Chapter 1流體的物理性質(zhì)和流體運(yùn)動物理量的描述

1、Chapter 1 流體的物理性質(zhì) 和流體運(yùn)動物理量的描述本章內(nèi)容大綱流體的物理特性流體運(yùn)動學(xué) 流體運(yùn)動如何描述流體的基本運(yùn)動形式流體微團(tuán)受力分析和本構(gòu)方程§1。1流體的物理性質(zhì)一、什么是流體流體力學(xué)研究流體的宏觀運(yùn)動規(guī)律。流體就是受到切向力作用時會持續(xù)發(fā)生變形的物質(zhì)，無論這個切向力有多小。正如我們在教學(xué)參考片Kinetic Reversibility一節(jié)中所見。切向力是作用在流體表面上的力的切向分力。流體不能在承受切向力的同時，使自己保持靜止?fàn)顟B(tài)。流體在法向面力作用下可以保持平衡，例如氣球內(nèi)的氣體。在常見的三種物質(zhì)形態(tài)中，液體和氣體都是流體。當(dāng)施加一定的外力時，固體也要發(fā)生變形，但

2、變形量達(dá)到一定程度，其內(nèi)部的變形應(yīng)力就會阻止固體繼續(xù)變形。但是，只要剪切外力持續(xù)作用在流體上，流體就會持續(xù)變形。二、連續(xù)介質(zhì)假設(shè)從微觀上看，流體由大量分子組成，分子間的真空區(qū)遠(yuǎn)大于分子本身，并且氣體分子永不停息地作著無規(guī)則熱運(yùn)動，因此流體的微觀結(jié)構(gòu)和運(yùn)動無論在時間和空間上都充滿著不均勻性，離散性和隨機(jī)性。以任一幾何點(diǎn)處的速度為例，它是不確定的。當(dāng)該點(diǎn)處沒有分子時，速度是零，而當(dāng)某個分子恰好占據(jù)該點(diǎn)時，其速度是這個分子的速度。但是，大量流動在宏觀上都表現(xiàn)為連續(xù)介質(zhì)的流動，宏觀物理量表現(xiàn)出一定的均勻性、連續(xù)性和確定性。由于我們研究的是宏觀流動，關(guān)心的是構(gòu)成微小流體團(tuán)（以下簡稱流體微團(tuán)）的大量分子的

3、統(tǒng)計平均行為，而不是單個分子的個別行為，所以我們假設(shè)物質(zhì)如同我們?nèi)庋劭吹降哪菢拥脑诳臻g中連續(xù)地分布，并且將空間幾何點(diǎn)上的宏觀物理量定義為該點(diǎn)小鄰域內(nèi)所有分子的對應(yīng)物理量的統(tǒng)計平均，這個均值當(dāng)然也是該時刻這些流體分子構(gòu)成的流體微團(tuán)的宏觀物理量。用假想的連續(xù)介質(zhì)來代替實(shí)際流體微觀的離散結(jié)構(gòu)，使得利用場論等數(shù)學(xué)工具來處理流體的流動成為可能。那么，小鄰域的大小如何選??？例如煙囪里冒出的煙，宏觀看上去有些地方煙濃，有些地方煙稀（密度不均），我們要描述煙密度的這種宏觀分布。為此，在任意給定時刻，在任意給定點(diǎn)附近取一個小空間包圍該點(diǎn)，以和分別表示該空間內(nèi)的流體質(zhì)量和體積，該空間的平均密度為。(1-1)圖1-

4、1圖1-1顯示了平均密度隨的尺度的增大而發(fā)生的改變。尺度很小時，表現(xiàn)出隨機(jī)漲落，因此應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)大于分子平均自由程，此時中包含數(shù)目龐大的分子群，才能保證平均密度的統(tǒng)計穩(wěn)定性，如圖所示。同時又要遠(yuǎn)小于宏觀上密度發(fā)生顯著改變的特征尺度，如圖所示，從而保證該平均密度能夠反映密度宏觀分布的不均勻性。綜上，任意點(diǎn)處煙的密度定義為，(1-2)其中的尺度滿足。 (1-3)以上分析同樣適用于其它宏觀物理量如速度、加速度等?？疾檫B續(xù)介質(zhì)假設(shè)對于某流動是否使用，可以看看該流動是否存在如上的至的區(qū)間來定義宏觀流動物理量。對于液體的流動，除非流場的變化非常急劇，連續(xù)性假設(shè)總能適用。對于氣體繞流物體或氣體在管道內(nèi)的流動，當(dāng)物

5、體或管道的特征尺度遠(yuǎn)大于分子平均自由程時，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)適用，否則不再適用。如在分析空間飛行器和高層稀薄大氣的相互作用時，飛行器尺度與空氣分子平均自由程尺度相當(dāng)，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不適用，此時分子運(yùn)動論才是解決問題的正確方法。在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，如上定義的宏觀物理量在流動區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，從而構(gòu)成了各種連續(xù)的物理量場，便于場論等數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用。從另一個角度看，在研究流動時，我們把整個流動的介質(zhì)看成由流體微團(tuán)（也稱作流體質(zhì)點(diǎn)）組成的集合體，每個微團(tuán)的大小滿足(1-3)式的要求，微團(tuán)的宏觀物理量等于微團(tuán)內(nèi)分子的對應(yīng)物理量的平均。在理論研究中，同樣為了滿足數(shù)學(xué)工具的要求，往往將流體微團(tuán)的尺度近似看成無限小，稱之

