第4章(地震危險(xiǎn)性方法)素材

1、地震危險(xiǎn)性概率分析方法地震危險(xiǎn)性概率分析方法高玉峰高玉峰土動(dòng)力學(xué)土動(dòng)力學(xué) 第第4 4章章GeoHohai一種簡(jiǎn)化的地震危險(xiǎn)性分析計(jì)算方法一種簡(jiǎn)化的地震危險(xiǎn)性分析計(jì)算方法 -逐點(diǎn)計(jì)算法逐點(diǎn)計(jì)算法一、一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型二、二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路逐點(diǎn)計(jì)算法的思路三、三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理四、四、舉例說明舉例說明一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型 1968年年，Cornell建立了建立了Cornell模型。模型。 1977年年，Der.kiurehian和和A.H-S.Ang對(duì)對(duì)Cornell模模 型做了較大的修改，提出斷層破裂模

2、型。型做了較大的修改，提出斷層破裂模型。 1989年，年，沈建文沈建文等討論了等討論了Cornell模型和斷層破裂模型和斷層破裂 模型存在的系統(tǒng)偏差，提出了地震危險(xiǎn)性分析的模型存在的系統(tǒng)偏差，提出了地震危險(xiǎn)性分析的 經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)橢圓模型。經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)橢圓模型。 設(shè)設(shè)對(duì)場(chǎng)地產(chǎn)生有效影響的潛在震源有對(duì)場(chǎng)地產(chǎn)生有效影響的潛在震源有n個(gè)，地個(gè)，地震發(fā)生為均勻泊松過程，且震發(fā)生為均勻泊松過程，且vi為第為第Ei個(gè)潛在震源震個(gè)潛在震源震級(jí)級(jí)mm0的地震的年平均發(fā)生率，則一年中場(chǎng)地地的地震的年平均發(fā)生率，則一年中場(chǎng)地地震動(dòng)震動(dòng)Y超過某確定超過某確定y的概率為：的概率為：一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢

3、圓模型iiniEyYPyYP)/()(11一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型t 年內(nèi)的超越概率為：年內(nèi)的超越概率為：1()11ttP YyP Yy 一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型 M0 起算震級(jí)；起算震級(jí)； Mu 震級(jí)上限；震級(jí)上限；f (m) 震級(jí)概率密度震級(jí)概率密度。 0(/)/,uMiiMP Yy EP Yy E m f m dm一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型 因此，地震危險(xiǎn)性分析的關(guān)鍵是計(jì)算第因此，地震危險(xiǎn)性分析的關(guān)鍵是計(jì)算第Ei 個(gè)個(gè)潛在震源中，震級(jí)潛在震源中，震級(jí)m對(duì)場(chǎng)地造成的超過某地震動(dòng)對(duì)場(chǎng)地造成的超過某地

4、震動(dòng)y的超越概率：的超越概率：？(/,)iP Yy E m一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型 P (Y y/Ei, m) 計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算地震動(dòng)衰減計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算地震動(dòng)衰減橢圓與凸多邊形潛在震源相交面積，后者可表橢圓與凸多邊形潛在震源相交面積，后者可表示成三角形與橢圓扇形面積的代數(shù)和，從而將示成三角形與橢圓扇形面積的代數(shù)和，從而將問題簡(jiǎn)化。問題簡(jiǎn)化。 一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型一、地震危險(xiǎn)性分析的橢圓模型圖圖1 1 橢圓與凸多邊形相交關(guān)系橢圓與凸多邊形相交關(guān)系YNCBXAFEODMYCBAG FEDOXMM YGBFEA D HCXOI二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的

5、思路 本文提出的計(jì)算凸多邊形與橢圓交接面積的本文提出的計(jì)算凸多邊形與橢圓交接面積的基本思路是：基本思路是： 1 1、把它當(dāng)作表示三角形或橢圓扇形面積的矢量乘積之和。把它當(dāng)作表示三角形或橢圓扇形面積的矢量乘積之和。2 2、將任意凸多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針排序，逐個(gè)判別、將任意凸多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針排序，逐個(gè)判別 各個(gè)頂點(diǎn)的情況，進(jìn)而判別多邊形每條邊與橢圓相交各個(gè)頂點(diǎn)的情況，進(jìn)而判別多邊形每條邊與橢圓相交 的情況，求出需累加三角形、橢圓扇形的面積的矢量的情況，求出需累加三角形、橢圓扇形的面積的矢量 乘積。乘積。3 3、當(dāng)循環(huán)一周又回到初始點(diǎn)的時(shí)，自然得出各個(gè)面積的、當(dāng)循環(huán)一周又回到初始點(diǎn)的時(shí)，

