高中數(shù)學(xué)秒殺型推論

1、高中數(shù)學(xué)秒殺型推論一 函數(shù)1. 抽象函數(shù)的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函數(shù)概念的推廣及其周期：（1）對(duì)于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a，使得f（a-x）=f（a+x），則稱f（x）為廣義（）型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足時(shí)，f（x）為周期函數(shù)T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），則f（x）是廣義（）型奇函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)相

2、異實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足時(shí)，f（x）為周期函數(shù)T=2|b-a|3.抽象函數(shù)的對(duì)稱性 （1）若f（x)滿足f（a+x）+f（b-x）=c 則函數(shù)關(guān)于（，）成中心對(duì)稱（充要）（2）若f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）則函數(shù)關(guān)于直線x=成軸對(duì)稱（充要）4.洛必達(dá)法則，設(shè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)和g(x)二、三角1.三角形恒等式（1）在中， （2） 正切定理&余切定理：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （3） （4） （5）2任意三角形射影定理（又稱第一余弦定理）：在ABC中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3. 任意三角形

3、內(nèi)切圓半徑r=（S為面積），外接圓半徑歐拉不等式：R>2r4梅涅勞斯定理如下圖，E.D.F三點(diǎn)共線的充要條件是 5塞瓦定理 如下圖，AD、BE、CF三線共點(diǎn)的充要條件是 6. 斯特瓦爾特定理：如下圖，設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB²DC+AC²BD-AD²BCBCDCBD7、和差化積公式（只記憶第一條）sin+sin=2sincossin-sin=2cossin cos+cos=2coscos cos-cos=-2sinsin8、積化和差公式sinsin=- coscos=sincos= cossin=9、萬(wàn)能公式10三角混合不等式：若

4、x（0，),sinxxtanx當(dāng)x0時(shí)sinxxtanx11.海倫公式變式如下圖，圖中的圓為大三角形的內(nèi)切圓，大三角形三邊長(zhǎng)分別為a.b.c，大三角形面積為12.雙曲函數(shù)定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=，雙曲余弦函數(shù)coshx=易知（1）奇偶性：sinhx為奇函數(shù)，coshx為偶函數(shù)（2）導(dǎo)函數(shù)：（sinhx）=coshx，（coshx）=sinhx（3）兩角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）復(fù)數(shù)域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x）（5）定義域：xR（6）值域：s

5、inhxR，coshx1，+）13.三角形三邊a.b.c成等差數(shù)列，則14.三角形不等式（1）在銳角中， （2）在中，（3）在中，sinA>sinBcos2A>cos2B15ASA的面積公式：3、 復(fù)數(shù)1歐拉公式（泰勒級(jí)數(shù)推出） cos+isin=ei2棣莫弗定理（歐拉公式推出）（cos+isin）n=cos(n)+isin(n)3.復(fù)數(shù)模不等式（三角不等式）|z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn| 當(dāng)且僅當(dāng)所有復(fù)數(shù)幅角主值相等時(shí)等號(hào)成立45. 復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四數(shù)列（所有通過(guò)遞推關(guān)系得出通項(xiàng)后都要檢驗(yàn)首項(xiàng)）1.An

6、+1=kAn+f(n)兩邊同除以kn+1，構(gòu)造數(shù)列，通過(guò)累加法得出通項(xiàng)公式2. An+1=kAn+C 設(shè)一常數(shù)x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x則（k-1）x=C，求出x=，得到等比數(shù)列,公比為k3不動(dòng)點(diǎn)法：形如An+1=（d0，當(dāng)d=0時(shí)，則是第二種情況），設(shè)函數(shù)f(x)=，x=的根稱為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，（1）若函數(shù)f（x）有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)， 則數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，An=，An=（2）若函數(shù)f（x）只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 則數(shù)列數(shù)一個(gè)等差數(shù)列，An=（3）若函數(shù)f（x）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列An是周期數(shù)列，周期自己找4特征方程法：形如An+2=pAn+1+qAn稱為二階遞推數(shù)

