線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、第三章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.1 概述如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不可能付諸于工程實(shí)施的。因此，穩(wěn)定性問題是系統(tǒng)控制 理論研究的一個(gè)重要課題。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其響應(yīng)總可以分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入 響應(yīng)，因而人們習(xí)慣分別討論這兩種響應(yīng)的穩(wěn)定性，從而外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概O應(yīng)用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法很多。然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，這些穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)起來可能非常困難，甚至是不可能的。李雅普諾夫(A.M.Lyapunov)穩(wěn)定性

2、分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的一般方法。本章首先介紹外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念及其相互關(guān)系，然后介紹李雅普諾夫 穩(wěn)定性的概念及其判別方法，最后介紹線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。雖然在非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題中，Lyapunov穩(wěn)定性分析方法具有基礎(chǔ)性的地位，但在具體確定許多非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，卻并不是直截了當(dāng)?shù)摹＜记珊徒?jīng)驗(yàn)在解決 非線性問題時(shí)顯得非常重要。在本章中，對(duì)于實(shí)際非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析僅限于幾種簡 單的情況。3.2 外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性3.2.1 外部穩(wěn)定：考慮一個(gè)線性因果系統(tǒng)，如果對(duì)一個(gè)有界輸入u (t),即滿足條件：u(t)ki的輸入u (t),所產(chǎn)生的輸出y (t)

3、也是有界的，即使得下式成立：y(t)| k2則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，即BIBO ( Bounded Input Bounded Output)穩(wěn)定。注意：在討論外部穩(wěn)定性的時(shí)候，我們必須要假定系統(tǒng)的初始條件為零，只有在這種 假定下面，系統(tǒng)的輸入 一輸出描述才是唯一的和有意義的。系統(tǒng)外部穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性可根據(jù)脈沖響應(yīng)矩陣或者傳遞函數(shù)矩陣來進(jìn)行判別。a) 時(shí)變情況的判定準(zhǔn)則對(duì)于零初始條件的線T時(shí)變系統(tǒng)，設(shè) G(t，)為脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng) BIBO穩(wěn)定的充 要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k ,使對(duì)于一切t to，)，G(t，)的每一個(gè)元 gij(t, )(i 1,2,.q; j1

4、,2,. p)有tt gij(t, ) d k to即，G(t,)是絕對(duì)可積的。b) 定常情況下的判定準(zhǔn)則：對(duì)于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，初始時(shí)刻t0=0,G(t)為脈沖響應(yīng)矩陣，G(s)為傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng) BIBO穩(wěn)定的充要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k, G(t)的每一個(gè)元gij(t)(i 1,2,.q; j 1,2,. p)有 tgij(t) dk或者等價(jià)的：t0當(dāng)G(s)為真的有理分式函數(shù)矩陣時(shí)，G(s)的每一個(gè)傳遞函數(shù)g (s)的所有零極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。對(duì)于一個(gè)定常線性系統(tǒng)x(t) AxBu，其傳遞函數(shù)矩陣為： y(t) Cx(t) Du (t)G?(s) C(sI A) 1 B D

5、 1CAdj(sI A)B D。因此，只要滿足系統(tǒng)的det(sI A)全部特征根具有負(fù)實(shí)部根，則系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。3.2.2 內(nèi)部穩(wěn)定性.對(duì)于線性定常系統(tǒng)X=AX + Bu, y=CX + Du 如果外部輸入 u (t)為0,初始狀態(tài) X0為任意，且由X0引起的零輸入響應(yīng)(30，x0;0)滿足：lim (t;0; x0;0) 0 X則稱系統(tǒng)實(shí)內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸進(jìn)穩(wěn)定的。判定準(zhǔn)則：對(duì)于系統(tǒng)x(t) Ax(t),其解為X(t) eAtx(0)。因此，對(duì)于上面所列的狀態(tài)空間表 達(dá)，它的漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。3.2.3 內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系對(duì)線性定常

