量子力學(xué)講義五六章

1、第5章 微擾理論 到現(xiàn)在為止，我們利用薛定諤方程求出了六大體系的本征值和本征函數(shù)1、 一維自由粒子體系： ， ， ， 2、 一維無限深勢阱 ， ， ，3、 一維線性諧振子體系：， ， ，4、 平面剛性轉(zhuǎn)子 ， ， ， ，5、 空間剛性轉(zhuǎn)子 ， ， ， ， ，6、 氫原子與類氫原子 ， ， ， ，在量子力學(xué)中，能精確求解的問題為數(shù)是有限的，要么非常特殊，要么非常簡單。我們在這章中，介紹一些常用的近似處理方法。也就是說，當(dāng)將量子力學(xué)原理用于實(shí)際問題中，我們必須進(jìn)行一些近似處理，才能得到所要的結(jié)果，才能將問題解決。微擾論是從簡單問題的精確解出發(fā)來求較復(fù)雜問題的近似解。一般分為兩大類：一類是體系的哈密

2、頓算符是時(shí)間的顯函數(shù)的情況，這叫含時(shí)微擾，可以用來解釋有關(guān)躍遷的問題；另一類是體系的哈密頓算符不是時(shí)間的顯函數(shù)，這叫定態(tài)微擾，用來決定體系的定態(tài)能級和相應(yīng)的波函數(shù)至所需要的精確度。§1 非簡并定態(tài)微擾理論本節(jié)討論的是與無關(guān)設(shè)，要求其本征值和本征函數(shù) ,一般沒有解析解，為解決這問題，我們將表示為其中很接近，且有解析解。而是小量，為易于表其大小的量級，無妨令, 設(shè)的本征值和本征函數(shù)為，構(gòu)成一正交，歸一完備組?，F(xiàn)求解即求，的步驟是通過逐級逼近來求精確解，即將，對展開。由于涉及的項(xiàng)較小，因此，應(yīng)接近，接近。所以，可以從，出發(fā)求，。當(dāng)，即，,非簡并微擾論就是處理的那一條能級是非簡并的（或即使有

3、簡并，但相應(yīng)的簡并態(tài)并不影響處理的結(jié)果）。我們可將求和號上的撇表示求和不包括態(tài)，即是與正交的。其中為歸一化常數(shù)，它隨準(zhǔn)確到那一級而定。代入上式得 于是有 1. 一級微擾近似以標(biāo)積以（）標(biāo)積因此，在一級近似下 (歸一化 準(zhǔn)至一級)所以，在這條能級為非簡并時(shí)，其能量的一級修正恰等于微擾在無微擾狀態(tài)的平均值。2二級微擾當(dāng)微擾較大時(shí)，或一級微擾為零時(shí)，則二級微擾就變得重要了，由項(xiàng)得以進(jìn)行標(biāo)積得以進(jìn)行標(biāo)積得準(zhǔn)至二級的能量和波函數(shù) 由, 準(zhǔn)至二級的歸一化波函數(shù)為 顯然，要使近似解逼近真實(shí)解，就要恰當(dāng)選取，而且要求，這樣取一級近似才可以滿足精度要求。由微擾的能量二級修正公式可以看出，對于基態(tài)，即。所以，二級

4、微擾是負(fù)的，使能級下降。例1：考慮一個(gè)粒子在位勢解:準(zhǔn)至一級修正的能量為a微擾論的應(yīng)用限度：如準(zhǔn)到一級，可以看出，完全是分立能級. 但事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，粒子是自由的，因此是連續(xù)的，可取任何值。而要其比較精確，必須即 b經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的差別：經(jīng)典粒子不能運(yùn)動到之外區(qū)域，而量子力學(xué)中，粒子有一定幾率在區(qū)域中。事實(shí)上，由于，由定理可證得例2已知一個(gè)在核（）庫侖場中運(yùn)動， 相應(yīng)能量為 當(dāng)原子核發(fā)生衰變后，該在的庫侖場中運(yùn)動，這時(shí) 的哈密頓量為 試用微擾論求衰變后原子的能級解:一級微擾論的能量修正 即 ()于是事實(shí)上，這問題是可以精確求解的近似解與精確解的差由此可見：越大，微擾的精確性越大，到一級就很精