6、自然得出各個(gè)面積的 矢量和，亦即地震動(dòng)衰減橢圓與凸多邊形潛在震源的矢量和，亦即地震動(dòng)衰減橢圓與凸多邊形潛在震源的 相交面積。相交面積。4 4、此方法規(guī)定矢量垂直于橢圓面并方向朝上為正。、此方法規(guī)定矢量垂直于橢圓面并方向朝上為正。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路 多邊形的頂點(diǎn)與橢圓的交接有三種情況，多邊形的頂點(diǎn)與橢圓的交接有三種情況，即多邊形的即多邊形的頂點(diǎn)頂點(diǎn)在：在： 1 1、橢圓內(nèi)橢圓內(nèi) 2 2、橢圓上橢圓上 3 3、橢圓外橢圓外 其中多邊形的頂點(diǎn)在橢圓上可視為橢圓內(nèi)的特殊其中多邊形的頂點(diǎn)在橢圓上可視為橢圓內(nèi)的特殊情況來歸一化處理，因而可將三種情況簡(jiǎn)化為兩種。情況來歸一化處理，因而可

7、將三種情況簡(jiǎn)化為兩種。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路A (n)B (n+1)O 只需計(jì)算以坐標(biāo)原點(diǎn)、只需計(jì)算以坐標(biāo)原點(diǎn)、n點(diǎn)、點(diǎn)、n+1+1點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形OAB面積。面積。在求三角形面積時(shí)，由于按逆時(shí)針取點(diǎn)，三角形面積可表示為矢量在求三角形面積時(shí)，由于按逆時(shí)針取點(diǎn)，三角形面積可表示為矢量叉乘形式。若表達(dá)式為正，表示加上該三角形面積；若表達(dá)式為負(fù)，叉乘形式。若表達(dá)式為正，表示加上該三角形面積；若表達(dá)式為負(fù)，表示減去該三角形面積，后文有具體說明。表示減去該三角形面積，后文有具體說明。1 1、當(dāng)多邊形第、當(dāng)多邊形第n頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，第頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，第n+1頂點(diǎn)有兩種情況頂點(diǎn)

8、有兩種情況: :（1 1）第）第n+1點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)在橢圓內(nèi)。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路OA(n)P1B(n+1) 計(jì)算以坐標(biāo)原點(diǎn)、計(jì)算以坐標(biāo)原點(diǎn)、n點(diǎn)、交點(diǎn)點(diǎn)、交點(diǎn)P1為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形OAP1面積，面積，并將交點(diǎn)并將交點(diǎn)P1的坐標(biāo)存貯起來，作為求橢圓扇形面積的初始點(diǎn)。在的坐標(biāo)存貯起來，作為求橢圓扇形面積的初始點(diǎn)。在橢圓確定時(shí)，橢圓扇形面積只與該扇形的起始邊與橢圓的交點(diǎn)橢圓確定時(shí)，橢圓扇形面積只與該扇形的起始邊與橢圓的交點(diǎn)初始點(diǎn)，以及該扇形的終止邊與橢圓交點(diǎn)初始點(diǎn)，以及該扇形的終止邊與橢圓交點(diǎn)終止點(diǎn)有關(guān)。在終止點(diǎn)有關(guān)。在本文方法中，橢圓扇形面積始終為正。本文方法中，橢圓

