第十章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

1、第十章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)在上一章中，我們討論了真空中的靜電場(chǎng)。實(shí)際上，在靜電場(chǎng)中總有導(dǎo)體或電介質(zhì)存在，而且在靜電的應(yīng)用中也都要涉及導(dǎo)體和電介質(zhì)的影響，因此，本章主要討論靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)。本章所討論的問題，不僅在理論上有重大意義，使我們對(duì)靜電場(chǎng)的認(rèn)識(shí)更加深入，而且在應(yīng)用上也有重大作用。§ 10-1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一、靜電平衡條件1、導(dǎo)體與電介質(zhì)的區(qū)別：（ 1）宏觀上，它們的電導(dǎo)率數(shù)量級(jí)相差很大（相差多就相差幾個(gè)數(shù)量級(jí)） 。10 多個(gè)數(shù)量級(jí)，而不同導(dǎo)體間電導(dǎo)率數(shù)量級(jí)最（ 2）微觀上導(dǎo)體內(nèi)部存在大量的自由電子，在外電場(chǎng)下會(huì)發(fā)生定向移動(dòng)，產(chǎn)生宏觀上的電流而電介質(zhì)內(nèi)部的電子處于束縛狀態(tài)

2、，在外場(chǎng)下不會(huì)發(fā)生定向移動(dòng)（電介質(zhì)被擊穿除外）。2、導(dǎo)體的靜電平衡條件（ 1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零；（ 2）導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向 ,都與導(dǎo)體表面垂直 .導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)的必要條件 : Ei 0（當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部不再有自由電子定向移動(dòng)，導(dǎo)體內(nèi)電荷宏觀分布不再隨時(shí)間變化，自然其內(nèi)部電場(chǎng)（指外場(chǎng)與感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相疊加的總電場(chǎng)）必為0。二、靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上的電荷分布1、導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈電荷，電荷（包括感應(yīng)電荷和導(dǎo)體本身帶的電荷）只分布在導(dǎo)體表面。這個(gè)可rr qi ， S 是導(dǎo)體內(nèi)“緊貼”表面的高斯面，所以0以由高斯定理推得：òsdsqi。Ei0(b

3、) rrVV0 ， a,b 為導(dǎo)體內(nèi)或?qū)w表面的2、導(dǎo)體是等勢(shì)體，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面。顯然Eidlab(a )任意兩點(diǎn)，只需將積分路徑取在導(dǎo)體內(nèi)部即可。rnE為鄰近場(chǎng)點(diǎn)的導(dǎo)體表面面元處的電荷密度，3、導(dǎo)體表面以處附近空間的場(chǎng)強(qiáng)為：?，n?0為該面元的處法向。簡(jiǎn)單的證明下： 以導(dǎo)體表面面元為中截面作一穿過導(dǎo)體的高斯柱面，柱面的處rrrrds， s1 , s2 分別為底面過場(chǎng)點(diǎn)，下底面處于導(dǎo)體內(nèi)部。由高斯定理可得：EdsEidss1s20rrrr高斯柱面的上、下底面。因?yàn)閷?dǎo)體表面為等勢(shì)面所以E En?，所以EdsEds 而 Ei =0 所以rrs1rdsEds，即 E?（0E 沿導(dǎo)體表面面元處法線方

4、向，0E 沿導(dǎo)體表面面元處法線n00指向?qū)w內(nèi)部） 。2r4、導(dǎo)體表面的靜電壓強(qiáng)：pn?0r證明：任取導(dǎo)體表面的一個(gè)電荷元，設(shè)除去該電荷元外其它場(chǎng)源 （包括外場(chǎng)源、 導(dǎo)體表ds面的其它電荷元）在該電荷元處產(chǎn)生的電場(chǎng)為r；由高斯定理可算出電荷元rEds 在導(dǎo)體表面外鄰近點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度rrrrn?，電荷元rE2n?。而 EEn?，所以 Eds 受到的靜電0r020rr2dq，所以 r dF力。dFE dq?p?n2n0ds2 0p ds導(dǎo)體所受靜電力由òr 給出（ s 是導(dǎo)體表面） 。rs三、靜電屏蔽在靜電場(chǎng)中，因?qū)w的存在是某些特定的區(qū)域不受電場(chǎng)影響的現(xiàn)象稱之為靜電屏蔽。1、 屏蔽外電場(chǎng)