5、確，所以低級近似就可以達(dá)到較精確的程度；應(yīng)該指出，現(xiàn)在處理的問題中，能級實(shí)際上是簡并的（簡并度為）。但仍用了非簡并微擾論來處理，這是因?yàn)槲_作用的矩陣元也就是說，對于態(tài)，由于微擾的影響僅來自，而,的態(tài)根本不起作用，因而態(tài)（無論是否等于，只要,）這些態(tài)都形同虛設(shè)，那也是形同虛設(shè)。在這時(shí)，微擾可用非簡并微擾處理。所以，所謂可用非簡并微擾論處理的問題，是指我們要處理的態(tài)（現(xiàn)為）所在能級的其他態(tài)（現(xiàn)為，）在微擾中的任何一級都不起作用，即（若，）例3求氦原子的哈密頓量設(shè)：,解: 設(shè) 的基態(tài)為,即 于是 以方向?yàn)閦方向由 準(zhǔn)至一級的能量, 例：剛體轉(zhuǎn)子的斯塔克效應(yīng)（Stark effect）將體系置于外電

6、場中，能級發(fā)生移動的現(xiàn)象稱為Stark effect。解: 轉(zhuǎn)子的角動量為，電偶極矩為，當(dāng)置于均勻外電場中 （取電場方向?yàn)閦）顯然 （有重簡并）,由于 而因此，運(yùn)算到的本征態(tài)上，不改變其本征值所以，也是的本征態(tài)，本征值仍為。由遞推關(guān)系而因此盡管每一條能級有重簡并。但是，對某一態(tài)有相互作用的是那些同，但不同的能級。所以，如考慮未微擾的能級態(tài)為，則只需要在所有不同，但同的狀態(tài)中來考慮。這樣盡管能級是簡并的，而就一個(gè)態(tài)而言，可看作“沒有簡并”的態(tài)，其他的態(tài)對它沒有任何影響（在微擾下），從而可用非簡并微擾論來處理。由這可看出，簡并部分解除（同不同的能量不同，但相同）和態(tài)仍簡并，即重簡并條（不簡并，而其

7、他的為二重簡并）。簡并的解除，實(shí)際上是的對稱性被破壞。如沒有完全解除，那實(shí)際上對稱性沒有完全被破壞。§1. 非簡并束縛態(tài)微擾理論 現(xiàn)在我們先介紹定態(tài)微擾。設(shè)體系的哈密頓算符不顯含時(shí)間，其能量本征方程為 (1)E為能量本征值。這個(gè)方程要精確求解是很困難的，但若體系的哈密頓可以分為兩部分 （2）其中0的本征值和本征函數(shù)比較容易解出，或已有現(xiàn)成的解。從經(jīng)典物理來理解，與0相比，是一個(gè)小量，稱為微擾，（在量子力學(xué)中，微擾的確切含義，見后面的討論。）因此，可以在0的本征解的基礎(chǔ)上，把的影響逐級考慮進(jìn)去，以求出方程(1)的盡可能精確的近似解。微擾論的具體形式有多種多樣，但其基本精神都相同，即按微

8、擾（視為一級小量）進(jìn)行逐級展開。 設(shè)0的本征方程 ， 的本征值和正交歸一本征態(tài)已解出。可能是不簡并的，也可能是簡并的。當(dāng)時(shí)， ，；當(dāng)時(shí)，引入微擾，使體系能級發(fā)生移動，由，狀態(tài)由。 為了明顯地表示出微擾程度，將寫為 l是一個(gè)很小的實(shí)參數(shù) (3)由于E和y都和微擾有關(guān)，可以把它們看作是表征微擾程度的參數(shù)的函數(shù)。將它們展為的冪級數(shù)： (4) (5)把式(4)和(5)代入(1)式得， 根據(jù)等式兩邊l同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式: ： 未受微擾 ： ： ：整理后得 未受微擾 我們引入了小量l，令：只是為了便于將擾動后的定態(tài)Schrödinger方程能夠按l的冪次分出各階修正態(tài)矢

9、所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，l就可不用再明顯寫出，我們把l省去，把(1)理解為即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量， 未受微擾 (6a) (6b) (6c) (6d)其中 分別是能量的0級近似，能量的一級修正和二級修正等； 而分別是狀態(tài)矢量0級近似，一級修正和二級修正等以下約定：波函數(shù)的各級高級近似解與零級近似解都正交，即 ， (7)式(6b)，(6c)，(6d)兩邊左乘，并利用式(7)，可以得出Þ (8a)Þ (8b)Þ (8c)式 (6c)兩邊左乘Þ (9)式 (6b)兩邊左乘，利用(8c)式，得 Þ (10)利

