第四章桿件的變形簡單超靜定問題

1、第四章 桿件的變形 簡單超靜定問題、基本要求1 熟練掌握拉（壓）桿變形計(jì)算2. 熟練掌握圓軸扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算與剛度條件3掌握積分法求梁的彎曲變形4熟練掌握疊加法求彎曲變形與梁的剛度計(jì)算5理解超靜定概念，熟練掌握簡單超靜定問題的求解方法6了解彈性體的功能原理，掌握桿件基本變形的應(yīng)變能計(jì)算內(nèi)容提要1. 拉（壓）桿的軸向變形、胡克定律拉（壓）桿的軸向變形為 銅一| ,式中|h分別為變形前、后桿的長度。當(dāng)桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，可以應(yīng)用胡克定律計(jì)算桿的軸向變形，即r1十1=.U-Fn lEA(4.1)圖4.1Fn為正時(shí)， I為正，即伸長變形；軸式中，EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度。顯然，軸力 力Fn

2、為負(fù)時(shí)，為負(fù)，即縮短變形。公式（4.1）的適用條件：（1）材料在線彈性范圍，即丁 p ；（2）在長度I內(nèi)，F(xiàn)n , E, A均為應(yīng)力常量。當(dāng)以上參數(shù)沿桿軸線分段變化時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算變形，然后求代數(shù)和得總變形。即n f I計(jì)gh i=1 Ej A(4.2)Fn, A沿桿軸線連續(xù)變化時(shí)，式（4.2）化為IiFn x dx0 EA x(4.3)2. 拉壓超靜定問題定義 桿系未知力的數(shù)目超過靜力平衡方程的數(shù)目，僅用靜力平衡方程不能確定全部未知力。這類問題，稱為超靜定問題，或靜不定問題。超靜定問題的求解方法根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程，將變形與協(xié)調(diào)關(guān)系與力之間的物理關(guān)系帶入幾何方程得到補(bǔ)充方程，再與

3、靜力平衡方程聯(lián)立求解，可得到全部未知力。解題步驟：（1）畫出桿件或節(jié)點(diǎn)的受力圖，列出平衡方程，確定超靜定次數(shù)；（2）根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件畫出變形位移圖，建立變形幾何方程；（3）將力與變形間的物理關(guān)系代入變形幾何方程，得補(bǔ)充方程；（4）聯(lián)立靜力平衡方程及補(bǔ)充方程，求出全部未知力。超靜定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)：（1）各桿的內(nèi)力按其剛度分配；（2）溫度變化，制造不準(zhǔn)確與支座沉陷等都可能使桿內(nèi)產(chǎn)生初應(yīng)力。3.圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件1,變形計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。 面的相對扭轉(zhuǎn)角為超靜定冋題i T dx °Glp(rad)(4.4)相距為I的兩個(gè)橫截若等截面圓軸兩截面

4、之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為Gl P(rad)(4.5)4.2式中Gl P稱為圓軸的抗扭剛度。 顯然，:的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。公式（4.4）的適用條件：（1）材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即 _卡；（2）在長度I內(nèi)，T、G、Ip均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時(shí)，則應(yīng)分段 計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即:； Tli送（rad）（4.6）i Gi I R當(dāng)T、Ip沿軸線連續(xù)變化時(shí)用式(4.4)計(jì)算2,剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角'max不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角；' 1 即'maxTmax 180GIP 二(/m)(4.8)(rad/m

5、)(4.7)GI p根據(jù)剛度條件可以進(jìn)行校核剛度、設(shè)計(jì)截面與確定許可載荷等三類剛度計(jì)算。3, 扭轉(zhuǎn)超靜定問題定義當(dāng)桿端的支反力偶矩或橫截面上的扭矩僅由平衡方程不能完全確定，這類問題稱為扭轉(zhuǎn)超靜定問題。扭轉(zhuǎn)超靜定問題的解法根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程，將扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系代入變形幾何方程得到補(bǔ)充方程，再與靜力平衡方程聯(lián)立求解，可得全部未知力偶。4梁的變形撓曲線近似微分方程及其積分1, 撓曲線撓度與轉(zhuǎn)角在外力作用下，梁的軸線由直線變?yōu)楣饣B續(xù)的彈性曲線,稱為撓曲線。在對稱彎曲情況下，撓曲線為縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的平面曲線，其方程為梁橫截面的形心在垂直于軸線方向的線位移，稱為 度，用表示。梁橫截

6、面相對于原來位置繞中性軸轉(zhuǎn)過 的角度，稱為截面轉(zhuǎn)角，用二表示。小變形時(shí)，有 圖4.3在圖4.3所示坐標(biāo)系中，向上的撓度和反時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正，反之為負(fù)。2, 撓曲線的近似微分方程及其積分 在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí)，得到彎矩與曲率的關(guān)系1 M7 _Ef對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得利用平面曲線的曲率公式， 并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即EI將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為(4.9)j 晉）dx+C再積分得撓曲線方程(4.10)汕皆!xh+Cx+D(4.11)式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時(shí)，積分常數(shù)的 確定除需利用邊界條件