5、空腔導(dǎo)體可以屏蔽外電場(chǎng), 使空腔內(nèi)物體不受外電場(chǎng)影響.這時(shí) ,整個(gè)空腔導(dǎo)體和腔內(nèi)的電勢(shì)也必處處相等.假設(shè)腔內(nèi)有電場(chǎng)線，由（1）可知電場(chǎng)線不能貫穿于導(dǎo)體內(nèi)表面之間，E又由于腔內(nèi)無電荷所以電場(chǎng)線不能以腔內(nèi)某點(diǎn)為終點(diǎn)或起點(diǎn)，這樣電場(chǎng)線只能在腔內(nèi)形成閉合曲線這與靜電場(chǎng)線的性質(zhì)不符合，所以腔內(nèi)必?zé)o電場(chǎng)，自然空腔成為等勢(shì)區(qū)，與導(dǎo)體電勢(shì)相等。2、屏蔽腔內(nèi)電場(chǎng)接地空腔導(dǎo)體將使外部空間不受空腔內(nèi)的電場(chǎng)影響.+ +§ 10-2靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)一、電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響相對(duì)電容率實(shí)驗(yàn)測(cè)得兩板間電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E 僅是兩板間為真空時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度E0 的 1r 倍 (此處r 是大于 1 的純數(shù) )，即Er 叫做電介

6、質(zhì)的相對(duì)電容率。二、電介質(zhì)的極化E0r構(gòu)成電介質(zhì)的分子分為兩種：（1）無極分子，電荷中心重合（ 2）有極分子，電荷中心不重所謂電介質(zhì)的極化是指在外電場(chǎng)作用下電介質(zhì)出現(xiàn)極化電荷的現(xiàn)象。對(duì)于各向同性的均勻電介質(zhì)而言，極化時(shí)其體內(nèi)無未被抵消的凈極化電荷，極化電荷只分布在它的表面上。對(duì)于各向異性的非均勻電介質(zhì)而言，一般說來，極化時(shí)其體內(nèi)有未被抵消的極化電荷，其表面上也分布有極化電荷。1、電介質(zhì)極化的微觀機(jī)制按電介質(zhì)分子的電結(jié)構(gòu)分類：無極分子電介質(zhì)和有極分子電介質(zhì)兩類，它們極化的微觀機(jī)制是：無極分子電介質(zhì)：在無外場(chǎng)作用時(shí)，分子的正、負(fù)電荷的中心是重合的。在外電場(chǎng)作用下，分子的正、負(fù)電荷中心錯(cuò)開，形成電偶

7、極子，這種分子的極化機(jī)制是位移極化。有極分子電介質(zhì)：在無外場(chǎng)作用時(shí)，分子的正、負(fù)電荷的中心亦不重合，即分子具有固有電矩，但由于分子的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，分子的固有電矩取向雜亂無章，在介質(zhì)內(nèi)的任一體積中所有分子的固有電矩的矢量和為零。在外電場(chǎng)作用下，有極分子受到力矩P分子× E。作用使分子電矩P 方向轉(zhuǎn)向分子外電場(chǎng) E0 方向。外電場(chǎng)愈強(qiáng)，分子電矩轉(zhuǎn)向排列愈整齊。這種極化機(jī)制是取向極化。無論是無極分子電介質(zhì)或有極分子電介質(zhì)極化后，極化電荷在介質(zhì)內(nèi)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E 總是削弱介質(zhì)內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。2、極化強(qiáng)度(1) 極化強(qiáng)度的定義在電介質(zhì)中，單位體積內(nèi)分子電矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，即PePe分子 /V極化

