有限元分析基礎

1、第一講第一章 有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1 引言(introduction)有限元(FEM或FEA)是一種獲取近似邊值問題的計算方法。邊值問題(boundary valueproblems,場問題field problem )是一種數學問題(mathematical problems)在所研究的區(qū)域，一 些相關變量滿足微分方程如物理方程、位移協(xié)調方程等且滿足特定的區(qū)域邊界)。邊值問題也 稱為場問題，場是指我們研究的區(qū)域，并代表一種物理模型。場變量是滿足微分方程的相關 變量，邊界條件代表場變量在場邊界上特定的值(物理

2、邊界轉化為數學邊,所分析物 理問題的不同，場變量包括位移、溫度、熱量等。1.2 有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以歸結為：將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個分區(qū)或單元，對每個單元提 出一個近似解，再將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。下面用在自重作用下的等截面直桿來說明有限元法的思路。等截面直桿在自重作用下的材料力學解答圖1.1受自重作用的等截面直桿圖1.2離散后的直桿受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長度為 L,截面積為A,彈性模量為E,單位 長度的重量為q,桿的內力為No試求：桿的位移分布，桿

3、的應變和應力。2/、 xN(x)dxqx、u(x) 0(Lx -)EAEA2等截面直桿在自重作用下的有限元法解答(1)離散化如圖1.2所示，將直桿劃分成n個有限段，有限段之間通過一個較接點連接。稱兩段之 間的連接點為結點，稱每個有限段為單元。第i個單元的長度為Li,包含第i, i+1個結點。(2)用單元節(jié)點位移表示單元內部位移第i個單元中的位移用所包含的結點位移來表示，Xi)ui 1uiu(x) ui-(xLi其中Ui為第i結點的位移，Xi為第i結點的坐標。第i個單元的應變?yōu)閕,應力為內力為Ni :du 5 1i dxLiUiE(U 1 Ui)LNi A iEA(u-Ui)L(5)把外載荷集中

4、到節(jié)點上把第i單元和第i+1單元重量的一半q(LiLi1),集中到第i+1結點上2圖1.3集中單元重量(4)建立結點的力平衡方程對于第i+1結點，由力的平衡方程可得:NiNi 1q(Li Lr)2(6)令i 工，并將(5)代入得:Li 1Ui (1i )Ui 1iUi根據約束條件，U10。對于第n+1個結點,Un 1(1-11).2qLn2EA建立所有結點的力平衡方程，可以得到由n+1個方程構成的方程組，可解出n+1個未知的接點位移。1.2.1 有限元解與解析解的比較 (comparison of finite element and exact solutions)圖1.4用有限單元代表實際

5、的物理區(qū)域過程稱為網格化分過程，所劃分的網格稱為有限元網 格。在通常情況下，單元的幾何形狀是直邊的，因此假如所模擬的物理模型包含曲邊，用有 限元網格包括整個物理模型是不可能，具體如圖1.4所示，圖1.4(a)劃分的網絡比較粗，圖1.4(b)劃分的網絡相對比較精細，具包含更多物理模型區(qū)域假如插入函數滿足特定的數學條件(邊值問題)，隨著單元數目的增加，有限單元解將收 斂于解析解。為了說明這個問題，我們舉一個例子來說明：圖1.5圖1.5(a州述錐形、實圓柱體，一端固定，另一端承受一拉力，假定在施加力的端部的 位移是我們求解的問題。(1)圖1.5(b)所示，假定圓柱體是均一，截面面積為圓柱體的平均面圖

6、1.5(c)所示，為1/2圓柱體面積的平積，因此模型簡化為一維的桿單元模型，其解可以通過材料力學求出。 兩個單元的模型，單元長度為整個圓柱體長度的一半，單元面積為相應 均值。(3)圖1.5(c)所示，為四個單元的模型。圖1.6有限元模型與解析解的比較圖1.6(a)為各種有限元模型與解析解的比較，從圖中我們可以知道，隨著劃分單元數目 的增加，有限元解逐漸向解析解收斂。圖1.6(b)為四單元模型與解析解的位移沿圓柱體長度變化情況，從圖中我們知道，在限元模型中單元內部位移變化是線性的(這是由于插入函數是線性的)，且位移向解析解近似逼近。然而在大多數結構問題，我們關注的是由加載引起應力的變化， 而應力

7、是通過應力-應變 相關關系計算出來的，應變分量由位移分量推導出來的。因此，應力和應變均是派生變量圖1.7有限元模型與真實軸向應力解的比較如圖1.7為有限元為2、4單元模型與真實軸向應力解，從圖中可知，在每個單元內應力 是常數，在單元之間應力非連續(xù)的(discontinuity ),并且隨著單元數的增加，單元之間的應力 變化逐漸減少。這一現象是有限元法特有現象，即場變量是連續(xù)的，而派生的場變量卻未必是連續(xù)的。這個例子表明隨著單元數目的增加，有限元解如何收斂于真實解，但問題是對復雜問題真實解是未知，因此如何評價有限元解是否收斂于準確解？(1)數值收斂；(2)數值解的合理性；(3)是否滿足物理法則如

