人教統(tǒng)編部編版高中數(shù)學(xué)必修第一冊A版第五章《三角函數(shù)》全章節(jié)教案教學(xué)設(shè)計(含章末綜合復(fù)習(xí))

1、【新教材】人教統(tǒng)編版高中數(shù)學(xué)必修第一冊 A版第五章教案教學(xué)設(shè)計第5章三角函數(shù)5.1.1 任意角和弧度制（任意角）5.1.2 任意角和弧度制（弧度制）5.2.1 三角函數(shù)的概念5.2.2 三角函數(shù)的概念（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）5.3誘導(dǎo)公式5.4.1 三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像）5.4.2 三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)）1.1.1 三角恒等變換（兩角和與差的正弦、余弦和正切公式）1.1.2 三角恒等變換（簡單的三角恒等變換）5.6 函數(shù) y=Asin （ x + （|）5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用本章綜合與測試5.1.1 任意角和弧度制 - 任意角教案教材分析：

2、學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了 0o360o ,但是現(xiàn)實生活中隨處可見超出 0o360o范圍的角 . 例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540o ” ，且主動輪和被動輪的旋轉(zhuǎn)方向不一致因此為了準(zhǔn)確描述這些現(xiàn)象， 本節(jié)課主要就旋轉(zhuǎn)度數(shù)和旋轉(zhuǎn)方向?qū)堑母拍钸M行推廣 .教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)：課程目標(biāo)1. 了解任意角的概念.2. 理解象限角的概念及終邊相同的角的含義3. 掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1. 數(shù)學(xué)抽象：理解任意角的概念，能區(qū)分各類角；2. 邏輯推理：求區(qū)域角；3. 數(shù)學(xué)運算：會判斷象限角及終邊相同的角 .教學(xué)重難點：重點：理解象限角的概念及終邊相同的角的含義；難點：掌握判斷象限角及表示終邊相同

3、的角的方法課前準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入初中對角的定義是：射線OAS端點O股逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個過程中可以得到0o360°范圍內(nèi)的角.但是現(xiàn)實生活中隨處可見超出0o360°范圍的角.例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540° ”，且主動輪和被動輪的旋轉(zhuǎn)方向不一致. 請學(xué)生思考，如何定義角才能解決這些問題呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本168-170頁，思考并完成以下問題1 .角的概念推廣后，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？2

4、 .如何判斷角所在的象限？3 .終邊相同的角一定相等嗎？如何表示終邊相同的角？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題 三、新知探究1.任意角 (1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線 繞著端點從一個位置 旋轉(zhuǎn) 到另一個位置所成的圖形.(2)角的表示a”或“/a”或簡記為“a”.(3)角的分類如圖，OA是角a的始邊，OB是角a的終邊，O是角的頂點.角a可記為“角名稱定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角0*8零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn) 形成的角0 A(B按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類:2.象限角在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點與 原點 重合、角的始邊

5、與x軸的非負(fù) 半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限、就說這個角是第幾 象限角：如果角的終邊 在坐標(biāo)軸 上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.3.終邊相同的角所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合 S= B B = a + k-360° , kCZ,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與 整數(shù)個 周角的和.四、典例分析、舉一反三題型一任意角和象限角的概念例1（1）給出下列說法：銳角都是第一象限角；第一象限角一定不是負(fù)角；小于180。的角是鈍角、 直角或銳角；始邊和終邊重合的角是零角.其中正確說法的序號為 （把 正確說法的序號都寫上）. 已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與

6、x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角， 并指出它們是第幾象限角.420° , 855° ,510° .【答案】（1） （2）圖略，420。是第一象限角.855。是第二象限角. 510°是第三象限角.【解析】（1）銳角是大于0。且小于90。的角，終邊落在第一象限，是第一象 限角，所以正確；一350。角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以錯誤；0°角是小于180。的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以錯誤； 360。角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以錯誤.（2） 作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知:420。是第一象限角.8550是第二象限角.一51