9、扇形面積始終為正。（2 2）第）第n+1點(diǎn)在橢圓外點(diǎn)在橢圓外。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路 按照順序，首先要考慮交點(diǎn)按照順序，首先要考慮交點(diǎn)P2如何處理。顯然如何處理。顯然P2點(diǎn)與求橢圓扇點(diǎn)與求橢圓扇形面積有關(guān)，且是橢圓扇形的終止點(diǎn)。若前面沒有橢圓扇形的初始形面積有關(guān)，且是橢圓扇形的終止點(diǎn)。若前面沒有橢圓扇形的初始點(diǎn)，需將交點(diǎn)點(diǎn)，需將交點(diǎn)P2作特殊點(diǎn)存貯起來，作為最后計(jì)算橢圓扇形面積的作特殊點(diǎn)存貯起來，作為最后計(jì)算橢圓扇形面積的終止點(diǎn)（下述），并計(jì)算原點(diǎn)，終止點(diǎn)（下述），并計(jì)算原點(diǎn)，P2點(diǎn)和第點(diǎn)和第n+1+1點(diǎn)組成的三角形面積矢點(diǎn)組成的三角形面積矢量乘積。量乘積。 2 2、當(dāng)多邊形

10、第、當(dāng)多邊形第n頂點(diǎn)在橢圓外，第頂點(diǎn)在橢圓外，第n+1頂點(diǎn)有兩種情況頂點(diǎn)有兩種情況: :（1 1）第）第n+1點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)在橢圓內(nèi)。B(n+1)OP2A(n)二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1) 多邊形的邊多邊形的邊AB與橢圓相切或完全不相交，另一種情況是線段與橢圓相切或完全不相交，另一種情況是線段AB與橢圓相交。在這里，我們只考慮邊與橢圓相交。在這里，我們只考慮邊AB為線段而不考慮其延長(zhǎng)為線段而不考慮其延長(zhǎng)后的情況。判別相交情況，可按本文程序設(shè)計(jì)技術(shù)處理給出的具體后的情況。判別相交情況，可按本文程序設(shè)計(jì)技術(shù)處理給出的具體說明。沒有交點(diǎn)

11、時(shí)不需要計(jì)算，直接對(duì)下一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行判斷分析；有說明。沒有交點(diǎn)時(shí)不需要計(jì)算，直接對(duì)下一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行判斷分析；有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)作無交點(diǎn)的情況處理。一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)作無交點(diǎn)的情況處理。（2 2）第）第n+1點(diǎn)在橢圓外點(diǎn)在橢圓外。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路 線段線段AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2。按照順序，首先處理交點(diǎn)。按照順序，首先處理交點(diǎn)P2。P2可當(dāng)作點(diǎn)有橢圓外到橢圓內(nèi)與橢圓的交點(diǎn)。若前面已有橢可當(dāng)作點(diǎn)有橢圓外到橢圓內(nèi)與橢圓的交點(diǎn)。若前面已有橢圓扇形的初始點(diǎn)，把圓扇形的初始點(diǎn)，把P2點(diǎn)作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，計(jì)算出橢圓扇點(diǎn)作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，計(jì)算出橢圓扇形的面積；若沒有橢圓

12、扇形的初始點(diǎn)，把形的面積；若沒有橢圓扇形的初始點(diǎn)，把P2點(diǎn)存貯起來，作為最點(diǎn)存貯起來，作為最后計(jì)算橢圓扇形面積的終止點(diǎn)。處理完后計(jì)算橢圓扇形面積的終止點(diǎn)。處理完P(guān)2，計(jì)算三角形，計(jì)算三角形O P2 P1，然后處理交點(diǎn)然后處理交點(diǎn)P1。P1可視為點(diǎn)由橢圓內(nèi)到橢圓外與橢圓的交點(diǎn)，可視為點(diǎn)由橢圓內(nèi)到橢圓外與橢圓的交點(diǎn)，只需將其作為計(jì)算下一個(gè)橢圓扇形面積的初始點(diǎn)存貯起來。只需將其作為計(jì)算下一個(gè)橢圓扇形面積的初始點(diǎn)存貯起來。P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路 若第一點(diǎn)在橢圓內(nèi)，若第一點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則沿逆時(shí)針方向一周，計(jì)算則沿逆時(shí)針方向一周，計(jì)算得