7、外，還需要利用連續(xù)條件。撓曲線的某些點(diǎn)上的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，稱為邊界條件。撓曲線是一條連續(xù)光滑的曲線，在其上任意一點(diǎn)，有唯一確定的撓度與轉(zhuǎn)角， 稱為連續(xù)性邊界條件。3, 梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即o <1max(4.12)5. 用疊加法求彎曲變形疊加原理在小變形和線彈性范圍內(nèi)，梁在幾種載荷共同作用下任一橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角，分別等于每一種載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度與轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。應(yīng)用疊加原理的條件小變形與材料在線彈性范圍。6. 簡單超靜定梁梁上未知力的數(shù)目超過靜力平衡方程數(shù)目，僅由平衡方程不能確定全部未知力，這類梁稱為超靜定梁。超靜

8、定梁的解法與前述拉（壓）桿、扭轉(zhuǎn)超靜定相同。具體步驟如下：1, 首先判斷超靜定梁的次數(shù)。解除多余約束代之以多余約束力，得到原超靜定梁的相 當(dāng)系統(tǒng)。注意解除多余約束以后的梁應(yīng)該是靜定梁的形式。2, 根據(jù)相當(dāng)系統(tǒng)的變形與原超靜定梁的變形應(yīng)該相同，建立變形協(xié)調(diào)方程。3,將變形與力之間的物理關(guān)系代入上述變形協(xié)調(diào)方程，得補(bǔ)充方程。由補(bǔ)充方程解出 多余約束力。4, 由平衡方程求梁上其余的約束反力。然后就可以進(jìn)行梁的強(qiáng)度與剛度 的計(jì)算。7. 桿件的應(yīng)變能U1,應(yīng)變能 彈性體在外力作用下，因發(fā)生彈性變形而儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)的能量，稱為變能或變形能。用V或Vr表示。2,彈性體的功能原理在彈性體變形過程中，儲(chǔ)存在彈性

9、體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力所做的功W，即圖4.4(4.13)3, 軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能 在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得當(dāng)桿件的橫截面面積A軸力Fn為常量時(shí)，由胡克定律"賞，可得V;Fn2i2EA(4.14)桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為 應(yīng)變能密度，用V .表示。線彈性范圍內(nèi)，得/ 1八2門4，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得(4.15)將M e二T與 丄代入上式得GlpT2l2GIp(4.16)圖4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度Vr :"A(4.17)5,梁的彎曲應(yīng)變能m2i(4.18)4.18），積分在線彈性范圍內(nèi)，純彎

10、曲時(shí)，由功能原理得1V =W Meds 2將M e二M與v -罟代入上式得圖4.6橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時(shí)，對于微段梁應(yīng)用式（ 得全梁的彎曲應(yīng)變能V,l 2EI(4.19)三、典型例題分析例4-1 設(shè)橫梁ABCD為剛體。橫截面積為 76.36mm2的鋼索繞過無摩擦的滑輪。 設(shè)F = 20kN , 試求鋼索內(nèi)的應(yīng)力和 C點(diǎn)的垂直位移。設(shè)鋼索的 E=177GPa。解法一解：1求鋼索內(nèi)的應(yīng)力以橫梁ABCD為為研究對象，受力如圖b所示。列平衡方程一 M a = 0,Fn sin600.8 FnSin 60 1.6F 1.2 = 0解得 FN=11.56kN鋼索的應(yīng)力 廠-Fn =1

11、51M PaA2求C點(diǎn)的垂直位移、（作結(jié)構(gòu)的變形位移圖如圖 c所示。因ABCD為剛體，故發(fā)生位移后，A、B、C、D仍為一直線。小變形條件下?？梢浴耙郧芯€代替圓弧”畫變形圖。由B!向鋼索作垂線得 B點(diǎn)，設(shè)BB' .汕。同理由D1向鋼索作垂線得 D 點(diǎn)，設(shè)DD丄.訂2。則鋼索的伸長為'l =州1 * .計(jì)2。由胡克定律3F l11 56 疋 10 x 1 6I N96 =1.368 10"1.368mm 由圖 c,得 C 點(diǎn)的垂直EA 177 1076.36 10位移-C為=CC1 =丄(亟+557 卜1 紉1+ 2=釦1+糾2=_1_ = 0.79mm22 &n

