橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題

1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題一例1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說(shuō)明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況典型例題二例2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，說(shuō)明：求橢圓的離心率問(wèn)題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可典型例題三例3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.

2、25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求說(shuō)明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題典型例題四例4橢圓上不同三點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率證明：（1）由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：， 同理 ，且， ，即 （2）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以它的垂直平分線方程為 又點(diǎn)在軸上，設(shè)其坐標(biāo)為，代入上式，得 又點(diǎn)，都在橢圓上， 將此式代入，并利用的結(jié)論得 典型例題五例5 已知橢圓，、為兩焦點(diǎn)，問(wèn)能否在橢圓上找一點(diǎn)，使到左準(zhǔn)線

3、的距離是與的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得，左準(zhǔn)線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)不存在說(shuō)明：（1）利用焦半徑公式解?？珊?jiǎn)化解題過(guò)程（2）本例是存在性問(wèn)題，解決存在性問(wèn)題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷（3）本例也可設(shè)存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）典型例題六例6 已知橢圓，求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理

4、得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說(shuō)明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”有關(guān)二次曲線問(wèn)題也適用典型例題七例7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)；（2）在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6分析：當(dāng)方程有兩種形式

5、時(shí)，應(yīng)分別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或由已知 又過(guò)點(diǎn)，因此有或 由、，得，或，故所求的方程為或（2）設(shè)方程為由已知，所以故所求方程為說(shuō)明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程或典型例題八例8 橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過(guò)作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上故所以說(shuō)明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理

6、事實(shí)上，如圖，即是到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)，使到的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值典型例題九例9 求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問(wèn)題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程典型例題十例10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問(wèn)題的能力，在求的最大值時(shí)，要注意討論

7、的取值范圍此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識(shí)解決一些綜合性問(wèn)題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是，其中待定由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則 其中如果，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾因此必有成立，于是當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，可得，所求橢圓方程是由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，為參數(shù)由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 如果，即，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成

8、立于是當(dāng)時(shí)（從而）有最大值由題設(shè)知，所求橢圓的參數(shù)方程是由，可得橢圓上的是，典型例題十一例11 設(shè)，求的最大值和最小值分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值解：由，得 可見(jiàn)它表示一個(gè)橢圓，其中心在點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)（0，0）點(diǎn)和（3，0）點(diǎn)設(shè)，則 它表示一個(gè)圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當(dāng)圓過(guò)（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即，此時(shí)；當(dāng)圓過(guò)（3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15典型例題十二例12 已知橢圓，、是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（1）過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)

9、作垂直于長(zhǎng)軸的弦，求證：不論、如何變化，（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)，使，求的離心率的取值范圍分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問(wèn)都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手本題的第（2）問(wèn)中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成解：（1）設(shè)， 于是，是到的角故 （2）設(shè)，則，由于對(duì)稱性，不妨設(shè)，于是是到的角， 整理得， ， ，或（舍），典型例題十三例13 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即滿

10、足條件的或說(shuō)明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)榕c9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上，也可能在軸上故必須進(jìn)行討論典型例題十四例14 已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的距離，即到左準(zhǔn)線的距離為解法二：，為到右準(zhǔn)線的距離，又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為說(shuō)明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生誤解橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，用橢圓第一定義；如果遇到

11、動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問(wèn)題，則用橢圓的第二定義典型例題十五例15 設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點(diǎn)與軸正向所成角，求點(diǎn)坐標(biāo)分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解解：設(shè)，由與軸正向所成角為，即而，由此得到，點(diǎn)坐標(biāo)為典型例題十六例16 設(shè)是離心率為的橢圓 上的一點(diǎn)，到左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離分別為和，求證：，分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離解：點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線的距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，說(shuō)明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用請(qǐng)寫出橢圓焦點(diǎn)在軸上的焦半徑公式典型例題十七例17已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、

12、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(1)求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓中的最值問(wèn)題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需

13、有、共線，即求到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為到右準(zhǔn)線距離為此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)說(shuō)明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過(guò)向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧用焦點(diǎn)半徑與點(diǎn)準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)問(wèn)題的重要手段典型例題十八例18 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問(wèn)題便化歸為三角問(wèn)題解：(1) (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說(shuō)明：通過(guò)橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的

14、最值問(wèn)題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題，用參數(shù)方程形式較簡(jiǎn)便典型例題十九例19 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為（），（）思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，化簡(jiǎn)可得又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過(guò)程很繁思路二：利用焦半徑公式，在中運(yùn)用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解解：(法1)設(shè)橢圓方程為（），則，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故橢圓離心率的取范圍是(2)將代入得，即即的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)(法2)設(shè)，則(1)在中，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故橢圓離心率的取值范圍是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)說(shuō)明：橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理解題中通過(guò)變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的