高二數(shù)學(xué)下 12.4《橢圓的性質(zhì)》教案（1） 滬教版

1、124 橢圓的性質(zhì)一、教學(xué)內(nèi)容分析掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)，掌握幾何意義以及的相互關(guān)系，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法.利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力.通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體驗(yàn)合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣；通過多媒體展示，學(xué)生逐漸體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美

2、，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)掌握橢圓的對稱性，頂點(diǎn)，范圍等幾何性質(zhì).能根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)對橢圓方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上會(huì)畫橢圓的圖形學(xué)會(huì)判斷直線與橢圓的位置，能夠解決直線與橢圓相交時(shí)的弦長問題，中點(diǎn)問題等.在對橢圓幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和探究能力的培養(yǎng)；培養(yǎng)探究新事物的欲望，獲得成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用難點(diǎn)：直線與橢圓相交時(shí)的弦長問題和中點(diǎn)問題橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的對稱性橢圓的頂點(diǎn)橢圓的范圍運(yùn)用與深化(例題解析、鞏固練習(xí))課堂小結(jié)并布置作業(yè)直線與橢圓的

3、位置關(guān)系四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、引入課題“曲線與方程”是解析幾何中最重要最基本的內(nèi)容其中有兩類基本問題：一是由曲線求方程，二是由方程畫曲線前面由橢圓定義推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程屬于第一類問題，本節(jié)課將研究第二類問題，由橢圓方程畫橢圓圖形，為使列表描點(diǎn)更準(zhǔn)確，避免盲目性，有必要先對橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)進(jìn)行討論.二、講授新課（一） 對稱性問題1：觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的對稱性？代后方程不變，說明橢圓關(guān)于軸對稱；代后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于軸對稱；、代，后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；問題2：從對稱性的本質(zhì)上入手，如何探究曲線的對稱性？以把x換成x為例，如

4、圖在曲線的方程中，把x換成x方程不變，相當(dāng)于點(diǎn)P（x，y）在曲線上，點(diǎn)P點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q（x，y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱其它同理.相關(guān)概念：在標(biāo)準(zhǔn)方程下，坐標(biāo)軸是對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.（二） 頂點(diǎn)問題1：觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程求出橢圓曲線與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)？在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，得 頂點(diǎn)概念：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).頂點(diǎn)坐標(biāo)；，.相關(guān)概念：線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.在橢圓的定義中，表示焦距，這樣，橢圓方程中的就有了明顯的幾何意義.問題2：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中令

5、能使方程簡單整齊，其幾何意義是什么？表示半焦距，表示短半軸長，因此，聯(lián)結(jié)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，在直角三角形內(nèi)，即.（三） 范圍問題1：結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的范圍？即確定兩個(gè)變量的允許值范圍變形為：這就得到了橢圓在標(biāo)準(zhǔn)方程下的范圍：同理，我們也可以得到的范圍：問題2：思考是否還有其他方法？方法一：可以把看成，利用三角函數(shù)的有界性來考慮的范圍；方法二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1，那么這兩個(gè)數(shù)都不大于1，所以，同理可以得到的范圍由橢圓方程中的范圍得到橢圓位于直線和所圍成的矩形里.三、例題解析例1 已知橢圓的方程為.（1） 求它的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)

6、和頂點(diǎn)坐標(biāo);（2） 寫出與橢圓有相同焦點(diǎn)的至少兩個(gè)不同的橢圓方程.解：解答見書本P48說明 這是本節(jié)課重點(diǎn)安排的基礎(chǔ)性例題，是橢圓的幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.例2（1）求以原點(diǎn)為中心，一個(gè)焦點(diǎn)為且長軸長是短軸長的倍的橢圓方程;（2）過點(diǎn)（2，0），且長軸長是短軸長的2倍的橢圓方程.解：（1）由題意可知：，由，有，;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）或.說明 此題利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系來解題，要注意焦點(diǎn)在軸上或軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.例3已知直線與橢圓，當(dāng)在何范圍取值時(shí)，（1） 直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2） 直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)；（3） 直線與橢圓無公共點(diǎn).解：由可得 ；（1）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；

7、（2）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓無公共點(diǎn).說明 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接說明兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去或得到關(guān)于或的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交（2）直線與橢圓相切（3）直線與橢圓相離，所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，運(yùn)用方程及其判別式是最基本的方法.例4若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解法一：由可得，即.解法二：直線恒過一定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，短半軸長，要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則即當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，長半軸長可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即綜述：