7、00是第三象限角.解題技巧：(任意角和象限角的表示)1 .判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧.(1)關(guān)鍵：正確的理解角的有關(guān)概念，如銳角、平角等；(2)技巧：注意“旋轉(zhuǎn)方向決定角的正負(fù)，旋轉(zhuǎn)幅度決定角的絕對值大小.2 .象限角的判定方法.(1)圖示法：在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限. 利用終邊相同的角：第一步，將a寫成a = k 360° + B (k e Z, 0° & B <360° ) 的形式；第二步，判斷B的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)B的終邊所在的象限，即可確定a的終邊所在的象限.跟蹤訓(xùn)練一1 .已知集合A= 第一象限角, B=

8、 銳角, C= 小于90°的角,則下面關(guān)系 正確的是()A. A= B= CB. A? CC. An C= BD. BU C? C【答案】D【解析】由已知得B FC,所以BU C? C,故D正確.2.給出下列四個命題：一75°是第四象限角；2250是第三象限角；475°是第二象限角；一315。是第一象限角.其中正確的命題有()A. 1個B.2個C.3個D.4個【答案】D【解析90° < 75° <0； 180° <225 <270° ,3600 + 90° <475° <

9、;360° +180° , 315° = 360° +45° 且 0° <45° <90° .所以這四個命題都是正確的.題型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用例 2 (1)將885° 化為 k - 3600 + a (0 ° < a <360° , kC Z)的形式是(2)寫出與a = 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式一7200 <B <360°的元素B寫出來.【答案】(1)(3) X 360° +195

10、6; ,(2)終邊相同的角的集合為B| B=k-360°910° , kZ,適合不等式720° < B <360° 的元素550°、 190°、 170° .【解析】(1)885° = 1 080 0 + 195° =(3)X360° +195° .(2)與a = 910°終邊相同的角的集合為B|B=k360° 910° , kZ,. 720° < B<360° ,即一 720° < k 360&

11、#176; 910° <360° , kCZ, k 取 1, 2, 3.當(dāng) k=1 時，B=360° 910° = 550° ;當(dāng) k = 2 時，B =2X360° 910° = 190° ;當(dāng) k = 3 時，6=3X360° 910° =170° .解題技巧：(終邊相同的角的表示)1 .在0°至IJ 3600范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法一般地，可以將所給的角a化成k 3600 + B的形式(其中0° < B <360° , k

12、Z),其中B就是所求的角.(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角 時，采用連續(xù)加360。的方式；當(dāng)所給角是正角時，采用連續(xù)減360。的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到所求為止.2 .運用終邊相同的角的注意點所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)可以用式子k-3600 + a , kCZ表示， 在運用時需注意以下四點：(1)k是整數(shù)，這個條件不能漏掉.(2) a是任意角.(3)k - 3600 與 a 之間用 “ + ” 連接，如 k - 3600 30° 應(yīng)看成 k - 360° +( 300 ) , kCZ.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終

13、邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù) 個，它們相差周角的整數(shù)倍.跟蹤訓(xùn)練二1 .下面與一850° 12'終邊相同的角是（）A. 2300 12'B. 229 48'C. 129° 48'D. 130° 12'【答案】B【解析】與850° 12'終邊相同的角可表示為a = 850° 12' +k 360° （k CZ）,當(dāng) k = 3 時，a = 850° 12' + 1 080 0 =229° 48'.2 .寫出角a的終邊落在第二、四象限角平分線上的

14、角的集合為 .【答案】 a | a = k 180° + 135° , kCZ.【解析】落在第二象限時，表示為 k - 3600 + 135° .落在第四象限時，表示為 k - 3600 + 180° +135° ,故可合并為 a | a = k 180° +135° , k Z.題型三任意角終邊位置的確定和表示例3 （1）若a是第一象限角，則22是（）A.第一象限角B.第一、三象限角 C.第二象限角D.第二、四象限角 （2）已知，如圖所示.分別寫出終邊落在OA OB位置上的角的集合； 寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的

15、集合.【答案】（1）B （2）終邊落在OA位置上的角的集合為 a | a =135° +k360° , k C Z；終邊落在O附置上的角的集合為B| B= 30° +k360° , kez.故該區(qū)域可表示為 丫 | 30° +k360° < y <135° +k360° , kCZ.【解析】（1） 因為a是第一象限角，所以k - 3600 < a <k 3600 +90° , kCZ,所以k-1800< k - 180° +45° , kCZ,當(dāng)k為偶數(shù)時

