萬有引力知識與例題總結(jié)

1、萬有引力定律與航天第1課 萬有引力定律及其應(yīng)用知識簡析 一. 萬有引力定律1內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與 成正比，與它們之間 成反比2公式：F ，其中G N·m2/kg2，叫引力常量3適用條件：公式適用于 間的相互作用當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點(diǎn)；均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是 間的距離；一個均勻球體與球外一個質(zhì)點(diǎn)的萬有引力也適用，其中r為球心到 間的距離例、對于萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式F，下列說法正確的是( )公式中G為引力常數(shù)，是人為規(guī)定的 r趨近于零時，萬有引力趨于無窮大m1、m2之間的萬有引力總是大小相等，與m1、m2的質(zhì)量是否相等

2、無關(guān)m1、m2之間的萬有引力總是大小相等方向相反，是一對平衡力二、萬有引力和重力重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大通常的計(jì)算中因重力和萬有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即m2gG, g=GM/r2常用來計(jì)算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（r+h）2，比較得gh=（）2·g0 (g0為地表重力加速度) 在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和m2g剛好在一條直線上，則有 FF向m2g，所以m2g=F一F向Gm2R自2因地球目轉(zhuǎn)角速度很小G» m2R自2,所以m2g= G假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，即自變大

3、，由m2gGm2R自2知物體的重力將變小，當(dāng)G=m2R自2時，m2g=0，此時地球上物體無重力，但是它要求地球自轉(zhuǎn)的角速度自，比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度要大得多.三.天體表面重力加速度問題設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R，由mg=得g=,由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關(guān)系為四天體質(zhì)量和密度的計(jì)算（1）測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T，由Gm()2r，可得天體質(zhì)量為：M.該中心天體密度為：（R為中心天體的半徑）當(dāng)衛(wèi)星沿中心天體表面運(yùn)行時，rR，則.（2）利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Gmg，故天體質(zhì)量M，天體密度.規(guī)律方法 1、萬有引力定律的基本應(yīng)用【例1】如

4、圖所示，在一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？【例2】某物體在地面上受到的重力為160 N，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度a½g隨火箭加速上升的過程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為90 N時，求此時衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)？（地球半徑R6.4×103km,g取10m/s2）【例3】登月火箭關(guān)閉發(fā)動機(jī)在離月球表面112 km的空中沿圓形軌道運(yùn)動，周期是120.5 min,月球的半徑是1740 km,根據(jù)這組數(shù)據(jù)計(jì)算月球的質(zhì)量和平均密度【例4】一個宇航員在半徑為R的星

5、球上以初速度v0豎直上拋一物體，經(jīng)ts后物體落回宇航員手中為了使沿星球表面拋出的物體不再落回星球表面，拋出時的速度至少為多少？【例5】中子星是恒星演化過程中的一種可能結(jié)果，它的密度很大現(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T s問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解？(計(jì)算時星體可視為均勻球體，萬有引力常量G6.67×1011m3/kg·s2)6、已知下面的哪組數(shù)據(jù),可以算出地球的質(zhì)量M(引力常量G為已知) ( )A月球繞地球運(yùn)動的周期T 及月球到地球中心的距離R B地球繞太陽運(yùn)行周期T 及地球到太陽中心的距離RC人造衛(wèi)星在地面附近的運(yùn)行速度V和運(yùn)行

6、周期TD地球繞太陽運(yùn)行速度V 及地球到太陽中心的距離R3、據(jù)媒體報(bào)道,嫦娥一號衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道,軌道高度200 km,運(yùn)用周期127分鐘。若還知道引力常量和月球平均半徑,僅利用以上條件不能求出的是A.月球表面的重力加速度B.月球?qū)πl(wèi)星的吸引力C.衛(wèi)星繞月球運(yùn)行的速度D.衛(wèi)星繞月運(yùn)行的加速度2、討論天體運(yùn)動規(guī)律的基本思路基本方法：把天體的運(yùn)動看成是勻速圓周運(yùn)動，其所需向心力由萬有引力提供?！纠?】在天體運(yùn)動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動。如果雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1和M2，試計(jì)算：（1）雙星的軌道半

7、徑；（2）雙星的運(yùn)行周期；（3）雙星的線速度。試題展示第2 專題：人造天體的運(yùn)動知識簡析 一、衛(wèi)星的繞行角速度、周期與高度的關(guān)系（1）由，得，當(dāng)h，v（2）由G=m2（r+h），得=，當(dāng)h，（3）由G，得T= 當(dāng)h，T3、對人造地球衛(wèi)星,以下說法正確的是 ( )A. 根據(jù)公式環(huán)繞速度隨R的增大而增大B. 根據(jù)公式環(huán)繞速度隨R的增大而減小C. 根據(jù)公式F=，當(dāng)R增大到原來的4倍時，衛(wèi)星需要的向心力為原來的1/16D. 根據(jù)公式F=，當(dāng)R增大到原來的2倍時，衛(wèi)星需要的向心力減為原來的1/24、設(shè)地球的半徑為R0，質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地面R0高處做勻速圓周運(yùn)動，地面的重力加速度為g0，則以下說法錯誤的

