不等式易錯(cuò)題分析

1、不等式易錯(cuò)題分析一、解一元二次不等式的易錯(cuò)題(一)、隨意消項(xiàng)致誤例題 1:解不等式；(x2 _4x+4)(x2 _4x + 3) 之0錯(cuò)解：原不等式可化為：(x -2)2(x-1)(x -3) .0解得：,(x-2)2 _0,. (x-1)(x-3)_0所以x :=3或x <1原不等式的解集為：仁|乂_3或乂 <1?剖析：錯(cuò)誤是由于隨意消項(xiàng)造成的,事實(shí)上,當(dāng) (x-2)2=0時(shí),原不等式亦成立正解：原不等式可化為：x-2/0且(x-1)(x-3)20或(x-2)=0解得x _3或x M1或x=2所以原不等式的解集為：x|x乂£1或乂=2)(二)、函數(shù)不清致誤例題2:函數(shù)y

2、 = (m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3的圖像者B在x軸的下方,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.錯(cuò)解：,依題意,對(duì)xWR,y0恒成立,于是函數(shù)的圖像開口方向向上,且圖像與 x軸2無交點(diǎn).故m 4m -5 0-4(1 - m) I - 4_3(m4m - 5) : 0解得 1 :二 m ： 19即所求m的取值范圍為1 :二m ： 19剖析：題設(shè)中的函數(shù)未必時(shí)二次函數(shù),也就是說缺少對(duì) m2+4m-5是否為0的討論正解：當(dāng)m2+4m5#0時(shí),同上述解答有1<m<19,假設(shè) m2+4m5=0 時(shí),貝 m=1 或 m=5假設(shè)m=1,那么函數(shù)化為y=3,那么對(duì)xWR,y0包成立;假設(shè)m=5那么

3、函數(shù)化為y=24x+3,對(duì)xWR,y>0不包成立,故此情形舍去所以m的取值范圍為1 Mm 19(三)、漏端點(diǎn)致誤例題3:集合A=x|x2x2M0,B = x|a<a + 3,且ACB=® ,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是錯(cuò)解：A=x|x2 -x-2<0? - x|-1<x<2;假設(shè)使Ap|B=©,需滿足a >2或a+3<-1,解得a>2或a<-4,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a >2或a < 4剖析：上面的解法錯(cuò)誤原因在于無視了集合 A = x|-19xW2的兩個(gè)端點(diǎn)值-1和2,其實(shí)當(dāng)a =2時(shí)B =x|2<x<

4、;5,滿足AB =4；當(dāng)a+3 = -1時(shí),即a=-4時(shí)也滿足aAb =弧正解：A = x|x2x_2W0 = x|1ExM2假設(shè)使 Ap|B = e ,需滿足 a 至 2或 a+3E1,解得a之2或a M-4,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a之2或a M-4.(四)、條件非充要致誤例題4:假設(shè)方程x2+(m-2)+5-m = 0的兩根均大于2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.主0P(m-2)2-(5 -m)>0錯(cuò)解：設(shè)兩根為x1,x2,那么有題意可得：,x+xzA4n,2-m>4x1l_x2 >45 -m >4解得m - -4剖析：錯(cuò)在x1 x2 >4且x1|_x2 A4與x1 &

5、gt;2且x2>2不等價(jià),事實(shí)上,由后者可以推出前 者,但是由前者卻推不出后者.2：-0(m-2) -(5-m) -0正解：設(shè)兩根為x1,x2,那么有題意可得：,(x1-2)+(x2-2) >0= J2-m>4(x1 -2)L(x2 -2)>05+mA 4解得-5 :二 m - -4二根本不等式的易錯(cuò)題(一)、無視條件一一正數(shù)1例題5:x,yuR,且x+y=1,求證xy W 一4錯(cuò)解：由根本不等式得x y -2 xy剖析：公式x + y之2M 的使用的前提條件時(shí)x,y均為正數(shù),錯(cuò)解無視了這個(gè)前提條件正解：1 = (x y)2 = x2 y2 2xy _ 2xy 2xy當(dāng)

6、且僅當(dāng)(二)無視條件x=y時(shí)取“二一定值例題:6 :假設(shè)睚0,i ,22,2熹+"的最小值.22錯(cuò)解：f(7l) =- _2cos* sin*a： 一口 b2cos 1 sin212absincos12當(dāng)且僅當(dāng)靠此時(shí)一2ab4absinicosisin2i盤b2)1 tan2 丁即f(6)訕=2(a2 +b2)剖析：使用根本不等式求函數(shù)的最值時(shí),需驗(yàn)證“一正二定三相等的條件,上述解法違背了第二條“二定值要求日W(0;內(nèi)的任意一個(gè)值時(shí)不等式的右2邊均為定值.22正解：“裊產(chǎn) 當(dāng)且僅當(dāng)a2tand借,即當(dāng)tane所以f(8)的最小值為(a+b)2(三)、無視條件三一1、無視等號(hào)是否成立相

7、等x2 5例題7:求函數(shù)y=?=上的最小值.x2 4錯(cuò)解：函數(shù)x2 5x2 4 1X . x2 4x2 4=. x2 4- 2x2 4所以函數(shù)的最小值為2剖析：使用根本不等式求函數(shù)的最值時(shí),一定驗(yàn)證等號(hào)成立的條件即a+b22聞,只有a =b才能取等號(hào).上述解法在等號(hào)成立時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是不 成立的.22正解:x 5 x 4 1-21y = x 4 一x2 4x2 4x2 4y=t+l在t之2時(shí)是單調(diào)遞增的, t故函數(shù)的最小值是522、屢次使用,無視等號(hào)是否同時(shí)成立例題8:兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y,滿足x + y = 4,求二十£的最小值 x y錯(cuò)解：由得4 = x , y _ 2、. xy. xy _ 4所以1心最小值是2x y剖析：上述解法中兩次使用根本不等式,其中xyw4等號(hào)成立必須滿足x=y,而1 +4 >2 F的等號(hào)成立時(shí),必須有4x = y ,由于均為正數(shù),所