嘉興學院概率論與數理統計(II)2015年畢業(yè)重考復習資料

1、概率論與數理統計(II)復習資料一、填空題1. 設總體為來自的一個樣本，則_ _，_ _.2. 設總體為的一個樣本，則_，_.解： 3. 設隨機變量獨立同分布，且 ，令，則_. 解： 設為總體的樣本，則為樣本方差，于是，即4. 設是總體的樣本，是樣本均值，則當_時，有.解：, , 5.設總體為來自的一個樣本，設，則當_時，6. 設隨機變量，則 .7. 在總體中隨機地抽取一個容量為36的樣本，則均值落在4與6之間的概率 = 。8. 設是取自總體的樣本，則 。9設是從正態(tài)總體中抽取的樣本，則樣本均值的標準差為 10設隨機變量相互獨立，均服從分布且與分別是來自總體的簡單隨機樣本，則統計量服從參數 為

2、 的 分布。 答案：參數為（）的（）分布解：由相互獨立，均服從分布，又與分別來自總體，可知與之間均相互獨立，均服從分布因而，且與相互獨立，因而服從參數為的分布。11設是取自正態(tài)總體的簡單隨機樣本且，則 ， 時，統計量Y服從分布，其自由度為 。答案：（），（）時，統計量服從分布，其自由度為（）12設是的樣本，則的分布 13設隨機變量，則 。14 設隨機變量且，這里A為常數，則 0.8 。15. 設總體，現從該總體抽取容量為10的樣本，樣本值為 0.5 1.3 0.6 1.7 2.2 1.2 0.8 1.5 2.0 1.6則參數的矩估計為 2.68 。 16. 由來自正態(tài)總體容量為9的簡單隨機樣本

3、，若得到樣本均值，則未知參數的置信度為0.95的置信區(qū)間為 -0.088,1.088 。17. 已知某種材料的抗壓強度現隨機地抽取10個試件進行抗壓試驗，測得樣本均值標準差則的95%的置信區(qū)間為 432.31,482.69 .18. 從一批電子元件中抽取8個進行壽命測試，測得如下數據（單位：小時）： 1050 1100 1130 1040 1250 1300 1200 1080設電子元件的壽命服從指數分布，試對這批元件的平均壽命的矩估計為 1143.75 。19. 由來自正態(tài)總體，容量為的簡單隨機樣本，若得到樣本均值，則未知參數的置信度為的置信區(qū)間為（）。答案：20. 設是來自正態(tài)總體的樣本均

4、值，樣本容量為，已知，則假設 的檢驗統計量是.21. 設為來自的一個樣本,其中參數未知，要檢驗假設應用 檢驗法，檢驗的統計量是 。22. 設總體都是未知參數，把從X 中抽取的容量為n的樣本均值記為，樣本標準差記為S， 當未知時，在顯著性水平下，檢驗假設的統計量為 ，拒絕域為 。23設是來自正態(tài)總體的樣本，其中參數未知，已知。要檢驗假設應用 檢驗法，檢驗的統計量是 ；當成立時該統計量服從 。24要使犯兩類錯誤的概率同時減小，只有 增加樣本量 。二、單項選擇題1. 樣本為取自正態(tài)總體的樣本，為已知，且未知，則下列隨機變量中不是統計量的是 （ C ） （A） （B）（C） （D）2. 設為來自的一個

5、樣本，其中已知而未知，則下列各選項中的量不是統計量的是（ C ）。3設為來自的一個樣本，其中已知而未知，則下列各選項中的量不是統計量的是（ D ）。4.設和分別來自兩個正態(tài)總體和的樣本，且相互獨立，分別為兩個樣本的樣本方差，則服從的統計量是（B ）。5. 設為來自的一個樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，則服從自由度為的分布的隨機變量是（ A ）。6. 設為來自的一個樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，則下面結論不成立的有（ D ）。A 和相互獨立； B 和相互獨立；C和相互獨立； D和相互獨立。7設為來自的一個樣本，則=（ D ）。8設是總體的樣本，是樣本均值，是樣本方差，則（ D ）. （A）