8、強(qiáng)度是在宏觀上用來描述電介質(zhì)極化狀態(tài)的物理量，亦描述電介質(zhì)的極化程度（強(qiáng)度）和極化方向。在靜電場(chǎng)中，一般說來，Pe 是空間坐標(biāo)的函數(shù)。如果在電介質(zhì)內(nèi)各點(diǎn)的Pe 大小相等和方向相同，亦 Pe =常矢，則電介質(zhì)的極化是均勻的，否則極化是非均勻的。(2) 極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系Pe ? nPe cosPen上式表明： 介質(zhì)表面某處的極化電荷面密度等于該處極化強(qiáng)度Pe 沿介質(zhì)表面外法線方向上的分量 Pen 。當(dāng) Pe 與介質(zhì)表面外法線方向的單位矢量n 的夾角為銳角的地方，>0 ，為正的極化電荷；當(dāng)為鈍角的地方，<0，為負(fù)的極化電荷。極化強(qiáng)度的通量公式：P e ? d sqiSi即介質(zhì)內(nèi)通

9、過任一閉合曲面的極化強(qiáng)度的通量等于該閉合曲面所包圍的極化電荷的代數(shù)和的負(fù)值。上式表明，極化強(qiáng)度的源是極化電荷，因電矩的方向總是從負(fù)電荷指向正電荷，所以Pe 的源頭必須是負(fù)極化電荷，它的尾閭必是正極化電荷。在各向同性的均勻電介質(zhì)中，上式變?yōu)椋篜e ? d s0S表示極化電荷只可能出現(xiàn)在各向同性的均勻電質(zhì)表面。(3) 電介質(zhì)的極化規(guī)律對(duì)于各向同性的電介質(zhì)有： Pe x 0 E式中 x 是電介質(zhì)的極化率，由介質(zhì)的性質(zhì)決定。應(yīng)指出：上式在外電場(chǎng)E0 較小時(shí)，只對(duì)各向同性的電介質(zhì)成立。所謂各向同性的電介質(zhì)是電介質(zhì)的電性質(zhì)不隨量度的方向而變化。在這里是指電介質(zhì)的x（或）值不隨量度的方向而變化。也就是說，當(dāng)

10、外電場(chǎng)沿不同方向作用時(shí)，電介質(zhì)的極化情況相同，亦極化程度相同，極化方向（Pe 的方向）均沿外電場(chǎng)方向。上式對(duì)各向異性的電介質(zhì)不成立，Pe 既不與 E成正比，且 Pe 的方向也不與 E的方向相同。在普通物理學(xué)中，主要討論各向同性的均勻電介質(zhì)。另外，上式中的場(chǎng)強(qiáng)必須是所求極化強(qiáng)度處的總場(chǎng)強(qiáng)。二、電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度極化電荷與自由電荷的關(guān)系1、電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度由場(chǎng)強(qiáng)的迭加原理：介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E是外電場(chǎng)在該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) E0和極化（由自由電荷產(chǎn)生）電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E'的矢量和。即：E=E0 +E'2、極化電荷：介質(zhì)中，取向與外電場(chǎng)一致的分子電偶極子穿出面s 的電荷總和就是面S 上的

11、極化電荷 。3、極化強(qiáng)度與極化電荷分布的關(guān)系：rrrrr設(shè)介質(zhì)里的任一面元，設(shè)分子的電偶極距為底， l 為斜高作一圓柱體， 圓柱體dsp ql 以ds,體積記為 dV ，設(shè) dV 內(nèi)取向與外電場(chǎng)一致的分子電偶矩?cái)?shù)量為N，顯然在圓柱體內(nèi)的分子電偶矩都rr rrrrNqlds，所以 Nq 就是穿過面元穿出面元 ds 又 P dsNqds 的極化電量 dq 。在介質(zhì)里任取dV一閉合曲面 S，則穿出 S 的極化電量 q0Pds ,由電荷守恒（原來電介質(zhì)是呈電中性）可知面內(nèi)s有等值異號(hào)的極化電荷qiP ds 。s§ 10-3電位移有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理如圖所示， 取一閉合的正柱面作為高斯面，高斯