8、結構是否處地平衡狀態(tài)；(4)在單元邊界上的派生變量的值的非連續(xù)性是否合理。1.2.2有限單元法與有限差分法的比較有限差分法是另一種求解由微分方程控制的問題的數值方法。詳細的介紹將在第八章進 行介紹。在這里，為了與有限單元法比較，僅僅介紹一些基本概念。有限差分法基于函數f(x)的導數的定義：(1.(1)(1.(2)(1.(3)(1.(4)(1.(5)df(x) f(x x) f(x) 丁 lm xx是獨立變量。使用較小，有限步長 x得：df (x) f(x x) f(x) dxxx 00 x 1dx假如有一微分方程：使用差分法式(1.3)表示為:f (xx)f (x) x 0xf (xx) f

9、(x) x( x)由差分原理知，一階差分方程的解包含一積分常數，積分常數由邊界值或初始值確定。在這個例子中，認為x(0) A常數。假如選擇一積分步長x ,為一常數(不要求必須為常數),因此，xi 1 xixi 0, N(1.6)N為整個域上的步數。式(1.6)可改寫成：fi 1fi xi( x) f0 A i 0, N(1.7)，提供函數f(x)求解域上一些離散點的式 1.7 為遞歸關系(RECURRENCE RELATION 近似值。圖1.8有限差分解與解析解的比較(式1.4, A 1)圖1.8,描述了解析解f(x) 1 x2/2和步長為x 0.1有限差分解的關系。有限差分解僅僅以函數估值的

10、離散點形式表示。在限差分方法中在計算點之間變化方式是不知道的。當 然，可以在積分點線性插入一些近似值，以達到對真實曲線的逼近，但投入插值函數是事先 不知道的。比較有限差分法與有限元法知：有限元法在整個物理模型區(qū)域求解，基于插值函數， 場變量在求解域的變化是作為求解過程一部分，而在有限差分法中，場變量僅僅在離散點處 求解在有限單元法中，派生變量可以求解，而在在有限差分法中僅僅場變量本身可以求解， 例如在結構分析中，兩種方法均提供位移解，但在有限單元法采用數學方法可以直接對應變 分量(strain components)求解，而差分法中把應變作為場變量重新求解有限差分中的積分 點與有限元法的節(jié)點相

11、類似，所關注變量在該點處進行計算在有限差分中，隨著積分步長的 減小如有限分單元中隨著網格的加密一樣，數值解向準解解收斂，精細化過程代表數學模型 從有限向無窮小縮減，求解過程均將微分方程轉化為代數方程求解。1.3 有限元法的一般計算步驟(A GENERAL PROCEDURE FOR FINITEELEMENT ANALYSIS)無論在結構分析、熱分析、還是在流體分析過程中，其一般的計算步驟基本相同，這些 步驟體現在計算軟件包中包括：1.3.1 前處理(preprocesssing)(1)定義求解問題的幾何形狀；(2)定義單元類型；(3)定義單元的材料屬性；(4)定義單元幾何屬性，如長度、面積、

12、慣性矩等；(5)劃分網格(6)定義物理約束(邊界條件)；(7)定義荷載。1.3.2 求解(solutions)在求解階段，有限元程序以矩陣的形式組裝控制代數方程，計算場變量的值，然后再計 算派生變量如應變、應力、節(jié)點反力、熱流通量等。1.3.3 后處理(postprocessing)分析計算結果稱為后處理，一般的有限元計算程序包括如下過程：(1)按大小排列單元應力；(2)檢查平衡；(3)計算安全系數；(4)繪制結構的變形形狀；(5)以動畫的形式描述研究模型的變化(6)繪制應力、變形、應變云圖。1.4 有限元法的進展與應用有限元法不僅能應用于結構分析，還能解決歸結為場問題的工程問題，從二十世紀六

13、十 年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設計和優(yōu)化提供了有力的工具。1.4.1 算法與有限元軟件從二十世紀60年代中期以來，進行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應用領域, 還開發(fā)了許多通用或專用的有限元分析軟件。理論研究的一個重要領域是計算方法的研究，主要有：大型線性方程組的解法、非線性 問題的解法、動力問題計算方法。目前應用較多的通用有限元軟件如下表所列：軟件名稱r簡介一MSC/NastranP 著名結構分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動力學分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結構分析軟件ADINAr非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件另外

14、還有許多針對某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform ,焊接與熱處理分析軟件 SysWeld等。1.4.2 應用實例有限元法已經成功地應用在以下一些領域：固體力學，包括強度、穩(wěn)定性、震動和瞬態(tài) 問題的分析；傳熱學；電磁場；流體力學。（1）轉向機構支架的強度分析（劉道勇，東風汽車工程研究院動，用 MSC/Nastran 完成）圖1.7轉向機構支架的強度分析（2）金屬成形過程的分析（用Deform軟件完成）分析金屬成形過程中的各種缺陷。圖1.8型材擠壓成形的分析（型材在擠壓成形的初期，容易產生形狀扭曲）。圖1.9螺旋齒輪成形過程的分析圖1.10 T形鍛件的成形分