6、； （B）與獨立； （C）； （D）是的無偏估計量. 解：已知總體不是正態(tài)總體 （A）（B）（C）都不對. 選D. 9設是總體的樣本，則（ A ）可以作為的無偏估計量. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：， 。 選A. 10. 設總體服從正態(tài)分布，其中為未知參數，已知，為取自總體的樣本，記，則 作為 的置信區(qū)間，其置信度為 （ B ） （A）0.95 （B）0.90 （C）0.975 （D）0.0511. 設總體服從區(qū)間上均勻分布，為樣本， 則的極大似然估計為（ C ） （A）； （B） （C） （D） 解： 似然函數 在處取得極大值 選C. 12. 設總體的密度函數為：其他為0，其

7、中為未知參數，是從總體中抽取的樣本，記，則的最大似然估計為 :（ A ） （A） （B） （C） （D）13.設是的無偏估計，且，則是的 ( C )(A) 無偏估計量 (B) 有效估計量 (C) 有偏估計 (D) A和B同時成立14.在一個確定的假設檢驗問題中，與判斷結果有關的因素有（ D）。A樣本值及樣本容量； B顯著性水平；C檢驗的統計量； DA和B同時成立。15. 機床廠某日從兩臺機器所加工的同一種零件中，分別抽取n=20，m=25的兩個樣本，檢驗兩臺機器的臺工精度是否相同，則提出假設（B ）。16在假設檢驗中，一旦檢驗法選擇正確，計算無誤（ C）。A不可能作出錯誤判斷； B增加樣本容量

8、就不會作出錯誤判斷； C仍有可能作出錯誤判斷； D計算精確些就可避免錯誤判斷。17在一個確定的假設檢驗問題中，與判斷結果有關的因素有（ D）。A樣本值及樣本容量； B顯著性水平；C檢驗的統計量； DA和B同時成立。14在假設檢驗中，記為備擇假設，則稱（B ）為犯第一類錯誤。A真，接受；B不真，接受；C真，拒絕； D不真，拒絕。18檢驗的顯著性水平是（B ）。A第一類錯誤概率； B第一類錯誤概率的上界；C第二類錯誤概率； D第二類錯誤概率的上界。19在假設檢驗中，如果原假設H0的否定域是W，那么樣本觀測值只可能有下列四種情況，其中拒絕H0且不犯錯誤的是（ C）。AH0 成立，； BH0 成立，C

9、H0 不成立，； DH0 不成立，.三、計算、證明與應用題1. 在總體中隨機地抽取一個容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8與53.8之間的概率。解： 由于，故 所以。于是可得 2. 設為來自總體的一個樣本，為樣本均值。問多大時才能使得成立。解：樣本均值，因而可得，所以有，即，因此至少為97時，上述概率不等式才成立。3. 設容量為n的簡單隨機樣本取自總體N ( 3.4, 36 ),且樣本均值在區(qū)間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應取多大？解：設是取自總體的簡單隨機樣本，則： 又由于： 則：，查表得即知樣本容量n至少應取35.4. 設某廠生產的晶體管的壽命 ，其中未知

10、?，F隨機地抽取5只晶體管進行測試、測得它們的壽命(單位：小時)如下： 518 612 713 388 434 試求該廠晶體管的平均壽命的極大似然估計值。 解：的密度函數為，則似然函數為，令，得，故的極大似然估計為，且，從而該廠晶體管的平均壽命的極大似然估計值為5. 求總體的容量分別為10，15的兩獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率。解 設容量分別為10，15的兩獨立樣本的均值分別為，則,從而 6. 設總體X的概率密度為 其中未知參數，是取自總體的簡單隨機樣本，用矩法估計和極大似然估計法求的估計量。解： 令，解得：，此即的矩估計量。設似然函數對此式取對數，即：且令可得，此即的極大似然估計量。

