線面垂直及面面垂直典型例題

1、線面垂直與面面垂直基礎(chǔ)要點(diǎn)C、不平行于1、A、 ?B、不 錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。A、直線A C 上 錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。)以上結(jié)論都不正確,則H 定在( B定平行于、在斜三棱柱”又，過(guò)作丄底面 ABC垂足為H? E、直線 A B上 ? C、直線B C上 ? D、A AB C得內(nèi)部、如圖示，平面丄平面，與兩平面所成得角分別為與，過(guò)A、B分別作兩平面A )交線得垂線，垂足為則(A、2: 1 ?2、如圖示，直三棱柱中”D C上有一動(dòng)點(diǎn)P,則周長(zhǎng)得最小值就是B、3 :1? C、 3:2?D、4:35。已知長(zhǎng)方體中”若棱AB上存在點(diǎn)P,使得，則棱A D長(zhǎng)得取值范圍就是題型一：直線、平面垂直得應(yīng)用1.( 2 0

2、 14,江蘇卷)如圖，在三棱錐 P-AB C中，D，E，F(xiàn)分別為棱P C，A C，A B得中點(diǎn)。 已知、 求證:；(2).證明：(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC得中點(diǎn)，所以 DE /P A。又因?yàn)镻A ? 平面D EF，DE 平面DE F，所以直線P A /平面DE F、(2) 因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，A C，AB得中點(diǎn)，PA=6，B C=8，所以D E / PA，DE = P A = 3，E F= B C = 4。又因 D F= 5,故 D F =D E2 + E F 2， 所以/ D E F= 90°，即D E 丄 E F。 又 PA 丄 AC，DE/ PA，所以 DE 丄

3、 A C、 因?yàn)锳C PE F = E，AC 平面 ABC，E F 平面 A BC，所以 DE丄平面 ABC.又DE 平面BDE，所以平面 B D E丄平面A BC。(2 014,北京卷，文科)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面”,、分別為、 得中點(diǎn)。(1)求證:平面平面;(2)求證:平面.證明:(1)在三棱柱中，/B7D1-丿2。取A B得中點(diǎn)G,連接E G ,FG 、分別為、得中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形GF EG,；EG 平面 ABE,GF 平面 ABE, GF 平面 ABE、3、如圖,就是所在平面外得一點(diǎn),且平面,平面平面。求證分析：已知條件就是線面垂直與面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將

4、兩條直線中得一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直 ，即從線面垂直得到線線垂直、證明：在平面內(nèi)作，交于.因?yàn)槠矫嫫矫嬗?，平面，且，所以、又因?yàn)槠矫?，于就是有。?外平面，平面，所以。由及，可知平面因?yàn)槠矫?，所以。說(shuō)明：在空間圖形中，高一級(jí)得垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)得垂直關(guān)系，通過(guò)本題可以瞧到面面垂直線面垂直線線垂直.4。過(guò)點(diǎn)引三條不共面得直線、，如圖，若截取(1 )求證:平面平面；(2)求到平面得距離.分析:要證明平面平面，根據(jù)面面垂直得判定定理，須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個(gè) 平面垂直得直線、(1)證明：/，又，與都就是等邊三角形，取得中點(diǎn)，連結(jié)，、在中，在中，平面.平面，平面平面.或

5、：/ 頂點(diǎn)在平面內(nèi)得射影為得外心 又為，.在斜邊上，又為等腰直角三角形，為得中點(diǎn) 平面、平面，平面平面、 解:由前所證:,平面， 得長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面得距離 ” 點(diǎn)到平面得距離為、3、如圖示，ABCD為長(zhǎng)方形，SA垂直于A BCD所在平面，過(guò)A且垂直于SC得平面分別交 SB、SC、SD 于 E、F、G,求證:AE 丄 SB ,A G 丄 SD6 .在四棱錐 P-ABCD中 ,側(cè)面PCD就是正三角形，且與底面A BCD垂直,已知底面就是面積為得菱形 ”M就是P B中點(diǎn)、求證:PACD求證:平面PA B平面CDM7.在多面體 ABCD E 中,A B=BC=A6 AE=1,CD=2,面 AB C,AE

6、/ CD求證:AE/ /平面B CD ;(2)求證:平面BED平面BCD題型二、空間角得問(wèn)題1、如圖示,在正四棱柱中” E為上使得點(diǎn),平面 交于F,交得延長(zhǎng)線于 G,求:(1)異面直線A D與所成得角得大小(2 )二面角得正弦值B1C1N2. 如圖，點(diǎn)在銳二面角得棱上，在面內(nèi)引射線, 使與所成得角為，與面所成得角大小為，求二 面角得大小.分析:首先根據(jù)條件作出二面角得平面角，然后將平面角放入一個(gè)可解得三角形中H(最好就是直角三角形),通過(guò)解三角形使問(wèn)題得解、解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié),則為射線與平面 所成得角,.再作,交于，連結(jié),則為在平面內(nèi)得射影.由 三垂線定理得逆定理”為二面角得平面角

7、、設(shè),在中”在中，就是銳角”即二面角等于.說(shuō)明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱(chēng)得角 ，斜線與平面所稱(chēng)得角, 二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角 ，而且還要彼此聯(lián)系相互依存 ，要根據(jù)各個(gè)平 面角得定義添加適當(dāng)?shù)幂o助線、3。正方體得棱長(zhǎng)為1 ,就是得中點(diǎn).求二面角得大小分析:求二面角關(guān)鍵就是確定它得平面角，按定義在二面角得棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平面上分別作棱得垂線，方法雖簡(jiǎn)便，但因與其她條件沒(méi)有聯(lián)系，要求這個(gè)平面角一般就是很不 容易得，所以在解題中不大應(yīng)用。在解題中應(yīng)用得較多得就是“三垂線定理"得方法，如圖考慮 到垂直于平面，在平面上得射影就就是。再過(guò)作得垂線，則

8、面，過(guò)作得垂線，即為所求二面角得平 面角了、解:過(guò)作及得垂線，垂足分別就是、，連結(jié)。 面，面,又，二面又，為所求二面角得平面角而，.。 在中，、：，.O 在中，在中”4o PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分別就是AB、CD與P C得中點(diǎn)，(1 )求證:MN /平面P ADNE在棱上得位若二面角 PD C-A為，求證:平面 MND丄平面PDC5已知正方體中，E為棱上得動(dòng)點(diǎn)，(1)求證：丄BD(2 )當(dāng)E恰為棱得中點(diǎn)時(shí)，求證:平面丄平面(3)在棱上就是否存在一個(gè)點(diǎn)E ，可以使二面角得大小為？如果存在，試確定 果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。題型三、探索性、開(kāi)放型問(wèn)題1。如圖，已知正方形A BCD得邊長(zhǎng)為2,中心為 O 設(shè)