16、，-y為第一象 cl.a限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，萬為第三象限角.所以 萬是第一、三象限角.(2)終邊落在OA位置上的角的集合為 a | a = 90° +45° +k 360° , kCZ= a | a =135° + k - 360° , k Z;終邊落在OB位置上的角的集合為 B | B = 30° + k 3600 , k C Z.由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于30° ,135° 之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為 丫 | 30° + k 3600 < y

17、 < 135° +k 360° , kC Z.解題技巧：(任意角終邊位置的確定和表示)1 .表示區(qū)間角的三個步驟：第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的一 3600360°范圍內(nèi)的角 a和B ,寫出最簡區(qū)間x a <x< B ,其中B a <360° ；第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角a , B再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.提醒：表示區(qū)間角時要注意實線邊界與虛線邊界的差異.2 . n a或所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角n a或?J勺范圍；?(2)用旋轉(zhuǎn)的觀

18、點確止角n a或洲在象限.跟蹤訓(xùn)練三1 .如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分的角的集合如何表示？【答案】角 B 的取值集合為 B | n 180° +60° < P <n -1800 + 105° , n Z.【解析】在0°360。范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角為600 < B<105°與2400 < B <285° ,所以所有滿足題意的角B為 B | k 360° + 60° <B <k - 3600 + 105° , k C Z U B |

19、k 360° + 240° 0 0 <k 360° + 285° , kCZ= B 12 k 180° +60° & B <2k - 180° + 105° , k Z U B |(2 k+ 1) 180° +60° & B <(2k+1) 180° + 105° , k Z= B | n 180° +60° & B <n 180° + 105° , n Z.故角 B 的取值集合為 B |

20、 n 180° +60° & B <n 180° + 105° , n Z.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧 六、板書設(shè)計5.1.1 任意角1任意角例1例2例32 .象限角3 .終邊相同的角七、作業(yè)課本171頁練習(xí)及175頁習(xí)題5.1 1、2、7題.教學(xué)反思：本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法， 讓學(xué)生從旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn) 度數(shù)熟悉角的概念，象限角，終邊相同的角等，并且掌握其應(yīng)用.5.1.2 任意角和弧度制 - 弧度制教案教材分析：前一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的概念， 而本節(jié)課主要依托圓心角這個情境學(xué)習(xí)一種用長度度量角的方法

21、弧度制， 從而將角與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系， 為學(xué)習(xí)本章的核心內(nèi)容三角函數(shù)掃平障礙，打下基礎(chǔ).教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)：課程目標(biāo)1. 了解弧度制 , 明確 1 弧度的含義.2. 能進行弧度與角度的互化 .3. 掌握用弧度制表示扇形的弧長公式和面積公式 .數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1. 數(shù)學(xué)抽象：理解弧度制的概念；2. 邏輯推理：用弧度制表示角的集合；3. 直觀想象：區(qū)域角的表示；4. 數(shù)學(xué)運算：運用已知條件處理扇形有關(guān)問題 .教學(xué)重難點：重點：弧度制的概念與弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化；難點：弧度制概念的理解課前準(zhǔn)備 ：多媒體教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入度量

22、單位可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制，不同的單位制能給解決問題帶來方便. 角的度量是否也可以用不同的單位制呢？能否像度量長度那樣，用十進制的實數(shù)來度量角的大小呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察. 研探 .二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本 172-174 頁，思考并完成以下問題1 . 1弧度的含義是？2 .角度值與弧度制如何互化？3 .扇形的弧長公式與面積公式是？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題 三、新知探究1 .度量角的兩種單位制(1)角度制定義：用 度 作為單位來度量角的單位制.1度的角：周角的