6、為流體質(zhì)點(diǎn)。三、流體的可壓縮性與熱膨脹性1、流體的密度流體的密度定義如（1-2）式。2、流體的可壓縮性與熱膨脹性壓力發(fā)生變化時，流體密度將發(fā)生改變，此所謂流體的可壓縮性。關(guān)于此處所說的壓力的確切含義將在§1.6祥述。溫度發(fā)生變化時，流體密度也將改變，此所謂流體的熱膨脹性。定義等溫壓縮系數(shù)和熱膨脹系數(shù)分別描述流體的可壓縮性質(zhì)與熱膨脹性質(zhì)， （1-4）。（1-5）液體隨壓強(qiáng)增大而增大。平衡態(tài)理想氣體密度隨溫度和壓強(qiáng)的變化由狀態(tài)方程描述。（1-6）圖1-2常溫下，壓強(qiáng)增加時, 水的體積減小0.005。常溫下，壓強(qiáng)從1atm增加到1.1atm，氣體密度增加10%。大多數(shù)情況下的液體流動和壓強(qiáng)

7、變化很小的氣體流動（低馬赫數(shù)流動）可忽略流體密度變化，將流體看成不可壓縮的。在1atm下，溫度從上升到，水體積增加4（燒水時不能把水壺灌滿）。淡水密度隨溫度的變化如圖1-2所示。最大密度出現(xiàn)在。海水的最大密度對應(yīng)溫度和冰點(diǎn)都低于淡水。當(dāng)氣體溫度增加10%，密度減小10%。在研究海洋中的運(yùn)動時，如海浪和海流、潮汐、內(nèi)波等，通常認(rèn)為海水是不可壓縮的。四、流體的輸運(yùn)性質(zhì)熱力學(xué)平衡態(tài)是指整個物質(zhì)體系的熱力學(xué)特性達(dá)到均勻狀態(tài)，并且不再隨時間變化。分子的熱運(yùn)動和分子間相互作用總是使物質(zhì)趨于平衡狀態(tài)，傳熱、擴(kuò)散（傳質(zhì)）和粘性都源于此。1、粘性流體對相鄰流體團(tuán)間或與固體表面間的切向滑移（shear）是有抵抗的

8、，流體的這種性質(zhì)稱為粘性。粘性是動量輸運(yùn)的宏觀表現(xiàn)。對于氣體而言，分子熱運(yùn)動引起跨界面的分子交換，伴隨動量輸運(yùn)；對于液體而言，則主要來自分子間的相互作用引力。速度剖面圖1-3 平板間的純剪切流動假設(shè)某流動速度，現(xiàn)在分析該流動相鄰流體層之間的動量輸運(yùn)。在流體中取任一垂直于軸的平面，如果流體是氣體，該平面兩側(cè)氣體分子由于熱運(yùn)動發(fā)生交換，從統(tǒng)計平均意義上看，上方氣體分子動量的方向分量要大于下方，所以分子交換伴隨著動量分量向下方的輸運(yùn)，這種動量輸運(yùn)就表現(xiàn)為界面上方流體對下方流體的向前拖動力，或者說下方流體對上方流體運(yùn)動的阻力。如果流體是液體，平面上下兩側(cè)的流體分子由于相互間存在引力，就如同兩個人手拉手

9、，走得快的拉著走得慢的，而走得慢的會拖累走得快的。假設(shè)兩個平行平板之間充滿流體，平板面積足夠大，以至于除邊緣附近外，其他區(qū)域的流動等同于無限大平板間的流動。保持下板不動，勻速拖動上板，經(jīng)過一段時間后流體達(dá)到穩(wěn)定流動狀態(tài)，流速線性地從下板處的零值增加到上板處的上板移動速度。這種流動我們稱之為純剪切流動。在流體和固體邊界處，流體速度等于固體邊界速度，這一點(diǎn)得到廣泛的實(shí)驗(yàn)證實(shí)。如圖的純剪切流動速度剖面為。（1-7）時刻在剪切流動中取一矩形流體團(tuán)，隨后它將因各層的相對滑移變成平行四邊形。作用在流體團(tuán)單位面積表面上的力稱為應(yīng)力，應(yīng)力的切向分力稱為切應(yīng)力，法向分量稱為法應(yīng)力。對于平板之間的純剪切流動，實(shí)驗(yàn)

10、表明，拖動上板所用的力正比于上板勻速移動速度和板的面積，反比于兩板間距。因此流體作用在上板上的切應(yīng)力，(1-8)其中比例因子反映流體的粘性，稱為動力學(xué)粘性系數(shù)。由于板間任意一層流體都作勻速流動，所以相鄰各層流體間的切應(yīng)力也由(1-7)給出。公式(1-7)中的是速度梯度，可以寫成，并且寫成后者后，得到的微分形式(1-9)更具有一般性，適用于隨變化的情形。公式(1-9)稱為Newton粘性定律。流體被分為牛頓流體和非牛頓流體。如果流體的切應(yīng)力與速度梯度呈線性關(guān)系，則為牛頓流體，否則為非牛頓流體。氣體和大多數(shù)常見液體都屬于牛頓流體。 動力學(xué)粘性系數(shù)的量綱是，另有運(yùn)動學(xué)粘性系數(shù)，。常壓下，流體的粘性不

