2017年高考數(shù)學(xué)(深化復(fù)習(xí)+命題熱點(diǎn)提分)專題20不等式選講理

1、I專題 20 不等式選講1.設(shè)f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)求f(x)0的解集；當(dāng)xf(a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1x-2,x2，解：(1)f(x)=1其圖像如圖所示.1-3x, -1x2,-x+2,x-1,令f(x)=0,解得X1=0,X2=2, f(x)0的解集為x|0 x2如圖，當(dāng)x3，要使f(x)f(a)，只需f(a)3.當(dāng)f(a)=3時(shí)，有一3a=3或a-2=3，即a=-1或a=5，Ka1的解集為R求m的取值范圍.解：由題意得x3|3解得0 x所以誥的取11范圍是(2) f(x) g(x)= x-3 + x+ 1 因?yàn)閷?duì)任青的實(shí)數(shù)Xj有fx) g(x)= x 3十誥+1

2、6= 3 x + x+ 1(3x) + (x+ 1) 6=4 6=所以有得叱一知即tn的取值范圍是一巧-3h3.已知函數(shù)f(x)=|x|+|x-3|.(1)求不等式f(x)W5的解集；2(2)若函數(shù)f(x)的最小值為m且正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=m求證：2a+1+2b+1+寸2c+1w33.| - 2x+3,xw0,解：(1)f(x)=|x|+|x3|=3,0 x3,(2x-3，x3.當(dāng)x0時(shí)，一2x+3W5,得一1WxW0;當(dāng)0 x3時(shí)，35,得0 x3時(shí)，2x3W5,得3WxW4.綜上，不等式f(x)W5的解集為1,4.(2)證明：由絕對(duì)值三角不等式，得f(x)=|x|+|x3|x(

3、x3)|=3，故m= 3，即a+b+c=3.根據(jù)柯西不等式，有(12a+1+12b+1+12c+1)2w(12+12+12)(2a+1)2+( 2b+1)2+( ,2c+1)2=32(a+b+c)+3=27.所以Q2a+1+寸2b+1+寸2c+1w3 Q3,當(dāng)且僅當(dāng)(1=.1=.1，即a=b=c=1時(shí)取等vv7Q2a+1 2b+1 2c+1號(hào).4.(1)已知函數(shù)f(x)=|x1|+|x+3|，若f(x)為常函數(shù)，求函數(shù)f(x)的定義域；若x,y,zR,x2+y2+z2=1,求m=+Q2y+Q5z的最大值.若fU)為常函8L則其定義域?yàn)?知1.| 由柯西不等式得(X+y-+z-+) &+

4、z):f所臥邁x+邁丫+適Wb當(dāng)且僅當(dāng)鏟滬左時(shí)取等號(hào)因此m的最大值為3.5.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x3|.(1)求不等式f(x)W6的解集；若關(guān)于x的不等式f(x)2,213WxW二， 或2 2I (2x+1) + (2x3)W6(2x+1) (2x3)6；-1或(2(2x+1) (2x3)6,3131解得2XW2或一2WXW2或1Wx|(2x+1)(2x3)|=4, |a1|4，解此不等式得a5.6.已知a,b為正實(shí)數(shù).14(1)若a+b=2,求芹 +1+的最小值;求證：a2b2+a2+b2ab(a+b+1).解:14114(1)1+1+b=4(1+1+b)(1+a+1+b)1

5、1+b 4+4a 1=4(5+1+7+b)4(5+21+b1+a4+4a91+b)=4，1+b 4+4a15等號(hào)成立的條件為1+a=1+b，而a+b=2且a,b為正實(shí)數(shù)，所以a= - ,b=3.9故所求最小值為-.4(2)證明：由基本不等式得a2b2+a22a2b,a2b2+b22b2a,a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，三式等號(hào)成立，2 2 2 2 2 2三式相加得2a b+2a+2b2a b+2ab+2ab=2ab(a+b+1),所以a b+a+bab(a+b+1).7、若不等式|a1|3x+1+. 3y+1+, 3z+1對(duì)滿足x+y+z=1的一切正實(shí)數(shù)x,y,z恒成立, 求實(shí)數(shù)a的

6、取值范圍.解：根據(jù)柯西不等式有(3x+1+3y+1+3z+1)2=(13x+1+1, 3y+1+1. 3z+1)2W(12+12+12)(3x+1)2+(3y+1)2+( 3z+1)2=33(x+y+z)+3=3X6=18,13x+1+3y+1+3z+1W3,2,當(dāng)且僅當(dāng)，3x+1=3y+1=3z+1,即x=y=z=-時(shí)，等號(hào)成立.又|a1|/3x+1+(3y+1+J3z+1恒成立，|a1|32,345十3而贏+3abc2abc Tabc=6,1 1 1g+3+c3+3abc6,(2)由(1)知m6,則|x+1|2x6，即|x+1|6+2x, 62xx+1 + + + +. abcabbcac

