大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)題及答案

1、第5章 大數(shù)定律與中央極限定理、填空題：211 .設(shè)隨機(jī)變量E(3=N,萬差0(9=仃,那么由切比雪夫不等式有 P| t-|>3a <_- "9"2 .設(shè) £,二2,二是 n 個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 nE(：)=RD(0)=8, (i =1,2,n )對于自=£,寫出所滿足的切彼雪夫不等式 i 4 nD(")81P | t-|> e <V =-2 ,并估計(jì) P| 之N|<4 > 1 一 ； n ； 2n 3. 設(shè)隨機(jī)變量 X1, X2JII ,X9相互獨(dú)立且同分布,而且有EXi =19DXi =1(i =

2、1,2#|,9),令X =Z Xi ,那么對任意給定的 8A0,由切比雪夫不等式i 4直接可得P X _9 < J至 1 -92.解：切比雪夫不等式指出：如果隨機(jī)變量X滿足：E(X) = N與D(X)=仃2都存在,那么 對任意給定的8>0,有_ 2_ 2P|XN 戶當(dāng)工),或者 P| X -|<£ >1-.由于隨機(jī)變量 X1,X2J|,X9相互獨(dú)立且同分布,而且有EXi =1,DXi =1(i =1,2,|9),所以=E(X) = E 產(chǎn) Xi E(Xi)1 =9,二2,i 1i 1i 1= D(X)=Di£ Xi =£ D(Xi) =H

3、1=9.3凸 J iTiT4.設(shè)隨機(jī)變量X滿足：E(X) =N, D(X)=.2,那么由切比雪夫不等式,一 ,1有 P| X - J |-4_ 一16解：切比雪夫不等式為：設(shè)隨機(jī)變量 X滿足E(X)D(X)=仃2,那么對任意2. 21的WA0,有P| X 臼至mEf.由此得 P|XN戶4仃£7 = 2(4二)2165、設(shè)隨機(jī)變量& E(t) = N, D代)=仃2 ,那么P|1臼<2仃之-46、設(shè)片,G,.為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且 .=1,2,)服從參數(shù)為九的泊松n“ i - n,t21 x 一<分布,那么 lim P - x ： e 2 dt .n,二 ,n

4、 -二2 二二7、設(shè)4表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的b-np概率,那么 P a :二 n < b1np(1 -p)上nP=oJnp(1 -p) 、2 'e 2dt8 .設(shè)隨機(jī)變量 二,服從二項(xiàng)分布B(n, p),其中0< p<1,n =1,2,川,那么,對于任一實(shí)數(shù) x,有 lim P| 匕np|<x| = 0 n 二9 .設(shè)X1,X2,|l|,Xn為隨機(jī)變量序列,2為常數(shù),那么Xn依概率4斂于a是指Vs>0, lim PX n a < J= 1 , 或 Vw>0, limPXna 之 J=0 .n1 n

5、-n1 n10.設(shè)供電站電網(wǎng)有100盞電燈,夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8.假設(shè)每盞燈開關(guān)是相互獨(dú)立的,假設(shè)隨機(jī)變量X為100盞燈中開著的燈數(shù),那么由切比雪夫不等式估計(jì),X落在75至85之間的概率不小于 2.2516 =_925 - 25解：E(X) =80, D(X) =16 ,于是P(75 X ：:85) =P(|X -80卜：5)一1計(jì)算題：1、在每次試驗(yàn)中,事件 A發(fā)生的概率為0.5 ,利用切比雪夫不等式估計(jì),在 1000次獨(dú)立 試驗(yàn)中,事件 A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率.解：設(shè)X表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù),那么 E(X) = 500, D(X) = 250

6、P 450 < X < 550 -P| X - 500 性 50=P| X -E(X) |< 50 -1 -2孕=1-5°- = 0.950225002、一通信系統(tǒng)擁有50臺(tái)相互獨(dú)立起作用的交換機(jī).在系統(tǒng)運(yùn)行期間,每臺(tái)交換機(jī)能清楚接 受信號(hào)的概率為 0.90.系統(tǒng)正常工作時(shí),要求能清楚接受信號(hào)的交換機(jī)至少45臺(tái).求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設(shè)X表示系統(tǒng)運(yùn)行期間能清楚接受信號(hào)的交換機(jī)臺(tái)數(shù),那么X B50,0.90.由此P通信系統(tǒng)能正常工作=P45Mx 5.c 45-50 0.9 X -50 0.950-50 0.9=P 50 0.9 0.150 0.9 0.15