15、析（3）焊接殘余應力分析（用Sysweld完成）圖1.1結構與焊縫布置圖1.12焊接過程的溫度分布與軸向殘余應力第二、三講第二章剛度矩陣，彈簧和桿單元Stiffness Matrices,Spring and Bar Elements2.1 引言（introduction）有限元主要特性體現在單元的剛度矩陣。如對于結構有限元分析中，剛度矩陣包含幾何 和材料信息，這些信息表明結構抵抗外部荷載的變形能力如軸向、剪切、扭轉變形。在非結 構分析中，如流體和熱傳導，當受外部作用時，剛度矩陣代表單元抵抗變化的能力。在本章中，主要介紹兩個相對簡單、一維結構單元（線彈性彈簧單元和彈性壓縮-張拉桿單元）的特性。

16、它們作為基本單元進行介紹，是由于它們是靜力學和材料力學經常研究的對象， 而不會使學生對有限單元法感到陌生，而是通過工程定理介紹有限元。同時利用這兩種單元 介紹一下插入函數的概念。根據分析對象的不同，有限單元法根植于不同數學物理法則。，首先針對簡單的彈簧和桿 系統(tǒng)，利用靜力平衡建立有限元模型，然后針對比較復雜結構，我們采用卡式定理和最小勢 能定理建立有限元模型。2.2 線彈簧單元（LINEAR SPRING AS A FINITE ELEMENT）線性彈簧是一種只能承受軸向加載，在量程范圍內，軸向伸長和收縮正比于所受的軸向荷載。荷載與變形的比例常數為彈簧的剛度 k （單位：force per u

17、nit length ）圖2.1線彈簧單元如圖2.1所示，為描述的方便把沿彈簧長度的方向作為單元坐標系（局部坐標系，與這相對應的整體坐標系，在一維空間，整體坐標系與局部坐標系重合）的*軸，Ui、U2、f1、f2為作用在單元節(jié)點1和2的位移和力，因此單元發(fā)生的變形為:Ui U2因此彈簧單元承受力為： f k（u1 u2）考慮到平衡條件f1f2 0, （2.2）式改寫為f1k(u2 u1)f2k(u2 u1)寫成矩陣形式(matrix form )k k u1u1f1,kerk ku2u2f2keuf其中:kekkkk(2.(1)(2.(2)(2.(3)(2.(4)(2.(5)(2.(6)式2.6

18、表明線彈簧單元的剛度矩陣是 2X2,單元有兩個節(jié)點位移（自由度）且這兩個位 移不是相互獨立的（物體是連續(xù)的且是彈性的）；矩陣是對稱的，這一特性表明物體是線彈 性且節(jié)點位移相互關系是對等，如節(jié)點 1周定，節(jié)2上施加一軸向力F,產生的相對位多與 節(jié)點2周定，節(jié)1上施加一軸向力F產生的位移是相等；當一個單元有 N個自由度時，其 對應的剛度是NXN。一般情況，節(jié)點是已知，需要求解的是節(jié)點位移，式 （2.4）可改寫成：(2.7)u1 k 1 f1u2f2但是剛度矩陣是對稱，是奇異矩陣，其物理是：當一個單元沒有受到任何位移約束量，產生運動（從圖（2.1a）知，在節(jié)點處沒有任何位移約束（彈簧沒有與任何物體相

19、連），因此要求 解節(jié)點的位移是不可能，僅僅兩個節(jié)點相對位移 （代表彈簧的伸長或縮短）求解出。在第六章 插入函數和第八章動力學中我們知道，單元的場變量必須是一常數。根據牛頓第二定理，當一個單元沒有受到約束時，不僅產生變形而且要產生加速運動)2.2.1 總剛度矩陣的組裝(system assembly in Global coordinates)單元剛度矩陣的推導是基于力學平衡建立，因此在單元剛度矩陣形成總剛度矩陣也可以 基于力學平衡建立。然而我們并不通過畫受力圖，來建立系統(tǒng)的平衡方程，可以首先假定僅 有單獨的單元存在，然后再根據單元節(jié)點力的分擔情況，將單元節(jié)點力加到整個系統(tǒng)的節(jié)點 方程中。我們把

20、這一過程稱這為組裝(單剛合成總剛的過程)，為了說明這一過程，我們用一 簡單的例子來說明。圖2.2由兩個彈簧組成的系統(tǒng)圖2.3各單元和節(jié)點的受力圖如圖2.2,彈簧1和2剛度值為ki和k2,節(jié)點號為1、2、3,彈簧1和2共用一個節(jié)點2, 在整體坐標系下單元節(jié)點1、2、3的位移為U1、U2、U3,節(jié)點力為F1、F2、F3。假定兩k1k1 uk1 K u?f2(1)(2.8)個單元處于平衡狀態(tài)，根據受力圖(2.3a)和(2.3b),利用式2.4可建立單元的平衡方程:k2k2Uf2k2k2 U22)f3(2)根據位移相容條件(2.9)將式(2.9)代入式(2.8),可得k1k1U1f1(1)k1k1U2