13、出的三角形和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的得出的三角形和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的凸多邊形潛在源與地震動(dòng)衰減橢圓的相交面積。凸多邊形潛在源與地震動(dòng)衰減橢圓的相交面積。 當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)或當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓外時(shí)，其計(jì)算方法有所不同。橢圓外時(shí)，其計(jì)算方法有所不同。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路MNYCBXAFEOD 若以若以E點(diǎn)為初始點(diǎn)逆時(shí)針取向，由點(diǎn)為初始點(diǎn)逆時(shí)針取向，由E點(diǎn)點(diǎn)A點(diǎn)，點(diǎn)由橢圓內(nèi)到橢圓點(diǎn)，點(diǎn)由橢圓內(nèi)到橢圓外，有唯一交點(diǎn)外，有唯一交點(diǎn)F，計(jì)算三角形，計(jì)算三角形OEF的面積，然后將的面積，然后將F點(diǎn)作為橢圓扇形點(diǎn)作為橢圓扇形

14、OFD的初始點(diǎn)；由點(diǎn)的初始點(diǎn)；由點(diǎn)A點(diǎn)點(diǎn)B，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段AB與橢圓無交與橢圓無交點(diǎn)，不需計(jì)算；由點(diǎn)點(diǎn)，不需計(jì)算；由點(diǎn)B點(diǎn)點(diǎn)C，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段BC與橢圓無交與橢圓無交點(diǎn)，不需計(jì)算；由點(diǎn)點(diǎn)，不需計(jì)算；由點(diǎn)C點(diǎn)點(diǎn)E，點(diǎn)由橢圓外到橢圓內(nèi)，且前面已有橢圓，點(diǎn)由橢圓外到橢圓內(nèi)，且前面已有橢圓扇形扇形OFMD的初始點(diǎn)下，以交點(diǎn)的初始點(diǎn)下，以交點(diǎn)D作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，求出橢圓作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，求出橢圓OFMD的面積，再計(jì)算三角形的面積，再計(jì)算三角形ODE的面積，這樣就直接得出橢圓與多的面積，這樣就直接得出橢圓與多邊形邊形EABC的相交面積。的相交

15、面積。 二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路 當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓外時(shí)，其計(jì)算方法有所不同。外時(shí)，其計(jì)算方法有所不同。 若第一點(diǎn)在橢圓內(nèi)，若第一點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則沿逆時(shí)針方向一周，計(jì)算得出的三角形則沿逆時(shí)針方向一周，計(jì)算得出的三角形和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的凸多邊形潛在源與地震動(dòng)衰和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的凸多邊形潛在源與地震動(dòng)衰減橢圓的相交面積。減橢圓的相交面積。 若第一點(diǎn)在橢圓外，若第一點(diǎn)在橢圓外，則按逆時(shí)針方向一周后，則按逆時(shí)針方向一周后，再增加一個(gè)橢圓扇形的面積，才能得出橢圓與多邊再增加一個(gè)橢圓扇形的面積，

16、才能得出橢圓與多邊形的相交面積。形的相交面積。二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路二、逐點(diǎn)計(jì)算法的思路 選取選取A點(diǎn)作為初始點(diǎn)逆時(shí)針取向，首先由點(diǎn)點(diǎn)作為初始點(diǎn)逆時(shí)針取向，首先由點(diǎn)A點(diǎn)點(diǎn)B，兩點(diǎn)均在橢，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段圓外且線段AB與橢圓無交點(diǎn)，不作計(jì)算；由點(diǎn)與橢圓無交點(diǎn)，不作計(jì)算；由點(diǎn)B點(diǎn)點(diǎn)C，兩點(diǎn)均在橢圓，兩點(diǎn)均在橢圓外且線段外且線段BC與橢圓無交點(diǎn)，也不作計(jì)算；由點(diǎn)與橢圓無交點(diǎn)，也不作計(jì)算；由點(diǎn)C點(diǎn)點(diǎn)E，點(diǎn)由橢圓外到，點(diǎn)由橢圓外到橢圓內(nèi)，首先處理交點(diǎn)橢圓內(nèi)，首先處理交點(diǎn)D，因前面沒有橢圓扇形的初始點(diǎn)，將其以特殊，因前面沒有橢圓扇形的初始點(diǎn)，將其以特殊點(diǎn)存貯起來，并計(jì)算三角形點(diǎn)存貯起來，并計(jì)算三角形OD