23、親.360(2)弧度制定義：以 弧度 作為單位來度量角的單位制.1弧度的角：長度等于 半徑長 的弧所對的圓心角.2.弧度數(shù)的計算H正角的，度散居二個正數(shù)-偵角的弧贏是一個負(fù)數(shù))£3知的弧麗數(shù)地零二)事-j版畫一，一、 L圖畫K仃二3.角度制與弧度制的轉(zhuǎn)算4. 一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120013501500180027003600弧度0?6?4冗冗2-2?3?5?"6冗3兀22兀5.扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R,弧長為l, a (0< a <2兀)為其圓心角，則:(1)弧

24、長公式：l = a r .(2)扇形面積公式：S= 2? =1?.四、典例分析、舉一反三題型一角度制與弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1) 450。； (2) 10; (3)=；(4)112 ° 30'. 103【答案】(1)萼 rad ; (2)18 ° ; (3) 240° ； (4)萼 rad. 28【解析】(1) 450° = 450X;0 rad =52 rad ;(3)一萼 rad3180冗4兀vx= 18。；180T 240 ；(4)112 0 30' = 112.5° = 112.5 Xe r

25、ad =58 rad.解題技巧：(角度制與弧度制轉(zhuǎn)化的要點)抓住“正對正，負(fù)對負(fù)，零對?！边@個要點J .司,1記住常見角對應(yīng)的孤度數(shù)I4PHi=湍川凈。兩個甚本關(guān)系跟蹤訓(xùn)練一1 .將下列角度與弧度進行互化.(1)20 ° ； (2) 15。；(3)名；(4)一名. 125 » 一 冗冗C【答案】(1) § rad ; (2) - rad ; (3) 105 ; (4) 396二，一20九冗【解析】(1)20=80 rad = rad.015冗冗15 = 780 rad =一五 rad.7兀 7港 rad =12X180° =105° .(4)

26、-11 rad = 一；X180° = 396° . 55題型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于 x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部 分內(nèi)的角的集合（不包括邊界，如圖所示）._兀 .- 5.【答案】(1) 9 d+ 2G<8<12兀+ 2G，kCZ(2) 9 -34- + 2kTt<8<q+2kTt, kCZ ； (3) 冗冗0 6" + k 兀 < 6 <萬 + k 兀，k C Z .【解析】用弧度制先寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，一 九 八 5，一(1) 0 "6" + 2k

27、 兀 < 8 <12 兀 + 2k it , k C Z(2) 0 - 3-7-+ 2k tt < 0 <37-+ 2k tt , k Z.44_九,人九.L _(3) 0 至 + k 兀 < ° <萬 + k 冗,k Z .解題技巧：(表示角的集合注意事項)1 .弧度制下與角a終邊相同的角的表示.在弧度制下，與角a的終邊相同的角可以表示為 B | B =2k九+ a , ke Z),即 與角a終邊相同的角可以表示成a加上2冗的整數(shù)倍.2 .根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟.仔細(xì)觀察圖形.(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示.(3)用不等式表示區(qū)

28、域范圍內(nèi)的角.提醒：角度制與弧度制不能混用.跟蹤訓(xùn)練二1 .如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界). 【答案】（1） a -2+2kTt< a <+2kTt , kCZ . 362 2） a 2k tt < a < + 2k ?；? 2k：t< a<7t + 2kTt, kCZ.33.,.一一.一 一 兀 .【解析】（1）如題圖，以O(shè)A為終邊的角為"6 + 2k兀（kCZ）；以O(shè)B為終邊的角、,2九為一F-+2k：t (kCZ), 3所以陰影部分內(nèi)的角的集合為a + 2k 兀 < a

29、<+ 2k 九,k Z36(2)如題圖，以。人為終邊的角為。+ 2h(武刁；以O(shè)B為終邊的角為 =+2k33兀(kez).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為 M,左邊陰影部分所表示的集合為M, 一 一 九_ 則乂= a 2k tt < a < "3"+ 2k 兀， k C Z , M =2兀a T+2k：t< a<7t + 2kTt, kCZ.3所以陰影部分內(nèi)的角的集合為MUM= a 2k tt < a < + 2k 冗或-3" +2卜冗<0<九 + 2卜冗,k Z .題型三扇形的弧長與面積問題例3一個扇形的周長