10、用0的厄米性，式(9)與式(10)的左邊應(yīng)相等，因而得出Þ (11)利用此式，可以直接用微擾一級近似波函數(shù)（而不需用二級近似波函數(shù)）來計(jì)算能量三級近似。根據(jù)體系在未受到微擾時(shí)所處的能級是非簡并的還是簡并的，其處理方法又有所不同。下面先討論是非簡并的情況。 首先假設(shè)，在不考慮微擾時(shí)，體系處于非簡并能級，即 (12)（可以是任何一個(gè)非簡并能級，但在計(jì)算前要取定），因而相應(yīng)的零級能量本征函數(shù)是完全確定的，即 (13)以下分別計(jì)算各級微擾近似。1、 一級近似根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定， 0的本征矢是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開，也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級修正展開為： (14)注意

11、：上式求和中可能是不簡并的，也可能是簡并的。為表述簡潔，上式中的n標(biāo)記一組完備量子數(shù)，簡并量子數(shù)未明顯寫出。 將式(12)，(13)，(14)代入式(6b)得 兩邊左乘（求標(biāo)積），利用0本征態(tài)的正交歸一性，得 (15)式中。式(15)中，時(shí)，得 (16)而時(shí)，得 (17) (6b) 是方程(6b)的解，也是方程(6b)的解（因?yàn)?），a為任意的常數(shù)，我們總可以選取a使得上面展開式中不含，a為任意的常數(shù)，可以令 (18)上式中求和號上角加上一撇表示對n求和時(shí)，n=k項(xiàng)必須摒棄。因此，按(7)式的約定，在一級近似下，能量本征值和本征函數(shù)分別為 (19) (20) 2、 二級近似 將式(12)，(1

12、3)，(16)代入式(8c)得 (21) 注意、的前后位置此即能量的二級修正。所以在準(zhǔn)確到二級近似下，能量的本征值為 (22)同理，用式(12)，(16)，(17)代入式(8c)得 (23)此即能量的三級修正。類似，可得到能量的各級修正。二、非簡并定態(tài)微擾論的適用條件總結(jié)上述，在非簡并情況下，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出： (24) (25)欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項(xiàng)，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此我們得到微擾理論適用條件是： (26)這就是本節(jié)開始時(shí)提到的關(guān)于很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時(shí)，由上式計(jì)算得到的一

13、級修正通?？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。微擾適用條件表明：（1）要小，即微擾矩陣元要小；（2）要大，即能級間距要寬利用微擾論解決定態(tài)問題必須注意的事項(xiàng)：1、不顯含時(shí)間，屬于定態(tài)問題；2、能寫成，而且的本征值和本征函數(shù)為已知或好求的，必須盡可能地小（為微小量），應(yīng)該把中的大部分包含進(jìn)去。3、考慮體系未受微擾時(shí)所處能級的簡并度。討論：（1）在一階近似下：表明擾動態(tài)矢|yk>可以看成是未擾動態(tài)矢|yk (0)>的線性疊加。 （2）展開系數(shù) 表明第n個(gè)未擾動態(tài)矢|yn(0)>對第k個(gè)擾動態(tài)矢|yk> 的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|yn(0)&g

14、t;混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無須計(jì)算無限多項(xiàng)。（3）由可知，擾動后體系能量是由擾動前第k態(tài)能量加上微擾Hamilton量在未微擾態(tài)|yk (0)>中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來能級上移或下移。（4）對滿足適用條件 微擾的問題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級能量修正 就需要求二級修正，態(tài)矢求到一級修正即可。例1：一電荷為q的一維線性諧振子受恒定弱電場e作用，電場沿正x方向，體系的哈密頓算符為，用微擾法公式求體系的能量至二級修正。提示：對諧振子的第n個(gè)本征態(tài)，有，其中例2：設(shè)哈密頓量在能量表象中的矩陣形式為 ，其中a、b為小的實(shí)數(shù)，且，求（1）用微擾公式求能量至二

15、級修正；（2）直接求能量，并和（1）所得結(jié)果比較。提示：當(dāng)c << 1時(shí)，§2.簡并態(tài)微擾理論 假設(shè)不考慮微擾時(shí)，體系處于某簡并能級，即 (27)與非簡并態(tài)不同的是，此時(shí)零級波函數(shù)，不能完全確定，但其一般形式必為 (28)設(shè)是歸一化的，且相互正交。用式(27)，(28)代入式(6b)，得 (6b) 左乘，（取標(biāo)積），考慮到式(7)的約定，得 (29) 以為未知量的一線性齊次方程組, 寫成矩陣形式 (30) 久期方程求這是一個(gè)以系數(shù)為未知量的一次齊次方程組，方程組有非零解的條件是其系數(shù)行列式等于零， (31)即 久期方程 (32)上式是的fk次冪方程。（有些書上稱之為久期方