8、是（ ）A.衛(wèi)星的線速度為； B.衛(wèi)星的角速度為；C.衛(wèi)星的加速度為； D.衛(wèi)星的周期；二、三種宇宙速度： 第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：v1=7.9km/s，人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。也是人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的最大速度。 第二宇宙速度（脫離速度）：v2=11.2km/s，使衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。 第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。不同高度處的人造地球衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)行速度，其大小隨半徑的增大而減小但是，由于在人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功，因此將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，即

9、v發(fā)射v環(huán)繞，所以近地人造地球衛(wèi)星的速度是最大環(huán)繞速度，也是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度三、第一宇宙速度的計(jì)算方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力G=m，v=。當(dāng)h，v，所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運(yùn)行的最大速度。其大小為rh（地面附近）時，=79×103m/s方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力當(dāng)rh時ghg 所以v1=79×103m/s第一宇宙速度是在地面附近hr，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的最大速度四、兩種最常見的衛(wèi)星 近地衛(wèi)星。 近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認(rèn)為等于地球半徑R，由式可得其線速度大小

10、為v1=7.9×103m/s；由式可得其周期為T=5.06×103s=84min。由、式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。 神舟號飛船的運(yùn)行軌道離地面的高度為340km，線速度約7.6km/s，周期約90min。同步衛(wèi)星。1軌道平面一定：軌道平面與 共面2周期一定：與 周期相同，即T24 h.3角速度一定：與 的角速度相同4高度一定：由Gm(Rh)得同步衛(wèi)星離地面的高度h R. 3.56×107m5速率一定：v 6. 向心加速度大小一定【例3】據(jù)報(bào)道，我國數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星“天鏈一號01星”于2008年4月25日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射

11、升空，經(jīng)過4次變軌控制后，于5月1日成功定點(diǎn)在東經(jīng)77°赤道上空的同步軌道關(guān)于成功定點(diǎn)后的“天鏈一號01星”，下列說法正確的是（ ）A運(yùn)行速度大于7.9 km/s B離地面高度一定，相對地面靜止C繞地球運(yùn)行的角速度比月球繞地球運(yùn)行的角速度大D向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度大小相等3、某一顆人造地球同步衛(wèi)星距地面的高度為h,設(shè)地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為，地面處的重力加速度為g，則該同步衛(wèi)星的線速度的大小應(yīng)該為：（ ） 、 、 、五、赤道上、近地衛(wèi)星上、同步衛(wèi)星上的同物比較角速度周期線速度向心加速度向心力赤道上近地衛(wèi)星上同步衛(wèi)星上同物比較【例11】如圖，地球赤道上的山丘e，近地資

12、源衛(wèi)星p和同步通信衛(wèi)星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運(yùn)動設(shè)e、p、q的圓周運(yùn)動速率分別為v1、v2、v3，向心加速度分別為a1、a2、a3，則() Av1>v2>v3 Bv1<v2<v3 Ca1>a2>a3 Da1<a3<a2六、衛(wèi)星的超重和失重（1）衛(wèi)星進(jìn)入軌道前加速過程，衛(wèi)星上物體超重 (2)衛(wèi)星進(jìn)入軌道后正常運(yùn)轉(zhuǎn)時，衛(wèi)星上物體完全失重在衛(wèi)星上的儀器，凡是制造原理與重力有關(guān)的均不能使用同理，與重力有關(guān)的實(shí)驗(yàn)也將無法進(jìn)行（如：天平、水銀氣壓計(jì)等）七、衛(wèi)星的變軌衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動時滿足：Gma = mmr2mr()2當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改

13、變時(開啟或關(guān)閉發(fā)動機(jī)或空氣阻力作用)，萬有引力就不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行(1)當(dāng)v增大時，所需向心力m增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進(jìn)入新的軌道運(yùn)行，由v 知其運(yùn)行速度要減小，但重力勢能、機(jī)械能均增加(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時，向心力減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此衛(wèi)星將做向心運(yùn)動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進(jìn)入新軌道運(yùn)行時由v 知運(yùn)行速度將增大，但重力勢能、機(jī)械能均減少(衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用了這一原理)【例6】如圖442所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)行的3顆人造衛(wèi)星，下列說法正