11、7. 設總體，是取自的樣本. (1) 求參數的最大似然估計；(2) 證明在均方誤差準則下存在優(yōu)于的估計（提示：考慮，找均方誤差最小者）解： （1） 樣本的似然函數，對數似然函數，令，可得的最大似然估計. (2)作為的估計,其均方誤差為 當時,取得最小值,即在均方誤差準則下存在估計優(yōu)于. 8（1）設是來自總體X的一個樣本，且，求p=PX=0的極大似然估計。（2）某鐵路局證實一個板道員在五年內所引起的嚴重事故的次數服從泊松分布，試由下表中的數據求一個扳道員在五年內所引起嚴重事故的概率p的極大似然估計值。 r012345s444221942表中r表示一扳道員在五年內引起嚴重事故的次數，s表示觀察到的

12、扳道員人數。 解：（1）由知，PX=x= ，的極大似然估計量為： 由極大似然估計的不變性知，中可用換，于是可得的極大似然估計為 （2）由表中數據計算可得：= 9設總體X具有分布律：X 1 2 3 其中為未知參數。對總體X進行觀測得到樣本值:3, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 3，試求的矩估計值和最大似然估計值。解： ，令 解得：的矩估計量為 。而，得的矩估計值 似然函數為： 對數似然函數為： 令 ， 解得的最大似然估計值為。 10. 設某種元件的使用壽命X的概率密度為 其中為未知參數。由設是X的一組樣本觀測值，求參數的最大似然估計值。 解：似然函數為：取對數得： 由于，則單調增加， 因此

13、當時，取最大值，所以的最大似然估計值為：=min=11. 設是來自均勻總體的樣本，（1） 試求的最大似然估計； （2） 證明的最大似然估計是相合估計. 解：（1）的似然函數為要使最大，顯然應該取最小值，故的最大似然估計（2）令，則其密度函數為，從而，由，故是相合估計12. 設為來自總體的一個樣本，的密度函數為 （1） 試證，的最大似然估計為；（2）試證，不是的無偏估計，但是的無偏估計；（3）試求的方差。解：(）的聯合密度函數為：，要使最大，顯然，必達到最大，故的最大似然估計為。(2) 令，則的密度函數為故是的無偏估計。(2)，13. 設總體為指數分布，是樣本，（1） 求該總體分布的費希爾信息量

14、； （2）證明是的最小方差無偏估計。解：（1）總體的概率函數為 因為 所以（2）因為 故是的無偏估計，且 所以是的有效估計，也是最小方差無偏估計14. 某批礦砂的5 個樣品中的鎳含量，經測定為（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24設測定值總體服從正態(tài)分布，問在=0.01下能否接受假設：這批礦砂的鎳含量的均值為3.25。解：檢驗假設： =3.25,: 3.25拒絕域為t=，=0.01代入 n=5,=3.252,s=0.01304,=4.6041比較t=0.343<4.6041,故t沒有落在拒絕域中，故接受HO,即認為這批礦砂的鎳含量為3.25。15. 要求一種元件使用壽命不

15、得低于1000小時，今從一批這種元件中隨機抽取25件，測得其壽命的平均值為950小時。已知該種元件壽命服從標準差為=100小時的正態(tài)分布。試在顯著性水平下確定這批元件是否合格？設總體均值為，未知。即需檢驗假設：, : <1000。解：檢驗假設：, : <1000單邊檢驗，拒絕域為U=。代入 =0.05 =950，n=25,，比較 <-1.645故在=0.05下，落在拒絕域中，所以拒絕,即認為這批元件不合格。16. 某種導線，要求其電阻的標準差不得超過0.005（歐姆）。今在生產的一批導線中取樣品9根，測得s=0.007(歐姆)，設總體為正態(tài)分布，參數均未知。問在水平=0.05