6、系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的等價(jià)關(guān)系，得出如下結(jié)論：1 .線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必為 BIBO穩(wěn)定的。2 .線性定常系統(tǒng)是 BIBO穩(wěn)定的，不一定就是內(nèi)部穩(wěn)定的。3 .線性定常系統(tǒng)是能控制和能觀測的，則其內(nèi)部穩(wěn)定性和BIBO穩(wěn)定是等價(jià)的。內(nèi)部穩(wěn)定外部穩(wěn)定3.1外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的關(guān)系3.3 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題對(duì)于一個(gè)給定的控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性分析通常是最重要的。如果系統(tǒng)是線性定常的， 那么有許多穩(wěn)定性判據(jù)，如Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)和 Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)等可資利用。然而，如果系統(tǒng)是非線性的，或是線性時(shí)變的，則上述穩(wěn)定性判據(jù)就將不再適用。Lyapunov第二法

7、(也稱 Lyapunov直接法)是確定非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的最 一般的方法。反過來，這種方法也可適用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。李雅普諾夫穩(wěn)定 分析法是確定時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性更一般的方法，這種方法可以在無需求解狀 態(tài)方程的條件下，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.3.1 基本概念a)平衡狀態(tài)忽略輸入后，非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程：x f(x,t)為n維狀態(tài)向量；t為時(shí)間變量；f(x,t)為n維函數(shù))，其展開式為：x& "Xi,X2,L ,xn,t) i 1, ,n如果對(duì)于所有t,滿足Xef(Xe,t) 0的狀態(tài)Xe稱為平衡狀態(tài)(又稱為平衡點(diǎn))。如果系統(tǒng)是線性定常的，也就是說

8、f(x,t) Ax,則當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，這些狀 態(tài)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的常值解(對(duì)所有t,總存在X Xe)。任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)(即彼此孤立的平衡狀態(tài))或給定運(yùn)動(dòng)X g(t)都可通過, 一.、 _坐標(biāo)變換，統(tǒng)一化為擾動(dòng)萬程 (,t)之坐標(biāo)原點(diǎn)，即 f(0,t) 0或xe 0。在本章中，除非特別申明，我們將僅討論擾動(dòng)方程關(guān)于原點(diǎn)(xe 0)處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。這種 原點(diǎn)穩(wěn)定性問題”由于使問題得到極大簡化，而不會(huì)喪失一般性，從而為穩(wěn)定性 理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這是 Lyapuno

9、v的一個(gè)重要貢獻(xiàn)。控制系統(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，反映了系統(tǒng)在平衡狀 態(tài)附近的動(dòng)態(tài)行為。鑒于線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個(gè)系 統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于具有多個(gè)平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來說，由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并 不相同，故需逐個(gè)加以考慮，還需結(jié)合具體初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡來考慮。b)李雅普諾夫穩(wěn)定性如果對(duì)于任意小的 > 0,均存在一個(gè) (，t0) 0,當(dāng)初始狀態(tài)滿足|x0 xe| 時(shí)， 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足lim|x(t;x0,t0) xe| ,則稱該平衡狀態(tài) xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定 的。設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài) x0位于平衡狀態(tài) xe為球心、半徑為 8

10、的閉球域S()內(nèi)，如果系統(tǒng)穩(wěn) 定，則狀態(tài)方程的解 x(t；x0,t0)在t的過程中，都位于以 xe為球心，半徑為 e的閉球域5()內(nèi)。c) 一致穩(wěn)定性通常8與、t0都有關(guān)。如果 8與t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的8與t。無關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。d)漸進(jìn)穩(wěn)定性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有pm x(t;x0,t0) x 0稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。這時(shí)，從 S()出發(fā)的軌跡不僅不會(huì)超出S(),且當(dāng)t 時(shí)收劍于xe或其附近。c)大范圍穩(wěn)定性當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的， 或全局穩(wěn)定的。此時(shí)，S

11、( ), x。對(duì)于線性系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍穩(wěn)定性，因?yàn)榫€性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 一般與初始條件的大小密切相關(guān)，通常只能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定。d)不穩(wěn)定性不論8取得得多么小，只要在 S()內(nèi)有一條從x0出發(fā)的軌跡跨出S(),則稱此平衡 狀態(tài)是不穩(wěn)定的。實(shí)際上，漸近穩(wěn)定性比純穩(wěn)定性更重要?？紤]到非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個(gè)局部 概念，所以簡單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能正常工作。通常有必要確定漸近穩(wěn)定 性的最大范圍或吸引域。它是發(fā)生漸近穩(wěn)定軌跡的那部分狀態(tài)空間。換句話說，發(fā)生于吸 引域內(nèi)的每一個(gè)軌跡都是漸近穩(wěn)定的。在控制工程問題中，總希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)