12、面的兩端面與極板平行，其中一個(gè)端面在電介質(zhì)內(nèi)，端面的面積為S 。設(shè)極板上的自由電荷面密度為0 ，電介質(zhì)表面上的極化電荷為。對(duì)此高斯面來說，由高斯定理，有1E dS(Q0 Q )S0將 Qr1代入上式，得Q0rQ0E dSS0 r令 D0r EE其中0 r 為電介質(zhì)的電容率。那么式E dSQ0可寫成S0rD dsQ0s0-S -r-0 -式中 D 稱作電位移， 而 D ds則是通過任意閉合曲面S 的電位移通量。 電位移的單位為sC m -2 。因此，有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理可敘述為：在靜電場(chǎng)中，通過任意閉合曲面的電位移通量等于該閉合曲面內(nèi)所包圍的自由電荷的代數(shù)和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為D dSQ0iSi應(yīng)指

13、出：(1) 電介質(zhì)中的高斯定理是電磁學(xué)中的基本定理之一。它對(duì)于任何電介質(zhì)，對(duì)于無論是靜電場(chǎng)，還是變化的電場(chǎng)亦適用，是麥克斯韋方程組的四個(gè)方程之一。(2) 在有介質(zhì)時(shí)的高斯定理中，并不表示電位移D 本身與極化電荷無關(guān)。事實(shí)上，D=0 E+Pe，而 E和Pe均與極化電荷有關(guān)，因此，D 應(yīng)與極化電荷有關(guān)。就是在各向同性的電介質(zhì)中， D=E中的因子和E（是由自由電荷和極化電荷共同決定的）已把極化電荷的影響考慮進(jìn)去了。(3) 在利用介質(zhì)中的高斯定理求電介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，可使其計(jì)算大為簡(jiǎn)化。但只有自由電荷分布具有一定的對(duì)稱性，且各向同性的均勻電介質(zhì)充滿電場(chǎng)所在空間，或各向同性的均勻介質(zhì)表面是等勢(shì)面時(shí)， 則無

14、需知道極化電荷的多少，方可用高斯定理求出D，然后利用 D= E求出場(chǎng)強(qiáng)E 。其原因在于只有電介質(zhì)各向同性的，在電介質(zhì)中才有D=E的關(guān)系；只有自由電荷分布具有一定的對(duì)稱性，才有 E0 的分布具有一定的對(duì)稱性；只有均勻電介質(zhì)充滿電場(chǎng)所在的空間或介質(zhì)的表面是等勢(shì)面時(shí)， 才有極化電荷分布具有一定的對(duì)稱性，即E'分布也具有一定的對(duì)稱性。從而才能保證E=E0+E' 和 D=E都具有一定對(duì)稱性。這樣方有可能使D 從積分號(hào)內(nèi)提出來，進(jìn)而才能利用高斯定理和D= E求場(chǎng)強(qiáng) E。§ 10-4 電容電容是表征導(dǎo)體由于帶電而引起本身電勢(shì)改變的物理量。導(dǎo)體可容納電荷，利用導(dǎo)體的這一性質(zhì)制成的電容