16、下能否認為這批導線的標準差異顯著地偏大？解： 已知。檢驗假設拒絕域為 由 查表得 ， 比較 15.6815.507知落在拒絕域中，即在下拒絕，接受，故認為這批導線的標準差異顯著地偏大17. 測定某種溶液中的水份，它的10個測定值給出s=0.037%,設測定值總體為正態(tài)分布，為總體方差，試在水平 下檢驗假設解 題目已設定了檢驗假設，拒絕域為 代值 比較：7.7006253.325，故未落在拒絕域中，從而在下接受。18. 有兩臺機器生產金屬部件。分別在兩臺機器所生產的部件中各取一容量的樣本，測得部件重量的樣本方差分別為。設兩樣本相互獨立，兩總體分別服從N分布，均未知。試在水平下檢驗假設解: 檢驗假

17、設 由于兩總體均服從正態(tài)分布，又未知，故檢驗統計量為F=拒絕域為 代值比較 F=1.601.64,故接受,可以認為： 19. 從甲乙兩個蓄電池廠的產品中分別抽取6個產品,測得蓄電池的容量(A.h)如下: 甲廠 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙廠 135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140 設蓄電池的容量服從正態(tài)分布,且方差相等,試顯著性水平下判斷兩個工廠生產的蓄電池的容量均值是否相等。解：(1)用表示甲廠蓄電池的容量，用表示乙廠蓄電池的容量，由假定，要檢驗的假設是：則， (6分)，由，不能拒絕原假設，即兩個工廠生產的蓄電池的容量均

18、值是相等的。 20. 假定電話總機在某單位時間內接到的呼叫次數服從泊松分布，現觀測了40個單位時間，接到的呼叫次數如下表0 2 3 2 3 2 1 0 2 2 1 2 2 1 3 1 1 4 1 1 5 1 2 2 3 3 1 3 1 3 4 0 6 1 1 1 4 0 1 3在水平0.05下能否認為該單位時間內平均呼叫次數不低于2.5次？并給出檢驗的值。解：以記電話總機在該單位時間內接到的呼叫次數，可設。待檢假設為由于較大，故可采用大樣本檢驗。檢驗統計量為，拒絕域為。由樣本數據計算可得。因而，檢驗統計量的值為，拒絕原假設。檢驗的值為。21. 測得兩批電子器件的樣品的電阻（歐）為A批（x）0.

19、1400.1380.1430.1420.1440.137B批（y）0.1350.1400.1420.1360.1380.140設這兩件器件的電阻值總體分別服從分布N均未知，且兩樣本獨立。(1) 檢驗假設（）(2) 在（1）的基礎上檢驗（） 解 （1）由題設知，可選檢驗統計量為,則 F 拒絕域為 或代具體值：比較 0.14=故F沒有落在拒絕域中，從而接受，可認為兩個正態(tài)總體的方差相等。（2） 由題設及（1）的結論：可知，可選檢驗統計量,則其中 ，拒絕域為 代值 =比較故t未落在拒絕域，從而接收，可認為這兩批器件的電阻值沒有顯著差異。22. 今有某種型號的電池三批，它們分別是A、B、C三個工廠所生

20、產的，為評比其質量，各隨機抽取5只電池為樣品，經試驗得其壽命（小時）（設各工廠所生產的電池的壽命服從同方差的正態(tài)分布）如下：ABC402639483440383043422850453250試在顯著水平0.05下檢驗電池的平均壽命有無顯著的差異。若差異是顯著的，試求均值差及的置信度為95%的置信區(qū)間。解 分別以記電池A,B,C型號的平均壽命，我們需檢驗（）不全相等現在 又故在水平下拒絕。即各種型號的電池的壽命均值差異是顯著的。由于均值的置信度的置信區(qū)間為，由于故的置信度為95%的置信區(qū)間為6.17，18.45。的置信度為95%的置信區(qū)間為-20.25，-8.55。的置信度為95%的置信區(qū)間為-7.65，4.05。23. 在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出三種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以槐樹粉為主的飼料，A3是以苜蓿粉為主的飼料。為比較三種飼料的效果，特選 24 只相似的雛雞隨機均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗結果如下表所示： 飼料A雞重-1000（克）A1A2A373 9 60 1 2 12 9 287 9