡(jiǎn)單而又相當(dāng)實(shí) 用的單元得到的應(yīng)力解在單元內(nèi)是常數(shù)?？梢詫⑵淇醋魇菃卧獌?nèi)應(yīng) 力的平均值，或是單元形心處的應(yīng)力。由于應(yīng)力近似解總是在精確 解上下振蕩，可以取相鄰單元應(yīng)力的平均值作為此兩個(gè)單元合成的 較大四邊形單元形心處的應(yīng)力。如2單元的情況下，取平均應(yīng)力可以采用算術(shù)平均，即平均應(yīng)力=（單元1的應(yīng)力+單元2的應(yīng)力）/2。也可以采用精確一些的面積加權(quán)平均，即平均應(yīng)力=單元1應(yīng)

22、力X單元1的面積+單元2應(yīng)力X單元2面積/ （單元1面積+單元2面積）當(dāng)相鄰兩單元面積相差不大時(shí)，兩者的結(jié)果基本相同。在單元?jiǎng)澐謺r(shí)應(yīng)避免相鄰兩單元的面積相差太多，從而使求解的誤差相近。般而言，3節(jié)點(diǎn)三角形單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)是單元的中心點(diǎn)，此點(diǎn)的應(yīng)力具有1階的精度。? 2.取圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值首先計(jì)算圍繞該節(jié)點(diǎn)（i）周圍的相關(guān)單元在該節(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力值然后以他們的平均值作為該節(jié)點(diǎn)的最后應(yīng)力值其中，1m是圍繞在i節(jié)點(diǎn)周圍的全部單元。取平均值時(shí)也可進(jìn)行面積加權(quán)。有限元法求解問(wèn)題的基本步驟1 .結(jié)構(gòu)離散化對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個(gè)單元，單元間彼此通過(guò)節(jié)點(diǎn)相連；2 .求生各單元的剛度矩陣K

23、K是由單元節(jié)點(diǎn)位移量求單元節(jié)點(diǎn)力向量F的轉(zhuǎn)移矩 陣，其關(guān)系式為：F=K3 .集成總體剛度矩陣K并寫由總體平衡方程：總體剛度矩陣K是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量求整體節(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為F= K ,此即為總體平衡方程。4 .引入支撐條件，求由各節(jié)點(diǎn)的位移節(jié)點(diǎn)的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零，另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。5 .求生各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理， 建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā) 點(diǎn)°(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)

24、域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊?方法的前期準(zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還 需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基 函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表 達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)

25、域進(jìn)行積分， 可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單 元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限 元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件 (狄里克雷邊界條件 卜自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯 西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可

26、求得 各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦詥卧獎(jiǎng)偠染仃嚐o(wú)論在局部坐標(biāo)系中還是在整體坐標(biāo)系中都具有相同 的三個(gè)特性：1)對(duì)稱性由材料力學(xué)中的位移互等定理可知，對(duì)一個(gè)構(gòu)件，作用在點(diǎn)j的力引起點(diǎn)i的繞度等于有同樣大小而作用于點(diǎn)i的力引起的點(diǎn)j的繞度，即kij=kji，表明單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱矩陣。2) 奇異性無(wú)逆陣的矩陣就叫做奇異矩陣，其行列式的值為0,即|k|=0,這一點(diǎn)可以從例題直接得到驗(yàn)證。其物理意義是引入支撐條件之前，單元可 平移。3) 分塊性有前面所講的內(nèi)容可以看出，矩陣k可以用虛線分成四塊，因此 可寫成如下的分塊形式， .(e)(e)(e)f 1k 11 k 121f 2k 21 k 2