7、0 0.9 0.1:力2.36 -中0 = 0.990 9 -0.5 = 0.490 9.3、某微機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端,每個(gè)終端有5%勺時(shí)間在使用,假設(shè)各終端使用與否是相互獨(dú)立 的,試求有不少于10個(gè)終端在使用的概率.解：某時(shí)刻所使用的終端數(shù)b120,O.05, np = 6, npq = 5. 7由棣莫弗一拉普拉斯定理知= 0.0475.P _10 =10.1,問閱覽室4、某校共有4900個(gè)學(xué)生,每天晚上每個(gè)學(xué)生到閱覽室去學(xué)習(xí)的概率為要準(zhǔn)備多少個(gè)座位,才能以99%勺概率保證每個(gè)去閱覽室的學(xué)生都有座位解：設(shè)去閱覽室學(xué)習(xí)的人數(shù)為",要準(zhǔn)備k個(gè)座位. bn,p,n =4900,p =0.

8、1,np =4900 0.1 =490, npq=.49000.1-0.9 = 441 =21.P0M Mk_二,空叩 一0二叩",kz4900490npq .npq . 21. 21一"'k-490= 0.99.,21k -4902.326 3, k = 21 2.326 3 490 = 538.852 3查N0,1分布表可得21539.要準(zhǔn)備539個(gè)座位,才能以99%勺概率保證每個(gè)去閱覽室學(xué)習(xí)的學(xué)生都有座位5.隨機(jī)地?cái)S六顆骰子 ,試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)：六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和不小于不超過33點(diǎn)的概率.解：設(shè) M示六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和.白,表示第i顆骰子出現(xiàn)的

9、點(diǎn)數(shù),i = 1 ,2,66匕,& 相互獨(dú)立,顯然刈=£ &171 2 3 4 5 6 =621 2224935412=-12635 =21 D = 2p19 m M33；=pi -E 三 12)= 1-p： -E13)D d 35二1 一 0.91693386.設(shè)隨機(jī)變量,邑,二相互獨(dú)立,且均服從指數(shù)分布f (x)=,心->x九emx0x <01<10->問：n的最小值應(yīng)如何 ？解：E k1c 1_ , D k-Z<n1,D -Zn kd夫不等式1ZJn ki110'n kd-110,|n2951 2 100,10'd

10、100n1 n95, 從而n之2000 , 故n的最小值是20001007.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí),如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè),那么拒絕接受這批產(chǎn)品, 設(shè)某批產(chǎn)品次品0.9?率為10%問至少應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率到達(dá)解：二 設(shè)n為至少應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù),X是其中的次品數(shù),那么 X b(n,0.1),PX >10 >0.9 ,而 PX -n 0.1n 0.1 0.910 -n 0.1,n 0.1 0.9 _0.9X -n 0.110 -0.1n,小彳所以 P_ <0.1.n 0.1 0.9. 0.09n由中央極限定理知,當(dāng) n充分大時(shí),上 X -0.1n10-0.1

11、n,-10-0.1n、 有 P：=0.1 ,n 0.1 0.9. 0.09n0.3, n4 -10 -0.1n、由,=0.10.3. n10.0.1n查表得=-1.28. n = 1470.3、. n8. (1) 一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成,在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為0.1 ,又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行,至少必需要有85個(gè)元件工作,求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運(yùn)行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假設(shè)有 n個(gè)相互獨(dú)立的元件組成,而且又要求至少有80%勺元件工作才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行,問n至少為多大時(shí)才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95?解：(1)設(shè)X表示正常工作的元件數(shù),那么 X - b(100,0

12、.9),PX -85 = P100 一 X _85 = P85-90.9X -100 0.9.100 0.1 0.9100-90二P+ 333由中央極限定理可知,、,10,5,10, 5PX _85=i()-中(-二)二.：,()一(1一中(5) 3333二中(岸中(5) -1 =1(|) =0.950.2n0.3. n(2)設(shè)X表示正常工作的元件數(shù),那么 X - b(n,0.9)PX2皿二師同m X ' n = P '>0.努.1.X -0.9n一 0.3. nn X -0.9n 2n=Pn = P-30.3 n 33= 一.：)=0.95 口 333n =259 .一

13、部件包括10局部,每局部的長度是一隨機(jī)變量,相互獨(dú)立且具有同一分布,其數(shù)學(xué)期望為2 mm ,均方差為0.05 mm,規(guī)定總長度為 20 ± 0.1 mm時(shí)產(chǎn)品合格,試求產(chǎn)品合 格的概率.已知：力0.6 = 0.7257;0.63 = 0.7357.解：設(shè)每個(gè)局部的長度為 X i = 1, 2, 10 2,依題意,得合格品的概率為E ( X i ) = 2 =,D( X i )=02 = ( 0.05 )10P0.1 <zXi -20<0.U = P J-0.63<3.18 0.0510c Xi -10 2) £0.63 i 10.631e63. 2二0.6