21、Lk2k2U21)k2k2U3f3將式(2.10)擴展成3X 3矩陣形式k1k10 U1f1(1)k1k10 U2f200000000000k2k2 U 2f20k2k2U 3f3將式(2.11刖式(2.12)相加k1k10U1f1(1)k1k1k2k2U 2f2，0k2k2U 3f3U1Uiu2(1)U2u1(1)U2u2(2)U3(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)由受力圖 2.3(c)、2.3(d)、2.3(e),可得f1Fif2f2(2.14)將(2.14)代入(2.13),可得k1k10k1k2 k20k2k2F1F2F3(2.15)例1如圖2.2,節(jié)點1周定，其位移U1

22、k1 k1 0k1k1k2 k20k2k2(2.16)k1 50lb./in,k2 75lb./in , F2F375lb ,將具體的數值代入(2.15)式，得例2由三個彈簧組成的系統(tǒng)，每個彈簧下面掛一個重為W的物體，將彈簧作為有限單元，求各個重物的位移。圖2.4將整個系統(tǒng)作為一個有限單元問題，按圖2.4(a),對各單元和節(jié)點標上編號，由頂端固定，因此Ui 0 ,由2.4式知每個單元的剛度矩陣：考慮單元位移和整體位移的關系：寫出各個單元的平衡方程得：將以上公式相加得，因此整個有限單元系統(tǒng)求解過程，可歸納如下：(1)形成單元剛度矩陣；(2)寫出單元節(jié)點位移與整體位移關系；(3)以矩陣的形式組裝整

23、體平衡方程；(4)根據約束條件，縮減矩陣方程；(5)求解未知的位移；(6)反代入整體平衡方程求解出反力。例3如圖2.5所示，由三個彈簧組成的平衡系統(tǒng)，單元號和節(jié)點號已由圖標出，其中節(jié)點1固定，節(jié)點3給定一初始位移，F2F , F4 2F ,求各個節(jié)點處的位移和在節(jié)點3的反力。圖2.5三彈簧組成的平衡系統(tǒng)由邊界條件知：2.3 桿單元(ELASTIC BAR,SPAR/LINK/TRUSS ELEMENT)線彈簧單元在有限單元法中使用是十分有限，前面我介紹線彈簧單元僅僅是為了引作剛 度矩陣的概念。當然，彈簧在大多數情況在機械工程中使用，同時在復雜系統(tǒng)中，使作用線 彈簧單元僅僅代表支撐結構彈性本性。

24、使用最多是桿單元，具只能承受軸向力。線性桿單元的建立基于如下假定:(1)桿在幾何形態(tài)上是直的；(2)材料遵循胡克定律；(3)力只能在桿的端部施加；(4)桿只能承受軸向力。最后的假定是非常嚴格的，但不符合實際，當桿通過錢或球座與其它結構相連，這種情 況才能滿足。1和4的假定，意味著單元是一維的，沿著桿上的任何點的位移可能通過單一 變量來表述。圖2.6桿單元如圖2.6所示，一彈性桿，長為L, 一單軸坐標系(單元坐標系)沿著桿長方向，其原點在 左端。為了表示沿桿長上的任何節(jié)點處的軸向位移，我們定義在節(jié)點1和2上的位移：Ui u(x 0)和U2 u(x L)。引入插入函數，沿桿長上的任何節(jié)點處的軸向位

25、移可以表述為：u(x) N1(x) u1N2(x)u2(2.17)必須要強調，雖然式(2.17)是等號，但兩者這間只是近似相等。考慮到邊界條件：u(x0) u1u(x L)u2(2.18)因此可以得到如下關系N1(0)1 N1(L)0(2.19)N2(0)0 N2(L)1(2.20)插入函數只要能滿足邊界條件，任何表達式都允許的，其中最為簡單形式是：N1(x) a0 a1x(2.21)N2(x) b0 b1x(2.22)由(2.19)和(2.20)得N(x) 1 x/ L(2.23)N2(x) x/ L(2.24)因此，位移函數方程可表示為u(x) (1 x/L)u1 (x/ L)u2(2.2

26、5)(2.25式)表示成矩陣的形式u(x)N1(x) N2(x)N u(2.26)u2根據材料力學原理，對于均一截面桿，當一端部受到一軸向力P時，其產生的位移為匹(2.27)AE因此，彈性桿的等效剛度常數可表示為考慮到應變與位移的關系dux dx(2.28)(2.29)將(2.25)代入上式可得(2.30)U2 U|xL這表明桿單元是常應變單元，同時根據材料力學的原理：當一單元，其截面為常數，當 在端點受到一軸向力是，其應變?yōu)槌?。根據胡克定律，其軸向應力為：(2.31)E EU2 Uix E x E L因此，軸向力(2.32)P xA AEUUixL因此，可以看出(2.32)將單元的節(jié)點力和