27、22式中kmn局部坐標(biāo)系中單元(e)按局部碼標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)m、n之間的剛度子矩陣剛架結(jié)構(gòu)中非節(jié)點(diǎn)載荷的處理的方法在剛架結(jié)構(gòu)以及其他較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)上，他們所受的載荷可以直接作 用在節(jié)點(diǎn)上，又可以不直接作用在節(jié)點(diǎn)上而作用于單元節(jié)點(diǎn)間的其他位 置上。后一種情況下的載荷稱為非節(jié)點(diǎn)載荷。有限元分析時(shí)，總體剛度 方程中所用到的力向量是節(jié)點(diǎn)力向量。因此在進(jìn)行整體分析前應(yīng)當(dāng)進(jìn)行載荷的移植，將作用于單元上的力移植到節(jié)點(diǎn)上。移植時(shí)按靜力等效的原則進(jìn)行。處理非節(jié)點(diǎn)載荷一般可直接在整體坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，其過(guò)程為:1）將各桿單元看成一根兩端固定的梁， 分別求出兩個(gè)固定端的約束 反力。其結(jié)果可直接利用材料力學(xué)的公式求得；2）將各固

28、定端的約束反力變號(hào)，按節(jié)點(diǎn)進(jìn)行集成，獲得各節(jié)點(diǎn)的等 效載荷總體剛度矩陣的集成法使用剛度矩陣獲得的方法獲得總體剛度矩陣。在此將其擴(kuò)展到由整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃嚰煽傮w剛度矩陣。步驟如下：1）對(duì)一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，將總體剛度矩陣K劃分為nxn各子 區(qū)間，然后按節(jié)點(diǎn)總碼的順序進(jìn)行編號(hào)；2）將整體坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯泳仃嚫鶕?jù)其下標(biāo)的兩個(gè)總碼對(duì)號(hào)入座，寫在總體剛度矩陣相應(yīng)的子區(qū)間；3）同一子區(qū)間內(nèi)的子矩陣相加， 成為總體剛度矩陣中的相應(yīng)的子矩 陣?？傮w剛度矩陣的特性1）對(duì)稱性：因?yàn)橛纱颂匦?，在?jì)算機(jī)中只需存儲(chǔ)其上三角部分；2）奇異性：物理意義仍為在無(wú)約束的情況下，整個(gè)結(jié)構(gòu)可做剛體運(yùn)動(dòng)

29、；3）稀疏性：K中有許多零子矩陣，而且在非零子矩陣中還有大量 的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩陣。大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是稀疏矩陣;4）分塊性：平面問(wèn)題離散化時(shí)的規(guī)定1）單元之間只在節(jié)點(diǎn)處相連；2）所有的節(jié)點(diǎn)都為較接點(diǎn)；3）單元之間的力通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞；4）外載荷都要移植到節(jié)點(diǎn)上；5）在節(jié)點(diǎn)位移或某一分量可以不計(jì)之處，就必須在該節(jié)點(diǎn)安置一個(gè) 較支座或相應(yīng)的連桿支座。通過(guò)以上的規(guī)定來(lái)建立平面有限元分析模型。結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用規(guī)律一般來(lái)說(shuō)，作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的載荷系統(tǒng)分為對(duì)稱的、反對(duì)稱的和 一般的三種情況。1.結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷對(duì)稱或反對(duì)稱這種情況下，對(duì)稱面上的邊界條件可按以下規(guī)則確定：A.在不同的對(duì)稱面上

30、，將位移分量區(qū)分為對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量；B.將載荷也按不同的對(duì)稱面分別區(qū)分為對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量；C.對(duì)于同一個(gè)對(duì)稱面，如載荷是對(duì)稱的，則對(duì)稱面上位移的反對(duì)稱 分量為零，如載荷是反對(duì)稱的，則對(duì)稱面上位移的對(duì)稱分量為零。如果所分析的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，但載荷是不對(duì)稱的，也不是反對(duì)稱的，這時(shí)可以將這種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成載荷為對(duì)稱和/或反對(duì)稱情況的組合，仍可以簡(jiǎn)化分析過(guò)程，提高分析的綜合效率。如圖a所示，結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷一般，可將其載荷分解為圖b和圖c的組合。圖b為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，載荷對(duì)x、y軸均為對(duì)稱，圖c為結(jié)構(gòu)對(duì)稱， 載荷對(duì)x軸反對(duì)稱、對(duì)y軸對(duì)稱，此時(shí)可取相同的四分之一進(jìn)行研究， 分別施加對(duì)稱面上節(jié)點(diǎn)的邊界條件，進(jìn)行