7、列，我們可以用它的特征方程x²-px-q=0的根來(lái)求它的通項(xiàng)公式（1）若方程有兩根x1，x2，則An=x1n-1+x2n-1 (,可根據(jù)題目確定)（2）若只有一個(gè)根x0An=(+n)x0n-1 (,可根據(jù)題目確定)5變系數(shù)一階遞推數(shù)列四、不等式1.權(quán)方和不等式（赫德爾不等式推出）當(dāng)且僅當(dāng)2.黎曼和-定積分不等式級(jí)數(shù)與定積分之間的關(guān)系設(shè)可積函數(shù)f(x)當(dāng)f(x)為減時(shí)，當(dāng)f(x)為增時(shí)，3琴生不等式函數(shù)的平均數(shù)與平均數(shù)的函數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)f(x)為凹函數(shù)，即f（x）>0時(shí)當(dāng)f(x)為凸函數(shù)，即f（x）<0時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=xn時(shí)，等號(hào)成立4.卡爾松不等式 5排序不等式 當(dāng)

8、且時(shí)， 其中以上可概括為 順序和亂序和倒序和5切比雪夫總和不等式（排序不等式推出）當(dāng)an與bn逆序時(shí)當(dāng)an與bn順序時(shí)不等式反向6舒爾不等式（Schur不等式）xt（x-y）（x-z）+yt（y-x）（y-z）+zt（z-x）(z-y)0當(dāng)x=y=z時(shí)，等號(hào)成立配Schur法（Schur分拆法）三元齊三次對(duì)稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是因?yàn)閒(x,y,z)=a+b+cxyz三元齊四次對(duì)稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是因?yàn)閒(x,y,z)=三元齊五次對(duì)稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是因?yàn)閒(x,y,z)=7常用對(duì)數(shù)不等式當(dāng)x-1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立8.伯努利不等式當(dāng)x

9、-1，n0時(shí)或n為正偶數(shù)，xR時(shí)（1+x）n1+nx當(dāng)n=0或1，或x=0時(shí)等號(hào)成立9uvw法和pqr法（解決三元對(duì)稱輪換式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式當(dāng)a.b.c為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，用uvw法；當(dāng)a,b,cR時(shí)，用pqr法10.SOS法（配方法）不解釋11拉格朗日乘數(shù)法（解決條件極值問(wèn)題）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L=F（x,y,z）+f(x,y,z)對(duì)F（x,y,z）分別關(guān)于x,y,z，求偏導(dǎo)，得到四元方程組，其中對(duì)F（x,

10、y,z）關(guān)于求偏導(dǎo)所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程組所得解，即F（x,y,z）的極值點(diǎn)，從而算出極值。由拉格朗日乘數(shù)法可知，所有對(duì)稱輪換式的極值在x=y=z時(shí)取到12拉格朗日乘數(shù)法推論（拉格朗日乘數(shù)法得到）已知x，y，za,b，對(duì)稱輪換式F（x,y,z）的極值在和x=y=z時(shí)取到13已知a.b.c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=k，求證證明：k=a+b+c=a+整理即得所求不等式14冪平均不等式當(dāng)且僅當(dāng)a1=an時(shí)等號(hào)成立1516 17.雙絕對(duì)值函數(shù)圖像18a.b為正數(shù)當(dāng)mn>0時(shí)，當(dāng)mn<0時(shí)，五、排列組合1隔板法I把n個(gè)元素放到m個(gè)集合中，所得集合均非空，則有種x1+x2+xm

11、=n的正整數(shù)解個(gè)數(shù)為2.隔板法II把n個(gè)元素放到m個(gè)集合中，所得集合可為空，則有種x1+x2+xm=n的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為（a1x1+a2x2+amxm）n展開式的項(xiàng)數(shù)為3.圓排列從n個(gè)元素中抽取m個(gè)元素，按照一定的順序排列成一圈，叫做一個(gè)圓排列，圓排列的個(gè)數(shù)4.重復(fù)組合從n個(gè)元素中抽取m個(gè)元素，元素可以重復(fù)選取，不管順序，組成一組，叫重復(fù)組合，重復(fù)組合個(gè)數(shù)5組合恒等式（只例舉了最簡(jiǎn)潔的四個(gè)） 6.從互不相同的n個(gè)非零數(shù)字中任取m個(gè)，所得m位數(shù)之和為S，S=，其中為n個(gè)非零數(shù)字的算術(shù)平均數(shù)7（ax+by）n展開式中，第k項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，則其中 表示高斯函數(shù)，即取整函數(shù)六、解析幾何1圓錐曲線統(tǒng)一