17、E面積；由點(diǎn)面積；由點(diǎn)E點(diǎn)點(diǎn)A，點(diǎn)有橢圓內(nèi)到橢，點(diǎn)有橢圓內(nèi)到橢圓外，計(jì)算三角形圓外，計(jì)算三角形OEF面積，并將交點(diǎn)面積，并將交點(diǎn)F作為橢圓扇形的初始點(diǎn)存貯起作為橢圓扇形的初始點(diǎn)存貯起來，最后還需以存貯的來，最后還需以存貯的F點(diǎn)作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，計(jì)算出橢圓扇形的點(diǎn)作為橢圓扇形的終止點(diǎn)，計(jì)算出橢圓扇形的面積。面積。 MNYCBXAFEOD三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理 以地震動(dòng)衰減橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓以地震動(dòng)衰減橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)軸為長(zhǎng)軸為X軸，橢圓短軸為軸，橢圓短軸為Y軸，建立直角坐標(biāo)系。軸，建立直角坐標(biāo)系。 1 1、建立直角坐標(biāo)系、建立直角坐標(biāo)系三、程序設(shè)計(jì)的

18、技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理 多邊形的頂點(diǎn)與橢圓的關(guān)系，可分為點(diǎn)在橢圓多邊形的頂點(diǎn)與橢圓的關(guān)系，可分為點(diǎn)在橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓上三種情況，在具體計(jì)算時(shí)，將上、橢圓內(nèi)、橢圓上三種情況，在具體計(jì)算時(shí)，將點(diǎn)在橢圓上的點(diǎn)視為點(diǎn)在橢圓內(nèi)處理。在判定多邊點(diǎn)在橢圓上的點(diǎn)視為點(diǎn)在橢圓內(nèi)處理。在判定多邊形頂點(diǎn)與橢圓關(guān)系時(shí)，設(shè)一控制參數(shù)形頂點(diǎn)與橢圓關(guān)系時(shí)，設(shè)一控制參數(shù)k (i) k (i) = x2(i) /a2+y2(i) /b2( (x(i), y( (i)為多邊形某一頂點(diǎn)的坐標(biāo)。為多邊形某一頂點(diǎn)的坐標(biāo)。 若若k (i)1，判定點(diǎn)在橢圓外，否則，則判定點(diǎn)，判定點(diǎn)在橢圓外，否則，則判定點(diǎn)在橢圓內(nèi)（在橢圓內(nèi)（k

19、 (i)1）。）。 2 2、判定點(diǎn)與橢圓的關(guān)系、判定點(diǎn)與橢圓的關(guān)系三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理 多邊形的各邊與橢圓有不同的相交情況，需求出交多邊形的各邊與橢圓有不同的相交情況，需求出交點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)（x (2)，y (2)）、（）、（x (3)，y (3)）是某條邊是某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，則有方程組：的兩個(gè)頂點(diǎn)，則有方程組：3 3、求解多邊形的邊與橢圓的交點(diǎn)、求解多邊形的邊與橢圓的交點(diǎn)1byax2222)2(x)3(x)2(y)3(y)2(xx)2(yy三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理1byax2222 若此若此方程組無實(shí)數(shù)解或僅有一組實(shí)數(shù)解方程組無實(shí)數(shù)解或僅有一

20、組實(shí)數(shù)解，表明，表明經(jīng)過多邊形某邊的直線與橢圓完全不相交或相切，經(jīng)過多邊形某邊的直線與橢圓完全不相交或相切，可認(rèn)為多邊形的邊與橢圓無交點(diǎn)?？烧J(rèn)為多邊形的邊與橢圓無交點(diǎn)。 )2(x) 3(x)2(y) 3(y)2(xx)2(yy三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理 若此若此方程組有二組實(shí)數(shù)解方程組有二組實(shí)數(shù)解（x (7), y (7)）、）、（x (8), y (8)），），則表示經(jīng)過多邊形某邊的直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則表示經(jīng)過多邊形某邊的直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，但并不一定是多邊形某邊與橢圓的實(shí)交點(diǎn)。即使兩個(gè)都是多但并不一定是多邊形某邊與橢圓的實(shí)交點(diǎn)。即使兩個(gè)都是多邊形某邊與橢圓的實(shí)交點(diǎn)，