12、60 sin60°丿 2sin60° 2sin60 =解法二 用能量法求解c點(diǎn)的垂直位移解：1.求鋼索內(nèi)的應(yīng)力與解法一相同，得Fn =11.56 kN2求C點(diǎn)的垂直位移、（由彈性體的功能原理V；=W，即N2lFn2ieaf2EA= 0.79 10”m(11.56H03)2 ".6177 10976.36 10，20 103例4-2 圖示桿系的兩桿均為鋼桿，E=200GPa，- =12.5 10門/ C。兩桿的橫截面積同為A=10cm2。若BC桿的溫度降低 20C,而BD的溫度不變，試求兩桿的應(yīng)力。1-(C)解：設(shè)桿1受拉力，桿2受壓力。以節(jié)點(diǎn) B為研究對象，受力如

13、圖 b所示。因B點(diǎn)的 未知力有三個(gè)，而平衡方程僅有兩個(gè)，故為一次超靜定問題。列平衡方程一 Fx = 0,Fni cos30 - Fn2 = 0(1)作結(jié)構(gòu)的變形位移圖如圖 c所示。圖中. ：lt為溫度引起的變形，d1為FN1引起的變形,12為Fn2引起的變形。小變形條件下，以切線代替圓弧。變形后 桿在B1點(diǎn)鉸接。由圖c得變形協(xié)調(diào)方程.：l2cos30、，；lt 一 /B點(diǎn)位移至B1點(diǎn)，即兩（2）物理方程為Fn 1 l,； cos30Fn 21 ：lt 二：丨訂 l cos30 ,叫 巴，：l2宦（3）EAEA式中 T為溫度改變量。將式（3）代入式（2），得補(bǔ)充方程詈cos30 cos30FN

14、1丨EAcos30聯(lián)立求解式（1）與式（4），得MT EAFn2 二 Fn1 cos30FN1 一3,cos 30 +1桿1_Fn1a i Ate= 30.3MPa(拉應(yīng)力)J 1 一-3A cos 301二2 二弘二cos30 = 26.2 MPa （壓應(yīng)力）例4-3 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速 n= 500r/min，主動(dòng)輪1輸入功率為 Pi=372.8kW，從動(dòng)輪2、3 分別輸出功率 P2=149.1kW , P3=223.7kW。已知t = 70MPa,擴(kuò)=1 ° /m, G = 80GPa。（1）確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2；（2）若AB和BC兩段選用同一直徑，試確定 直徑d；

15、 （3）主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理？解：1.確定d1和d2求外力偶矩1)Me1P372 8= 9549 口 = 95497120N.mn500M e2=9549旦=2848 N.m,Me1 =9549 =4272 N.m, nn2）3）作軸的扭矩圖， 按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)直徑如圖b所示。TmaxmaxWP< 11，WP16AB段BC段4）d -316Td1 _31671206V兀匯70江106=80.3 10m =80.3mmd2 _316 4叫"7.7 10；二 70 10m = 67.7 mm按剛度條件設(shè)計(jì)直徑AmaxTmaxGI p 二型就1, Ipd432T 180A

16、B段4 32 71920 180"4.9 10f =84.9mm1 80 109 1,：32 x 4272x180 */BC 段d2 丄4 9274.7 10_m = 74.7mm80 x10 x n xi4經(jīng)比較，取 d85mm , d2 二 75mm2. 若AB和BC兩段選用同一直徑，則 d = 85 mm。3. 若將主動(dòng)輪放在兩從動(dòng)輪之間，則T|max =4272N.m，有利于提高軸的強(qiáng)度和剛度，故較合理。例4-4 試用疊加法求圖示梁 A截面的撓度與B截面的轉(zhuǎn)角。EI為已知。解：將梁的載荷分為兩種載荷， 單獨(dú)作用的情況如圖（b）與（c）所示。11)ST1,-rnWa1n輕!0

17、Bf mrrrrWa1）在qa單獨(dú)作用時(shí)，圖（b）所示，查表4.1可得16EI4EIC!由圖由圖AwA4qa4EI2）在均布載荷示，為求B與wq單獨(dú)作用時(shí)，圖（c）所可利用圖（4）與（e）兩| 1 22kF40B一（e）,查表4.1得種情況，即分別考慮AB段與BC段的變形。-qa2 2a3qa3EI（d）、（ e）兩種情況,3EI應(yīng)用疊加法,4qa3qaWa8EI 3EI11qa424EI3）在兩種載荷共同作用下，應(yīng)用疊加法得3qab4EI3qa3qa3EI12EI4qaWA 二 WaWA 二EI11qa45qa424EI24EI. . 6 2例4-5 圖示懸臂梁AD和BE的抗彎剛度同為 EI =24 10 N.m，由鋼桿CD連接。42CD桿的長1= 5m,橫截面面積 A =3 10 m , E=200GPa。若F = 50kN，試求懸臂梁 AD在D點(diǎn)的撓度。解：本題為一次超靜定問題。以 CD桿的軸力Fn為多余約束力，得相當(dāng)系