12、極坐標(biāo)方程2圓錐曲線統(tǒng)一焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式3A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四點(diǎn)共圓的充要條件5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三線共點(diǎn)的充要條件=06過(guò)（x0，y0）引圓錐曲線F（x,y）的弦，弦中點(diǎn)的軌跡方程為y-y0=F（x,y）（x-x0），當(dāng)（x0，y0）為弦中點(diǎn)時(shí)，弦中點(diǎn)軌跡方程為y-y0=F（x0,y0）（x-x0）7.定比分點(diǎn)公式：A（xA，yA），B（xB，yB），AB的+1等分點(diǎn)坐標(biāo)為（）8.若拋物線y2=2px

13、，AB是拋物線上的動(dòng)弦，kOAkOB=，則AB恒過(guò)定點(diǎn)（）9.拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），焦點(diǎn)弦斜率為k，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度為L(zhǎng)（1）y1y2=-p2 x1x2= x1+x2=p+= y1+y2=（2）L=x1+x2+p=（3）k= （4） （5）10圓錐曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì)（通性）：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，（1）已知x1+x2時(shí)， 橢圓：L=2a-e（x1+x2） 雙曲線：L=e-2a 拋物線：L=+p（2）已知焦點(diǎn)弦傾斜角時(shí)，L=（3）橢圓、拋物線、雙曲線（焦點(diǎn)弦端點(diǎn)在同支）焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑倒數(shù)之和為常數(shù)雙曲線（焦點(diǎn)弦端點(diǎn)在異支）焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑倒數(shù)之差為常數(shù)（4）

14、圓錐曲線正交焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和為常數(shù)（5）圓錐曲線焦點(diǎn)弦AB的中垂線于對(duì)稱軸（標(biāo)準(zhǔn)方程中為x軸）于D，（6）圓錐曲線內(nèi)，最長(zhǎng)的焦點(diǎn)弦為通徑11.圓錐曲線的焦半徑（通性）（1）極點(diǎn)為焦點(diǎn)，極軸為x軸的圓錐曲線極坐標(biāo)方程 式中的為極徑，即焦半徑，為極角（2）已知焦半徑端點(diǎn)的橫坐標(biāo)x時(shí) 12雙焦點(diǎn)三角形面積：F1.F2為有心圓錐曲線兩焦點(diǎn)P為橢圓上一個(gè)點(diǎn)，P為雙曲線上一個(gè)點(diǎn)，13.圓錐曲線冪定理：圓錐曲線F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0與一條過(guò)M（x0，y0），且傾斜角為的直線L交于P1.P2兩點(diǎn)，則·=14.點(diǎn)P（x0，y0）對(duì)圓錐曲線C引兩條切線，連結(jié)切點(diǎn)所得線為切點(diǎn)弦（極線

15、），或點(diǎn)P（x0，y0）為切點(diǎn)，則極線方程或切線方程為（1）若C為橢圓，（2）若C為雙曲線，（3）若C為拋物線，15.已知有心圓錐曲線F（x,y），直線l：f(x,y)，p是l上一點(diǎn)，射線OP交圓錐曲線于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OB上，且滿足，當(dāng)P在l上移動(dòng)時(shí)，Q的軌跡方程即為F（x,y）=f(x,y)16曲線族F（x,y,t）的包絡(luò)為F（x,y,t）=017. A（x1，y1），B（x2，y2），以AB為直徑的圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=018.關(guān)于雙曲線漸近線：（1）共軛雙曲線：實(shí)軸與虛軸對(duì)換，有相同漸近線，四焦點(diǎn)共圓，離心率的倒數(shù)平方和為1：（2）焦點(diǎn)到漸近線距離

