2020學(xué)年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)Ⅰ）數(shù)學(xué)理

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新課標(biāo))數(shù)學(xué)理一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)集合A=x|x2-4x+30，B=x|2x-30，則AB=()A.(-3，)B.(-3，)C.(1，)D.(，3)解析：集合A=x|x2-4x+30=(1，3)，B=x|2x-30=(，+)，AB=(，3).答案：D2. 設(shè)(1+i)x=1+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|=()A.1B.C.D.2解析：根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可.(1+i)x=1+yi，解得，即|x+yi|=|1+i|=.答案：B.3

2、. 已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a10=8，則a100=()A.100B.99C.98D.97解析：等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，9a5=27，a5=3，又a10=8，d=1，a100=a5+95d=98.答案：C4. 某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A.B.C.D.解析：設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時(shí)，小明等車時(shí)間不超過10分鐘，故.答案：B5. 已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A.

3、(-1，3)B.(-1，)C.(0，3)D.(0，)解析：雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，c=2，可得：4=(m2+n)+(3m2-n)，解得：m2=1，方程表示雙曲線，(m2+n)(3m2-n)0，可得：(n+1)(3-n)0，解得：-1n3，即n的取值范圍是：(-1，3).答案：A.6. 如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A.17B.18C.20D.28解析：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)球去掉18后的幾何體，如圖：可得：，R=2.它的表面積是：.答案：A.7. 函數(shù)y=2x2-e|x|在-2，2的圖象大致為()A.B

4、.C.D.解析：f(x)=y=2x2-e|x|，f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x=±2時(shí)，y=8-e2(0，1)，故排除A，B； 當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)=y=2x2-ex，f(x)=4x-ex=0有解，故函數(shù)y=2x2-e|x|在0，2不是單調(diào)的，故排除C.正確的是D.答案：D8. 若ab1，0c1，則()A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logaclogbc解析：ab1，0c1，函數(shù)f(x)=xc在(0，+)上為增函數(shù)，故acbc，故A錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)=xc-1在(0，+)上為減函數(shù)，故ac-1bc-1，故ba

5、cabc，即abcbac；故B錯(cuò)誤；logac0，且logbc0，logab1，即，即logaclogbc.故D錯(cuò)誤；0-logac-logbc，故-blogac-alogbc，即blogacalogbc，即alogbcblogac，故C正確.答案：C9. 執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x解析：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量x，y的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.輸入x=0，y=1，n=1，則x=0，y=1，不滿足x2+y236，故n=

6、2，則x=，y=2，不滿足x2+y236，故n=3，則x=，y=6，滿足x2+y236，故y=4x.答案：C10. 以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2B.4C.6D.8解析：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，|OD|=|OA|，解得：p=4.C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4.答案：B.11. 平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為()A.B.C.D.解

7、析：如圖：平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，可知：nCD1，mB1D1，CB1D1是正三角形.m、n所成角就是CD1B1=60°.則m、n所成角的正弦值為：.答案：A.12. 已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(0，|)，為f(x)的零點(diǎn)，為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸，且f(x)在(，)單調(diào)，則的最大值為()A.11B.9C.7D.5解析：解法一：為f(x)的零點(diǎn)，為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸，即，(nN)即=2n+1，(nN)即為正奇數(shù)，f(x)在(，)則，即，解得：12，當(dāng)=11時(shí)，kZ，|，=，此時(shí)f(x)在(，)不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)=9時(shí)，kZ，|，=，此時(shí)

8、f(x)在(，)單調(diào)，滿足題意；故的最大值為9.解法二：為f(x)的零點(diǎn)，為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸，(kZ)，又|，=，由解法一可得：=2n+1，(nN)f(x)在(，)單調(diào)，即 (k，nZ)，解得：，故n的最大值為4，故=2n+19.答案：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 設(shè)向量=(m，1)，=(1，2)，且，則m= .解析：，可得.向量=(m，1)，=(1，2)，可得m+2=0，解得m=-2.答案：-2.14. (2x+)5的展開式中，x3的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案)解析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，求出r，即可求出展開式中x3的系

9、數(shù).(2x+)5的展開式中，通項(xiàng)公式為：，令，解得r=4x3的系數(shù).答案：10.15. 設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2an的最大值為 .解析：等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q(a1+a3)=5，解得q=.a1+q2a1=10，解得a1=8.則a1a2an=a1n·q1+2+3+(n-1)=，當(dāng)n=3或4時(shí)，表達(dá)式取得最大值：.答案：64.16. 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)

10、一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元.解析：甲、乙兩種兩種新型材料，設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元.由題意，得，z=2100x+900y.不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A(60，100)，目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y.經(jīng)過A時(shí)，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：2100×60+900×100=216000元.答案：216000.三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、證明過程或

11、演算步驟.17. ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.()求C.解析：()已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數(shù).答案：()已知等式利用正弦定理化簡得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，整理得：2cosCsin(A+B)=sinC，sinC0，sin(A+B)=sinCcosC=，又0C，C=.()若c=，ABC的面積為，求ABC的周長.解析：()利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出a+b的值，即可

12、求ABC的周長.答案：()由余弦定理得，(a+b)2-3ab=7，ab=6，(a+b)2-18=7，a+b=5，ABC的周長為5+.18. 如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.()證明平面ABEF平面EFDC.解析：()證明AF平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF平面EFDC.答案：()ABEF為正方形，AFEF.AFD=90°，AFDF，DFEF=F，AF平面EFDC，AF平面ABEF，平面ABEF平面EFDC.()求二面角E