8、解法三：直線恒過一定點(diǎn)要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部即說明法一轉(zhuǎn)化為的恒成立問題；法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部這一特征：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則.例5 橢圓中心在原點(diǎn)，長軸長為10，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，求經(jīng)過此橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，且被點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.解：由已知，且焦點(diǎn)在軸上，橢圓方程為.設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、.是弦的中點(diǎn)，則，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減整理得：，即.所求的直線方程為，即.說明此題因?yàn)樯婕皺E圓的弦中點(diǎn)問題，除通法外，可以優(yōu)先考慮“點(diǎn)差法”.但需注意兩點(diǎn)：1）斜率是否存在？2）應(yīng)檢驗(yàn)直線和橢圓是否相交？即聯(lián)立直線和橢圓方程，得到

9、關(guān)于x或y的一元二次方程，檢驗(yàn)其根的判別式是否大于0？例6求橢圓中斜率為1的平行弦的中點(diǎn)的軌跡.解：見書本P50說明 此題因?yàn)樯婕皺E圓的弦中點(diǎn)問題，本題也可使用“點(diǎn)差法”.例7 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若過點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求ABF2的面積解法一：由題可知：直線方程為由,可得，,解法二：到直線AB的距離,由可得，又,.說明 在利用弦長公式（k為直線斜率）應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問題.例8 已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，求橢圓方程.解：為簡便運(yùn)算，設(shè)橢圓為，整理得： （1），設(shè)、， ，即，有.方程（1）變形為：.，有，得：，橢圓的方程為或.說明 應(yīng)注意兩點(diǎn)設(shè)而不求，善

10、于使用韋達(dá)定理.四、鞏固練習(xí)練習(xí)12.4（1）;練習(xí)12.4（2）五、課堂小結(jié)1橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（ab0）（ab0）圖形F1F2MyxOyxOF2F1M性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)（a，0）、（a，0）、（0，b）、（0，b）（0，a）、（0，a）、（b，0）、（b，0）焦點(diǎn)F1（c，0）、F2（c，0）F1（0，c）、F2（0，c）兩軸長軸長2a，短軸長2b焦距|F1F2|2c，c2a2b22直線與橢圓位置關(guān)系如何判斷3弦長問題和弦中點(diǎn)問題4有關(guān)弦中點(diǎn)問題，“點(diǎn)差法”的應(yīng)用六、課后作業(yè)練習(xí)冊相關(guān)習(xí)題補(bǔ)充作業(yè)：1橢圓與直線交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與

11、線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，求 值. 2.橢圓兩點(diǎn)，若的面積為20，求直線方程.3.已知橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，且，求橢圓的方程.4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ±5)的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓方程.5.已知橢圓.（1） 過橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（2） 求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.6為直線上的點(diǎn)，過且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，問在何處時(shí)所作橢圓的長軸最短？并求出相應(yīng)橢圓的方程.7已知橢圓C：，經(jīng)過其右焦點(diǎn)F且以為方向向量的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓C于N點(diǎn)（1

12、）證明：（2）求的值8已知A（2，0）、B（2，0），點(diǎn)C、點(diǎn)D滿足 （1）求點(diǎn)D的軌跡方程；（2）過點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的方程.9.設(shè)A，B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且，動(dòng)點(diǎn)P滿足記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C（1） 求軌跡C的方程；（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，16），M、N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍10.如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；（2）如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，使PCQ的平分線垂直于AO，證明

13、：存在實(shí)數(shù)，使六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明1、對教材的研究認(rèn)識(shí)：利用已知條件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫圖是解析幾何的兩大任務(wù)，利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)可以說是第一次，一般的教學(xué)過程往往是利用多媒體課件展示橢圓曲線，讓學(xué)生觀察、猜想橢圓的幾何性質(zhì)，然后再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行證明，體現(xiàn)從感性到理性符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律等，也可以說是用方程研究橢圓曲線性質(zhì)的一種思路，但未能很好的體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質(zhì)”的本質(zhì).因此，本人在教學(xué)一開始的問題設(shè)置就體現(xiàn)了利用方程研究曲線的意識(shí)，在三個(gè)性質(zhì)的研究中一直是用方程的結(jié)構(gòu)特征來得到性質(zhì)，真正培養(yǎng)學(xué)生如何利用方程研究曲線性質(zhì)的能力.同時(shí)，根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)的課時(shí)安排，本節(jié)課不研究橢圓的離心率，保證了學(xué)生的研究時(shí)間；與直線方程和圓方程的類比能夠使得學(xué)生掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，學(xué)生在自主探究過程中能夠聯(lián)想得到三角換元，說明該種教學(xué)方法還是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，同時(shí)體現(xiàn)了教材的本質(zhì).2、 課堂教學(xué)模式的設(shè)置：自主探究是傳統(tǒng)教學(xué)模式的一種補(bǔ)充，自主探究能夠使學(xué)生成為研究問題的主人，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)的核心，教學(xué)過程的設(shè)計(jì)要能夠體現(xiàn)教學(xué)本質(zhì)；能夠突出所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；組織教學(xué)的過程要能觸及學(xué)生的靈魂深處.因此，課堂教學(xué)中提倡問題教學(xué)，抓住學(xué)