大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽模擬題 -江蘇技術(shù)師范學(xué)院一、連日大雨，河水猛漲，一渡船被河水沖到河中央，擺渡人眼疾手快，立刻從岸上拉住船上的纜繩以便拖住渡船，可惜水流太急，渡船仍然向下游沖去。這時(shí)，擺渡人看到一木樁，并立刻將纜繩在木樁上繞了幾圈，就拉住了沖向下游的渡船。（1） 本問(wèn)題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系（2） 利用木樁拉住渡船，則擺渡人少使多少力？（3） 如果水對(duì)渡船的推力為20kN，而擺渡人的最大拉力為500N，木樁與纜繩之間的摩擦系數(shù)，則為了能使渡船停止運(yùn)動(dòng)至少將纜繩在木樁上繞幾圈？若纜繩橫截面面積為300，木樁直徑為20cm，木樁至渡船的纜繩長(zhǎng)10m，彈性模量E=100GPa，忽略木樁至手拉端繩的變

2、形，試計(jì)算纜繩的總伸長(zhǎng)量。題1圖一、解：（1）、關(guān)鍵詞：摩擦，軸向拉伸（2）、設(shè)手拉端的拉力為，船的拉力為，纜繩和木樁接觸的各處有徑向壓力和切向摩擦力作用，如圖（1-a）所示。任取一微段（圖（1-b），由微段的平衡條件 （1-a） （1-b） （1） （2）對(duì)于微小角度，可令 ，并略去高階微量，即得 （3）分離變量，積分得 （4）其中積分常數(shù)由纜繩兩端的邊界條件確定，有， ； 所以，繞在木樁上纜繩任一截面的拉力為 （5）所以 ，其中為纜繩繞過(guò)木樁的角度。（3）、將，f = 0.3代入式（5），得解得 rad所以至少將纜繩繞兩圈。當(dāng)，考慮微段（圖（1-b）的伸長(zhǎng) （6）則環(huán)繞部分的纜繩伸長(zhǎng)量 （

3、7）代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算的，木樁至船段的纜繩伸長(zhǎng)量 （8）總變形量 二、一由鋼板卷制的薄壁圓桶，高度為h，在接頭處存在一縫隙，在外力偶的作用下圓桶繞其軸線做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，內(nèi)有一些邊長(zhǎng)為e的輕質(zhì)塊體，當(dāng)圓桶達(dá)到一定轉(zhuǎn)速時(shí)，塊體就從縫隙中滑出。（1）試分析該薄壁圓桶在旋轉(zhuǎn)時(shí)可能發(fā)生的變形和所涉及到的力學(xué)知識(shí)。（2）取其圓環(huán)截面如圖所示，質(zhì)量為m，平均半徑為R，橫截面為矩形（t<<R），材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為，其中B為常數(shù)。設(shè)變形后平面假設(shè)仍然成立，當(dāng)圓環(huán)繞圓心O在其平面內(nèi)從靜止開(kāi)始以勻角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)當(dāng)角速度為多大時(shí)，塊體滑出？ 題2圖 二、解：（1）、該薄壁圓桶在旋轉(zhuǎn)時(shí)，薄壁在離心力的作用下

4、發(fā)生彎曲變形。關(guān)鍵詞：慣性力，平面彎曲，能量法。 題（2-a）（2）、由對(duì)稱性知，取半個(gè)圓環(huán)為研究對(duì)象（如圖（2-a）所示），當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為時(shí)，由慣性離心力引起的圓環(huán)內(nèi)截面的彎矩為 （1）變形后平面假設(shè)仍然成立，故有 （2）設(shè) 時(shí)， 于是 （3）將代入上式，得 （4）由單位載荷法 ，其中 （5）所以縫隙A處的相對(duì)位移 （6） 所以解得 （7） 三 四葉玫瑰線你能一筆畫(huà)出圖示曲線嗎？如圖所示為一四葉玫瑰曲線，其極坐標(biāo)表達(dá)式為。請(qǐng)你進(jìn)行分析計(jì)算和設(shè)計(jì)：（1）寫(xiě)出圖示四葉玫瑰線的直角坐標(biāo)表達(dá)式；（2）利用理論力學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)一種機(jī)構(gòu)來(lái)畫(huà)出這一曲線。題3圖三、四葉玫瑰線解：（1）對(duì)于四葉玫瑰曲線，在直角坐

5、標(biāo)系中可寫(xiě)成（圖3-1） 將代入上式，得 （1）利用三角函數(shù)的積化和差公式 可得 （2） 圖3-1 圖3-2（2）現(xiàn)設(shè)計(jì)一行星齒輪機(jī)構(gòu)來(lái)畫(huà)此曲線。如圖3-2所示的行星齒輪機(jī)構(gòu)，小齒輪在固定內(nèi)齒輪內(nèi)作純滾動(dòng)，其中內(nèi)齒輪的半徑為，小齒輪的半徑為，畫(huà)筆所在點(diǎn)離小齒輪圓心的距離為。隨系桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，其點(diǎn)的軌跡為 利用小齒輪的純滾動(dòng)條件，有，代入上式可得 作變換，令，上式可改寫(xiě)為 （3）對(duì)照式（2）和式（3）中的系數(shù)，有， ， 聯(lián)解之，得 ， ， （4）做一個(gè)如圖3-2所示的行星齒輪繪圖機(jī)構(gòu)，取式（4）中的參數(shù)，即可畫(huà)出的四葉玫瑰曲線。四 手指轉(zhuǎn)筆在你思考問(wèn)題時(shí)有用手指轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣嗎？請(qǐng)你用下述剛體簡(jiǎn)化模型，