30、為20,則扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形 面積最大？【答案】當(dāng)扇形半徑r=5,圓心角為2 rad時，扇形面積最大.【解析】設(shè)扇形的圓心角為a ,半徑為r,弧長為l ,則l = a r依題意組即ar+2r=20,20 2r由 l =20 2r>0 及 r>0得 0<r<10,12 1 20-2r 2 S扇形=2a r =2 r , r = (10 r) r2_ 一一=(r 5) +25(0<r<10).當(dāng)r=5時，扇形面積最大為S= 25.此時l= 10, a =2,故當(dāng)扇形半徑r=5,圓心角為2 rad時，扇形面積最大.解題技巧：（弧度制下解決扇

31、形相關(guān)問題的步驟）.（這里1 C 一 1（1）明確弧長公式和扇形的面積公式：l=| a|r, S= 2I a|r和S= 21ra必須是弧度制下的角）（2）分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式. 根據(jù)條件列方程（組）或建立目標(biāo)函數(shù)求解.跟蹤訓(xùn)練三1、已知某扇形的圓心角為80° ,半徑為6 cm,則該圓心角對應(yīng)的弧長為（_ 8兀_4 兀A 480 cmB. 240 cm C. cmD73- cm【答案】C【解析】：80。囁X80十,又 r=6 cm,故弧長 1= a r=4x 6=呆（cm）.2、如圖，已知扇形AOB勺圓心角為120。，半徑長為6,求弓形ACB的面積【答案】12l9B【

32、解析】S扇形ao= XX 6?=12九,2180Sa ao= X6X6Xsin 60 ° =9v3, 2故S 弓形AC=S扇形AOB-S AAO=12幾 -9.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計5.1.2 弧度制1 .弧度制例1例2例32 .弧度制與角度制轉(zhuǎn)化3 .扇形弧長與面積公式七、作業(yè)課本175頁練習(xí)及175頁習(xí)題5.1.教學(xué)反思：本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法，讓學(xué)生通過角度制與弧度 制的轉(zhuǎn)化將角與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，切記：角度和弧度不可同時出現(xiàn).5.2.1三角函數(shù)的概念教案教材分析：本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第一冊（

33、人教A版）第五 章三角函數(shù)，本節(jié)課是第3課時，這是節(jié)關(guān)于任意角的三角函數(shù)的概念課.三角函數(shù)是高中范圍內(nèi)繼指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)之后學(xué)習(xí)的函數(shù)，是函數(shù)的一個下位概念，與指對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)屬于同一抽象（概括）層次。它是一 種重要的基本初等函數(shù)，是解決實際問題的重要工具，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他知識 內(nèi)容的基礎(chǔ)。在初中,學(xué)生已學(xué)過銳角三角函數(shù),知道直角三角形中銳角三角函數(shù)等于相應(yīng) 邊長的比值。在此基礎(chǔ)上，隨著角的概念的推廣，引入弧度制，相應(yīng)地將銳角三角 函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù)，此時它與三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了。任意角的 三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊 與單

34、位圓交點的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合）的對應(yīng)關(guān)系。認(rèn)識它需要借助單位圓、 角的終邊以及兩者的交點這些幾何圖形的直觀幫助，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 由銳角三角函數(shù)到坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù),再到單位圓上的點的坐標(biāo)表示的銳 角三角函數(shù)，直至得到任意角的三角函數(shù)的定義，體現(xiàn)了合情推理的思想方法。本 節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開,任意角三角函數(shù)的概念是本節(jié)課的重點 能夠利用單位圓認(rèn)識這個概念是解決教學(xué)重點的關(guān)鍵。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)： 課程目標(biāo)：A.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義；B.根據(jù)定義認(rèn)識函數(shù)值的符號，理解誘導(dǎo)公式一；C.能初步運用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題；D.體驗三角函

35、數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程，領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富 數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗。學(xué)科素養(yǎng)：1 .數(shù)學(xué)抽象：三角函數(shù)的定義；2 .邏輯推理：三角函數(shù)概念的推導(dǎo)過程;3 .數(shù)學(xué)運算：根據(jù)定義求三角函數(shù)值；4.直觀想象：三角函數(shù)定義的推導(dǎo)。教學(xué)重難點:1 .教學(xué)重點：任意角的三角函數(shù)(正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù))的定義;2 .教學(xué)難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程。課前準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)過程:、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1. 1弧度角的定義【答案】等于半徑長的圓弧所對的圓心角2. 角度制與弧度制的換算：180【答案】180,1弧度()57.303. 關(guān)于扇形的公式1 O1【答案】(1) l R;(2)S - R2