21、還需對(duì)其排序。下面解決如何取邊形某邊與橢圓的實(shí)交點(diǎn)，還需對(duì)其排序。下面解決如何取交點(diǎn)。交點(diǎn)。 1byax2222)2(x) 3(x)2(y) 3(y)2(xx)2(yy三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理引入?yún)⒖甲兞恳雲(yún)⒖甲兞縋(P(1) )、P(P(2) )： )2(y)7(y)7(y) 3(y) 1 (P)2(y)8(y)8(y)3(y)2(P三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理（1 1）當(dāng)多邊形某條邊的）當(dāng)多邊形某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)在橢圓內(nèi)，一個(gè)兩個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)在橢圓內(nèi)，一個(gè)在橢圓外，在橢圓外，則該邊與橢圓必有且只有一個(gè)實(shí)交點(diǎn)（則該邊與橢圓必有且只有一個(gè)實(shí)交點(diǎn)（x(4)

22、，y(4)）。程序在計(jì)算時(shí)，由該條邊確定直線會(huì)與橢圓發(fā)生）。程序在計(jì)算時(shí)，由該條邊確定直線會(huì)與橢圓發(fā)生兩個(gè)交點(diǎn)，而實(shí)交點(diǎn)應(yīng)為線段（兩個(gè)交點(diǎn)，而實(shí)交點(diǎn)應(yīng)為線段（n點(diǎn)，（點(diǎn)，（x(2)，y(2)）n+1點(diǎn)（點(diǎn)（x(3)，y(3)）的內(nèi)比分點(diǎn)，）的內(nèi)比分點(diǎn)，P值大于值大于0，另一，另一個(gè)為外比分點(diǎn)，個(gè)為外比分點(diǎn)， P值小于值小于0，因而：，因而： P(1)P(2) 0 若若P(1)0，則：，則：x(4)=x(7)，y(4)=y(7) 若若P(1)0 0，則：，則：x(4)=x(8)，y(4)=y(8) 若若P(1)0，P(2)0，該邊與橢圓無交點(diǎn)，兩交，該邊與橢圓無交點(diǎn)，兩交 點(diǎn)均為線段（點(diǎn)均為線段

23、（n點(diǎn)點(diǎn)n+1+1點(diǎn)）的外比分點(diǎn)。點(diǎn)）的外比分點(diǎn)。 三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理（2 2）多邊形某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓外，且）多邊形某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓外，且 方程組有兩組實(shí)數(shù)解。方程組有兩組實(shí)數(shù)解。三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理)7(y)5(y)7(x)5(x)8(y)6(y)8(x)6(x)8(y)5(y)8(x)5(x)7(y)6(y)7(x)6(x當(dāng)當(dāng) P(1) P(2)時(shí)時(shí)：當(dāng)當(dāng) P(1) P(2)時(shí)時(shí)： 若若P(1)0，P(2)0，表示兩交點(diǎn)均為線段（，表示兩交點(diǎn)均為線段（n點(diǎn)點(diǎn) n+1 點(diǎn)）的內(nèi)比分點(diǎn)，即該邊與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)）的內(nèi)比分點(diǎn)，即該邊

24、與橢圓有兩個(gè)交 點(diǎn)，為：點(diǎn)，為：三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理4 4、計(jì)算三角形面積、計(jì)算三角形面積)2(y)3(x)2(x)3(y21SA 在累加面積時(shí)，三角形面積有正有負(fù)。由于是按逆時(shí)針在累加面積時(shí)，三角形面積有正有負(fù)。由于是按逆時(shí)針方向取向，且三角形有一個(gè)頂點(diǎn)必為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可以用兩方向取向，且三角形有一個(gè)頂點(diǎn)必為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可以用兩個(gè)矢量叉乘求出三角形面積個(gè)矢量叉乘求出三角形面積SA，即：，即： 若三角形以若三角形以O(shè)點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的兩邊（順序已定）表示的點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的兩邊（順序已定）表示的矢量叉乘方向垂直于橢圓面且朝上，亦即坐標(biāo)軸矢量矢量叉乘方向垂直于橢圓面且朝上，亦即坐