12、定的特性。如果平衡狀態(tài)不是大范 圍漸近穩(wěn)定的，那么問題就轉(zhuǎn)化為確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引域，這通常非常困難。然而，對(duì)所有的實(shí)際問題，如能確定一個(gè)足夠大的漸近穩(wěn)定的吸引域，以致擾動(dòng)不會(huì)超過 它就可以了。圖3.2 (a)穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡 (b)漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡 (c)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡圖3.2 (a)、(b)和(c)分別表示平衡狀態(tài)及對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的典型軌跡。在圖3.2(a)、(b)和(c)中，域S ()制約著初始狀態(tài) x0 ,而域S()是起始于x0的 軌跡的邊界。注意，由于上述定義不能詳細(xì)地說明可容許初始條件的精確吸引域，因而除非S()對(duì)應(yīng)

13、于整個(gè)狀態(tài)平面，否則這些定義只能應(yīng)用于平衡狀態(tài)的鄰域。此外，在圖5.2 (c)中，軌跡離開了 S(),這說明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說 明軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處，這是因?yàn)檐壽E還可能趨于在S()外的某個(gè)極限環(huán)(如果線性定常系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近出發(fā)的軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)。但在非線性系統(tǒng) 中，這一結(jié)論并不一定正確)。上述各定義的內(nèi)容，對(duì)于理解本章介紹的線性和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，是最低限 度的要求。注意，這些定義不是確定平衡狀態(tài)穩(wěn)定性概念的唯一方法。實(shí)際上，在其他文 獻(xiàn)中還有另外的定義。對(duì)于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定等價(jià)于大范圍漸近穩(wěn)定。但對(duì)于非線性系統(tǒng)，一般只考慮吸 引區(qū)為有限的定范圍的

14、漸近穩(wěn)定。最后指出，在經(jīng)典控制理論中，我們已經(jīng)學(xué)過穩(wěn)定性概念，它與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念是有一定的區(qū)別的，例如，在經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定 的系統(tǒng)。在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。兩 者的區(qū)別與聯(lián)系如下表所示。經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng))不穩(wěn)定(Re(s)>0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)<0)Lyapunov意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定3.3.2 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法是通過系統(tǒng)矩陣A的特征值來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的，其主要內(nèi)容(1)用一次近似表達(dá)式表達(dá)狀態(tài)方程，即 X AX ,假如系統(tǒng)矩陣 A

15、de全部特征值具有 負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是穩(wěn)定的，而且穩(wěn)定性與高階導(dǎo)數(shù)無關(guān)。(2)如果在一次近似式的系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部時(shí)，無論高階導(dǎo)數(shù)的情況如何，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處不穩(wěn)定。(3)如果在一次近似式的系統(tǒng)矩陣A的特征值中有零特征值，系統(tǒng)的穩(wěn)定性要有高階導(dǎo)數(shù)決定。當(dāng)高階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.3.3 標(biāo)量函數(shù)的正定性定義正定性：標(biāo)量函數(shù) V(x)在域S中對(duì)所有非零狀態(tài)(x 0)有V(x) 0且V(0) 0,稱 一 22V( x)在域S內(nèi)正7E。如V (x) X1x2是正7E的。負(fù)定性：標(biāo)量函數(shù) V(x)在域S中對(duì)所有非零 x有V(x) 0且V(0) 0,稱V(x)

16、在域 22 一一. 、一、S內(nèi)負(fù)定。如 V(x)(xi x2)是負(fù)定的。如果 V(x)是負(fù)定的，-V(x)則一定是正定的。負(fù)(正)半定性： V(0) 0,且V(x)在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有 V(x) 0,而其它狀態(tài) 處均有V(x) 0 (V(x) 0),則稱V(x)在域S內(nèi)負(fù)(正)半定。設(shè) V(x)為負(fù)半定，則2 、V(x)為正半定。如 V(x) (xi 2x2)為正半定。不定性：V(x)在域S內(nèi)可正可負(fù)，則稱 V(x)不定。如V(x) x1x2是不定的。關(guān)于V(x,t)正定性的提法是：標(biāo)量函數(shù)V(x,t)在域S中，對(duì)于t t0及所有非零狀態(tài)有V(x,t) 0,且V(0,t) 0,則稱V(x,t)

