計算方法試題集及答案

1、復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、，則A的LU分解為 。答案：2、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得 。答案：2.367，0.253、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項式為 。答案：-1， 4、近似值關(guān)于真值有( 2 )位有效數(shù)字；5、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案6、對,差商( 1 ),( 0 )；7、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；8、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為( )；9、求解一階常微分方程初值問題= f (x,y)，y(x0)=y0的改進的歐拉公式為( )；10、已知f(

2、1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為( 0.15 )；11、 兩點式高斯型求積公式( )，代數(shù)精度為( 5 )；12、 解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。13、 為了使計算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達式改寫為 ，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式改寫為 。14、 用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5，0.75 。 15、 計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309

3、 ，梯形公式的代數(shù)精度為 1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 3 。16、 求解方程組的高斯塞德爾迭代格式為 ，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑= 。17、 設(shè),則 ，的二次牛頓插值多項式為 。18、 求積公式的代數(shù)精度以( 高斯型 )求積公式為最高，具有( )次代數(shù)精度。19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求( 12 )。20、 設(shè)f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求( 2.5 )。21、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（ 10 ）次。22、已知是三次樣條函數(shù)，則=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）。23、是以整數(shù)

4、點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則( 1 )，( )，當(dāng)時( )。24、解初值問題的改進歐拉法是 2階方法。25、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_2_階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。26、改變函數(shù) ()的形式，使計算結(jié)果較精確 。27、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 10 次。28、設(shè)是3次樣條函數(shù)，則a= 3 , b= -3 , c= 1 。29、若用復(fù)化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用 477個求積節(jié)點。30、寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 收斂 。31、設(shè),則 9 。32、設(shè)矩陣的，

5、則 。33、若，則差商 3 。34、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為 2 。35、 線性方程組的最小二乘解為 。36、設(shè)矩陣分解為，則 。二、單項選擇題：1、 Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（ C ）。 AA的各階順序主子式不為零 B C D 2、設(shè)，則為( C ) A 2 B 5 C 7 D 33、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為( B )。 A 2 B5 C 3 D 44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是( B )。A 對稱陣 B 正定矩陣 C 任意陣 D 各階順序主子式均不為零 5、舍入誤差是( A )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù) B模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確

6、值C 觀察與測量 D數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實際值 6、3.141580是的有( B )位有效數(shù)字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( C )誤差。A 模型 B 觀測 C 截斷 D 舍入 8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是( A )。A控制舍入誤差 B 減小方法誤差C防止計算時溢出 D 簡化計算 9、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( D )誤差。 A 舍入 B 觀測 C 模型 D 截斷 10、-3247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效數(shù)字。 A 5 B 6 C 7 D 811、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4

7、,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為( A )。 A 05 B 05 C 2 D -2 12、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )的3位有效數(shù)字是0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)與x軸交點的橫坐標(biāo) (B) y=x與y=j(x)交點的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點的橫坐標(biāo) (D) y=x與y=j(x)的交點15、

8、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式的余項是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 17、等距二點求導(dǎo)公式f(x1) ( A )。18、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。19、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,

9、1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。(A) (B)(C)(D)20、求解初值問題歐拉法的局部截斷誤差是();改進歐拉法的局部截斷誤差是();四階龍格庫塔法的局部截斷誤差是( A )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)21、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 22、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當(dāng)系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)（ ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列數(shù)表x00.511.52

10、2.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次24、若用二階中點公式求解初值問題，試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長的取值范圍為（ ）。(1), (2), (3), (4)25、取計算，下列方法中哪種最好？（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。27、由下列數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (

11、D) 。28、形如的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。29、計算的Newton迭代格式為( )(A) ；(B)；(C) ；(D) 。 30、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。31、經(jīng)典的四階龍格庫塔公式的局部截斷誤差為 ( )(A)； (B)； (C) ； (D) 。32、設(shè)是以為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則( )(A)； （B）； （C）； （D）。 33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有( )次代數(shù)精度(A)5； (B)4； (C)6； (

12、D)3。34、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(A)； (B)； (C)； (D)。36、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為( )(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打，否則打）1、 已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差

13、。 ( )3、 表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( )4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。 ( ) 5、矩陣A=具有嚴格對角占優(yōu)。 ( )四、計算題：1、 用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即 得求積公式為當(dāng)時，公

14、式顯然精確成立；當(dāng)時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。 3、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 4、取步長，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題 答案：解： 即 n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.0279 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100

15、34341正規(guī)方程組為 6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最??？并求該近似值。答案：解： 應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差 盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果， 且 7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為 則當(dāng)時，故迭代格式 收斂。取，計算結(jié)果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424

16、7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 .所以. 8利用矩陣的LU分解法解方程組 。答案：解： 令得，得. 9對方程組 （1） 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：. 10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當(dāng)0x

17、1時，ex，則 ，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需將 0,1 68等份。 11、用列主元素消元法求解方程組 。解： 回代得 。 12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。解： 又 故截斷誤差 。13、用歐拉方法求在點處的近似值。解：等價于 ()記,取,.則由歐拉公式, 可得 ,14、給定方程1) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程 （1）改寫為 （2） 作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2) 將方程（2）改寫為 構(gòu)造迭代格式

18、 計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當(dāng)時，且所以迭代格式 對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，

19、時，至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組 =，取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526 19、用預(yù)估校正法求解(0x1)，h=0。2，取兩位小數(shù)。解：預(yù)估校正公式為 其中，h=0.2，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法

20、求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 21、（15分）用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：， ，23、（8分）已知方程組，其中，（1） 列出Jacobi

21、迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， 24、1、（15分）取步長，求解初值問題用改進的歐拉法求的值；用經(jīng)典的四階龍格庫塔法求的值。解：改進的歐拉法：所以；經(jīng)典的四階龍格庫塔法：，所以。25、數(shù)值積分公式形如 試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)，推導(dǎo)余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項式滿足其中則有：， 26、用二步法 求解常微分方程的初值問題時，如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的解：所以 主項： 該方法是

22、二階的。27、（10分）已知數(shù)值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立； 時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為： 證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。證明： 故對一切。又 所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為 。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2, 對任意的初值,迭代

23、公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。 或利用余項： ，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 1

24、2.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687534、(8分)求方程組 的最小二乘解。， 若用Householder變換，則：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.35、(8分)已知常微分方程的初值問題： 用改進的Euler方法計算的近似值，取步長。，36、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f(x)=1,x，令公式準(zhǔn)確成立，得：， ，f(x)=x2時，公式左右=1/4; f(x)=x3時，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代數(shù)精度=237、（15分）已知方程組，其中，（1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 （2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為， ，Ja