36、;(3)S -lR.4. 在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的?【答案】ba ,sin- ,cos,tancc、探索新知P探究一.角 的始邊在x軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點 P。當(dāng) &時，點P2的坐標(biāo)是什么？當(dāng)一或 ' 時，點P的坐標(biāo)又是什么？它們唯一確定嗎?23【答案】當(dāng)一時，點P的坐標(biāo)為62時,點p的坐標(biāo)為2時，點 P的坐標(biāo)為3i)o探究二般地，任意給定一個角,它的終邊OP與單位圓交點P的坐標(biāo)能唯一確定嗎?【答案】點P的橫、縱坐標(biāo)都能唯一確定(1) 意角的三角函數(shù)定義設(shè)角 是一個任意角，R,它的終邊與單位圓交于點P(x, y)那么(1) y叫做的正弦函數(shù)。記作sin，即y

37、sin ;(2) x叫做 的余弦函數(shù)。記作cos，即x cos ;(3) 丫叫做的正切。記作tan，即y tan ; xx-tan (x 0)是 以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函 x數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)(tangent function)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù).通常將它們記為：正弦函數(shù) y sinx,x R余弦函數(shù) y cos x, x R正切函數(shù) y tanx,x 5 k (k Z)探究三：在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量。以比值 為函數(shù)值的函數(shù)，設(shè)x (

38、0-),把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角 x的正弦記為Zi，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為y1。乙與y1相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？【答案】都相等例1.求5-的正弦、余弦和正切值.3、， ，入 5, . 7 一變式：把角J改為L呢？36. 373tan263一 717【答案】 sin,cos一626例2. 如圖，設(shè) 是一個任意角，它的終邊上任意一點P （不與原點O重合）的坐標(biāo)為（x,y ）,點P與原點的距離為r o求證：sin - ,cos - ,tan -.rr x探究四.1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定三角函數(shù)的定義域。三角函數(shù)定義域y sinRy cosRy tan-k

39、(k Z)2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦。例3. 求證：角為第三象限角的充要條件是sin 0tan 0【答案】見教材思考：如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）sin（k 2 ） sincos（ k 2 ） cos ,其中，k z。tan（k 2 ） tan作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求02 （或0 360 ）角的三角函數(shù)值.例4 確定下列三角函數(shù)值的符號:(1) cos250 ;(2)sin( );(3)tan( 672 );(4)tan34例5 求下列三角函數(shù)值:9

40、11(1)sin148010(精確至U 0.001);(2) cos；(3)tan( ).46三、達(dá)標(biāo)檢測1. sin( 315° )的值是()2121A.-5B. -2C方d.2【答案】C【解析】sin( 315 ) = sin( 360 +45 )=sin 45=22.已知角a終邊過點P(1 , -1),則tan a的值為()A. 18. - 1D.【答案】B f6 一 I，、，一 1【解析】由二角函數(shù)止義知tan 0=彳=1.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角B均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱，若sin a =2，則sin B =.5【解析】設(shè)角a的終邊與單位圓相交于

41、點P(x, y), 則角B的終邊與單位圓相交于點 Qx, -y),由題意知y = sin1=y=-5.4.求值：(1)sin 180+ cos 90+ tan 0(2)cos + tan315幾4【解析】(1)sin 180 0 +cos 90 ° +tan 0 0 =0+0+0 = 0.(2)cos 卓 + tan315幾4Tt=cos 8tt + - + tan冗- 4 九 十 4冗冗 13= cos§+tan 了=2+ 1 = /.四、小結(jié)1 .內(nèi)容總結(jié)三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號 誘導(dǎo)公式一.2 .方法總結(jié)運用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合