17、在域S內(nèi)正定。V(x,t)的其它定號(hào)性提法類 同。二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記V(x) xT Pxx1P11Pinxixn(1)pnip nnxn其中，P為對(duì)稱矩陣，有pjPji 。顯然滿足V (x)0 ,其定號(hào)性由賽爾維斯特準(zhǔn)則判定。當(dāng)P的各順序主子行列式均大于零時(shí)，即P110,P11P21P12P220, LP11LP1nM M 0Pn1LPnn(2)P為正定矩陣，則V(x)正定。當(dāng)P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時(shí)，即P110,P11P21P12P220, LP11LP1n(1)nMM0Pn1LPnn(3)P為負(fù)定矩陣，則 V(x)負(fù)定。若主子行列式含有等于零的情況，則 V(x)為正

18、半定或負(fù)半定。不屬以上所有情況的 V(x)不定。3.3.4李雅普諾夫第二法由力學(xué)經(jīng)典理論可知，對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)總能量(正定函數(shù))連續(xù)減小 (這意味著總能量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)必然是負(fù)定的)，直到平衡狀態(tài)時(shí)為止，則振則系統(tǒng)是穩(wěn) 定的。Lyapunov第二法是建立在更為普遍的情況之上的，即：如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平 衡狀態(tài)，則當(dāng)其運(yùn)動(dòng)到平衡狀態(tài)的吸引域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)存儲(chǔ)的能量隨著時(shí)間的增長而衰減， 直到在平穩(wěn)狀態(tài)達(dá)到極小值為止。然而對(duì)于一些純數(shù)學(xué)系統(tǒng)，畢竟還沒有一個(gè)定義能量函數(shù)”的簡便方法。為了克服這個(gè)困難，Lyapunov引出了一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為Lyapunov函數(shù)。當(dāng)然，這個(gè)函數(shù)無疑比能量

19、更為一般，并且其應(yīng)用也更廣泛。實(shí)際上，任 一純量函數(shù)只要滿足 Lyapunov穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件，都可作為Lyapunov函數(shù)。Lyapunov 函數(shù)與Xi,X2,Xn和t有關(guān)，我們用V(Xi,X2,Xn,t)或者V(x,t)來表示Lyapunov函數(shù)。如果在 Lyapunov函數(shù)中不含 t,則用V(X1,X2, ,xn)或V(x)表示。在 Lyapunov第二法中，V(X,t)和其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) V(X,t) dV(X,t)/dt的符號(hào)特征，提供了 判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，而不必直接求出方程的解(這 種方法既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng))。1、關(guān)于漸近穩(wěn)定性

20、可以證明：如果 x為n維向量，且其純量函數(shù) V(x)正定，則滿足V(x) C 的狀態(tài)x處于n維狀態(tài)空間的封閉超曲面上，且至少處于原點(diǎn)附近，式中 C是正常數(shù)。隨 著卜卜 ，上述封閉曲面可擴(kuò)展為整個(gè)狀態(tài)空間。如果C1 C2,則超曲面 V(x) C1完全處于超曲面 V(x) C2的內(nèi)部。 對(duì)于給定的系統(tǒng)，若可求得正定的純量函數(shù)V(x),并使其沿軌跡對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)總為負(fù)值，則隨著時(shí)間的增加，V(x)將取越來越小的C值。隨著時(shí)間的進(jìn)一步增長，最終V(x)變?yōu)榱?，?x也趨于零。這意味著，狀態(tài)空間的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。Lyapunov主穩(wěn)定性定理就是前述事實(shí)的普遍化，它給出了漸近穩(wěn)定的充要條件。該定理闡述如下

21、： 定理3.1 (Lyapunov,皮爾希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基)考慮如下非線性系統(tǒng)X(t) f(x(t),t) 式中f(0,t) 0,對(duì)所有 t t0 如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)V(x,t),且滿足以下條件：1、V(x,t)正定；2、V(x,t)負(fù)定則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是(一致)漸近穩(wěn)定的。進(jìn)一步，若|x|, V(x,t) ,則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例3.3考慮如下非線性系統(tǒng)XiX2XiX2(Xi2 X2)顯然原點(diǎn)(Xi 0 , X2 0 )是唯一的平衡狀態(tài)。試確定其穩(wěn)定性。如果定義一個(gè)正定純量函數(shù) V( x)V (x) 2X1X1 2x2x2 2(x