14、確的是()Ab、c的線速度大小相等，且大于a的線速度Bb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Cc加速可追上同一軌道上的b，b減速可等到同一軌道上的cDa衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將變大【例7】某人造地球衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道會慢慢改變，某次測量衛(wèi)星的軌道半徑為r1，后來變?yōu)閞2(r2<r1)，用Ek1、Ek2表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，T1、T2表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的運(yùn)行周期，則() AEk2<Ek1，T2<T1 BEk2<Ek1，T2>T1CEk2>Ek1，T2<T1 DEk2>Ek1，

15、T2>T1【例8】人造衛(wèi)星首次進(jìn)入的是距地面高度近地點(diǎn)為200km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為340km的橢圓軌道，在飛行第五圈的時候，飛船從橢圓軌道運(yùn)行到以遠(yuǎn)地點(diǎn)為半徑的圓形軌道上，如圖所示，試處理以下幾個問題（地球半徑R=6370km，g=9.8m/s2）軌道地球軌道QP（1）飛船在橢圓軌道1上運(yùn)行，Q為近地點(diǎn)，P為遠(yuǎn)地點(diǎn)，當(dāng)飛船運(yùn)動到P點(diǎn)時點(diǎn)火，使飛船沿圓軌道2運(yùn)行，以下說法正確的是（ ）A飛船在Q點(diǎn)的萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力B飛船在P點(diǎn)的萬有引力大于該點(diǎn)所需的向心力C飛船在軌道上P點(diǎn)的速度小于軌道上P的速度D、飛船在軌道上P點(diǎn)的加速度小于軌道上P的加速度（2）假設(shè)由于飛船的特殊需要，中國的一艘

16、原本在圓軌道運(yùn)行的飛船前往與之對接，則飛船一定是（ ）A從較低軌道上加速 B. 從較高軌道上加速C. 從同一軌道上加速 D. 從任意軌道上加速八、環(huán)繞同一中心天體的星際相距最遠(yuǎn)和最近問題 1、從相距最近（兩星在中心天體的同側(cè)且三星共線）到再次相距最近所需最短時間： 據(jù)則， 而 則2、從相距最近（兩星在中心天體的同側(cè)且三星共線）到相距最遠(yuǎn)（兩星在中心天體的兩側(cè)且三星共線）所需最短時間：據(jù)則， 而 則【例10】兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運(yùn)動，地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度等于R，b衛(wèi)星離地面高度為3R，則：(1)a、b兩衛(wèi)星周期之比TaTb是多少？(2)若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一

17、點(diǎn)的正上方，則a至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？九、人造天體在運(yùn)動過程中的能量關(guān)系同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛(wèi)星具有的機(jī)械能越大，發(fā)射越困難。八、相關(guān)材料I人造衛(wèi)星做圓軌道和橢圓軌道運(yùn)行的討論 當(dāng)火箭與衛(wèi)星分離時，設(shè)衛(wèi)星的速度為v（此即為發(fā)射速度），衛(wèi)星距離地心為r,并設(shè)此時速度與萬有引力垂直（通過地面控制可以實(shí)現(xiàn)）如圖所示，則，若衛(wèi)星以v繞地球做圓周運(yùn)動，則所需要的向心力為：F向 當(dāng)F萬=F向時，衛(wèi)星將做圓周運(yùn)動若此時剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時的發(fā)射速度v7.9 km/s. 當(dāng)F萬F向時，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，做橢圓運(yùn)動，遠(yuǎn)離地球時引力做負(fù)功，衛(wèi)星動能轉(zhuǎn)化為引力勢能

18、（神州五號即屬于此種情況） 當(dāng)F萬F向時，衛(wèi)星在引力作用下，向地心做橢圓運(yùn)動，若此時發(fā)生在最近軌道，則v7.9 km/s，衛(wèi)星將墜人大氣層燒毀。 因此：星箭分離時的速度是決定衛(wèi)星運(yùn)行軌道的主要條件2.人造衛(wèi)星如何變軌衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術(shù)的一個重要方面，衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個技術(shù)以衛(wèi)星從橢圓遠(yuǎn)點(diǎn)變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道A點(diǎn)，萬有引力FA，要使衛(wèi)星改做圓周運(yùn)動，必須滿足FA和FAv，在遠(yuǎn)點(diǎn)已滿足了FAv的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到FA，這個任務(wù)由衛(wèi)星自帶的推進(jìn)器完成 這說明人造衛(wèi)星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠(yuǎn)點(diǎn)由推進(jìn)

19、器加速，當(dāng)速度達(dá)到沿圓軌道所需的速度，人造衛(wèi)星就不再沿橢圓軌道運(yùn)動而轉(zhuǎn)到大圓軌道“神州五號”就是通過這種技術(shù)變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過這種技術(shù)定點(diǎn)于同步軌道上的練習(xí)：1、對于萬有引力定律的表述式，下面說法中不正確的是（ ）A.公式中G為引力常量，它是由實(shí)驗(yàn)測得的，而不是人為規(guī)定的B.當(dāng)r趨近于零時，萬有引力趨于無窮大C. m1與m2受到的引力總是大小相等的，方向相反，是一對作用力與反作用力D. m1與m2受到的引力總是大小相等的，而與m1、m2是否相等無關(guān)2、甲、乙兩個物體分別放在廣州和北京，它們隨地球一起轉(zhuǎn)動時，下面說法正確的是（ ）A甲的線速度大，乙的角速度小 B甲的線速度大，乙的角速度