7、b+c c+a a+ba的取值范圍是(一a,132U1+32,+).證明：f均為正實(shí)數(shù),叮為當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立 尙當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成乖 熬壽去當(dāng)且僅十時(shí)等號(hào)成址1317?74 d j三個(gè)不等式相加即得古+吉硫+養(yǎng)豪吊+科+席？當(dāng)且僅當(dāng)輕=昭號(hào)咸立, 即丄+右+、*+鳥+二三+三+丄.a b c寸訪伍A/ac a+b fe + c c+a9、已知a0,b0,111，+c0,r+ 3+3+3abc的最小值為a bcm.(1)求m的值;(2)解關(guān)于x的不等式|x+1|2x3a b c1b31_3_c3abc1113-a3+蘆3abc贏+3abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，式等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a

8、bc=3abc時(shí)，式等號(hào)成立;則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，式等號(hào)成立，即1 1 1孑+尹尹3abc取得最小值佯&6原不等式的解集為(一|,+m).62xx+1,x+15,710.已知函數(shù)f(x)=|x4|+Ix+5|.(1)試求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范圍；若關(guān)于x的不等式f(x)a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.- b解4| + |x+5 =9 - Sx4.r1-2x- b疋一尹 又|2x+l日亠2x+ 1 *X.X所以若Ax) |2x+l ,則x的取值范圍杲(-gj -5U4j+對(duì)(R 因?yàn)镴x)=x4 + |x+ 5|(jt-4；i-(工 +5)=9?衛(wèi)工)

9、血11=9亠所以若關(guān)于工的不等式金)4的解集非空，則血心治二久艮卩口的取倩范圍是9 +611.已知函數(shù)f(x)=|x+2|x1|.(1)試求f(x)的值域；ay23x+3設(shè)g(x)=(a0)，若任意s(0,+8)，任意t(m,+m)，恒有g(shù)(s)f(t)成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)函數(shù)可化為一3,x2,f(x)=2x+1,2x1. f(x)3,3.2ax3x+332右x0,貝Ug(x) ax+32寸3a3,即當(dāng)ax 3時(shí)，g(x)min 3a3,x又由(1)知f(x)max=3.若？s(0,+),?t(m,+m)，恒有g(shù)(s)f(t)成立，則有g(shù)(x)minf(x)max,23a33,

10、a3,即卩a的取值范圍是3,+).12.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x1|x+2|.(1)求不等式f(x)3的解集;8若關(guān)于x的不等式f(x)t23t在0,1上無(wú)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.1x3,x2,解(1)f(x)=3x1,2xv2,U6,+)2只要f(X)max 或t V -2(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f(x)1.(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x)2a成立,求a的取值范圍【解析】d)a-2時(shí)貞就罡十3 ZK當(dāng)x-2時(shí)2得衣匕不成立；當(dāng)-2x3時(shí)3-x-x-20:所以0X3時(shí),x-3-x-2k綜上可知:不等式X1的解集是T因?yàn)閒(x)=|x-3卜|x+a|W|(x -3)-(x+a)|=|a+3|

11、,所以f(x)的最大值為|a+3|.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x)2a成立等價(jià)于|a+3|3;所以a的取值范圍是3,+o).14.已知函數(shù)f(x)=|x-a|- |x+3|,aR.(1)當(dāng)a=-1時(shí),解不等式f(x) ，J-輕xV1，、一3x13,xv 2,或1-XA3,所以原不等式的解集為4oo,313.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-3|-|x+a|.其中aR.9【解析】當(dāng)a=-1時(shí),不等式為|x+1卜|x+3|1,當(dāng)xw-3時(shí),不等式轉(zhuǎn)化為-(x+1)+(x+3)1,恒不成立 當(dāng)-3x-1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為-(x+1)- (x+3)w1,5解之得-wx-1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為(x+1)- (x+3)w1,

12、恒成立；綜上不等式的解集為若x-2,3時(shí),f(x)=|x-a|-(x+3),則f(x)W4即|x- a|wx+7,所以-x- 7wx- awx+7,即為-7waw2x+7恒成立,又因?yàn)閤-2,3,所以-7waw3,所以a的取值范圍為-7,3.15.已知a,bR,f(x)=|x -2|-|x-1|.(1)若f(x)0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍(2)對(duì)? bR,若|a+b|+|a- b|f(x)恒成立,求a的取值范圍【解析】(1)由f(x)0得|x-2|x-1|,兩邊平方得x -4x+4x -2x+1,3解得x|a+b+a-b|=2|a|,因?yàn)閒(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)1 1 1所以2|

13、a|1? |a|-? a -或aw-_,所以a的取值范圍為一 -16.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-2|.即實(shí)數(shù)x的取值范圍是ma)=1,U10(1)解不等式f(x)2(2)當(dāng)xR,0y 2,【解析】由已知可得:fx)彳 2%, 2 x 2的解集為xxl.由 iQJx+2 - x-2 H(x+2)-(x-2) =4:1 1y i-y1-v y 當(dāng)且僅當(dāng)了鼻二：1即尸了寸取等號(hào)*y1y17.已知函數(shù)f(x)=|x-1|.(1)解不等式:f(x)+f(x-1)0,求證:f(ax)- af(x)f(a).【解析】由題f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|,因此只需解不等式|x-1|+|x-2|2.當(dāng)xwi時(shí)，原不等式等價(jià)于-2x+3W2,1即 x1.2當(dāng)1xW2時(shí),原不等式等價(jià)于K 2,即12時(shí),原不等式等價(jià)于2x- 32,5即20時(shí),f(ax)-af(x)=|ax_1|_|ax_