11、隨壓力變化但顯著地依賴于溫度。隨溫度升高，氣體分子熱運(yùn)動引起的動量交換強(qiáng)，粘性增大；而液體分子間距增大，分子間作用力減小，導(dǎo)致粘性減小。正如我們在日常生活中見到過的到了冬天，蜂蜜和花生油明顯變粘。水和空氣粘性較小，甘油和瀝青等粘性較大。1atm，的水，；標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空氣，；1atm，的甘油，。流體靜止和作均勻流動（速度空間分布均勻）時，由于流體層之間不存在相對運(yùn)動，因此沒有切應(yīng)力，只有法向應(yīng)力，也就是靜壓強(qiáng)。2、熱傳導(dǎo)一般而言，運(yùn)動流體的熱力學(xué)特性如壓強(qiáng)、溫度等是不均勻的。對于絕大多數(shù)流動而言，流體的熱力學(xué)狀態(tài)很接近平衡態(tài)，仍可以延用經(jīng)典熱力學(xué)理論。我們假設(shè)流體處于局部平衡狀態(tài)，把流體看成流體微團(tuán)

12、的集合，每個微團(tuán)處于自己的熱平衡狀態(tài)，有自己的壓強(qiáng)和溫度?；蛘哒f，流動空間內(nèi)包圍任一幾何點(diǎn)的小鄰域內(nèi)的介質(zhì)處于自己的平衡態(tài)，有自己的壓強(qiáng)和溫度。當(dāng)流體內(nèi)溫度分布不均勻時，熱能就會通過分子熱運(yùn)動從高溫區(qū)向低溫區(qū)流動。高溫區(qū)分子具有較高的平均動能，如果介質(zhì)是氣體，分子無規(guī)熱運(yùn)動使高溫一側(cè)的氣體分子帶著較大的動能進(jìn)入低溫一側(cè)，同時也有低溫一側(cè)的低平均動能分子進(jìn)入高溫一側(cè)，結(jié)果就使高溫區(qū)平均動能減小，溫度下降；而低溫區(qū)分子平均動能增大，溫度上升。液體還會通過分子間相互作用傳遞動能，其宏觀效果與氣體情形相同。在流體中產(chǎn)生一維的溫度分布（例如湖水溫度隨深度變化），并假設(shè)溫度隨增大，如圖1-3所示?？紤]該流

13、體中平行于平面的任一平面，單位時間流過該平面上單位面積的熱量稱為熱流強(qiáng)度（熱通量密度），記為，熱流強(qiáng)度與該處的溫度變化率成正比，（1-10）其中的負(fù)號表示熱流的方向和溫度升高的方向相反，為熱傳導(dǎo)系數(shù)。公式（1-10）是傅里葉熱傳導(dǎo)定律的一維形式。一般地，如果流體溫度在三維空間中分布不均勻，熱流強(qiáng)度矢量與溫度分布的關(guān)系為。（1-11）此即傅里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律的一般形式。3、質(zhì)量輸運(yùn)擴(kuò)散現(xiàn)象對于單組份流體，當(dāng)流體密度分布不均勻時，分子因無規(guī)熱運(yùn)動從高密度區(qū)進(jìn)入低密度區(qū)的數(shù)量就多于從低密度區(qū)進(jìn)入高密度區(qū)的數(shù)量，從而導(dǎo)致質(zhì)量的輸運(yùn)。與熱通量密度相對應(yīng)地定義質(zhì)量通量密度，有，（1-12）其

14、中為擴(kuò)散系數(shù)。對于雙組份流體（A流體和B流體），假設(shè)A流體密度不均勻，B流體密度均勻，則A流體在B流體中擴(kuò)散，同樣有，（1-13）其中為A流體在B流體中的擴(kuò)散系數(shù)。公式（1-12）為菲克（Fock）第一定律。附 分子間的相互作用力（詳見教材§1.1）如下圖，其中。分子間距通常大于。氣體分子間距較大，分子間引力接近于零，因而有自由分子之稱。液體分子間距較小，分子間引力較大。§1.2描述流體運(yùn)動的方法一、拉格朗日方法描述流體運(yùn)動有兩種方法。一種是，將流體看成由流體質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系，如同經(jīng)典力學(xué)中描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動一樣，描述每一個流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，給出任意流體質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的

15、空間位置、速度、加速度、密度、溫度、壓強(qiáng)等。為區(qū)分質(zhì)點(diǎn)，要給質(zhì)點(diǎn)作標(biāo)記。標(biāo)記流體質(zhì)點(diǎn)的變量稱為拉格朗日變數(shù)。通常以每個流體質(zhì)點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)作為該流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)記，將描述流動的物理量表示為流體質(zhì)點(diǎn)初始位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)。以代表初始時刻任一流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，則流動的運(yùn)動方程可表示為。（1-14a）在直角坐標(biāo)系下，上式的分量形式為，(1-14b)等號右邊是三個函數(shù)，分別給出、和變量的函數(shù)關(guān)系。上式中，每取定一組坐標(biāo)分量值就確定了一個流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程和軌跡；三個坐標(biāo)分量在流動空間中連續(xù)變化，就給出所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度與運(yùn)動方程有如下關(guān)系，。（1-15）同樣可以描述流動的