16、程，是從天體力學(xué)的微擾論中借用來的術(shù)語。）根據(jù)的厄米性，方程(32)必然有fk個(gè)實(shí)根，記為，分別把每一個(gè)根化入方程(30)，即可求得相應(yīng)的解，記為，。于是得出新的零級波函數(shù) (33)它相應(yīng)的準(zhǔn)確到一級微擾修正的能量為 (34) 如fk個(gè)根無重根，則原來的fk重簡并能級將完全解除簡并，分裂為fk條。所相應(yīng)的波函數(shù)和能量本征值由式(33)和(34)給出。但如有部分重根，則能級簡并未完全解除。凡未完全解除簡并的能量西征值，相應(yīng)的零級波函數(shù)仍是不確定的。（1）都不等，簡并完全消除，能級完全分裂；（2）部分相等，簡并部分消除，能級部分分裂；（3）都相等，簡并完全不消除，能級完全不分裂。對于第（2）、（3

17、）種，必須進(jìn)一步考慮能量的二級、三級修正，才有可能使能級完全分裂開來。一般情況下，求到能量的一級近似和波函數(shù)的零級近似就可以了。§3.氫原子的一級斯塔克(Stark)效應(yīng)1、Stark效應(yīng)德國物理學(xué)家J.Stark 1913年首先在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)：如果把原子置于外電場中，它發(fā)出的光譜線將會發(fā)生分裂。把原子置于外電場中，則它發(fā)射的光譜線會發(fā)生分裂，此即Stark 效應(yīng)。下面考慮氫原子光譜的Lyman線系的第一條譜線(n=2® n=1)的Stark分裂。實(shí)驗(yàn)表明，在不太強(qiáng)的外電場作用下，氫原子的譜線分裂寬度正比于場強(qiáng)的一次方，這種現(xiàn)象稱為氫原子的一級Stark效應(yīng)。本節(jié)我們將用有簡

18、并的定態(tài)微擾論來解釋這個(gè)效應(yīng)。2、外電場下氫原子Hamilton量在沒有外場作用的情況下 ，在外場作用下，設(shè)外電場e是均勻的，方向沿z軸 （電子在外加電場中的附加勢能）3、0的本征值和本征函數(shù) 共度簡并(1)、基態(tài)：基態(tài)非簡并態(tài)，在外電場作用下能級不會發(fā)生分裂，只有少許移動，移動是由二級修正引起的 態(tài)， （2）、第一激發(fā)態(tài)（n=2）的情況，這時(shí)簡并度n2=4 屬于該能級的4個(gè)簡并態(tài)是： 為了方便，對它們進(jìn)行編號，依次為。求 在各態(tài)中的矩陣元 由簡并微擾理論知，求解久期方程，須先計(jì)算出微擾Hamilton 量在以上各態(tài)的矩陣元。 利用球諧函數(shù)的正交歸一性及以下公式 欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正

19、交歸一性 要求量子數(shù)必須滿足如下條件： ®僅當(dāng)l = ±1, m = 0 時(shí)， 的矩陣元才不為 0。因此 矩陣元中只有,不等于0。因?yàn)?，所?將的矩陣元代入久期方程得： 解得 4 個(gè)根： 可見，在外電場的作用下，原來是4度簡并的能級E2(0)，考慮到一級修正后將分裂為三個(gè)能級。簡并部分地被消除。 原來簡并的能級在外電場作用下分裂為三個(gè)能級。一個(gè)在原來的上面，另一個(gè)在原來的下面。能量差都是。這樣沒有外電場時(shí)的一條譜線，在外電場中就分裂成三條；它們的頻率一條比原來稍小，一條稍大，另一條與原來的相等。求相應(yīng)于各分裂能級的零級近似波函數(shù)分別將 E2(1) 的 4 個(gè)值代入方程組：