16、為虛半軸長(zhǎng)b（3）若兩漸近線夾角為，則雙曲線離心率e=（4）雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線距離之積為常數(shù)（5）過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)M作平行于實(shí)軸的直線交兩漸近線于P.Q，則19過(guò)有心圓錐曲線上一定點(diǎn)P（x0，y0）作傾斜角互補(bǔ)的兩直線與有心圓錐曲線的另兩交點(diǎn)A.B的連線的斜率為定值過(guò)無(wú)心圓錐曲線上上一定點(diǎn)P（x0，y0）作傾斜角互補(bǔ)的兩直線與無(wú)心圓錐曲線的另兩交點(diǎn)A.B的連線的斜率為定值以上情況中，APB的角平分線x=x0平行于y軸，APB的內(nèi)切圓圓心恒過(guò)直線x=x0.20.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)：橢圓：由一焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)雙曲線：由一焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)雙曲線反射后的反向延長(zhǎng)線必過(guò)另一

17、焦點(diǎn)拋物線：平行于對(duì)稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)焦點(diǎn)；過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后必平行于對(duì)稱軸21.有心圓錐曲線的兩焦點(diǎn)到任一切線的距離積為定值，且定值為b222.橢圓上動(dòng)點(diǎn)對(duì)直徑端點(diǎn)連線的斜率積=橢圓切線的斜率切點(diǎn)與中心連線的斜率=橢圓弦斜率弦中點(diǎn)與中心連線的斜率=雙曲線上動(dòng)點(diǎn)對(duì)直徑端點(diǎn)連線的斜率積=雙曲線切線的斜率切點(diǎn)與中心連線的斜率=雙曲線弦斜率弦中點(diǎn)與中心連線的斜率=23.拋物線y2=2px內(nèi)接RtOAB（以O(shè)為直角頂點(diǎn)），A（x1，y1）B（x2，y2）（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2（2）AB恒過(guò)頂點(diǎn)（2p,0）（3）AB中點(diǎn)軌跡方程y2=p（x-2p）（4）AB邊上高的

18、垂足軌跡方程（x-p）2+y2=p2（5）（SOAB）min=（）min=4p224.對(duì)于極坐標(biāo)方程，從1到2，曲線所圍成的面積S=對(duì)于極坐標(biāo)方程，從1到2，曲線所積出的長(zhǎng)度L=25圓錐曲線上一弦AB，其中點(diǎn)M（x0，y0），AB的斜率為（1）對(duì)于橢圓，（2）對(duì)于雙曲線，（3）對(duì)于拋物線，26.圓錐曲線上定點(diǎn)：圓錐曲線上有一定點(diǎn)P（x0，y0），另有一直線L于圓錐曲線交于與P相異兩點(diǎn)A.B.第一組：當(dāng)kPAkPB=（）時(shí)1） 對(duì)于橢圓，L恒過(guò)定點(diǎn)2） 對(duì)于雙曲線，L恒過(guò)定點(diǎn)3） 對(duì)于拋物線，L恒過(guò)定點(diǎn)第二組：當(dāng)kPA+kPB=（0）時(shí)1） 對(duì)于橢圓，L恒過(guò)定點(diǎn)2） 對(duì)于雙曲線，L恒過(guò)定點(diǎn)3） 對(duì)于拋物線，L恒過(guò)定點(diǎn)七、立體幾何1萬(wàn)能求積公式：2.設(shè)平面內(nèi)三點(diǎn)A.B.C，（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），則該平面的法向量為3.空間余弦定理：相交平面內(nèi)分別有兩條垂直于相交棱的線段，長(zhǎng)度分別為m.n，垂足距離為d，另一端點(diǎn)之間距離為L(zhǎng)，則平面所成二面角，滿足4.二面角射影定理：如果平面內(nèi)的一個(gè)多邊形面積為S，它在平面內(nèi)的射影面積為S射，與所成