13、-BC-A的余弦值.解析：()證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E-BC-A的余弦值.答案：()由AFDF，AFEF，可得DFE為二面角D-AF-E的平面角；由CEBE，BEEF，可得CEF為二面角C-BE-F的平面角.可得DFE=CEF=60°.ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，AB平面EFDC，平面EFDC平面ABCD=CD，AB平面ABCD，ABCD，CDEF，四邊形EFDC為等腰梯形.以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，則E(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(

14、，0，)，A(2a，2a，0)，設(shè)平面BEC的法向量為，則，則，取.設(shè)平面ABC的法向量為，則，則，取.設(shè)二面角E-BC-A的大小為，則，則二面角E-BC-A的余弦值為.19. 某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)

15、，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).()求X的分布列.解析：()由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.答案：()由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，X的分布列為：()若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值.解析：()由X的分布列求出P(X18)=，P(X19)=.由此能確定滿足P(Xn)0.5中n的最小值.答案：()由()知：P(X18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18).P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) .P(Xn)0.5中，n的最

16、小值為19.()以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？解析：()由X的分布列得P(X19)=.求出買19個(gè)所需費(fèi)用期望EX1和買20個(gè)所需費(fèi)用期望EX2，由此能求出買19個(gè)更合適.答案：()由()得P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19).買19個(gè)所需費(fèi)用期望：EX1=200×19×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040，買20個(gè)所需費(fèi)用期望：EX2

17、=200×20×+(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080，EX1EX2，買19個(gè)更合適.20. 設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.()證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.解析：()求得圓A的圓心和半徑，運(yùn)用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB=ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程.答案：()圓x2+y2+2x

18、-15=0即為(x+1)2+y2=16，可得圓心A(-1，0)，半徑r=4，由BEAC，可得C=EBD，由AC=AD，可得D=C，即為D=EBD，即有EB=ED，則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且有2a=4，即a=2，c=1，則點(diǎn)E的軌跡方程為(y0).()設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解析：()設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|MN|，由PQl，設(shè)PQ：y=-m(x-1)，求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式

19、可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍.答案：()橢圓C1：，設(shè)直線l：x=my+1，由PQl，設(shè)PQ：y=-m(x-1)，由可得(3m2+4)y2+6my-9=0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得，則，A到PQ的距離為，則四邊形MPNQ面積為，當(dāng)m=0時(shí)，S取得最小值12，又，可得，即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是12，).21. 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).()求a的取值范圍.解析：()由函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2可得：f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)，

20、對(duì)a進(jìn)行分類討論，綜合討論結(jié)果，可得答案.答案：()函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)，a=0，那么f(x)=0(x-2)ex=0x=2，函數(shù)f(x)只有唯一的零點(diǎn)2，不合題意；若a0，那么ex+2a0恒成立，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)取極小值-e，由f(2)=a0，可得：函數(shù)f(x)在x1存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，exe，x-2-10，f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(x-2)e+a(x-1)2=a(x-1)2+e(x-1)-e

21、，令a(x-1)2+e(x-1)-e=0的兩根為t1，t2，且t1t2，則當(dāng)xt1，或xt2時(shí)，f(x)a(x-1)2+e(x-1)-e0，故函數(shù)f(x)在x1存在一個(gè)零點(diǎn)；即函數(shù)f(x)在R是存在兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；若，則ln(-2a)lne=1，當(dāng)xln(-2a)時(shí)，x-1ln(-2a)-1lne-1=0，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)ln(-2a)x1時(shí)，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，x-10，ex+2aeln(-2a)

22、+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=ln(-2a)時(shí)，函數(shù)取極大值，由f(ln(-2a)=ln(-2a)-2(-2a)+aln(-2a)-12=aln(-2a)-12+10得：函數(shù)f(x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，則ln(-2a)=1，當(dāng)x1=ln(-2a)時(shí)，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(

23、x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，則ln(-2a)lne=1，當(dāng)x1時(shí)，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1xln(-2a)時(shí)，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xln(-2a)時(shí)，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極大值，由f(1)=-e0得：函數(shù)f(x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上所述，a的取值范圍為(0，+).

24、()設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x22.解析：()設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則，令，則g(x1)=g(x2)=-a，分析g(x)的單調(diào)性，令m0，則，設(shè)，m0，利用導(dǎo)數(shù)法可得h(m)h(0)=0恒成立，即g(1+m)g(1-m)恒成立，令m=1-x10，可得結(jié)論.答案：()x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，f(x1)=f(x2)=0，且x11，且x21，令，則g(x1)=g(x2)=-a，當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；設(shè)m0，則，設(shè)，m0，則恒成立，即h(m)在(0，+)上為增函數(shù)，h(m)h(0)=0恒成立，即g(1+

25、m)g(1-m)恒成立，令m=1-x10，則g(1+1-x1)g(1-1+x1)g(2-x1)g(x1)=g(x2)2-x1x2，即x1+x22.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-1：幾何證明選講22. 如圖，OAB是等腰三角形，AOB=120°.以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓.()證明：直線AB與O相切.解析：()設(shè)K為AB中點(diǎn)，連結(jié)OK.根據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OKAB，A=30°，OK=OAsin30°=OA，則AB是圓O的切線.答案：()設(shè)K為AB中點(diǎn)，連結(jié)OK，OA=OB，AOB=120°，OKAB，A=30°，OK=OAsin30°=OA，直線AB與O相切.()點(diǎn)C，D在O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：ABCD.解析：()設(shè)圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結(jié)論.答案：()因?yàn)镺A=2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心.設(shè)T是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心.OA=OB，TA=TB，OT為AB的中垂線，同理，OC=OD，TC=TD，OT為CD的中垂線，ABCD.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在直線坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)