20、(29) 以為未知量的一線性齊次方程組寫成矩陣形式 (30) <1>、當(dāng)時(shí) ， <2>、當(dāng)時(shí) (3)、當(dāng)時(shí) ，但a3與a4不能唯一確定 可取不同時(shí)為零的任意常數(shù)。不妨仍取原來的零級波函數(shù)，即與，亦即§4 變分法定態(tài)微擾論有效，是必須找到，有解析解，且逼近。但這并不是容易做到的。另一種求法是用變分法求定態(tài)解。1.定理體系的哈密頓量在某一試探波函數(shù)的平均值必大于等于體系基態(tài)能量 證：設(shè) 是的本征態(tài)，本征值為 顯然，形成正交完備組，于是 當(dāng)時(shí)，等號成立。因此，當(dāng)我們用一試探波函數(shù)去找能量平均值時(shí)，一般總比基態(tài)能量大，再通過求變分，以得盡可能小的平均值及相應(yīng)波函數(shù)。當(dāng)

21、然，這平均值仍大于等于基態(tài)能量，即由變分給出的平均值是基態(tài)能量的上限。2. Ritz變分法現(xiàn)可利用變分原理到具體問題上，以求體系的近似本征能量和本征函數(shù)?；舅枷耄焊鶕?jù)物理上的考慮給出含一組參量的試探波函，求出能量平均值，以表示 對，求極值，從而確定,顯然，（基態(tài)能量）當(dāng)然，如果要求第條能級的近似本征值和本征函數(shù)，則要求知道第一條（基態(tài)）第條能級的波函數(shù)，（設(shè)已歸一化）。取試探波函數(shù)，然后處理一下，給出新的波函數(shù)再求的極值，定出，從而給出第條能級的近似本征值（即上限）及近似波函數(shù) 是第條能級的上限。§5.氦原子基態(tài)能量(變分法)我們知道，氦原子外有兩個(gè)電子,氦原子的哈密頓量為（忽略

22、） ,從物理上考慮，當(dāng)二個(gè)電子在原子中運(yùn)動，它們互相屏蔽，使每個(gè)電子感受到原子核的作用不是兩個(gè)單位的正電荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它當(dāng)作待定參量，利用Ritz變分法來求基態(tài)能量的近似值。用類氫離子的基態(tài)波函數(shù) , 若類氫離子的波函數(shù)，則滿足 取試探波函數(shù)為 顯然， 于是（這里是已歸一化的） §6.含時(shí)微擾論前面，我們解決的是與無關(guān)，但不能直接求解，而利用有解析解，并且較小，通過微擾法求解的近似結(jié)果。有時(shí)也能用試探波函數(shù)，通過變分來獲得。現(xiàn)在要處理的問題是：體系原處于的本征態(tài)（或疊加），而有一與有關(guān)的微擾附加到該體系。顯然，這時(shí)體系的能量不是運(yùn)動常數(shù)，其狀態(tài)并不處于定態(tài)（即

23、使在一段時(shí)間中不變），在的各定態(tài)中的幾率并不是常數(shù)，而是隨時(shí)間變化的。而且無法獲得解析結(jié)果。有時(shí)附加作用在一段時(shí)間之后結(jié)束，這時(shí)體系處于的本征態(tài)的幾率又不隨時(shí)間變化。當(dāng)然，這與作用前的幾率已有所不同。也就是，體系可以從一個(gè)態(tài)以一定幾率躍遷到另一態(tài)，這稱為量子躍遷。這就需要利用含時(shí)間的微擾論?？傊?，含時(shí)間的微擾論就是處理體系所處的位勢隨時(shí)間發(fā)生變化時(shí)，或變化后，體系所處狀態(tài)發(fā)生的變化。與有關(guān)，體系原處于，隨加一微動 , 因不顯含，而有 則 的通解為 的定態(tài) 而 是常數(shù) 不隨變當(dāng)時(shí)，即，處于時(shí) 即微擾不存在時(shí)，體系處于定態(tài)上。當(dāng)微擾存在時(shí)，特別是與有關(guān)時(shí)，則體系處于的各本征態(tài)（或定態(tài)） 的幾率將可

24、能隨時(shí)間發(fā)生變化。設(shè) 當(dāng)然，仍可按的定態(tài)展開，但由于不是的定態(tài)，所以展開系數(shù)是與有關(guān)。代人S.eq.，并與標(biāo)積，得 得方程 （為的本征態(tài)）是時(shí)刻，以描述的體系，處于的本征態(tài)中的幾率振幅。實(shí)際上，上式是S.eq.在表象中的矩陣表示，這方程的解依賴初態(tài)和。假設(shè)很小，可看作一微擾，則可通過逐級近似求解。令 則有 于是有解 與無關(guān)由初條件時(shí)，體系處于，即得 即 于是有 又由 由此類推 而 若很小，即躍遷幾率很少，我們只要取一級近似即可，則 這表明，體系在時(shí)刻處于態(tài)，在時(shí)刻，體系可處于的定態(tài)，而其幾率振幅為（）。因此，我們在時(shí)刻，測量發(fā)現(xiàn)體系處于這一態(tài)的幾率為 例：一線性諧振子，被時(shí)間相關(guān)的位勢所擾動而