16、其它物理量，如密度，壓強(qiáng)，溫度等。二、歐拉方法和隨體導(dǎo)數(shù)1、歐拉方法這種方法著眼于流動空間，描述任意時刻流動空間中各物理量的分布，將物理量表示為空間位置和時間的函數(shù)。例如、等等。速度場描述了任意時刻流速的空間分布，時間連續(xù)變化給出流動發(fā)展演變的整個過程。場點(diǎn)位置坐標(biāo)稱為歐拉變數(shù)。在直角坐標(biāo)系下歐拉變數(shù)為。在理論分析中，歐拉方法較拉格朗日方法常用，這是因?yàn)樵诒硎净疚锢矶傻牧黧w運(yùn)動方程中，那些表示流體質(zhì)量，動量和能量輸運(yùn)的項(xiàng)總和這些物理量分布的瞬時梯度直接相關(guān)。故采用表述瞬時物理量分布的歐拉方法自然方便，而且也適合于運(yùn)用場論等現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具。拉格朗日方法主要用于研究污染物轉(zhuǎn)移等跟蹤過程。如果流

17、動不隨時間變化，稱該流動為定常流動，否則稱為非定常流動。對于定常流動，歐拉表述的物理量不隨時間變化。例1.1 分別以拉格朗日和歐拉方法表述圖1-3的純剪切流動。取直角笛卡爾坐標(biāo)系，軸沿流動方向，軸垂直平板向上，選定某時刻為時間零點(diǎn)。拉格朗日表述的運(yùn)動方程為。歐拉表述的速度場為。注：本講義以表征直角坐標(biāo)系三個速度分量。例題1.2 流體質(zhì)點(diǎn)繞軸以等角速旋轉(zhuǎn)， 1） 以歐拉方法表述流體運(yùn)動的速度和加速度；2） 以拉格朗日方法表述流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程、速度和加速度；解：選取柱坐標(biāo)系。1），。2）運(yùn)動方程，其中代表流體質(zhì)點(diǎn)初始位置，取為拉格朗日變數(shù)。速度：，。加速度：，。2、兩種方法的聯(lián)系歐拉方法著眼于場

18、，拉格朗日方法則著眼于流體質(zhì)點(diǎn)系，二者從不同角度描述同一流動，因而是等效的，可唯一地相互轉(zhuǎn)換。（1）拉格朗日表述歐拉表述已知運(yùn)動方程，假設(shè)時刻位于的流體質(zhì)點(diǎn)在時刻運(yùn)動到場點(diǎn)，有。（1-16）該質(zhì)點(diǎn)在時刻的速度也是以歐拉方法表述的速度場該時刻在場點(diǎn)處的速度，即。（1-17）由（1-16）解得初始位置坐標(biāo)，將中的拉格朗日變數(shù)代換后即得。（2） 歐拉表述拉格朗日表述已知速度場，假設(shè)時刻位于場點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)在時刻位于，因此該質(zhì)點(diǎn)時刻的速度為。利用（1-15）式，可得，（1-18）即。（1-19）此微分方程組在初始條件下的解即為流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。例1.3 設(shè)某流動歐拉表述的速度場為，其中、為常數(shù)。試給出

19、此流動在拉格朗日表述下的（1）流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程，（2）速度和（3）加速度。解：1）設(shè)初始位置在的質(zhì)點(diǎn)時刻到達(dá)處，該質(zhì)點(diǎn)時刻的速度即為時刻歐拉速度場在場點(diǎn)處的速度，即。寫成分量式即，積分可得。利用初始條件可確定積分常數(shù)，代入上面各式即得該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。2）速度3）加速度附 積分公式微分方程的解為，其中為積分常數(shù)。例1.4 已知某二維流動在拉格朗日表述下的速度為，式中代表時流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)。試求：1）流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程；2）設(shè)某質(zhì)點(diǎn)初始位置（），求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程；3）上述流體質(zhì)點(diǎn)的加速度；4）歐拉表述下的速度。解：1）拉格朗日表述下有，即，。積分得，。利用初始條件可得，因而流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程為

20、，。2）初始位置（）的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，。3）拉格朗日表述的流體質(zhì)點(diǎn)加速度，。初始位置（）的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為，。4）設(shè)初始位置在的流體質(zhì)點(diǎn)時刻到達(dá)處，于是有。由運(yùn)動方程可知，解此二方程可得時刻位于場點(diǎn)的那個流體質(zhì)點(diǎn)的初始位置，。代換后即得歐拉速度，。3、 流體質(zhì)點(diǎn)的加速度與隨體導(dǎo)數(shù)某流動以歐拉方法描述，速度場為。在該流場中，假設(shè)某個流體質(zhì)點(diǎn)t時刻位于點(diǎn)，時刻運(yùn)動到點(diǎn)，位移，在直角坐標(biāo)系下該質(zhì)點(diǎn)加速度的分量為(1-20)類似地可以得到加速度的和分量，(1-21)，(1-22)三個分量式合并可得。(1-23)上式中反映速度場的非定常性對流體質(zhì)點(diǎn)加速度的貢獻(xiàn)，稱為速度場的“局地導(dǎo)數(shù)”；反映速度

21、場的非均勻性對質(zhì)點(diǎn)加速度的貢獻(xiàn)，稱為“遷移加速度”或“位變加速度”；公式(2-7)也可以表示為。(1-24)通常記（或），于是有，這種形式的導(dǎo)數(shù)稱為隨體導(dǎo)數(shù)（或全導(dǎo)數(shù)）。在歐拉速度場中，所謂速度的隨體導(dǎo)數(shù)即跟隨任一給定流體質(zhì)點(diǎn)“觀測”得到其速度隨時間的變化率。上述理論可以推廣到任意物理量場，一般地，流體質(zhì)點(diǎn)的任何物理量，標(biāo)量或矢量，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中的變化率為 （1-25）或(2-9)或。(1-26)一切物理規(guī)律都是以確定的物體為對象表述的，因此，在那些表述物理定律的數(shù)學(xué)方程中，常常要出現(xiàn)屬于某流體質(zhì)點(diǎn)的物理量隨時間的變化率隨體導(dǎo)數(shù)。討論1：對于非定常、均勻流場，分析時間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化和加

22、速度。討論2：對于定常、非均勻流場，分析時間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化和加速度。例1.5 已知某二維流動速度場，求加速度場。 例1.6 設(shè)某流動，說明下列各式的物理意義： ； ；。答：代表所有流體質(zhì)點(diǎn)都作勻速直線運(yùn)動；代表速度場定常；說明流場空間均勻；說明沿流線速度不變，這同時也說明流線是直線。例1.7 在二維不定常流場內(nèi)，在時刻在不同位置測到的速度分量為：在點(diǎn)，于不同時刻也進(jìn)行了速度測量，測量結(jié)果為：其中和的單位為m/sec，的單位為sec，和的單位為m，試估計時刻點(diǎn)附近分別沿和方向的平均加速度分量。解：由題意可知，代入得。三、流體運(yùn)動的幾何描述1、軌跡同一流體質(zhì)點(diǎn)不同時刻所在位置的連線即該流體質(zhì)

23、點(diǎn)的軌跡。在拉格朗日表述下，有參數(shù)化軌跡方程：，(1-27)消去參數(shù)后得到軌跡方程，其中常數(shù)由該流體質(zhì)點(diǎn)的初始位置決定。在歐拉表述下，有微分形式軌跡方程：，(1-28)顯然微分方程組的解是，（1-29）其中是積分常數(shù)，該解代表一族軌跡。設(shè)某流體質(zhì)點(diǎn)時刻位于處，將該初始條件代入（1-29）可確定積分常數(shù)，從而得到該流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程(1-27)。例1-8 圓柱形桶內(nèi)水繞對稱軸的圓周運(yùn)動，求軌跡方程。解：選取柱坐標(biāo)系，初始時刻在位置的流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為，。若選取直角坐標(biāo)系，初始時刻在位置的流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為， 。例1-9 已知某流動速度場，求任意流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。解：軌跡方程的微分形式為積分

24、得到，其中、為積分常數(shù)，由時刻質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)確定。這是以為參數(shù)的參數(shù)形式的軌跡方程。 2、 流線在任意給定時刻，在流場中畫一條曲線，曲線上任一點(diǎn)的切向沿該點(diǎn)速度方向，這樣的曲線就是流線。流線方程的微分形式為，(1-30)其中為參量。由公式(2-30)可知，對于流速方向定常（只是速度大小改變）的流動而言，流線不隨時間改變，但是若流速方向非定常，則流線隨時間變化。由任意時刻任意點(diǎn)處流速方向的唯一性可知兩條流線不能相交。注意從方程組（2-28）也可以得到，（1-31）此式表示軌跡上的線元（即微元位移）方向平行于該軌跡所屬的那個流體質(zhì)點(diǎn)在該處時的速度，式中的代表的是那個流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，它們都是時間的函數(shù)

25、，因而是積分變量。例1-10 對于例1-9給出的流動，寫出流線方程，并畫出情況下時刻的流線圖。解：這是一個二維流動，根據(jù)公式（2-14），有，積分得到流線族的曲線方程。其中是積分常數(shù)，取一個值就可得到一條流線。情況下時刻的流線方程為，若流線圖同例1-11右圖，但注意這種流動并不是位于原點(diǎn)的平面點(diǎn)源誘導(dǎo)的二維不可壓縮流動。3、軌跡和流線的關(guān)系軌跡與拉格朗日方法相聯(lián)系，著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，描述流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路徑；流線與歐拉方法相聯(lián)系，著眼于場，描述任意給定時刻空間中的流向分布。任意瞬時的流線族給出該瞬時所有流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向。由(2-12)式可得。(1-32)方程(2-14)與微分形式的流線方程相比(2