27、節(jié)點位移聯系起來了 ,且假定式(2.32)為一正值,節(jié)點力f2為正值，則fi為負值，可得到如下關系：fif2AELAEL(U2(U2Ui)Ui)(2.33)(2.34)式(2.33)和(2.34)寫成矩陣形式AEUiU2fif2(2.35)因此桿單元的剛度矩陣為(2.36)P ,面積 A(x 0) A ,例1.4如圖2.7所示，一錐形桿，上端固定，下端受到一拉力A(x L) A0/2,請計算桿端的位移，(a)用一個單元，單元的面積等于桿i/2部位的面積;(b)用兩個單元，面積分別等于i/2、3/4部位的面積；(c)采用積分法計算精確解。圖2.7(a)單一單元橫截面A 3A0/4,單元的剛度常數

28、k 任 ”0E,因此單元的平衡方程L 4L(b)兩個單元對單元i：對單元2：由于在節(jié)點2上沒有外力施加，且由邊界條件，其平衡方程為：(c)精解解由圖2.7d（任意x處與x L之間的受力圖），由平衡條件知 因此軸向應變因此，在x L處的位移為：2.4 應變能，卡式第一定理(STAIN ENERGY ,CASTIGLIANNO S FIRSTTHEOREM）當外力施加到物體上時，機械能將會轉變?yōu)閯幽芘c勢能。當一彈性體受到約束不能運動時，則所做的功以應變能的形式存蓄，這里所指Ue和功W。從基本的靜力學原理知道，力F沿著路徑從位置1到位置2做的功為其中r dxi是沿著運動路徑方向的微分向量。在笛卡爾坐

29、標系下,*2WFxdx為y2%2irF1r dyjuudrr dzk所做功可表示為:FydyZ2Z.FZdz1其中Fx、Fy、Fz為在在笛卡爾坐標系下的力的分(2.37)(2.38)(2.39)圖2.8力與偏移的關系（對于線彈簧）里對于線彈性變形，撓度正比與所施加的力，具體如 圖2.8所示。力與撓度的斜率為彈性常數。則彈簧任意伸長。,所做的功為:0012W 0 Fd 0kd 1k Ue(2.40)從中我們可以看出，力和彈性應變能是位移的平方。利用（2.28）式，對于軸向加載的彈性應變能，其式為:12Ueke 21 AE2 L(2.41)寫成一般的形式，具式可表示為：.1.21 AE/PL2Ue

30、 -k（一）22 L AE2 A AE)AL(2.42)其中：V為變形體的體積，1/2 為單元體積應變能（應變能密度）。式（2.42）為最后的應(2.43)力和應變值。1/2表示從開始施加至最后，應力與應變?yōu)榫€性關系。應變能密度寫成一 般的形式為：ue 0 d下面我們卡式定理利用功和應變能的關系獲取桿單元的控制方程。卡式定理：對于一彈性平衡體系，應變能對某一點撓度的部分微分等于在該點撓度方程 所施加的力。Ue W(2.44)其中，j為由于力Fj施加在該點力作用線方程所產生的撓度。假如除了 i點，力的作用點均已固定，在i點由于一微小力的增量Fi產生的一微小撓度增量i ,而導致應變能的改變量iUe

31、 W Fi i oFid i(2.45)在微小量變化過程中，原來的力Fi認為常數。式(2.45)涉及到一微小量的乘積，因此可能 忽略。工 Fi(2.46)dUeFi(2.47)當i 0時，上式可寫成卡式第一定理對于有限元公式推導是一強有力的工具?，F以桿單元來說明，聯合(2.30)、(2.31、(2.43)Ue 2 x xV e(、)2AL(2.48)U- ae (U1 U2) f1(2.49)U1LUc ae一e(U2 U1) f2(2.50)U2 L例2.5, 一實體圓軸，半徑為R,直徑為L, 一端固定，另一端受到一扭矩T ,如圖2.9 所示，卞!據在x L扭轉角，推導出應變能表達式，并且利

32、用卡式第一定量給出施加扭矩的 表達式。根據材料力學的原理，橫截面上剪切應力為r為離單元徑向軸的距離，J截面的極慣性距。 彈性階段G為剪切模量，應變能可表示為，極慣性距的定義根據材料力學原理，在單元端點處的扭轉角可表示為因此應變能可寫成：利用卡式定理例2.6如圖2.10 (a沖用卡式定理計算系統(tǒng)白剛度矩陣，在節(jié)點 2和3豎向單元是剛性的(b)求節(jié)點1處位移和反力，參數如下圖2.10四單元彈簧系統(tǒng)利用節(jié)點的位移和單元的剛度，系統(tǒng)的應變能可表示為利用卡式定理寫成矩陣的形式將具體的值代入可得2.4 最小勢能(MINIMUM POTENTIAL ENERGY)卡式第一定理僅僅是最小勢能的普遍原理一種直觀