25、 （即），體系處于基態(tài)。 求，振子處于第個(gè)激發(fā)態(tài)的幾率？ 當(dāng)很大 我們看到，微擾是漸漸加上，體系經(jīng)微擾后仍處于基態(tài)（沒有簡并），稱Adiabatic Approximation（當(dāng)有簡并時(shí)，并不如此，而是連續(xù)地過渡到時(shí)的本征態(tài)上）。 當(dāng)很小，即微擾在很短時(shí)間加上，即在非常快的過程（微擾施加），則體系狀保持不變，這稱為Sudden approximation。因很小。 末態(tài)初態(tài)。 當(dāng)突然加一外場，波函數(shù)不變 在的能級幾率為 求體系處于第個(gè)激發(fā)態(tài)的幾率。由于 一級微擾為，一級躍遷幾率為以此類推，僅當(dāng)時(shí)才不為（最低級近似為第十級近似 ）即最低要到第十級近似下才不為 例2：處于基態(tài)（）的氫原子，受位勢

26、（）（為實(shí)參數(shù)）擾動 求時(shí)，處于態(tài)的幾率 求 選擇定則：由 對選擇定則為： 當(dāng)很大（即微擾時(shí)間很短），所以氫原子受擾動后仍處于基態(tài)（Sudden 近似）當(dāng)很小（微擾緩慢加上），所以氫原子擾動仍處于基態(tài)（非簡并態(tài)）§7.微擾引起的躍遷幾率1.常微擾下的躍遷率：在某些實(shí)驗(yàn)中，微擾常常是不依賴于的（在作用時(shí)間內(nèi)） （即從開始加上一個(gè)與無關(guān)的外作用） （，） 時(shí)，體系處于本征態(tài)，而在時(shí)刻，體系處于本征態(tài)的幾率為 （當(dāng)時(shí)，一級近似就滿足了） (躍遷幾率) 而我們知 即很大時(shí)， 由此可見，時(shí)，最大，而時(shí)，小 （時(shí)，為，） 時(shí)，最大這表明，當(dāng)大時(shí)，保持時(shí)的變化不大的躍遷幾率較大。而這范圍很小（）,

27、總躍遷幾率為( 是末態(tài)能量為的態(tài)密度，要注意的是的能級密度，而不是的。)而單位時(shí)間躍遷幾率（稱為躍遷速率或躍遷率） 我們也知 所以，當(dāng)足夠大，則有 （）它表明： 單位時(shí)間躍遷幾率與時(shí)間無關(guān)。通常稱為Fermi黃金定則。 當(dāng)一定大后，躍遷貢獻(xiàn)是來自同初態(tài)能量相同的末態(tài)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，使公式成立的條件：足夠大，（）雖然很小，但主要貢獻(xiàn)都包括；但不能太大，以保證，所以要求要小，使一級近似滿足要求。2周期性微擾下的躍遷率設(shè)微擾隨時(shí)間作周期性變化 （與無關(guān)）在一級近似下 根據(jù)前面分析，當(dāng)足夠大時(shí)，引起體系從的態(tài)發(fā)生躍遷的總躍遷率到的態(tài)，是，即。一般而言，對原子來說，其躍遷的能量單位為 而可見光 Å

28、 .因此 ，當(dāng) ， 則 很大 ， 則 很大所以僅一項(xiàng)起作用當(dāng)足夠大時(shí)，總躍遷率（從態(tài)出發(fā)）例：設(shè)有均勻的周期性電場作用在一個(gè)氫原子上，該氫原子在時(shí)處于基態(tài)，試用微擾論求氫原子電離的躍遷率。 解：由于討論的是電離，即氫原子中電子被電離而具有確定動量的自由電子，為簡單起見，設(shè)末態(tài)是具有確定動量的平面波。如末態(tài)為平面波： 由這可見，在空間中態(tài)密度為。 因此，末態(tài)在中的態(tài)數(shù)為所以躍遷到立體角中的躍遷率為 注意：這時(shí) 由 ， 可以看到，在處幾率達(dá)到極大。第6章 散射在近代物理研究中，研究一個(gè)粒子或多個(gè)粒子與散射中心作用是很重要的。這些研究提供了大量的基本數(shù)據(jù)。如用散射資料推出核力的一些知識，如強(qiáng)子結(jié)構(gòu)，