31、兩次分析計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果 迭加起來(lái)，即可得到原結(jié)構(gòu)四分之一的解答， 進(jìn)而得出整個(gè)結(jié)構(gòu)的解答。利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性取某一部分建立有限元模型時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生約束 不足現(xiàn)象。例如，若取上例中圖c的四分之一建立有限元時(shí)，根據(jù)上述分析，在兩對(duì)稱面上應(yīng)加水平放置的滾動(dòng)較支座， 因此模型在垂直方向存在剛 體位移。對(duì)這種約束不足問(wèn)題，利用有限元分析時(shí)，必須增加附加約束, 以消除模型的剛體位移。在本例中，垂直方向可以用剛度很小的桿單元 或邊界彈簧單元連接到模型某節(jié)點(diǎn)上，使得既消除了模型的剛體位移， 又不致于因附加的桿單元或邊界彈簧單元?jiǎng)偠忍蠖绊懡Y(jié)構(gòu)原有的變形狀態(tài)。單元形態(tài)的選擇原則單元形態(tài)包括單元形狀、邊中節(jié)點(diǎn)

32、的位置、細(xì)長(zhǎng)比等，在結(jié)構(gòu)離散 化過(guò)程中必須合理選擇。一般來(lái)說(shuō)，為了保證有限元分析的精度，必須 是單元的形態(tài)盡可能的規(guī)則。對(duì)于三角形單元，三條邊長(zhǎng)盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)大的鈍角、大的邊 長(zhǎng)。這是因?yàn)楦鶕?jù)誤差分析，應(yīng)力和位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的 正弦成反比。因而，等邊三角形單元的形態(tài)最好，它與等腰直角三角形 單元的誤差之比為sin45° :sin60° =1:1.23。但是為了適應(yīng)彈性體邊界， 以及單元由小到大逐漸過(guò)渡，不可能是所有的三角形單元都接近等邊三 角形。實(shí)際上，常常使用等腰直角三角形。對(duì)于矩形單元來(lái)說(shuō)，細(xì)長(zhǎng)比不宜過(guò)大。細(xì)長(zhǎng)比是指單元最大尺寸和 最小尺寸之比。最優(yōu)細(xì)長(zhǎng)

33、比在很大程度上取決于不同方向上位移梯度的 差別。梯度較大的方向，單元尺寸要小些，梯度小的方向，單元尺寸可 以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，則細(xì)長(zhǎng)比越接近1,精度越高。有文獻(xiàn)推薦，一般情況下，為了得到較好的位移結(jié)果，細(xì)長(zhǎng)比不 應(yīng)超過(guò)7;為了獲得較好的應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長(zhǎng)比不應(yīng)超過(guò) 3。一般情況下， 正方形單元的形態(tài)最好。對(duì)于一般的四邊形單元應(yīng)避免過(guò)大的邊長(zhǎng)比，過(guò)大的邊長(zhǎng)比會(huì)導(dǎo)致 病態(tài)的方程組。邊界條件的確定確定邊界條件是建立有限元模型的重要一環(huán)，合理確定有限元模型 的邊界條件是成功地進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析的基本要求。一般情況下，建模對(duì)象的邊界條件是明確的。根據(jù)力學(xué)模型的邊界條件可以很容易確定其有限元模型的邊界條件。例如電線桿插入地基的一端為固定端，橋梁一端為固定較支座，另一端為滾動(dòng)較支座。但是，在機(jī)械工程中，建模對(duì)象往往是整個(gè)結(jié)構(gòu)中的一部分，在建立有限元模型，確定其邊界條件時(shí)，必須考慮其余部分的影響。這方面 主要考慮如下兩類問(wèn)題。1 .邊界位置的確定在建立連續(xù)彈性體局部區(qū)域的有限元模型時(shí)，往往取該局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，取其隔離邊界條件為零位移約束，并通過(guò)試探校正確定零位移 邊界條件的位置。例如，進(jìn)行齒輪齒有限元分析時(shí)，取一個(gè)輪齒的局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，如圖