26、-13)的差異在于，前者中為變量，而后者中是參數(shù)。軌跡與流線一般不重合。若為定常場，則二者微分方程均為，(1-33)顯然此時二者重合（錄像天大VCD流動顯示部分）。實(shí)際上，只要速度場的方向是定常的，流線與軌跡就重合。例1-11畫出純剪切流動，和平面點(diǎn)源誘導(dǎo)的流動的流線圖與軌跡圖，其中為常量。二流動均為定常流動，流線圖與軌跡圖相同，如下所示 例1-12 設(shè)某二維流動速度為，求1）時刻過點(diǎn)的流線；2）求時刻位于點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡。解：流線的微分方程為，積分得，其中為積分常數(shù)。此式是任意給定時刻的流線族曲線方程，將和，同時代入方程得到，于是時刻過點(diǎn)的流線方程為。軌跡微分方程組為，。積分并利用初始條件

27、得參數(shù)形式軌跡方程，。消去參數(shù)后得到。例1-13 設(shè)某流動的速度場其中、和是常量，求流線方程。解：流線的微分方程為，積分得兩曲面族，流線族為上述兩曲面族的交線。4、其它相關(guān)概念脈線（條紋線）：不同時刻經(jīng)過同一給定場點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的連線。流面和流管：在流場中取一段曲線（或一條閉合曲線）, 經(jīng)過其上各點(diǎn)的流線組成流面（或流管）。流線不能與流面相交或穿出、穿入流管。§1.3 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式 速度分解定理（Analysis of the relative motion near a point）分析錄像Kinematic Reversibility部分剛性圈的轉(zhuǎn)動（可以看出流體團(tuán)的平動

28、和自旋轉(zhuǎn)動）和有色流體方框的平動、轉(zhuǎn)動和剪切變形。（低Re數(shù)流動1249運(yùn)動學(xué)恢復(fù)性）剛體的基本運(yùn)動形式包括參考點(diǎn)的平動和繞參考點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，除這兩種運(yùn)動外，流體的基本運(yùn)動還有變形運(yùn)動。以純剪切流動為例，下圖顯示流體團(tuán)的運(yùn)動可以分解為參考點(diǎn)的平動+繞參考點(diǎn)的轉(zhuǎn)動+變形運(yùn)動。在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，一般情況下流體中任何一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動和處于其極小鄰域內(nèi)的其它質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動之間存純剪切流動流體團(tuán)運(yùn)動的分解在這種普遍的運(yùn)動學(xué)聯(lián)系。分析這種聯(lián)系不僅有助于揭示流體速度場的結(jié)構(gòu)特征，也是建立流體的內(nèi)應(yīng)力與流體變形運(yùn)動之間關(guān)系的前提。一、Helmholtz速度分解定理本節(jié)在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，分析某流動時刻在場點(diǎn)的極小鄰域內(nèi)的

29、任一點(diǎn)相對于點(diǎn)的運(yùn)動。選取直角坐標(biāo)系。相對于的速度為 ，(1-36)或?qū)懗煞至啃问剑?1-37)或表示為矩陣運(yùn)算，(1-38)式(1-38) 中的3×3矩陣可以分解為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣，(1-40) 對應(yīng)地，相對速度可分解為兩部分，(1-41) 和。(1-42)可以看到，反對稱矩陣的三個獨(dú)立的非對角元對應(yīng)矢量的三個分量，并且容易證明。(1-43)在的極小鄰域內(nèi)，速度場的旋度可以認(rèn)為是均勻的，因而式(1-43)表示點(diǎn)極小鄰域內(nèi)的各點(diǎn)以角速度繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動。流體微團(tuán)的這種轉(zhuǎn)動像剛體繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動一樣，因而稱之為剛性轉(zhuǎn)動。代表流體微團(tuán)運(yùn)動區(qū)別于剛體運(yùn)動的部分，即變形運(yùn)動。引入函數(shù)，(1-

30、44)則有。(1-45)綜上，由點(diǎn)極小鄰域內(nèi)的介質(zhì)構(gòu)成的流體微團(tuán)的運(yùn)動可以分解為跟隨點(diǎn)的平動繞點(diǎn)的剛性轉(zhuǎn)動（角速度等于點(diǎn)處速度旋度的一半）變形運(yùn)動，即，(1-46)此即Helmholtz速度分解定理。例1-14 設(shè)純剪切運(yùn)動速度分布為，求：1）；2）在場中任意點(diǎn)的極小鄰域內(nèi)取點(diǎn)，求處的流體相對處流體的旋轉(zhuǎn)速度和變形速度。解：1）。 2）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動：。變形運(yùn)動：，即。相對速度。兩坐標(biāo)軸上的流體質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)、變形運(yùn)動及合成相對運(yùn)動各分運(yùn)動和合成流動如下圖所示：二、變形運(yùn)動張量各張量元的物理意義任意時刻在點(diǎn)附近沿軸方向取物質(zhì)線元，設(shè)其長度為，根據(jù)公式(1-42)，相對于的變形運(yùn)動速度分別為。(