33、表達形式?，F在我們僅指出這個原理， 而不加以證明僅僅是希望讀者將結果與卡式第一定理的結果進行比較最小勢能原理的普遍原理：當受到的外力，在所有幾何可能的位移中，滿足平衡狀態(tài)的位 移使總勢能最小?？倓菽馨ù嫘钤谖矬w中的應變能和由于外力產生的勢能，作為使用的習慣，我們用總勢能，它包括兩部分，應變能Ue和與外力相關的Uf ,具體表示如下Ue Uf(2.51)在本課程中，我們平衡系統(tǒng)僅僅針對守恒力。守恒力指其所做的功與運動的路徑無關， 并且可恢復的。通常我們所說的非守恒力指的是摩擦力，其方程與運動的方程相反，所做的 功是負，導致能量的損失，損失的能量在物理上稱這為熱。另一方面，由守恒力所做的機械 能是

34、可逆的，因此假如力釋放這后，其變形可恢復，由守恒力所做的機械能認為是勢能的損 失，即：U F W(2.52)總勢能可表示為U e W(2.53)總勢能最小是一變分問題。在這里我們不采用變分法進行求解，而是采用微積分學中多 個變量函數最小原理進行求解。假如總勢能是N個位移的函數形式，具體形式如下：(Ui,U2K ,Un)(2.54)要使勢能最小，其必須滿足下式：0 i 1,K,N(2.55)Ui例2.7使用最小勢能原理計算例2.6我們重新檢查一下式(2.7),可以推+種更f形式,假定位移和剛度如下：Ui00U2 U2 KK0k1 2k22k202.(2.56)U32k22k2 k3k3U400k

35、3k3施行如下矩陣的三重積運算，可得:1U - U1 U2 U3 U4 2ki ki 0 0k1ki2k22k2002k22k2 k3k300k3UUUU(2.57)假如我彳門將式（2.57）展開，將會發(fā)現與例 變能的一般表達式。2.7完全一致。式（2.57）為線任何彈性系統(tǒng)的應第四、五講第三章桁架結構：直接剛度法Truss structures:the direct stiffness method3.1 引言(introduction)在第二章我們計論了線單元，對節(jié)點、節(jié)點位移、單元剛度矩陣等概念有了一定的了解。 這一章我們將計論桁架結構，該結構要求單元在幾何形狀是直的，并且只能承受軸向力

36、。滿 足這些的要求的單元，我們稱這為桿單元，其通過錢與其它相邊，因此單元可以繞較任意轉 動。雖然桿單元是一維的，但在分析二維和三維問題桁架結構非常有效。圖3.1二維桁架單元考慮到整個結構體系，為了方便表述結構的位移，本章以整體坐標系作為參考坐標系。如圖3.1(a)所示懸臂桁架，我們選擇整體坐標的XY軸平行于桁架結構的幾何主軸，假如我們 檢查圓錢位置，會發(fā)現5個單元節(jié)點實際上與其它整體坐標的節(jié)點相聯，有些單元的x軸并不與整體坐標系的X平行?？紤]到實際連接形態(tài)和單元幾何方程的變化，我們作如下規(guī)定：單元節(jié)點位移必須與在整體坐標系下相連節(jié)點位移一致；為了在整體連續(xù)的參照系下表述結構特性，每個單元的物理

37、特性如剛度矩陣和單元力 必須轉換到代表整體坐標系下；為了求解單元的軸力，在整體坐標系(位移)的解必須變換到單元坐標系下。一般來說，設計者更多地是關注的是每個桿單元應力，并將它與材料特性相比，如屈服 強度，以便對設計結構作出改變。同時預測結構的加載大小比結構的位移顯得更容易由于聯結的幾何形態(tài)決定了單元位移與人與整體位移的關系以及單元剛度對整體剛度 的貢獻。在直接剛度法中，將單元剛度矩陣從單元坐標系下變換到整體坐標系下，同時根據 單元的連接狀況(滿足在校和節(jié)點處位移的相容性)，將單元剛度矩陣的各項加入到整體剛度 的對應位置。3.2 節(jié)點平衡方程(NODAL EQUILIBRIUMS)為了描述單元屬

38、性到整體坐標下的轉換，我們考慮把桿單元作為桁架的結構單元，通過一個簡單的例子來加以說明。具體如圖 3.2(Uz 1代表節(jié)點在整體坐標系下x方向的位移，U2i代表節(jié)點在整體坐標系下y方向的位移，i節(jié)點號，單元力的編號也與此相同)圖3.2兩單元桁架結構圖3.3單元和節(jié)點的受力圖為了建立平衡平衡方程，單元和節(jié)點的受力圖如圖 3.3所示，對于節(jié)點1：(3.1)(3.2)F1 f1 c0sl 0F2 f1(1) sin 1 0對于節(jié)點2:F3 ff，cos 2 0F4 f2 sin 2 0對于節(jié)點3:(3.3)F5f3(1) cos 1£3出 cos 20F6f3(1) sin 1f3 sin

39、 20式(3.1卜(3.1)代表靜力平衡方程?？紤]到F5和F6為已知，因此6個方程包含8個未知數 同時，該結構是靜定的，因此可以引入單元平衡方程(圖3.3d3.3e),求解出所有的變量。因此, 通過公式變換，大多數問題都可以求解，但是節(jié)點位移是未知。同時如果變換成功，未知參 數與節(jié)點平衡方程的個數是一致的，另外靜不定問題會自動相容。根據材料力學的觀點，靜 不定問題的解要求滿足一些位移關系，因此有限元公式應該包含這類情形。圖3.4節(jié)點位移圖示同時為描述位移變換，假定任意位置的一桿單元 (如圖3.4(a),其結點為i,j ,當受到外 力作用時，節(jié)點發(fā)生2D位移(如圖3.4(a),同時與其相連單元節(jié)

40、點也發(fā)生相同的 2D位移變 化，這意味著單元不僅發(fā)生軸向位移，而且也發(fā)生轉動。為了說明這一問題，我們用 1和2表示，其方程與單元x軸方程垂直。由于基于光滑較支座連接的假定，因此垂直位移與單元 剛度無關。然而垂直位移必需存在，以致單元保持與錢相連，從而單元位移與較位移相容。雖然單元經歷轉動，但為了計算的要求，我們認為方向角與未變形時保持一致。這是基小變形的假定。為了建立在單元坐標系下的節(jié)點位移與整體坐標系的節(jié)點位移的關系，規(guī)定：Ui代表節(jié)點1在整體坐標系下x向的位移；U 2e)代表節(jié)點2在整體坐標系下y向的位移；U 3e)代表節(jié)點3在整體坐標系下x向的位移；U 4e)代表節(jié)點4在整體坐標系下y向

41、的位移；考慮到節(jié)點位移在兩個坐標系中的一致性，因此可得到如下關系u1(e)U1(e) cosU2e) sin(3.4)1(e)UisinU2e)cosu；e,u3e) cosu4e) sin2e)U3e)sinU4e)cos因此，軸向位移為(e) I I (e)I I (e)八 I (e)I I (e) ccc/I I (e)I (e)c；n/O 匚、U2Ui(U 3U1 ) cos(U 4U 2 )sin(3.5)作用在單元上的軸向應力r (e)I,(e)(e) I,(e)一B1(e)I,(e)/| I (e)| | (e)ccc/I I (e)ll(e)c；c/Qfk kU2Uik(U 3

42、U1 )cos(U 4U 2 )sin(3.6)利用(3.6),同時考慮UiUi u21)u31) U5 U4U6,可得圖3.3中，單元1和2的 軸向力為，f3f1k(U5 Ui)cos 1 (U6 U2)sin 1(3.7)f3(2)ffk(U5 U3)cos 2 (U6 U4)sin 2將式(3.7)和(3.8)代入(3.1)(3.3),可得k(U5 U1)cos 1 (U6 U2)sin 1 cos 1F1寫成矩陣的形式kc2 1k(1)s 1c 100k c2 12k(1)s 1c 1簡寫成k(1)s 1ck s2 100k(1)s 1ck(1)s2 .其中,k(U5k(2) (U5k

43、(2)(U500k(2)c2k(2)s 2ckc2U1)cos 1U3)cos 2U3)cos 2(U6(U6(U6U2)sinU4)sinU4)sinsincossinF2F3k(2)kk(2) s 2c 2K為剛度矩陣,(U5 U3)cos 2(U5 U3)cos 1k(2)k(U5(U500k(2) s 2ck(2) s 2ck(2)s 2ck(2)s 2c2222(U6 U 4)sin 2 cos(U6 U4)sin 1 cos 1F5U 3)cosU3)cosk c2 1 k(1)s 1c k(2)c2 2 k(2) s 2ck c2 1k c2k(1)s 1cl k(2)s 2U節(jié)

44、點位移向量,(U6(U6U4)sinU4)sink(1)s 1cks2k(2)k k(1)s 1c ks2s 2cs 2ck(2)2 sinsin22s 2ck s2 2UiU2U3U4U5U6F節(jié)點力的向量。F6F1F2F3F4F5F6(3.(8)(3.(9)(3.(10)(3.(11)(3.(12)(3.(13)(3.(14)(3.(15)(3.(16)3.3 單元變換(ELEMENT TRANSFORMATION)在前一節(jié)直接利用平衡方程，建立在整體坐標系下的有限單元平衡方程是非常麻煩的。 通過建立在整體坐標下的節(jié)點平衡方程，同時引入位移公式進行求解，這一過程其隱含著將 單元剛度矩陣轉換

45、到整體坐標系下。本節(jié)主要介紹如何將單元坐標系下單元剛度矩陣轉換到 整體坐標系下。我們知道，桿單元在單元坐標系平衡方程可表示為：AE11U1(e)kekeU1(e)f1(e)L11u2e)kekeu2e)f2(e)現在我們的目標是將這些平衡方程轉換到整體坐標系下，其形式如下U2e)U3e)(3.17)(3.18)F1F2F3U4e)式中：K（e）代表著在整體坐標系下的單元剛度矩陣;F代表整體坐標系下單元節(jié)點力；U1、u3e）代表平行整體坐標軸x方向的位移，u2e）、U 4e）代表平行整體坐標軸y方向的位移。由公式（3.14）,可(e). . (e)(e).u1U 1 cos U 2 sinu2e

46、)U 3e) cosU 4e) sin改寫成矩陣形式:u1(e)cos sinu2e) 00其中：R將(3.21)代入(3.17),可得：keke cos sinke ke00或00cos sinUiU2e)U3e)U4e)RUiU2(e)U3(e)U4(e)cos sin0000cossinU1(e)00U2e)f (e)f1cos sinU3e)記U4e)U；e)kekeU2e)f1(e)RkekeU3e)f (e)f2U4e)(3.(19)(3.(20)(3.(21)(3.(22)(3.(23)(3.(24)我們通過將位移作為未知變量，從單元位移模式變式到整體位移模式，然而方程仍以單元坐

47、標形式存在。（3.23）第一項代表節(jié)點1在單元坐標系下的平衡方程。假如我彳門乘以cos ,我們將獲得節(jié)點在整體坐標系x方向的位移。同理，乘以sin ,我們將獲得節(jié)點在整體坐標系y方向的位移。對節(jié)點2進行同樣的操作。如果在（3.24）兩邊同乘以RT，我們將得到下Ucos0f1(e) cosRTkekeRU2e)sin0f (e)f1f1 sinkekeU3e)0cosf2(e)f2(e) cosU4e)0sinf2(e) sin很明顯式（3.25）右邊的項代表著單元力在整體坐標系下的分量(3.25)U，cos0F1tkekeU2e)sin0f1(e)kkeke 段 U 3e)0cosf2(e)U

48、4e)0sin式(3.26)代表在整體坐標系下節(jié)1和節(jié)2的平衡方程。比較F2(e)F(e)(3.26)F4(e)3.26與3.18可知，在整體坐標系下的剛度矩陣可表示為K RT keke R(3.27)keke引入標記c cos s sin ,同時進行矩陣的乘法運算，可得:22csccsc22scsscs22csccsc22scsscsKke(3.28)通過觀察表明，經過轉換以后，單元剛主矩陣的對稱性和奇異性沒有改變。3.3.1 方向余弦(direction cosine)實際上，有限元模型首先在給定坐標位置定義節(jié)點，然后以定義節(jié)點為基礎定義單元建 立起來的。假定i和j在整體坐標(Xi,Yi)

49、和(Xj,Yj)處，因此單元的長度可表示為22 1/2L (Xj Xi)2(YjYi)2(3.29)從節(jié)點i到節(jié)點j單位向量可表示為1-(Xj Xi)I (Yj Y)J cos xI cos yJ(3.30)其中，I和J代表著在整體坐標下X和Y單位失量。因此建立單元變換所需的三角函數 值可定義為：cos cos X IXj XiL(3.31)(3.32)sin cos Y3.4 整體剛度矩陣的直接組裝(DIRECT ASSEMBLY OF GLOBAL STIFFNESSMATRIX)前面我們介紹了如何將單元坐標系下剛度矩陣變換到整體坐標系下?，F在我們介紹一種直接將單剛組合成總剛，建立系統(tǒng)平衡

50、方程的方法，并以圖(3.2)所示的簡單的兩個單元系能文系統(tǒng)來說明。假如單元的幾何和材料屬性是已知，因此在整體坐標系下的單元剛度矩陣由 (3.28)可獲得，對于節(jié)點1:(3.33)對于節(jié)點2(3.34)剛度矩陣式(3.33)和(3.34)包含32項，它們組合在一起形成 6X 6矩陣，其共36項。為 了將單個剛度矩陣組合成總剛矩陣，必須首先了解單個單元的位移與總體位移之間對應關系， 然后分配相聯系剛度矩陣項到整體剛度中相應的位移。對于圖(3.2)中的單元1,單元位移對應于整體的位移為：相應于單元2為:U，Uiu2e)U2U3e)U5U4e)U6Ui(e)U3U2e)U4U3e)U5U4e)U6(3

51、.35)(3.36)對于單元1可對建立平衡方程：F1F2(1)F2 F1F3F2(2)F (2)FF(1)F(2)FF 3F 5F 4F 4F 6F4對于單元2,同理可得：F將(3)和(5)相加，將考慮到節(jié)點的平衡 1F3()方程(3.35)和(3.36)表明桁架的連接關系。例如式(3.35)表明單元1與整體位移U3和U4沒有聯系，因此沒有連接到節(jié)點 2上，對影響其位移的剛度項沒有任何作用。這意味著單元1對總剛矩陣中的第三、第四行與列沒有影響。同理單元2對第一、第二行與列沒有影響。為了方便，我們以簡單列表形式，建立單元位移與整體位移間的關系，具體如表(3.1)Table 3.1節(jié)點位移對應表整體