20、大C甲和乙的線速度相等 D甲和乙的角速度相等3、關(guān)于行星的運(yùn)動，以下說法不正確的是（ ）A行星軌道的半長軸越長，自轉(zhuǎn)周期就越小 B行星軌道的半長軸越長，公轉(zhuǎn)周期就越大C水星的半長軸最短，公轉(zhuǎn)周期最大 D海王星離太陽“最遠(yuǎn)”，其公轉(zhuǎn)周期最長4、地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉(zhuǎn)，所以有：（ ）A物體在赤道處受的地球引力等于兩極處，而重力小于兩極處 B赤道處的角速度比南緯300大C地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大 D地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時提供向心力的是重力5、一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行,要測定該行星的密度,僅僅需要測定( )A運(yùn)行周

21、期T B環(huán)繞半徑 r C行星的體積V D運(yùn)行速度v6、人造衛(wèi)星在太空繞地球運(yùn)行中，若天線偶然折斷，天線將( ）A繼續(xù)和衛(wèi)星一起沿軌道運(yùn)行 B做平拋運(yùn)動，落向地球C由于慣性，沿軌道切線方向做勻速直線運(yùn)動 D做自由落體運(yùn)動，落向地球7、兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做圓周運(yùn)動，周期之比為，則軌道半徑之比和運(yùn)動速率之比分別為（ ）A. B. C. D. 8、某星球的質(zhì)量約為地球的9倍，半球約為地球的一半，若從地球上高h(yuǎn)處平拋一物體，射程為60 ，則在該星球上，從同樣高度，以同樣的初速度平拋同一物體，射程應(yīng)為（ ）A.10 B.15 C.90 D.3609、某人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，假如它的軌道半

22、徑增加到原來的n倍后，仍能夠繞地球做勻速圓周運(yùn)動，則：（ ） A根據(jù)，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度將增大到原來的n倍。 B根據(jù)，可知衛(wèi)星受到的向心力將減小到原來的倍。 C根據(jù)，可知地球給衛(wèi)星提供的向心力將減小到原來的倍。 D根據(jù)，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度將減小到原來的倍。10、下列幾組數(shù)據(jù)中能算出地球質(zhì)量的是（萬有引力常量G是已知的）（ ）A.地球繞太陽運(yùn)行的周期T和地球中心離太陽中心的距離rB.月球繞地球運(yùn)行的周期T和地球的半徑rC.月球繞地球運(yùn)動的角速度和月球中心離地球中心的距離rD.月球繞地球運(yùn)動的周期T和軌道半徑r11、關(guān)于“亞洲一號”地球同步通訊衛(wèi)星，下述說法正確的是（ ）A.已知它的質(zhì)量是1.

23、24 t，若將它的質(zhì)量增為2.84 t，其同步軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?倍B.它的運(yùn)行速度為7.9 km/sC.它可以繞過北京的正上方，所以我國能利用其進(jìn)行電視轉(zhuǎn)播D.它距地面的高度約為地球半徑的5倍,所以衛(wèi)星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度的12、設(shè)在地球上和某天體上以相同的初速度豎直上拋一物體的最大高度之比為k(均不計(jì)空氣阻力),且已知地球和該天體的半徑之比也為k,則地球質(zhì)量與天體的質(zhì)量之比為 ( )A. 1 B. K C. K2 D. 1/K13、星球上的物體脫離星球引力所需的最小速度稱為第二宇宙速度星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1，的關(guān)系是v2=v1已知某星球的半徑為r

24、，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的,不計(jì)其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度( ) A. B. C. D. gr14、 神舟六號載人航天飛船經(jīng)過115小時32分鐘的太空飛行，繞地球飛行77圈，飛船返回艙終于在2005年10月17日凌晨4時33分成功著陸，航天員費(fèi)俊龍、聶海勝安全返回。已知萬有引力常量G,地球表面的重力加速度g，地球的半徑R。神舟六號飛船太空飛近似為圓周運(yùn)動。則下列論述正確的是 （ ）A. 可以計(jì)算神舟六號飛船繞地球的太空飛行離地球表面的高度hB. 可以計(jì)算神舟六號飛船在繞地球的太空飛行的加速度C. 飛船返回艙打開減速傘下降的過程中，飛船中的宇航員處于失重狀態(tài)D. 神舟六號飛船繞地球