31、1-47)注：所謂物質(zhì)線是指相鄰的流體質(zhì)點(diǎn)連成的線段，物質(zhì)線在流動過程中可以變形，但始終由固定的那些流體質(zhì)點(diǎn)組成。物理上的“線”的概念是指研究對象的縱向尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫向尺度。盡管橫向尺度不為零，但數(shù)學(xué)處理上總是將橫向尺度看成無限趨近于零。例如，靜電學(xué)中的線電荷分布。選定的物質(zhì)線內(nèi)的物質(zhì)與外界有分子交換，但其數(shù)量遠(yuǎn)小于物質(zhì)線內(nèi)分子總量，可以忽略不計。例如平板繞流流動錄像中的時間線就是一條物質(zhì)線。（流動顯示1335-1510）假設(shè)時刻該物質(zhì)線元因變形運(yùn)動而運(yùn)動到，相對于的坐標(biāo)分別為 ，(1-48)時刻物質(zhì)線元的相對伸長率為。(1-49)可見等于沿軸方向的物質(zhì)線元的相對伸長率。類似地可以證明和分別等

32、于沿和軸方向的物質(zhì)線元的相對伸長率。矩陣的三個對角元分別代表沿三個坐標(biāo)軸方向的物質(zhì)線元的相對伸長率。這三個對角元之和恰好是速度的散度，。以后會看到速度散度代表流體微團(tuán)體積的相對變化率，因此三個對角元的和不依賴于坐標(biāo)系。再考察變形運(yùn)動引起的原本正交的物質(zhì)線元夾角的變化率。點(diǎn)附近沿軸和軸方向取的兩條物質(zhì)線元因變形運(yùn)動而改變夾角，以表示和的夾角，有。(1-50)設(shè)，有。于是的變化率。(1-51)保留到的一階項(xiàng)時，(1-52)，(1-53)將(1-53) (1-54)代入(1-52)可得。(1-54)故為和方向物質(zhì)線元夾角變化率一半的負(fù)值。同理可知，意義。物質(zhì)線元間夾角的改變稱為剪切變形。矩陣描述流體

33、微團(tuán)的變形運(yùn)動，稱為變形運(yùn)動張量。該矩陣還可以進(jìn)一步分解，。(1-55)前者三個對角元的和為零，因而代表沒有體積變化的純剪切變形運(yùn)動。后者是，代表單位矩陣，在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)時不變，因而矩陣代表的變形運(yùn)動具有這樣的特征：1）沿任意方向的物質(zhì)線元的相對伸長率都相等；2）變形運(yùn)動速度方向平行于物質(zhì)線元，故不存在剪切變形運(yùn)動。這樣的運(yùn)動是各向同性膨脹運(yùn)動。例1-15分析平面流動中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和變形運(yùn)動。時刻取物質(zhì)線元和分別平行于兩坐標(biāo)軸，如圖所示，長度分別為和?？疾槲镔|(zhì)線和相對于點(diǎn)的運(yùn)動。設(shè)時刻兩物質(zhì)線分別運(yùn)動到和，1）計算兩物質(zhì)線關(guān)于點(diǎn)的平均角速度；2）計算兩物質(zhì)線夾角的變化率。解：物質(zhì)線轉(zhuǎn)過的角

34、度，因此其角速度。物質(zhì)線轉(zhuǎn)過的角度（負(fù)號表示逆時針的角位移為正），因此其角速度。二者角速度之和即渦量，二者平均角速度為，它是處流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度。經(jīng)過時間，二物質(zhì)線元間的夾角增加了，因此二者夾角的變化率為。§4作用在流體上的力§4.1 質(zhì)量力和面力 考慮一個流體團(tuán)，體積，表面，該流體團(tuán)所受外力可分為兩類：體力（也稱質(zhì)量力）和面力。一、 體力作用于流體團(tuán)每個流體質(zhì)點(diǎn)上的力稱為體力，例如重力、慣性力等。以表示時刻作用于處單位質(zhì)量流體上的體力，例如重力；則流體團(tuán)所受體力的合力為。二、 面力與流體團(tuán)表面接觸的其他流體或固體作用于該流體團(tuán)表面上的力。例如壓強(qiáng)、摩擦力等。定義作用于流

35、體團(tuán)單位面積表面上的面力為應(yīng)力。在流場中某點(diǎn)的極小鄰域內(nèi)取正多面體形狀的流體微團(tuán)，一般而言，其表面的各平面面元上的應(yīng)力不同，也就是說，作用在一點(diǎn)附近不同法向面元上的應(yīng)力不同。應(yīng)力的大小和方向不僅與面元所在位置有關(guān)，還與面元的法向有關(guān)，而且一般說來應(yīng)力的方向與面元法向不一致。這與靜止（或均勻流動）流體中的情形不同，流體靜止時，在某點(diǎn)處取球形流體微團(tuán)，球面各點(diǎn)處應(yīng)力（靜壓強(qiáng)）大小相同且沿徑向向內(nèi)。應(yīng)力的符號表示：代表指向一側(cè)的流體作用于另一側(cè)流體上的應(yīng)力；則代表指向一側(cè)的流體作用于另一側(cè)流體上的應(yīng)力。據(jù)Newton第三定律，有。流體靜止時，其中代表靜壓強(qiáng)。流體團(tuán)所受合面力，取外法線方向。§