14、32 dt =201-e 2 dt. 2二0.6312. e2 二-nd2 dt -1 = 2 0.7357 -1 = 0.471410 .計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法計(jì)算時(shí),把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計(jì)算,設(shè)所有取整誤差是相 互獨(dú)立的隨機(jī)變量,并且都在區(qū)間_0.5, 0.5 上服從均勻分布,求 1200個(gè)數(shù)相加時(shí)誤 差總和的絕對值小于10的概率.： 1=0.8413 ;2=0.9772 .解：設(shè).,G ,鼻表示取整誤差,因它們在-0.5 ,0.5上服從均勻分布故有 Et=0 ,D&i= , i=1,2,n12根據(jù)同分布的中央要極限定理,得口1200P£匕i m:二 10 一

15、6;1200112=20.8413 -1 = 0.6826( _1 ) = 2 力(1 ) ,111 .將一枚硬幣連擲100次,試用隸莫佛-拉普拉斯定理計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于60的概率.：1 = 0.8413;2 = 0.9772;當(dāng) x > 4 ,x =1 .1解：設(shè)之為 擲100次中出現(xiàn)正面的次數(shù),它服從二項(xiàng)分布B 100 ,-21 _1 一這 里 np = 100=50 , npq = 50=25 22由隸莫佛-拉普拉斯定理,得-50 100-50P160二三100)= P=P32 c-505< 1025 -25查 N ( 0, 1 ) 分布函 數(shù)表, 得 P 60 <

16、 t < 100 = 1_0.977 = 0.023 .12 .有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯,能將甲種酒全部挑出來,算是成功一次.(1)某人隨機(jī)地去猜,問他成功一次的概率是多少？(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗(yàn)10次,成功3次.試推斷他是猜對的,還是他確有區(qū)分的水平(各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的).解:(1)設(shè)八=試驗(yàn)成功一次,C4那么有 P(A) =-44C870(2)設(shè)X：試驗(yàn)10次成功的次數(shù),那么XB由于P(X =3)= 3.1633 10)因此隨機(jī)事件1X =3是一個(gè)小概率事件,根據(jù)“小概率事件在一次試驗(yàn)中是不大可能發(fā)生 的的原理,隨機(jī)事件

17、(X =3是不大可能發(fā)生的,但它卻發(fā)生了,因此我們要以斷定此人 確有區(qū)分酒的水平.13 .保險(xiǎn)公司新增一個(gè)保險(xiǎn)品種：每被保險(xiǎn)人年交納保費(fèi)為100元,每被保險(xiǎn)人出事賠付金額為2萬元.根據(jù)統(tǒng)計(jì),這類被保險(xiǎn)人年出事概率為0.000 5.這個(gè)新保險(xiǎn)品種預(yù)計(jì)需投入100萬元的廣告宣傳費(fèi)用.在忽略其他費(fèi)用的情況下,一年內(nèi)至少需要多少人參保,才能使保險(xiǎn)公司在該年度獲利超過100萬元的概率大于95%?("'(x)=.x 1_-2=e 2dt,：D (1.29) = 0.9015,中(1.65) =0.9505(3.09) =0.9990,中(3.72) =0.999 9戶(4.27) =0.

18、999 99)解：設(shè)參保人數(shù)為 N人,那么2第1人出事,i二12|N- ,0,第i人不出事,I" , 1 ),E£ = p, D.= pq.P；NP(20 000v i 1 000 000 < 100 N -1 000 000) _ 0.95. i 4NPQ i < N /200 -2 000 000) _ 0.95. i 1f N工 q -NpVNpq100N -2000000 z Np 20 000jNpq1 0N0-2 0 0 0K0 0 0Np2 0 0 0 0-1 .65,-0.95.N -20 000-200Np _330 Npq, p-0.0005,q-0.9995,0.9 N - 20 000 . 330、Npq , 9N - 2 10 5 _ 3 300 J Npq , 81N2 -(36 105 3 3002 pq) N 4 1010 _ 0,N2 -45068.03N -493827160.49 _0,Jb2 - 4ac 63 296.41, N 一 54182.22.xn e f ( x ) = n !14、證實(shí)題：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為I °,P(0 ：: X ：: