人教版數(shù)學(xué)八年級上冊13.3實(shí)驗(yàn)與探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系教案

1、實(shí)驗(yàn)與探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)（一）讓學(xué)生探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系，即在一個(gè)三角形中“大邊對大角” 和“大角對大邊”。（二）通過對上面兩個(gè)問題的探究知道利用相等關(guān)系來解決不等關(guān)系是研究幾何問題常 用的方法。（三）通過“觀察-猜想-操作-探究-論證”等一系列活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，合作學(xué) 習(xí)和探究性學(xué)習(xí)的能力。（四）滲透轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。二、學(xué)情分析三角形中邊與角之間的不等關(guān)系是在學(xué)過等腰三角形的性質(zhì)和判定之后的拓展內(nèi)容，它既是以前幾何知識和幾何思想方法的綜合應(yīng)用，又為將來學(xué)好幾何不等問題奠定基礎(chǔ)。三、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是三角形中邊與角之間的不等關(guān)系及其探究

2、過程。難點(diǎn)是一個(gè)三角形中“大邊對大角”及“大角對大邊”的論證過程，并引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線。四、教具準(zhǔn)備三角形紙片、剪刀、圓規(guī)、三角板等。五、教學(xué)過程（一）知識回顧1 .等腰三角形具有什么性質(zhì)？2 .如何判定一個(gè)三角形是等腰三角形？從這兩條結(jié)論來看，今后要在同一個(gè)三角形中證明兩個(gè)角相等，可以先證 明它們所對的邊相等；同樣要證明兩條邊相等可以先證明它們所對的角相等。（二）引入新課問題：學(xué)習(xí)了等腰三角形，我們知道：在一個(gè)三角形中，相等的邊所對的角 相等；反過來，相等的角所對的邊也相等。那么，不相等的邊所對的角之間有怎樣的大小關(guān)系呢？大邊所對的角也大嗎？不相等的角所對的邊之間大小關(guān)系 又怎樣呢？是不是大

3、角所對的邊也大呢？這就是我們今天將要探究的問題。（三）探究新知實(shí)驗(yàn)與探究1:如圖，在？ABC中，如果ABAC /C與/B大小關(guān)系怎樣？1 .動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，觀察猜想請同學(xué)們制作不等邊三角形（統(tǒng)一制作？ABC且ABAQ 猜想/C與/B大小關(guān)系如何？2 .驗(yàn)證猜想生：（1）量角器測量（2）折紙。師：幾何畫板演示3 .歸納猜想：生：猜想：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等, 大邊所對的角較大。4、證明猜想：已知：如圖，在？ABC中，ABAC求證：/ OZ Bo想一想：證明角的不等關(guān)系的依據(jù)是什么？（三角形的外角大于任何一個(gè)與它不 相鄰的內(nèi)角）追問：怎么將/ C轉(zhuǎn)化為/ B所在三角形的外

4、角呢？師啟發(fā)引導(dǎo)分析后，學(xué)生動(dòng)手操作：在4ABC中，因?yàn)锳BAC那所以我們可以將 ABC折疊，使邊AC落在AB邊上, 點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)D處，折痕交BC于點(diǎn)E,則/ ADE=/ C,冉禾1J用/ AED是 BDE的外角的關(guān)系得到/ ADE/ B,從而得到/ CZ B。追問：由上面的操作過程得到哪些啟示？你能寫出證明過程嗎？證法一：證明：作/ BAC的平分線AE,在AB邊上取點(diǎn)D,使AD=AC連結(jié)DE在4ADE和4ACE中AD=AC / BAE = / CAE AE = AE AADE AACE ./ADE = /C.4 . /ADEZ B/ C/ B師：從上面的過程可以看出，利用軸對稱的性質(zhì)，

5、可以把研究邊與角之間的不等 問題，轉(zhuǎn)化為“一個(gè)角為另一個(gè)角所在三角形的外角”的問題。這種轉(zhuǎn)化思想是 研究幾何問題的常用方法。思考：是否還有不同的方法來證明這個(gè)結(jié)論？證法二：證明：作/ BAC的平分線AE,延長AC到點(diǎn)D,使AD=AB,連結(jié)DE在4ABE和4ADE中，AB=AD,/ BAE = / DAE, AE = AE AABE AADE/ B= ZD./ACB玄 D/ACB玄 B方法總結(jié)：利用軸對稱的性質(zhì)（截長補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，將角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn) 化為“一個(gè)角為另一個(gè)角所在三角形的外角”從而證明角的不等關(guān)系。證法三：; AD = AC, / 1 = / 2。/ ACB之 1 ,/ ACB

6、玄 2。: / 2 / B ,/ACB玄 Bo想一想：本題還可以延長小邊來證明嗎?方法總結(jié)：將邊與角之間的不等問題轉(zhuǎn)化為邊與角之間的相等問題解決。形成結(jié)論1 :在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大 邊所對的角較大。（簡寫成“大邊對大角”）應(yīng)用格式：如圖.在？ABC中，ABAC/C/ Bo （大邊對大角）實(shí)驗(yàn)與探究2:在？ABC中，如果/ C/ B, AB與AC大小關(guān)系怎樣?AB大于AC嗎？生猜想：ABAC師幾何畫板演示想一想：證明線段不等關(guān)系的依據(jù)是什么？（三角形任意兩邊的和大于第三邊）追問：怎樣把AB轉(zhuǎn)化為兩條線段并與線段 AC圍成三角形呢？師啟發(fā)引導(dǎo)分析后，學(xué)生動(dòng)手操

7、作：我們可以將 ABC沿BC的垂直平分線DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)C上，即/ DCB=/ B,于是D B =D C ,這樣 A B =A D +D B =A D +D C A C。由上面的操作過程得到哪些啟示？請寫出證明過程證明：在較大的角/ ACB內(nèi)作/ DCB之B,CD交AB于點(diǎn)D,DB=DCAB=AD+DB=AD+DCAC.師：方法總結(jié)：利用軸對稱的性質(zhì)，可以把研究邊與角之間的不等問題，轉(zhuǎn)化為 較大量的一部分與較小量相等的問題。這是幾何中研究不等問題的常用方法。形成結(jié)論2:在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對的邊也不等，大 角所對的邊較大。應(yīng)用格式：如圖.在？ABC中，/ACBZ A

8、BC,ABAC （大角對大邊）歸納：在一個(gè)三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等。在不等邊 的三角形中，大邊對大角，小邊對小角；大角對大邊，小角對小邊。（四）應(yīng)用新知利用上述的兩個(gè)結(jié)論，回答下面問題：1 .在4ABC中，已知BCABA（CfB么/A、/ B、/C有怎樣的大小關(guān)系？2 .如果一個(gè)三角形中最大的邊所對的角是銳角，那么這個(gè)三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？3 .直角三角形的哪一條邊最大？為什么？（五）課堂小結(jié)1 .本節(jié)課通過實(shí)驗(yàn)探究的方式得到哪兩個(gè)結(jié)論？(1)在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊 所對的角較大。(2)在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對的邊也不等，大角 所對的邊較大。2 .從實(shí)驗(yàn)探究的過程學(xué)到哪些方法？(1)可以利用圖形的翻折、旋轉(zhuǎn)等方法來研究幾何圖形中的邊和角的大小 關(guān)系。(2)利用軸對稱的性質(zhì)，可以把研究邊與角之間的不等問題，轉(zhuǎn)化為較大 量的一部分與較小量相等的問題。(六)布置作業(yè)1 .基礎(chǔ)鞏固如圖，在ABC, / BAC=90 , ABAC AD為高，求證：(1 ) / DAB2 DAC(2 )若/ BAC=90改為/ BAE任意角(1 )中結(jié)論成立嗎？2 .拓廣延伸如圖I,在 ABC中，D是BC中點(diǎn) ，ABAG(1 )判斷/ DAB與/ DAC的大小關(guān)系，并給予證明。(2)求證： AB+AC2