29、原子核和基本粒子的電荷分布等等。甚至給出核子或核子對處于原子核某狀態(tài)的幾率。給出雙重子可能存在的結(jié)構(gòu)圖象。§1. 散射截面在束縛態(tài)問題中，我們是解本征值問題，以期與實(shí)驗(yàn)比較。而在散射問題中，能量是連續(xù)的，初始能量是我們給定的（還有極化），這時(shí)有興趣的問題是粒子分布（即散射到各個(gè)方向的強(qiáng)度）。所以散射問題（特別是彈性散射），主要關(guān)心的是散射強(qiáng)度，即關(guān)心遠(yuǎn)處的波函數(shù)。1. 散射截面定義：用散射截面來描述粒子被一力場或靶散射作用是很方便的。反之，知道散射截面的性質(zhì)，可以推出力場的許多性質(zhì)。而我們對原子核和基本粒子性質(zhì)，很多是這樣推出的。這也是量子力學(xué)中的逆問題。一束不寬的（與散射區(qū)域比較）

30、，具有一定能量的粒子，轟擊到一個(gè)靶上（當(dāng)然與散射中心尺度比較起來，是寬的）。為簡單起見，達(dá)到散射中心時(shí)，可用一平面波描述。設(shè)入射粒子通量為（單位時(shí)間，通過與靶相對靜止的垂直于傳播方向上的單位面積的入射粒子數(shù)）（對于單粒子，顯然即為幾率流密度）。這時(shí)，單位時(shí)間經(jīng)散射而到達(dá)方向中的粒子數(shù) 即 比例常數(shù)一般是的函數(shù)；如入射方向?yàn)檩S（且束和靶都不極化），僅為的函數(shù)，它的量綱為，即面積量綱 散射截面定義：單位時(shí)間內(nèi)，單個(gè)散射中心將入射粒子散射到方向上的單位立體角中的粒子數(shù)與入射粒子的相對通量（幾率流密度）之比。即 而散射總截面 對于固定散射中心，實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系是一樣的。但如果兩個(gè)粒子散射，則不

31、一樣，理論上處理問題一般在質(zhì)心坐標(biāo)系（較簡單），而實(shí)驗(yàn)上常常靶是靜止的。所以在比較時(shí)，需要將這兩個(gè)坐標(biāo)系進(jìn)行換算。2散射振幅：我們現(xiàn)在討論一種穩(wěn)定情況，即入射束的粒子不斷入射，長時(shí)間后體系達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的情況?？紤]一個(gè)質(zhì)量為的粒子被一位勢散射（當(dāng)，趨向0比快）。感興趣的是滿足這一條件的物理問題，至于庫侖散射這里不討論。我們知道，薛定方程 其定態(tài)解為 （如是兩粒子散射，則為約化質(zhì)量，為實(shí)驗(yàn)室系的初動能，為入射粒子質(zhì)量。）當(dāng)粒子以一定動量入射，經(jīng)位勢散射后，在很大處，解的漸近形式（彈性散射） 這時(shí)，被稱為定態(tài)散射波函數(shù)。事實(shí)上，將其代入的本征方程，在很大時(shí)，保留次冪 保留到， （比快） 即 （保留到

32、）我們稱為散射振幅（為散射波）。當(dāng)入射粒子沿方向入射，則散射與無關(guān)（束、靶都是非極化），即 下面我們給出的物理意義：對于漸近解的通量（對單粒子，即為幾率流密度） 應(yīng)注意，我們是在很遠(yuǎn)地方測量（），而且測量始終是在一個(gè)小的，但是有一定大小的立體角進(jìn)行。因此，上式的一些項(xiàng)的貢獻(xiàn)可表為 當(dāng)r很大時(shí)，振蕩很快，而是一光滑函數(shù)，這一積分比快。所以包含這一因子的項(xiàng)比快?？梢宰C明：在遠(yuǎn)處，對于漸近解的幾率流密度 （，即方向）而當(dāng)無位勢時(shí)，無散射，僅有沿方向的平面波。大處，在漸近區(qū)域?qū)较蛲繘]貢獻(xiàn)。在遠(yuǎn)處，單位時(shí)間散射到方向上立體角中的幾率為 （為所張立體角對應(yīng)的面積）于是 所以， 散射振幅的模的平方，即為