15、器是電子技術(shù)中最基本的元件之一。本節(jié)主要介紹幾種電容器及其計(jì)算。一、電容1、孤立導(dǎo)體的電容在真空中設(shè)有一半徑為R 的孤立的球形導(dǎo)體，它的電量為q，那么它的電勢(shì)為（取無限遠(yuǎn)處電勢(shì) =0）qU40 R對(duì)于給定的導(dǎo)體球， R 一定，當(dāng) q 增大時(shí)， U也變大， q 變小時(shí)， U則變小，而比值q0 R4U卻不變，此結(jié)論雖然是對(duì)球形孤立導(dǎo)體而言的，但對(duì)一定形狀的其它導(dǎo)體也是如此，比值q 僅與導(dǎo)C 表示，記作：U體大小和形狀等有關(guān)，稱為孤立導(dǎo)體電容，用qCU對(duì)于孤立導(dǎo)體球，其電容為 CqqU4 0 R 。對(duì)給定的孤立導(dǎo)體，其電容是一個(gè)恒q40 R量，只與導(dǎo)體的形狀和尺寸有關(guān)，而與q 、 U無關(guān)，即與電量的

16、存在與否無關(guān)。在 SI 制中，電容的單位為：法拉，符號(hào)為F， 1F=1C/1V。孤立導(dǎo)體的電容都很小，如把地球看作是一個(gè)導(dǎo)體球，它的電容可以計(jì)算出來，約為7× 10-4 F，所以在實(shí)際應(yīng)用中F 太大，常用F 或pF ，他們之間換算關(guān)系為1F106 F1012 pF 。2、電容器及其電容實(shí)際上，絕對(duì)孤立的導(dǎo)體是不存在的，一個(gè)帶電導(dǎo)體附近總會(huì)有其它導(dǎo)體，當(dāng)有其它導(dǎo)體存在時(shí)，則必然因靜電感應(yīng)而改變?cè)瓉淼碾妶?chǎng)分布，當(dāng)然會(huì)影響導(dǎo)體電容。為了使導(dǎo)體的電容不受其它導(dǎo)體影響，可以設(shè)計(jì)一個(gè)導(dǎo)體組合，形成一種器件，如在金屬殼 B 中放置另一導(dǎo)體 A 構(gòu)成一導(dǎo)體組，根據(jù)靜電屏蔽原理，那么，分布在殼外的電荷

17、不會(huì)影響殼內(nèi)空間的狀態(tài)。所以，我們將兩個(gè)帶有等值而異號(hào)電荷的導(dǎo)體所組成的帶電系統(tǒng)稱為電容器。電容器可以儲(chǔ)存電荷，以后將看到電容器也可以儲(chǔ)存能量。下面我們具體討論電容器的電容。如圖所示，兩個(gè)導(dǎo)體A、B 放在真空中，它們所帶的電量分別為+q，-q ，如果 A、B電勢(shì)分別為 U A、U B ，那么A、 B 電勢(shì)差為 UU，電容器的電容定義為：AB電容器的概念qCUA UB由式 CqU B=0，式 Cq可知，如將 B 移至無限遠(yuǎn)處，就變?yōu)楣铝?dǎo)體的U AU BUA UB電容，所以，孤立導(dǎo)體的電勢(shì)相當(dāng)于孤立導(dǎo)體與無限遠(yuǎn)處導(dǎo)體之間的電勢(shì)差。所以，孤立導(dǎo)體電容是 B 放在無限遠(yuǎn)處時(shí)電容的特例。導(dǎo)體 A、B

18、常稱電容器的兩個(gè)電極。通常實(shí)用的電容器是由兩個(gè)距離很近的導(dǎo)體板構(gòu)成（如平板電容器），或是把電容器的一個(gè)極板做成一個(gè)導(dǎo)體空腔，另一個(gè)極板放在空腔之內(nèi)形成屏蔽（如圓柱形電容器，和球形電容器），這樣做可以使電容器的電容較大而且不容易受到外電場(chǎng)的影響。在實(shí)際問題中，對(duì)電容器的屏蔽要求并不那么嚴(yán)密，只要兩片導(dǎo)體（即極板）相距很近，電荷將集中分布在兩極板的相對(duì)表面上，電場(chǎng)集中分布在兩表面之間的狹窄空間里，外界干擾對(duì)兩極板間的電勢(shì)差的影響可以忽略不計(jì)，類似這樣的裝置都可看成電容器。二、電容器電容的計(jì)算1、平行板電容器的電容設(shè) A、 B 二極板平行，面積均為S，相距為d，電量為+q，-q ，極板線度比d 大得