6、進(jìn)行分析計(jì)算：（1）本問(wèn)題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？（2）求出筆繞手指無(wú)滑動(dòng)轉(zhuǎn)一周中，手指作用于筆的正壓力和摩擦力的大小；（3）給出筆與手指間的摩擦因數(shù)隨AC長(zhǎng)度x變化應(yīng)滿足的條件。手指轉(zhuǎn)筆的剛體簡(jiǎn)化模型：如題4圖所示，設(shè)手指為半徑為的圓柱，筆為一回轉(zhuǎn)半徑為的細(xì)直桿（對(duì)質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為）。設(shè)手指保持不動(dòng)，開(kāi)始時(shí)筆在距質(zhì)心C距離為的A處與手指相切，初角速度為，設(shè)，且桿始終在垂直于手指的同一平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，忽略重力的影響。 題4圖四 手指轉(zhuǎn)筆問(wèn)題解：（1）關(guān)鍵詞：平面運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，機(jī)械能守恒，。（2）設(shè)某瞬時(shí)桿與圓柱相切于點(diǎn)（圓柱上的點(diǎn)），此時(shí)桿繞旋轉(zhuǎn)的角速度為，質(zhì)心C與A距離為x

7、。桿對(duì)A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，依題意，A為桿此刻的速度瞬心，由機(jī)械能守恒可得 故 （1）設(shè)桿受壓力和摩擦力，如圖4-1（a）所示，分別為質(zhì)心加速度的徑向和切向分量，為桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。 （a） （b） 圖4-1和兩點(diǎn)瞬時(shí)重合，相對(duì)于的加速度與相對(duì)于的加速度等值反向，而，由指向。故有，由指向，且點(diǎn)的加速度無(wú)切向分量，而由基點(diǎn)法可知 （2）方向如圖4-1b所示，其中 ，。代入式（2）后，投影得， （3）根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，可列出 （4）聯(lián)立求解式（3）和式（4），可得 （5） （6）（3）、分析摩擦因數(shù)應(yīng)滿足的條件：若使桿始終不與圓柱脫離，則摩擦因數(shù)應(yīng)滿足 （7）因 ，對(duì)，有，（）。則故 五 小蟲(chóng)在

8、轉(zhuǎn)盤(pán)上爬行一光滑水平面上的圓盤(pán)，中心O用無(wú)摩擦軸固定，圓盤(pán)對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。在圓盤(pán)上P點(diǎn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小蟲(chóng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，如題5（a）圖所示。小蟲(chóng)在轉(zhuǎn)盤(pán)上爬行將引起轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)。請(qǐng)你分析計(jì)算。（1）本問(wèn)題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？（2）在時(shí)刻小蟲(chóng)開(kāi)始爬行，當(dāng)我們?cè)谵D(zhuǎn)盤(pán)中看到小蟲(chóng)的軌跡如題5圖（b）所示時(shí)（假設(shè)小蟲(chóng)相對(duì)轉(zhuǎn)盤(pán)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)），試求出轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。（2）若我們?cè)谵D(zhuǎn)盤(pán)中看到小蟲(chóng)的軌跡如題5圖（c）所示的圓弧時(shí)，試求出轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，并求出當(dāng)小蟲(chóng)沿圓弧爬行一周時(shí)，轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。 （a） （b） （c） 題5圖五、小蟲(chóng)爬行問(wèn)題解答解：(1) 關(guān)鍵詞：點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量矩守恒。（2） 取小蟲(chóng)為動(dòng)點(diǎn)，定參考系，動(dòng)參考系固連在轉(zhuǎn)盤(pán)上，與轉(zhuǎn)盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)題中提供的條件，轉(zhuǎn)盤(pán)和小蟲(chóng)的重力平行于轉(zhuǎn)軸，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩守恒。設(shè)在時(shí)刻，為小蟲(chóng)相對(duì)于定參考系的速度（即絕對(duì)速度），為小蟲(chóng)相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)參考系的速度，轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度為，r 為小蟲(chóng)相對(duì)于定參考系的位矢，為小蟲(chóng)相對(duì)于動(dòng)參考系的位矢，牽連速度。如圖3、圖4所示。根據(jù)點(diǎn)的速度合成公式，有 （1）由于系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，有 （2）在此問(wèn)題中，可以得到 進(jìn)一步有 （3）設(shè)與的夾角為，則上式可以化為 （4）所以，轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角位移為 （5）將式中的用小蟲(chóng)在動(dòng)參考系中爬行的路程表示，可得轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角位移