33、散射微分截面。而散射總截面為 現(xiàn)在問題是要從 出發(fā)，求具有很遠(yuǎn)處的漸近形式為 的解，從而獲得 。§4. 玻恩近似；Rutherford散射現(xiàn)在討論如何近似求解，以至。假設(shè)產(chǎn)生一個(gè)散射（對自由粒子）根據(jù)Fermis Golden Rule，從開始為動量本征態(tài)躍遷到末態(tài)動量本征態(tài)的躍遷率為 由于平面波是取為 （） 因此 即密度為 （在空間）于是 對于躍遷到中的躍遷率為 而入射粒子通量為（ 入射波函數(shù)為 ）所以，散射微分截面 稱為散射振幅的一級玻恩近似。（這一迭代可繼續(xù)進(jìn)行下 ）當(dāng)為有心勢 令 （轉(zhuǎn)移波矢） 則 （計(jì)算時(shí)，取方向?yàn)檩S） 若為有心勢 為方向由于一級玻恩近似是處理位勢作為自由粒

34、子哈密頓量的一個(gè)微擾，所以要求粒子動能比位能大，即要求高能。例：注意到，不能利用Born近似處理庫侖勢，因上述表示的積分不能積出，但能用于Screened Coulomb potential 這近似描述電子入射到多電子的原子，這些電子的電荷分布屏蔽了原子核的作用。（長度的近似值 ） 所以，散射微分截面 高能時(shí)， 則 由 這時(shí)意味著，即很大，也就是相當(dāng)于大多數(shù)的散射是在原子核附近發(fā)生。這時(shí)位勢最強(qiáng)，幾乎無屏蔽。（只要上述公式中改成，就是Rutherford用經(jīng)典力學(xué)推出的Rutherford散射微分截面公式。）§2.有心勢中的分波法和相移當(dāng)位勢是有心勢時(shí)，粒子在中心力場作用下，角動量是

35、運(yùn)動常數(shù)（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角動量本征態(tài)疊加而成，而每一個(gè)波（本征態(tài)）分別被位勢散射，彼此互不相干。1散射截面和相移當(dāng)入射粒子方向取為軸，則入射（無自旋）是對對稱，即與無關(guān)，而相互作用勢是各向同性。因此，經(jīng)作用后也與無關(guān) （在方向）代入方程得 ， 其漸近解，在時(shí)有 所以，在有心勢存在時(shí)，具有確定（在方向）的解為 當(dāng)位勢不存在時(shí)，解為 與比較，入射波應(yīng)相同 （球面入射波系數(shù)應(yīng)同） 顯然，對每一個(gè)分波，它們都是一個(gè)入射球面波和一個(gè)出射球面波（同強(qiáng)度）的疊加，但定態(tài)散射解中的出射波和平面波的出射波差相因子。這表明：散射位勢的效應(yīng)是使每一個(gè)出射分波有一相移，相應(yīng)于相因子為。因 所

36、以，散射振幅 散射微分截面 其中每一項(xiàng)代表相應(yīng)的角動量為的分波對散射截面的貢獻(xiàn) 當(dāng) （），達(dá)極大。與散射振幅比較得 這稱為光學(xué)定理。2一些討論(1)分波法的適用性a. 中心力場b. 不為的數(shù)要少，即或?qū)Φ氖諗亢芸觳判?。若相互作用力程為，處于分波l的粒子，其運(yùn)動區(qū)域 分波l的粒子運(yùn)動區(qū)域r應(yīng)滿足。 如果，則表明，這一分波不能進(jìn)入相互作用的力程內(nèi)，也即在力程之外，所以很小時(shí)，僅，即；或很小，即低能散射。(2)相移符號：自由粒子為，有位勢時(shí)為前者波節(jié)在，后者。排斥勢是將粒子向外推，所以應(yīng)大，即。而對吸引勢。例1：方位阱散射（一維） 在a點(diǎn)連續(xù) 所以在給定下，僅依賴于能量（或）例2：鋼球散射 有解 ， 其漸近解 而 ， ， 由連續(xù)性，得 低能極限，利用 （注意，） 由于 僅 分波的相移重要。 即 （排斥力）總截面 角分布各向同性，總截面與鋼球表面積相等。 高能極限（） （因被散射的分波有條件，