22、； X；)2是負(fù)定的，這說明 V(x)沿任一軌跡連續(xù)地減小，因此 V(x)是一個(gè)Lyapunov函數(shù)。由于 V(x)隨x偏離平衡狀態(tài)趨于無窮而變?yōu)闊o窮，則按照定理 5.1 ,該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀 態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。注意，若使V(x)取一系列的常值0,01,02,(0 C1 C2)，則V(x)=0對(duì)應(yīng)于狀態(tài)平面的原點(diǎn)，而V(x) Ci, V(x) C2,，描述了包圍狀態(tài)平面原點(diǎn)的互不相 交的一簇 圓，如圖 3.2所示。還應(yīng) 注意，由 于V(x)在徑向 是無界的，即 隨著 |x|, V(x) ,所以這一簇圓可擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)平面。由于圓V(x) Ck完全處在V(x) Ck 1的內(nèi)部，所以典型軌

23、跡從外向里通過V圓的邊界。因此Lyapunov函數(shù)的幾何意義可闡述如下 V(x)表示狀態(tài)x到狀態(tài)空間原點(diǎn)距離的一種度 量。如果原點(diǎn)與瞬時(shí)狀態(tài)x(t)之間的距離隨t的增加而連續(xù)地減小(即 V(x(t) 0),則x(t) 0 。圖3.2常數(shù)V圓和典型軌跡定理3.1是Lyapunov第二法的基本定理，下面對(duì)這一重要定理作幾點(diǎn)說明。(1)這里僅給出了充分條件，也就是說，如果我們構(gòu)造出了Lyapunov函數(shù)V(x,t),那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的論，例如我們不能據(jù)此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。Lyapunov函數(shù)，我們并不能給出任何結(jié)(2)對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則 Lyapunov函數(shù)必存在

24、。(3)對(duì)于非線性系統(tǒng)，通過構(gòu)造某個(gè)具體的Lyapunov函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個(gè)穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于線性系統(tǒng)，如果存 在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4)我們這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系 統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。顯然，定理3.1仍有一些限制條件，比如 V(x,t)必須是負(fù)定函數(shù)。如果在 V(x,t)上 附加一個(gè)限制條件，即除了原點(diǎn)以外，沿任一軌跡V(x,t)均不恒等于零，則要求 V(x,t)負(fù)定的條件可用V(x,t)取負(fù)半定的條件來代替。定理3.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛)考

25、慮如下非線性系統(tǒng)x(t) f(x(t),t)式中f (0,t) 0,對(duì)所有 t t0若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)V(x,t),且滿足以下條件：1、V(x,t)是正定的；2、V(x,t)是負(fù)半定的；3、V (t; x0,t0),t對(duì)于任意t0和任意Xo 0 ,在t t0時(shí)，不恒等于零，其中的 (t;x0,t°)表示在to時(shí)從Xo出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn) 定的。注意，若V(x,t)不是負(fù)定的，而只是負(fù)半定的，則典型點(diǎn)的軌跡可能與某個(gè)特定曲 面V(x,t)=C相切，然而由于 V (t; x0,t0),t對(duì)任意t0和任意x0 0 ,在t t0時(shí)不恒等 于零

26、，所以典型點(diǎn)就不可能保持在切點(diǎn)處(在這點(diǎn)上，V(x,t)=0),因而必然要運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)°2、關(guān)于穩(wěn)定性然而，如果存在一個(gè)正定的純量函數(shù) V(x,t),使得V(x,t)始終為零，則系統(tǒng)可以保 持在一個(gè)極限環(huán)上。在這種情況下，原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。定理3.3 (Lyapunov)考慮如下非線性系統(tǒng)x(t) f(x(t),t)式中f(0,t) 0,對(duì)所有 t t0若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)V(x,t),且滿足以下條件：1、V(x,t)是正定的；2、V(x,t)是負(fù)半定的；3、V (t; x0,t0),t對(duì)于任意卜和任意xo0 ,在t卜時(shí)，均恒等于零，其