19、多，且不計(jì)邊緣效應(yīng)，所以兩極板A、B 間接近于為均勻電場(chǎng)。當(dāng)電容器內(nèi)部為真空或空氣時(shí)，由高斯定理知，A、B 間場(chǎng)強(qiáng)大小為E0式中q， A、B 兩極板的電勢(shì)差為SUA UBEdq d0 S由電容器電容的定義式 Cq得UA UBCq0 SU AU Bd即平行板電容器的電容為C0Sd2、球形電容器的電容設(shè)二均勻帶電同心球面A、B，半徑分別為RA 、 RB ，設(shè)分別帶有電荷+q， -q ，如圖 1 所示。則A、 B 間任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為Eq40 r 2A、 B 間的電勢(shì)差為RBRBRBqUA UBE drEdr2 drR 40rRARAAq11q( RBRA )40 RARB40RARB所以，球形電容器

20、的電容為qq40RARBCU Bq( RBRA )RBRAU A40RA RB對(duì)于上式進(jìn)行討論如下：（ 1）當(dāng) RB RARA 時(shí)，有 RBRA，令 RBR Ad ，則Cq40 RA20 S AU AU Bdd上式即平行板電容器結(jié)果。（ 2）當(dāng) RB 趨于無限大，U B 趨于零，則有C40RA此即為孤立球形導(dǎo)體電容的公式。圖 1圖 23、圓柱形電容器的電容圓柱形電容器是兩個(gè)同軸柱面極板構(gòu)成的，且圓柱體的長(zhǎng)度l 比半徑大得多， 如圖 2 所示。設(shè) A、B 半徑分別為RA 、 RB ，所帶電荷分別為+q， -q ，不考慮邊緣效應(yīng)，電荷均勻分布在內(nèi)外兩圓柱面上，則單位長(zhǎng)柱面帶電量q。因?yàn)?lR ,

21、所以可將兩圓柱面間的電場(chǎng)看成是無限長(zhǎng)圓柱面的l電場(chǎng)，由高斯定理得A、 B 間任一點(diǎn)P 處場(chǎng)強(qiáng)的大小為E20 rA、 B 間的電勢(shì)差為RBRBRBln RBUA UBE drEdr2drRRAR0 r20RAAA根據(jù)電容器電容的定義式得圓柱形電容器的電容為qq20 lCRBRBUA UBlnln2RARA0從以上計(jì)算可以知道，在計(jì)算電容器時(shí)主要是計(jì)算兩極間的電勢(shì)差。以上討論的是幾種典型電容器的電容，實(shí)際上任何導(dǎo)體間都存在著電容，如導(dǎo)線與導(dǎo)線間、元件與元件間、元件與金屬外殼間等，都存在著電容，這些電容在電工和電子技術(shù)中通常叫分布電容。分布電容比較小，且不易計(jì)算，一般情況下可忽略不計(jì)，但在安裝電子設(shè)備時(shí)，尤其是在高頻電路中，必須考慮分布電容的影響。三、電容器的并聯(lián)和串聯(lián)1、電容器的并聯(lián)設(shè) n 個(gè)電容并聯(lián)起來，其電容與極板電量分別為Ci 、 qi , 加在電容的兩端電壓為 U i U（ i=1,2 n）?，F(xiàn)計(jì)算其等效電容C。因?yàn)楦麟娙莶⒙?lián)所以等效電容兩端的電壓為U ，此時(shí)等效電nnqin容的帶電量為qi ，所以 Ci 1CiUi1i 12、電容器的串聯(lián)n現(xiàn)將這 n 個(gè)電容串聯(lián)起來，等效電容的兩端電壓為UU i ，而由電荷守恒可知各電容帶電i1量 相 同 ， 相 鄰 兩