42、法解題.3 .體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想化歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.五、作業(yè)習(xí)題 5.2 1.（1）、（2） 2 題教學(xué)反思：任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計算一個任意 角的三角函數(shù)與其邊上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系， 并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角 函數(shù)概念的意義。如，計算方法、定義域、值域、符號表示、有關(guān)結(jié)論（與點的位置的選取無關(guān)）后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突一“在坐標(biāo)系下，如何研究一個任意角的三角函數(shù) ？”并以坐標(biāo)系為平臺，有層次 的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認(rèn)識研究方法的變化，以及符號表示 的變化0-2范圍內(nèi)的角（認(rèn)識該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法

43、，特別是值域 的變化）不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計算一個任意角的三角函數(shù)的操作 過程）。銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時如果是先給一個銳角，再構(gòu)造三角形，而不是家當(dāng)前大 多數(shù)教材中采用的直接放在一個直角三角形下，對學(xué)生概念的遷移會更有幫助。5.2.2三角函數(shù)的概念-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教案教材分析：本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角和弧度制， 任意角的三角函數(shù)后，安排的一節(jié) 繼續(xù)深入學(xué)習(xí)內(nèi)容，是求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本 工具，是整個三角函數(shù)知識的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用。同時，它體現(xiàn) 的數(shù)學(xué)思想與方法在整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)：課程目標(biāo)1 .理解并

44、掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用.2 .會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、求值與恒等式證明.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1 .數(shù)學(xué)抽象：理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式；2 .邏輯推理："sin a ± cos a"同“sin a cos a”間的關(guān)系；3 .數(shù)學(xué)運算：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、 求值與恒等式證明 教學(xué)重難點：重點：理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；難點：會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、求值與恒等式證明.課前準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入公

45、式一表明終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，那么，終邊相同的角的三個三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本182-183頁，思考并完成以下問題1 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪兩種？2 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式適合任意角嗎？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin 2 a +C0S2 a = 1. sin a冗冏數(shù)關(guān)系：cos a =tan_ a aWkjt+萬，kCZ.(2)語言敘述：同一個角a的正弦、余弦的平方和等

46、于1,冏等于角a的正 切.思考：“同角” 一詞的含義是什么？提示一是“角相同"，如sin 2 a + cos2 p =1就不一定成立.二是對任意 一個角(在使得函數(shù)有意義的前提下)，關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)式形式無關(guān)，cos219= 1 等如 sin 215° +cos215° =1, sin 2得十四、典例分析、舉一反三題型一應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值例 1 (1)若 sin 3 ,求 cos a , tan a 的值；5(2)已知 cos a =一芻，求 sin a , tan a 的值.17【答案】(1)當(dāng)a是第三象限角時，cos a =1，tan a =.

47、 544弟四象限角時，cos a=5，tana =-3(2)如果a是第二象限角，那么sin a =萬，tan a =-.如果a是第三象限角,sin a = _ 15, tan a =15【解析】=sin a= 3, a是第三、第四象限角, 5當(dāng)a是第三象限角時,cosoc 一 1 sin a 1，tansin aa =cos aa是第四象限角時,sin aa =cos asincos a = yjl sin 2a = 3, tan 5(2) cos a = 0 0, 17a是第二或第三象限的角.如果a是第二象限角，那么15tansin a 1715一17如果a是第三象限角，同理可得sin a

48、= '1 cos2 a =一t tan a = £17'8解題技巧：(利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問題的方法)(1)已知角a的某一種三角函數(shù)值，求角a的其余三角函數(shù)值，要注意公式 的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系.(2)若角a所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時，只有一組結(jié)果； 若角a所在的象限不確定，應(yīng)分類討論，一般有兩組結(jié)果.提醒：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時,要注意有關(guān)角終邊位置的判斷，確定所求 值的符號.跟蹤訓(xùn)練一1.已知 sin a +3cos a =0,求 sin a , cos a 的值.【答案】角a的終邊在第二象限時，cos