27、中的(t;x0,t0)表示在to時(shí)從x0出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是Lyapunov意義下的大范圍漸近穩(wěn)定的。3、關(guān)于不穩(wěn)定性如果系統(tǒng)平衡狀態(tài) x =0是不穩(wěn)定的，則存在純量函數(shù)W(x,t),可用其確定平衡狀態(tài)的不穩(wěn)定性。下面介紹不穩(wěn)定性定理。定理3.4 (Lyapunov)考慮如下非線性系統(tǒng)x(t) f(x(t),t)式中f (0,t) 0,對(duì)所有 t t0若存在一個(gè)純量函數(shù) W(x,t),具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：1、W(x,t)在原點(diǎn)附近的某一鄰域內(nèi)是正定的；2、W(x,t)在同樣的鄰域內(nèi)是正定的。則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3.3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與非線性

28、系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較在線性定常系統(tǒng)中，若平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的，然 而在非線性系統(tǒng)中，不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的。因此，線性 定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性的含義和非線性系統(tǒng)的含義完全不同。如果要檢驗(yàn)非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性，則非線性系統(tǒng)的線性化模型穩(wěn)定性分析遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。必須研究沒有線性化的非線性系統(tǒng)。有幾種基于Lyapunov第二法的方法可達(dá)到這一目的，包括用于判斷非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分條件的克拉索夫斯基方法、用于構(gòu) 成非線性系統(tǒng) Lyapunov函數(shù)的Schultz-Gibson變量梯度法、用于某些非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定 性分析的魯里葉(Lure

29、'法，以及用于構(gòu)成吸引域的波波夫方法等。下面僅討論克拉索夫斯 基方法。3.4線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析3.4.1 概述如前所述，Lyapunov第二法不僅對(duì)非線性系統(tǒng)，而且對(duì)線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系 統(tǒng)，以及線性離散系統(tǒng)等均完全適用。利用Lyapunov第二法對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析，有如下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)都是充要條件，而非僅充分條件；(2)漸近穩(wěn)定性等價(jià)于 Lyapunov方程的存在性；H _ H _(3)漸近穩(wěn)te時(shí)，必存在二次型Lyapunov函數(shù)V(x) x Px及V(x) x Qx ;(4)對(duì)于線性自治系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)矩陣 A非奇異時(shí)，僅有唯一平衡點(diǎn)，即原點(diǎn) xe 0;

30、(5)漸近穩(wěn)定就是大范圍漸近穩(wěn)定，兩者完全等價(jià)。眾所周知，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其漸近穩(wěn)定性的判別方法很多。例如，對(duì)于連續(xù)時(shí)間定常系統(tǒng)x Ax,漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，或者相應(yīng)的特征方程sI A sn asn 1ans an 0的根具有負(fù)實(shí)部。但為了避開困難的特征值計(jì)算，如 Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)通過判斷特征多項(xiàng)式的系數(shù)來直接判定穩(wěn)定性， Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這里將介紹的線性系統(tǒng)的 Lyapunov穩(wěn)定性方法，也是一種代數(shù)方法，也不要求把特征多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，而且可 進(jìn)一步應(yīng)用于求解某些最優(yōu)控制問題。3.4.2 線

31、性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析考慮如下線性定常自治系統(tǒng)x Ax(3.3)式中，x Rn, A Rn n。假設(shè)A為非奇異矩陣，則有唯一的平衡狀態(tài)xe 0,其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性很容易通過 Lyapunov第二法進(jìn)行研究。對(duì)于式(5.3)的系統(tǒng)，選取如下二次型Lyapunov函數(shù)，即HV(x) x Px式中P為正定Hermite矩陣(如果x是實(shí)向量，且 A是實(shí)矩陣，則 P可取為正定的實(shí)對(duì)稱 矩陣)。V (x)沿任一軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為V(x) xH Px xH Px (Ax)H Px xHPAx xH AH Px xH PAx xH(AHP PA)x由于V(x)取為正定，對(duì)于漸近穩(wěn)定性，要求 V(