25、標(biāo)軸矢量X、Y叉乘的方向叉乘的方向Z軸正方向，表達(dá)式為正值，表示加三角形面積。軸正方向，表達(dá)式為正值，表示加三角形面積。反之，表達(dá)式為負(fù)值，表示減三角形面積（參看舉例中三角反之，表達(dá)式為負(fù)值，表示減三角形面積（參看舉例中三角形面積計(jì)算）。形面積計(jì)算）。三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理 橢圓扇形橢圓扇形OFMD是需要計(jì)算的面積；若將是需要計(jì)算的面積；若將D作為起點(diǎn)、作為起點(diǎn)、 F作為終點(diǎn)，求得的是橢圓扇形作為終點(diǎn)，求得的是橢圓扇形ODNF的面積。的面積。5 5、計(jì)算橢圓扇形面積、計(jì)算橢圓扇形面積NYCBXAFEODM三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理 起始點(diǎn)為起始點(diǎn)為n點(diǎn)在

26、橢圓內(nèi)，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，n+1點(diǎn)在橢圓外與橢圓的交點(diǎn)；點(diǎn)在橢圓外與橢圓的交點(diǎn)； 或或n 點(diǎn)、點(diǎn)、n+1點(diǎn)均在橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)的第二交點(diǎn)點(diǎn)均在橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)的第二交點(diǎn) （x(6)，y(6)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時(shí)，及時(shí)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時(shí)，及時(shí)賦初始點(diǎn)賦初始點(diǎn)。 終止點(diǎn)為終止點(diǎn)為n點(diǎn)在橢圓外、點(diǎn)在橢圓外、n+1點(diǎn)在橢圓內(nèi)與橢圓的交點(diǎn)；點(diǎn)在橢圓內(nèi)與橢圓的交點(diǎn)； 或當(dāng)或當(dāng)n點(diǎn)、點(diǎn)、n+1點(diǎn)均在橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)的第點(diǎn)均在橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)的第1交點(diǎn)交點(diǎn) （x(5)，y(5)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時(shí)及時(shí)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時(shí)及時(shí)賦終止點(diǎn)賦終止點(diǎn)。 由于本文采取得計(jì)算方法是逐點(diǎn)判

27、定，橢圓扇形的起始由于本文采取得計(jì)算方法是逐點(diǎn)判定，橢圓扇形的起始 點(diǎn)（點(diǎn)（x(1)，y(1)）、終止點(diǎn)（）、終止點(diǎn)（x(9)，y(9)）在程序開始以及）在程序開始以及 每計(jì)算完一個(gè)橢圓扇形面積后均每計(jì)算完一個(gè)橢圓扇形面積后均賦零值賦零值。三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理計(jì)算橢圓扇形面積的公式：計(jì)算橢圓扇形面積的公式：三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理三、程序設(shè)計(jì)的技術(shù)處理6 6、控制變量、控制變量ks s的選取的選取 若若多邊形的所有頂點(diǎn)均在橢圓外，且每條邊與橢多邊形的所有頂點(diǎn)均在橢圓外，且每條邊與橢圓不相交，這表示要么多邊形包含橢圓，要么多邊形圓不相交，這表示要么多邊形包含橢圓，要么多邊形

28、與橢圓不相交。為區(qū)分這兩種情況，設(shè)置控制變量與橢圓不相交。為區(qū)分這兩種情況，設(shè)置控制變量ks。若坐標(biāo)原點(diǎn)與多邊形每條邊組成的三角形面積均為正，若坐標(biāo)原點(diǎn)與多邊形每條邊組成的三角形面積均為正，令令ks0，表示多邊形包含橢圓。否則，表示多邊形包含橢圓。否則，ks0，表示多，表示多邊形與橢圓不相交。邊形與橢圓不相交。四、舉例說明四、舉例說明 在上圖中，凸多邊形的在上圖中，凸多邊形的ABCD與橢圓的相交面積為：與橢圓的相交面積為： S = SOEF+SOGC +SOCH+ S扇扇OFMG +S扇扇OHIE逆時(shí)針取點(diǎn)，采用逐點(diǎn)計(jì)算法，對(duì)于逆時(shí)針取點(diǎn)，采用逐點(diǎn)計(jì)算法，對(duì)于OEF面積，面積，E點(diǎn)在先，點(diǎn)在先

29、，F(xiàn)點(diǎn)在點(diǎn)在后，矢量與矢量的叉乘方向指向坐標(biāo)軸矢量，叉乘的正向后，矢量與矢量的叉乘方向指向坐標(biāo)軸矢量，叉乘的正向Z軸正方軸正方向，取正值。同樣，向，取正值。同樣，OGC、OCH的面積也為正值。的面積也為正值。 本方法規(guī)定橢圓扇形面積永遠(yuǎn)為正。本方法規(guī)定橢圓扇形面積永遠(yuǎn)為正。A YGBFE D HC XOIM四、舉例說明四、舉例說明（1 1）點(diǎn)點(diǎn)A點(diǎn)點(diǎn)B，即點(diǎn)由橢圓外，即點(diǎn)由橢圓外橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn)橢圓外且與橢圓有兩交點(diǎn) E、F。對(duì)于。對(duì)于E點(diǎn)應(yīng)為計(jì)算橢圓扇形的終止點(diǎn)，因前面無點(diǎn)應(yīng)為計(jì)算橢圓扇形的終止點(diǎn)，因前面無 橢圓扇形的起始點(diǎn)，即橢圓扇形的起始點(diǎn)，即x(1)=0，y(1)=0，將其值賦于

30、，將其值賦于 x(0)，y(0)；對(duì)于；對(duì)于F點(diǎn)，此時(shí)有點(diǎn)，此時(shí)有S = SOEF；將；將F點(diǎn)值賦予點(diǎn)值賦予 x(1)，y(1)。1 1、選擇、選擇A點(diǎn)為計(jì)算起點(diǎn)點(diǎn)為計(jì)算起點(diǎn)A YGBFE D HC XOIM四、舉例說明四、舉例說明點(diǎn)點(diǎn)B點(diǎn)點(diǎn)C，即點(diǎn)橢圓外，即點(diǎn)橢圓外橢圓內(nèi)，有一交點(diǎn)橢圓內(nèi)，有一交點(diǎn)G。對(duì)于。對(duì)于 G點(diǎn)應(yīng)為計(jì)算橢圓扇形的終止點(diǎn)，且點(diǎn)應(yīng)為計(jì)算橢圓扇形的終止點(diǎn)，且x(1)，y(1)已賦已賦 值，此時(shí)應(yīng)有值，此時(shí)應(yīng)有S=SOEF+ S扇扇OFMG；對(duì)于對(duì)于C點(diǎn)，此時(shí)：點(diǎn)，此時(shí)： S = SOEF+S扇扇OFMG + SOGC A YGBFE D HC XOIM四、舉例說明四、舉例說明點(diǎn)點(diǎn)C點(diǎn)點(diǎn)D，即點(diǎn)橢圓內(nèi)，即點(diǎn)橢圓內(nèi)橢圓外，有一交點(diǎn)橢圓外，有一交點(diǎn)H。 對(duì)于對(duì)于H點(diǎn)，此時(shí)：點(diǎn)，此時(shí)： S = SOEF +S扇扇OFMG + SOGC+ SOCH ； 將將H點(diǎn)值賦于點(diǎn)值賦于x(1)，y(1)。A YGBFE D HC XOIM四、舉例說明四、舉例說明（4 4）點(diǎn)點(diǎn)D點(diǎn)點(diǎn)A，即點(diǎn)橢圓外，即點(diǎn)橢圓外橢圓外，有一交點(diǎn)橢圓外，有一交點(diǎn)I，看作無交，看作無交 點(diǎn)。由于逆時(shí)針走完一周，且起始亦即終點(diǎn)在橢圓外，需點(diǎn)。由于逆時(shí)針走完一周，且起始亦即終點(diǎn)在橢圓外，需 累加一個(gè)以累加一個(gè)以x(0)，y(0)為終止點(diǎn)，即為終