49、a=磊0, sin a = 3410；當(dāng)角a的終邊在第四象限時，cos a;彳柒，sin a =一卷網(wǎng)0.【解析】 sin a + 3cos a =0, sin a= -3cos a.又 sin 2 a + cos2 a = 1 ,( 3cos a ) 2+ cos2 a = 1 ,即 10cos2 a = 1 ,cos a = ± 10.10又由 sin a = 3cos a , 可知 sin a與 cos a 異號，角a的終邊在第二或第四象限.當(dāng)角a的終邊在第二象限時，COS a = 一 ；0，sin a =10/10；當(dāng)角a的終邊在第四象限時，cos a =00，sin民=-：

50、30/10.題型二三角函數(shù)式的化簡、求值（1）化簡:、12sin 130 ° cos 130 一 sin 130 0 十 5一sin 2130°若角,是第二象限角,化簡：的1/i.【答案】（1） 1;（2） -1.【解析】（1）原式=Msin2130° 2sin 130 ° cos 130 ° +cos2130°sin 130 0 + «cos2130°|sin 130 0 -cos 130 ° | sin 130 ° -cos 130 ° d =: =:-=1 _sin 130+|c

51、os 130| sin 130-cos 130原式=tan a J二吟.a7k=到xjcos，因為a'，y sin aY sin a cos a |sin a | sina Icos a I是用二象限角，所以 sin a>0, cos a <0,所以原式=cos a X j =sin acos a- x 一 . 一= - 1.cos asin a解題技巧：（化簡三角函數(shù)式的常用方法）1、切化弦，即把非正弦、余弦函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)種類 以便化簡.2、對含有根號的，常把根號下式子化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的3、對于化簡高次的三角函數(shù)式，往往借助于

52、因式分解，或用“1”的代換，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡目的.提醒：在應(yīng)用平方關(guān)系式求sin a或cos a時，其正負(fù)號是由角a所在的象限 決定，不可憑空想象.跟蹤訓(xùn)練二八芳 cos 36 0 Ji COS2361.化簡：“。，12sin 36 cos 36sin 0 cos 0 tan 9-1.【答案】(1)1 ; (2) cos 9 .【解析】cos 36 0 原式=sin 0 cos 0 cos 0 sin 0 cos 0sin 0coTT tsin 0 cos 0= cos 0 .題型三 三角函數(shù)式的證明例3求證:cos x 1 sin x1 sin x cos x【答案】見解析【解析】證

53、明：由 cosx 0,知 sinx1,所以1 sin x 0,于是原式: l , _cos 36 Tsin 236： ()八 sin cos 36 ° sin 36 °cos 36 ° sin 36 ° cos 36 ° - sin 364一cos 36 ° sin 36 °2一 |cos 36 ° sin 36 0 | 一 cos 36 ° sin 36 1 cos x36° +cos236° 2sin 36左邊=1 sin xcosx右邊cosx(1 sin x)(1 sin x)

54、(1 sin x)cosx(1 sinx)21 sin xcosx(1 sin x)所以，原式成立解題技巧：（三角函數(shù)式解題思路及解題技巧）1 .證明恒等式常用的思路是：（1）從一邊證到另一邊，一般由繁到簡；（2） 左右開弓，即證左邊、右邊都等于第三者；（3）比較法（作差，作比法）.2 .常用的技巧有：（1）巧用“1”的代換；（2）化切為弦；（3）多項式運算技巧的應(yīng)用（分解因式）.3.解決此類問題要有整體代換思想.跟蹤訓(xùn)練三1+2sin xcos x 1 + tan x2 cosx sin 2x1 tan x，【答案】見解析【解析】證明:右邊一sin x1 + cos x cos x + si

55、n xsin x cos x sin x 1cos xcos x + sin x 21 + 2sin xcos xcos x sin xcos x+sin x2 cosx- sin 2x二左邊,原等式成立.題型四sinc ± cos，日 “ s 問 sin a cos間的關(guān)系例4已知sin+ cos1 廠=Z，且 0< a < 九.5求：（1）sinc cos的值;(2)求 sina cosa的值.【答案】（1）1225； (2) 5.【解析】證明:(1) ; sina + cos a =15, (sina +cos25'c cos a1= 25,即 sinc cos a =1225.(2) (sina cos2_a) =12sinc cos24 491 +-=25 25.又0< asin a cos a < 0,二 sin>0,