32、x)為負(fù)定的，因此必須有V(x) x H Qx式中Q(AH P PA)為正定矩陣。因此，對(duì)于式(3.3)的系統(tǒng)，其漸近穩(wěn)定的充分條件是Q正定。為了判斷n n維矩陣的正定性，可采用賽爾維斯特準(zhǔn)則，即矩陣為正定的充要條件是矩陣的所有主 子行列式均為正值。在判別V(x)時(shí)，方便的方法，不是先指定一個(gè)正定矩陣P,然后檢查 Q是否也是正定的，而是先指定一個(gè)正定的矩陣Q,然后檢查由ahp pa q確定的P是否也是正定的。這可歸納為如下定理。定理3.5線性定常系統(tǒng)x Ax在平衡點(diǎn)Xe 。處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)于Q 0,P 0 ,滿足如下Lyapunov方程AHP PA Q這里P、Q均為Hermite矩陣

33、或?qū)崒?duì)稱矩陣。此時(shí)， Lyapunov函數(shù)為 HH _V(x) x Px, V(x) x Qx特別地，當(dāng)V(x) xHQx 0時(shí)，可取Q 0(正半定)?，F(xiàn)對(duì)該定理作以下幾點(diǎn)說明：(1)如果系統(tǒng)只包含實(shí)狀態(tài)向量x和實(shí)系統(tǒng)矩陣 A,則Lyapunov函數(shù)xH Px為xT Px ,且Lyapunov方程為AT P PA QH(2)如果V(x) x Qx沿任一條軌跡不，fM等于零，則Q可取正半定矩陣。(3)如果取任意的正定矩陣Q,或者如果V(x)沿任一軌跡不恒等于零時(shí)取任意的正半定矩陣Q,并求解矩陣方程AH P PA Q以確定P,則對(duì)于在平衡點(diǎn)xe 0處的漸近穩(wěn)定性，P為正定是充要條件。注意，如果正半

34、定矩陣 Q滿足下列秩的條件1/2,Q1/2aranknQ1/2An 1則V (t)沿任意軌跡不恒等于零。(4)只要選擇的矩陣 Q為正定的(或根據(jù)情況選為正半定的)，則最終的判定結(jié)果將與矩陣Q的不同選擇無關(guān)。(5)為了確定矩陣 P的各元素，可使矩陣 AH P PA和矩陣-Q的各元素對(duì)應(yīng)相等。為了確定矩陣P的各元素pj pji ,將導(dǎo)致n(n+1)/2個(gè)線性方程。如果用 1, 2, , n表示矩 陣A的特征值，則每個(gè)特征值的重?cái)?shù)與特征方程根的重?cái)?shù)是一致的，并且如果每兩個(gè)根的和則P的元素將唯一地被確定。注意，如果矩陣A表木一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，那么j k的和總(6)在確定是否存在一個(gè)正定的Hermite或?qū)?/p>

35、對(duì)稱矩陣 P時(shí)，為方便起見，通常取Q I ,這里I為單位矩陣。從而，P的各元素可按下式確定AH P PA I然后再檢驗(yàn)P是否正定。例3.5設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x101x1x211 x2顯然，平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解不妨取Lyapunov函數(shù)為V(x) xTPx此時(shí)實(shí)對(duì)稱矩陣 P可由下式確定ATP PA IP11Pi201p12p2211上式可寫為01 即P1211P12p22將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為2Pl21PiiP12 P22 02 P12 2 P221從方程組中解出P11、P12、P22 ,可得3 1 p11p1222nn1p12p22_12為了檢驗(yàn)P的正

36、定性，我們來校核各主子行列式3 10,2 21 12顯然, 為P是正定的。因此，在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的，且Lyapunov 函數(shù)V(x) xTPx122、(3 Xi2 Xi X22 X2)V(x)(Xi2 x1)例3.6試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。Xi X2 , X2Xi X2解 原點(diǎn)是惟一平衡狀態(tài)。選 V(x) Xi2 總 則V(x) 2x2, 他)與x1無關(guān)，故存 在非零狀態(tài)(如 xi 0,x2 0),使V(x) 0 ,而對(duì)其余任意狀態(tài)有 V(x) 0 ,故V(x) 正半定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。例3.7試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。& ax x2解這實(shí)際上是一個(gè)可線性化的非線性系統(tǒng)的典型例子。令x 0,得知系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)，x 0和x a。對(duì)位于原點(diǎn)的平衡狀態(tài)，選 V(x) x2,有V(x) 2 ax2 2x3 2x2 (a x)于是，當(dāng)a 0時(shí)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是局部(x a) 一致漸近穩(wěn)定的；當(dāng)a 0時(shí)原點(diǎn)