36、;4.2應(yīng)力張量一、應(yīng)力張量任意時刻在任意場點(diǎn)附近，隨而變，但只要知道三個正交面元上的應(yīng)力，則以任意為法向的面元上的應(yīng)力都可以通過它們表示出來。這三個面上應(yīng)力的9個分量組成應(yīng)力張量，在笛卡爾坐標(biāo)系下，一般將這三個正交面元取為3個坐標(biāo)平面，在直角坐標(biāo)系下其形式為：。證明：已知時刻點(diǎn)處的應(yīng)力張量，在點(diǎn)附近取如圖形狀的流體微團(tuán)，該四面體的三個面為坐標(biāo)面，還有一個面外法向記為。該流體微團(tuán)的作用力平衡方程為，（1-56）其中代表單位質(zhì)量流體所受的合體力（包括各種慣性力和真實(shí)體力）?？紤]到 為三階小量，而各面力項(xiàng)是二階小量，在作用力平衡方程中略去三階小量得 。（1-57）利用（1-58）可得。（1-59）

37、上式還可表示為。（1-60）張量元代表作用在以軸方向?yàn)榉ㄏ虻拿嬖系膽?yīng)力的分量，其他張量元意義依此類推。二、應(yīng)力張量是對稱張量證明：時刻以為中心取正六面體微團(tuán)，邊長，研究該流體微團(tuán)所受力矩的平衡。體力（包括慣性力和真實(shí)體力）的力矩為四階小量（或認(rèn)為體力力心在中心點(diǎn)處，因而力矩為零），因而在三階近似下，面力關(guān)于點(diǎn)的合力矩等于零。對于微元平面，可以認(rèn)為各面元上應(yīng)力均勻分布，故每個面元上面力中心位于各面元幾何中心，于是有即 ，（1-61）可知。（1-62）三、 理想流體和靜止流體的應(yīng)力張量流體具有易流動性，不能在承受切應(yīng)力的同時保持靜止，因而靜止流體內(nèi)沒有切向應(yīng)力，三個坐標(biāo)面上的應(yīng)力只有法向分力不為

38、零，即應(yīng)力張量的非對角元全部為零。進(jìn)一步還可以證明，切應(yīng)力為零時，各法應(yīng)力與面元法向無關(guān)，即應(yīng)力張量的三個對角元相等，是各向同性的。證明：靜止流體切應(yīng)力為零，即，。（1-63）于是由（1-59）式可得。（1-64）式（1-63）最后一個等式的分量式為，（1-65）比較式（1-64）和（1-65）可知。切向應(yīng)力來自于粘性，理想流體沒有粘性，因而切應(yīng)力為零，所以也有上述結(jié)論成立。于是靜止或理想流體的應(yīng)力和應(yīng)力張量可表示為，。（1-66）例1.16設(shè)某流動在任意點(diǎn)處的應(yīng)力張量均為其中、和是常量，求1）法向沿軸方向的面元上的應(yīng)力；2）該面元上應(yīng)力的切向和法向分量。解：1）。2）法應(yīng)力，切應(yīng)力兩分量，。

39、§5本構(gòu)方程一、方程的引出：（1）應(yīng)力張量的分解考慮到靜止流體和理想流體應(yīng)力張量的形式，將流體的應(yīng)力張量分解為，其中來自于粘性，稱為偏應(yīng)力張量。這樣當(dāng)流體靜止或無粘時應(yīng)力張量就退化為形式。顯然是對稱張量。（2）線性假設(shè)Newton粘性定律指出，對于牛頓流體的純剪切流動，切應(yīng)力與速度梯度成線性關(guān)系，。將此線性關(guān)系推廣到牛頓流體的一般流動，假設(shè)偏應(yīng)力張量各分量與速度梯度各分量成線性關(guān)系。（1-67）其中。（3）偏應(yīng)力與流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動無關(guān)偏應(yīng)力產(chǎn)生于相鄰流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對運(yùn)動，而這種相對運(yùn)動又可分解為流體微團(tuán)的剛性旋轉(zhuǎn)和變形運(yùn)動。假設(shè)流體只有旋轉(zhuǎn)沒有變形運(yùn)動，例如水桶中剛性旋轉(zhuǎn)的水。選

40、取和桶一起旋轉(zhuǎn)的參照系。在該參照系下，水靜止，則應(yīng)力各向同性，沒有偏應(yīng)力。由于面力是真實(shí)力，與參照系的選取無關(guān)，可知旋轉(zhuǎn)運(yùn)動不會導(dǎo)致偏應(yīng)力?？芍珣?yīng)力僅因變形運(yùn)動產(chǎn)生。嚴(yán)格證明參吳望一（p166）。描述流體微團(tuán)變形運(yùn)動的是變形運(yùn)動張量，因而偏應(yīng)力的張量元（矩陣元）應(yīng)當(dāng)與變形運(yùn)動張量的張量元有關(guān)，在線性假設(shè)下，。（1-68）（4）各向同性流體考慮一個特例來理解流體粘性的各向同性。在下圖的左圖中，在水池中移動平板引起純剪切流動，根據(jù)牛頓粘性定律，摩擦應(yīng)力。（1-69）如果將平板和坐標(biāo)系一起轉(zhuǎn)動，成為右圖的情況，仍然移動平板引起純剪切流動，此時摩擦應(yīng)力。（1-70）我們知道，對于水而言，式（1-69）和（1-70）中的粘性系數(shù)相同，我們說水是各向同性的。在水池中無